精品解析：河北唐山市金桥集团2025-2026学年高一第二学期五月份阶段性检测数学试题

2025-2026学年度高一年级第二学期五月份阶段性检测 数学试卷 本试卷共6页，19小题，满分150分.考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后.用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 4.考试范围：必修二第6、7章，第9、10章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 5 2. 某厂家生产的钢笔有蘸水式钢笔、自来水式钢笔和墨囊钢笔，这三种钢笔某月的产量分别为5万支，15万支，20万支．为检验该厂家的钢笔质量，现用按比例分层随机抽样的方法从该月生产的钢笔中抽取1000支进行检验，则自来水式钢笔应抽取（ ） A. 375支 B. 350支 C. 125支 D. 500支 3. 设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知复数，且，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 5. 某学院三个专业共有1200名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本,已知该学院的专业有380名学生,专业有420名学生，则在该学院的专业应抽取的学生人数为 A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 6. 已知样本数据的平均数和标准差均为4，则数据的平均数与方差分别为（ ） A. －5，16 B. －5，4 C. 4，16 D. 4，4 7. 给出下列四个命题： ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②“当x为某一实数时，可使x2≤0”是不可能事件；③“明天天津市要下雨”是必然事件；④“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个，5个全是次品”是随机事件． 其中正确命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9. 设复数在复平面内对应的点为为坐标原点，为虚数单位，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则或 C. 若点的坐标为，则对应的点在第三象限 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 10. 有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ） A. 的平均数等于的平均数 B. 的中位数不等于的中位数 C. 的标准差不大于的标准差 D. 的极差不大于的极差 11. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 的最大值为2 D. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ________. 13. 已知一组数据，，，…，的平均数为，方差为.若，，，…，的平均数比方差大4，则的最大值为__________． 14. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花．图2中正六边形的边长为，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，为圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）设求； （2）若 与垂直，求的值. 16. 设复数，m为实数． （1）当m为何值时，z是纯虚数; （2）若，求的值; （3）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围. 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求的值； （2）若，，求的面积． 18. 随着社会的进步、科技的发展，人民对自己生活的环境要求越来越高，尤其是居住环境的环保和绿化受到每一位市民的关注，因此，年月日，生活垃圾分类制度入法，提倡每位居民做好垃圾分类储存、分类投放，方便工作人员依分类搬运，提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用.某市环卫局在、两个小区分别随机抽取户，进行生活垃圾分类调研工作，依据住户情况对近期一周（天）进行生活垃圾分类占用时间统计如下表： 住户编号 小区（分钟） 小区（分钟） （1）分别计算、小区每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差； （2）如果两个小区住户均按照户计算，小区的垃圾也要按照垃圾分类搬运，市环卫局与两个小区物业及住户协商，初步实施下列方案： ①小区方案：号召住户生活垃圾分类“从我做起”，为了利国利民，每位住户至少需要一名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，每位工作人员月工资按照元（按照天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？ ②小区方案：为了方便住户，住户只需要将垃圾堆放在垃圾点，物业让专职人员进行生活垃圾分类，一位专职工作人员对生活垃圾分类的效果相当于位普通居民对生活垃圾分类效果，每位专职工作人员（每天工作小时）月工资按照元（按照天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？ ③市环卫局与两个小区物业及住户协商分别试行一个月，根据实施情况，试分析哪个方案惠民力度大，值得进行推广？ 19. 某中学新建了学校食堂，每天有近2000名学生在学校食堂用午餐，午餐开放时间约40分钟，食堂制作了三类餐食，第一类是选餐，学生凭喜好在做好的大约6种菜和主食米饭中任意选购；第二类是套餐，已按配套好菜色盛装好，可直接取餐；第三类是面食，如煮面、炒粉等，为了更合理地设置窗口布局，增加学生的用餐满意度，学校学生会在用餐的学生中对就餐选择、各类餐食的平均每份取餐时长以及可接受等待时间进行问卷调查，并得到以下的统计图表. 类别 选餐 套餐 面食 选择人数 50 30 20 平均每份取餐时长（单位：分钟） 2 0.5 1 已知饭堂的售饭窗口一共有20个，就餐高峰期时有200名学生在等待就餐. （1）根据以上的调查统计，如果设置12个选餐窗口，4个套餐窗口，4个面食窗口，就餐高峰期时，假设大家在排队时自动选择较短的队伍等待（即各类餐食的窗口前队伍长度各自相同），问：选择选餐的同学最长等待时间是多少？这能否让80％的同学感到满意（即在接受等待时长内取到餐）？ （2）根据以上的调查统计，从等待时长和公平的角度上考虑，如何设置各类售饭窗口数更优化，并给出你的求解过程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高一年级第二学期五月份阶段性检测 数学试卷 本试卷共6页，19小题，满分150分.考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后.用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 4.考试范围：必修二第6、7章，第9、10章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的运算得到，再利用模长的计算公式，即可求解. 【详解】因为，所以， 故选：C. 2. 某厂家生产的钢笔有蘸水式钢笔、自来水式钢笔和墨囊钢笔，这三种钢笔某月的产量分别为5万支，15万支，20万支．为检验该厂家的钢笔质量，现用按比例分层随机抽样的方法从该月生产的钢笔中抽取1000支进行检验，则自来水式钢笔应抽取（ ） A. 375支 B. 350支 C. 125支 D. 500支 【答案】A 【解析】 【分析】利用分层抽样的抽样比，列式计算即得. 【详解】依题意，自来水式钢笔应抽取的数量为. 故选：A 3. 设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“或”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 已知复数，且，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的概念可得结果. 【详解】因为，所以，故的虚部为. 5. 某学院三个专业共有1200名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本,已知该学院的专业有380名学生,专业有420名学生，则在该学院的专业应抽取的学生人数为 A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 【答案】B 【解析】 【详解】专业的学生有 由分层抽样原理，应抽取名 故选 6. 已知样本数据的平均数和标准差均为4，则数据的平均数与方差分别为（ ） A. －5，16 B. －5，4 C. 4，16 D. 4，4 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数和方差的公式判断即可. 【详解】设样本数据的平均数为，方差为，则的平均数为，方差为，标准差为， 故数据的平均数为，方差为. 故选：A. 7. 给出下列四个命题： ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②“当x为某一实数时，可使x2≤0”是不可能事件；③“明天天津市要下雨”是必然事件；④“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个，5个全是次品”是随机事件． 其中正确命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 利用必然事件的概念可以判断①是正确的命题，③是偶然事件，利用不可能事件的概念判断②正确，利用随机事件的概念判断④正确. 【详解】对于①，三个球全部放入两个盒子，有两种情况：1+2和3+0，故必有一个盒子有一个以上的球，所以该事件是必然事件，①正确； 对于②，x=0时x2=0，所以该事件不是不可能事件，②错误； 对于③，“明天天津市要下雨”是偶然事件，所以该事件是随机事件，③错误； 对于④，“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个，5个全是次品”，发生与否是随机的，所以该事件是随机事件，④正确．故正确命题有2个. 故选：C． 8. 如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：从中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为，故选C. 考点：古典概型 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9. 设复数在复平面内对应的点为为坐标原点，为虚数单位，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则或 C. 若点的坐标为，则对应的点在第三象限 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用复数模的运算即可判断AB，利用复数的几何意义即可判断CD. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，因为当时，满足，故B错误； 对于C，因点的坐标为，则，，则对应的点在第三象限，故C正确； 对于D，由，可知点的集合所构成的图形为圆环,其面积为，故D正确. 故选：ACD. 10. 有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ） A. 的平均数等于的平均数 B. 的中位数不等于的中位数 C. 的标准差不大于的标准差 D. 的极差不大于的极差 【答案】CD 【解析】 【分析】举反例判断A；根据中位数的概念可判断B；根据标准差的含义可判断C；根据极差的含义可判断D. 【详解】对于A，不妨取为，其平均数为， 而为，平均数为1， 即的平均数不能确定等于的平均数，A错误； 对于B，不妨设，则中位数为， 则中位数也为，B错误； 对于C，由于是最小值，是最大值， 故的波动性不大于的波动性， 即的标准差不大于的标准差； 比如取为，平均数为， 则标准差为， 即为，平均数为， 则其标准差为， 显然，即； 当时，即有， 即的标准差不大于的标准差，C正确； 对于D，不妨设，则， 当且仅当时等号成立，即的极差不大于的极差，D正确， 故选：CD 11. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 的最大值为2 D. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用向量垂直的坐标表示化简即可判断；对于B，利用向量平行的坐标表示化简即可判断；对于C，利用代入向量的数量积计算即可求解；对于D，利用投影向量公式化简即可求解. 【详解】已知，，，. 选项A：若，则，得，A正确. 选项B：若，则，得，又 ，所以 ，B正确. 选项C：，最大值为，C错误. 选项D：在上的投影向量为，得，，，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ________. 【答案】2 【解析】 【详解】因为，所以 . 13. 已知一组数据，，，…，的平均数为，方差为.若，，，…，的平均数比方差大4，则的最大值为__________． 【答案】-1 【解析】 【分析】设新数据的平均数为，方差为，可得，，由新数据的平均数比方差大4可得，可得，代入可得其最大值. 【详解】解：设新数据，，，…，的平均数为，方差为， 可得：，，由新数据平均数比方差大4， 可得，可得， 可得：， 由，可得， 可得当时，可得的最大值为：， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查数据的平均数、方差及其计算，属于中档题. 14. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花．图2中正六边形的边长为，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，为圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由图可推得，结合点的位置分析，求出的范围即得. 【详解】由题可知，， 故 ； 由图可知，当点位于正六边形的某个顶点时，取最大值， 当点为正六边形各边的中点时，取得最小值，即， 所以，，从而. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）设求； （2）若 与垂直，求的值. 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）求出，然后按向量数量积的坐标运算规则进行求解； （2）求出的坐标，根据垂直向量的坐标表示列出等式求解. 【小问1详解】 ∵，∴， ∴，∴． 【小问2详解】 ， 由于与垂直，∴，∴． 16. 设复数，m为实数． （1）当m为何值时，z是纯虚数; （2）若，求的值; （3）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围. 【答案】（1）5 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据复数的相关概念列式求解； （2）根据复数的模长公式运算求解； （3）根据共轭复数的概念以及复数的几何意义列式求解. 【小问1详解】 若z是纯虚数，则，解得， 所以当时，z是纯虚数. 【小问2详解】 若，则， 所以. 【小问3详解】 因为复数，对应的点为， 若复数在复平面内对应的点在第三象限， 则，解得， 故实数m的取值范围为. 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求的值； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出，即可得解； （2）利用余弦定理求出，再由面积公式计算可得. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得，， 又，所以， 又，所以，故，所以. 【小问2详解】 由余弦定理得，所以， 故． 18. 随着社会的进步、科技的发展，人民对自己生活的环境要求越来越高，尤其是居住环境的环保和绿化受到每一位市民的关注，因此，年月日，生活垃圾分类制度入法，提倡每位居民做好垃圾分类储存、分类投放，方便工作人员依分类搬运，提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用.某市环卫局在、两个小区分别随机抽取户，进行生活垃圾分类调研工作，依据住户情况对近期一周（天）进行生活垃圾分类占用时间统计如下表： 住户编号 小区（分钟） 小区（分钟） （1）分别计算、小区每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差； （2）如果两个小区住户均按照户计算，小区的垃圾也要按照垃圾分类搬运，市环卫局与两个小区物业及住户协商，初步实施下列方案： ①小区方案：号召住户生活垃圾分类“从我做起”，为了利国利民，每位住户至少需要一名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，每位工作人员月工资按照元（按照天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？ ②小区方案：为了方便住户，住户只需要将垃圾堆放在垃圾点，物业让专职人员进行生活垃圾分类，一位专职工作人员对生活垃圾分类的效果相当于位普通居民对生活垃圾分类效果，每位专职工作人员（每天工作小时）月工资按照元（按照天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？ ③市环卫局与两个小区物业及住户协商分别试行一个月，根据实施情况，试分析哪个方案惠民力度大，值得进行推广？ 【答案】（1）210分钟，215分钟；，；（2）①15元；②64元；③选择方案推广，有利于国民热爱劳动及素质的提升. 【解析】 【分析】 （1）利用表格中数值，代入平均值和方差计算即可；（2）①计算小区一月至少需要名工作人员的费用和每位住户每月需要承担的费用即可；②由一位专职工人一天的工作时间按照小时作为计算标准，每月按照天作为计算标准，一位专职工作人员对生活垃圾分类效果相当于名普通居民对生活垃圾分类的效果，计算出小区一月需要专职工作人员数量即可；③根据以上的运算，分析可以得出结论. 【详解】（1）（分钟）， （分钟）， ， ； （2）①按照方案，小区一月至少需要名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，其费用是元， 每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费为（元）， ②由（1）知，小区平均每位住户每周需要分钟进行垃圾分类，一月需要（分钟）， 小区一月平均需要分钟的时间用于生活垃圾分类， ∵一位专职工人一天的工作时间按照小时作为计算标准，每月按照天作为计算标准， 一位专职工作人员对生活垃圾分类效果相当于名普通居民对生活垃圾分类的效果， ∴小区一月需要专职工作人员至少（名）， 则每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费为（元）， ③根据上述计算可知，按照每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费来说， 选择方案惠民力度大，但需要住户平时做好生活垃圾分类事项； 如果对于高档小区的居民来说，可以选择方案，这只是方便个别高收入住户， 综上，选择方案推广，有利于国民热爱劳动及素质的提升. 【点评】本题文字较多，能够正确分析题意、理解题意是解决问题的关键，所以提醒同学们在备考过程中可以适当的做一些辅助阅读帮助提升此能力. 19. 某中学新建了学校食堂，每天有近2000名学生在学校食堂用午餐，午餐开放时间约40分钟，食堂制作了三类餐食，第一类是选餐，学生凭喜好在做好的大约6种菜和主食米饭中任意选购；第二类是套餐，已按配套好菜色盛装好，可直接取餐；第三类是面食，如煮面、炒粉等，为了更合理地设置窗口布局，增加学生的用餐满意度，学校学生会在用餐的学生中对就餐选择、各类餐食的平均每份取餐时长以及可接受等待时间进行问卷调查，并得到以下的统计图表. 类别 选餐 套餐 面食 选择人数 50 30 20 平均每份取餐时长（单位：分钟） 2 0.5 1 已知饭堂的售饭窗口一共有20个，就餐高峰期时有200名学生在等待就餐. （1）根据以上的调查统计，如果设置12个选餐窗口，4个套餐窗口，4个面食窗口，就餐高峰期时，假设大家在排队时自动选择较短的队伍等待（即各类餐食的窗口前队伍长度各自相同），问：选择选餐的同学最长等待时间是多少？这能否让80％的同学感到满意（即在接受等待时长内取到餐）？ （2）根据以上的调查统计，从等待时长和公平的角度上考虑，如何设置各类售饭窗口数更优化，并给出你的求解过程. 【答案】（1）18分钟；不能 （2）建议设置选餐、套餐、面食三个类别的窗口数分别为个；求解过程见解析 【解析】 【分析】（1）求出就餐高峰期时选择选餐的总人数，确定平均每个窗口等待就餐的人数即可求得选择选餐同学的最长等待时间；根据频率分布直方图可计算可接受等待时长在15分钟以上的同学占比，即可得结论； （2）假设设置m个选餐窗口，n个套餐窗口，k个面食窗口，表示出各队伍的同学最长等待时间，根据从等待时长和公平的角度上考虑即为要求每个队伍的最长等待时间大致相同，从而列式求解. 【小问1详解】 由题意得，就餐高峰期时选择选餐的总人数为人； 这100人平均分布在12个选餐窗口，平均每个窗口等待就餐的人数为人， 所以选择选餐同学的最长等待时间为分钟， 由可接受等待时长的频率分布直方图可知，分组为的频率分别为， 所以可接受等待时长在15分钟以上的同学占， 故设置12个选餐窗口，4个套餐窗口，4个面食窗口，不能让80％的同学感到满意； 【小问2详解】 假设设置m个选餐窗口，n个套餐窗口，k个面食窗口，则各队伍的同学最长等待时间如下： 类别 选餐 套餐 面食 高峰期就餐总人数 100 60 40 各队伍长度（人） 最长等待时间（分钟） 依题意，从等待时长和公平的角度上考虑，则要求每个队伍的最长等待时间大致相同， 即得，即有， 而，故， 因此建议设置选餐、套餐、面食三个类别的窗口数分别为个. 【点睛】关键点睛：本题是一道有关频率分布直方图的应用题，题意的叙述较为复杂，解答的关键是明确题意，理解从等待时长和公平的角度上考虑即为要求每个队伍的最长等待时间大致相同，从而列式求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $