圆与相似三角形的性质综合问题、圆中的解直角三角形问题复习讲义-2026年中考数学二轮复习高频考点复习讲义

**基本信息** 以圆的核心性质为纽带，构建相似三角形判定与解直角三角形的系统化解题体系，通过模型提炼与步骤拆解培养几何直观与推理能力，实现综合问题突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |圆与相似三角形性质综合|例题3+变式3|“找等角-证相似-列比例”三步法，提炼八字型、母子型等模型|圆性质（等角）→相似判定→比例计算，形成“性质-判定-应用”链条| |圆中的解直角三角形|例题3+变式3|“作辅助线-构直角-用勾股/三角”四步法，聚焦直径、切线、弦心距等直角来源|圆中直角构造→解直角三角形工具→线段/角度计算，构建“条件-转化-求解”路径|

圆与相似三角形的性质综合问题、圆中的解直角三角形问题复习讲义 圆与相似三角形的性质综合问题、圆中的解直角三角形问题复习讲义 考点目录 圆与相似三角形的性质综合问题 圆中的解直角三角形问题 知识点解析 考点一圆与相似三角形性质综合 知识点 1.圆核心性质 同弧/等弧所对圆周角相等、直径所对圆周角为直角、弦切角定理、圆内接四边形对角互补、相交弦定理、 切割线定理。 2.相似三角形判定 AA、SAS、SSS、直角三角形HL相似；公共角、对顶角、同弧等角是主要等角来源。 3.常用模型 圆内八字型、母子型、射影定理模型、切线构直角相似。 解题原理 利用圆的性质推出相等角，凑出相似三角形判定条件；借助相似得到边成比例，完成线段求值、证明等积式、 求线段比值。 解题思路 1.结合圆的性质找出两组相等角： 2.判定三角形相似，写出对应边比例式： 3.转化为等积式或线段关系式： 4.代入已知边长，计算未知线段长度： 5.证明线段乘积、比例类结论。 考点二圆中的解直角三角形问题 知识点 1.圆中直角来源 直径对直角、切线垂直半径、弦心距垂直平分弦、垂径定理构造直角三角形。 2.解三角工具 勾股定理、锐角三角函数（正弦、余弦、正切）、特殊角三角函数值。 3.常用线段 半径、弦心距、弦长一半、切线长、拱高构成直角三角形三边。 解题原理 通过作辅助线（连半径、作弦心距）在圆内构造直角三角形，把圆中线段、角度问题转化为直角三角形边角计 算问题求解。 解题思路 1.作辅助线：连接圆心与切点、作弦心距、连直径造直角； 圆与相似三角形的性质综合问题、圆中的解直角三角形问题复习讲义 2.锁定直角三角形，标出己知边、已知角； 3.利用垂径定理平分弦，拆分线段； 4.选用勾股定理或三角函数列式计算： 5.求解半径、弦长、弦心距、角度、切线长。 真题速递 1.(2025·四川雅安中考真题)如图，ABC中，∠B=90°，AM是角平分线，O是AC上一点，经过点A、点M的 O0分别交AB,AC于点E,点F. B (1)判断BC与O0的位置关系，并说明理由； (2)求证：CM2=CF.CA; ③者cf=2,如C=号，求的长 【答案】()相切，见解析 (2)见解析 号 【分析】(1)连接OM,由角平分线的性质及等腰三角形的性质得OM∥AB,再由∠B=90°即可得OM⊥BC,从 而得BC与O0的位置关系是相切： (2)连接FM,证明aCFM∽△CMA即可； EF,在Ra0MC中，由sinC,设0M=0P=3a,则0C=5a,从而CF=20 则可得AF,再由正弦函数关系即可求得AE的值. 【详解】(1)解：BC与O0的位置关系是相切； 理由如下： 如图，连接OM, :AM是∠BAC的平分线， ∴.∠BAM=∠OAM, :0A=0M, .∠OMA=∠OAM, 2 圆与相似三角形的性质综合问题、圆中的解直角三角形问题复习讲义 .∠OMA=∠BAM, .OM∥AB, 4B=90°， .L0MC=∠B=90°， 即OM⊥BC, OM为圆的半径， :BC与⊙0的位置关系是相切. B (2)证明：如图，连接FM, :AF是圆的直径， ∠AMF=90°=∠B, :AM是∠BAC的平分线， .∠BAM=∠OAM, .∠AMB=90°-∠BAM=90°-∠0AM=∠AFM, .∠AMC=180°-∠AMB=180°-∠AFM=∠MFC, .△CFM∽△CMA, CF CM CM CA 即CM2=CF.CA; 0 E B M (3)解：如图，连接OM,EF, 由(1)知∠0MC=90°， 在RtsOMC中，sinC=OM-3 0C51 设0M=0F=3a,则0C=5a, 圆与相似三角形的性质综合问题、圆中的解直角三角形问题复习讲义 CF=0C-0F=2a=2, 解得a=1, .OF=3,AF=20F=6, :AF为圆的直径， .∠AEF=90°， ∠B=∠AEF=90°， .EF∥BC, .∠AFE=LC, sin∠AFE=E-3 AE-AF Γ5 A B M 2.(2025山东德州中考真题)如图，点D是ABC的内心，连接BD并延长交ABC的外接圆于点E,BE与AC交 于点F,连接AE. E (I)设LABC=a,则∠EAC=-;(用含a的式子表示) (2)求证：AE=DE; (3)若DE=2,BD=1,求EF的长. 【答案】0或号 (2)见解析 e 【分析】(1)根据内心是三角形角的平分线交点，在同圆或等圆中，同弧上圆周角相等解答即可； (2)根据内心，三角形外角性质，等腰三角形的判定证明即可； (3)设EF=x,根据题意AE=DE=2,DF=DE-EF=2-x,BF=DF+BD=3-x,根据相似三角形的判定和性质， 4 圆与相似三角形的性质综合问题、圆中的解直角三角形问题复习讲义 列式解答即可. 本题考查了三角形的内心，圆的性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟 练掌握判定和性质是解题的关键.！ 【详解】(1)解：：点D是ABC的内心， .∠ABE=∠CBE, .ZABC=a :∠ABE=∠CBE=2, :∠EAC=∠CBE, :∠EMC=2, 1 故答案为：2“， (2)证明：连接AD, :点D是ABC的内心， :ZBAD=ZCAD,ZABE ZCBE, 0 B :∠EAD=∠EAC+∠CAD,∠ADE=∠ABE+∠BAD, ∠EAC=∠CBE, :ZEAD=ZADE, .AE DE (3)解：设EF=x,根据题意AE=DE=2,BE=DE+BD=3, :∠EAF=∠CBF=∠EBA,∠AEF=∠BEA, .△EAF∽△EBA, EA EF EB EA AE=2,BE=3, 2 EF 4 解得EF 3 U 圆与相似三角形的性质综合问题、圆中的解直角三角形问题复习讲义 放EF的长为号 3.(2025·四川绵阳中考真题)如图，点A,C在⊙0上，连接A0,CO并延长，分别与⊙0的切线相交于点B, 点D,切点为E,CD与OO交于点F,连接AE,AF,AD⊥BD,垂足为点D,DE=3,DF=I. O C 备用图 (I)求证：AE平分∠BAD; (2)设AB=kOB(k>0),求k的值； (3)求cos ZEAF的值. 【答案】(1)证明过程见解析 2h= 4 +1 (S)cos∠EAF=3i0 10 【分析】本题综合考查圆周角定理，切线的性质和勾股定理，借助圆的背景，灵活运用圆周角定理找出角度关系， 和运用勾股定理解三角形是解题关键， (1)连接OE,通过切线的性质得到OE⊥BD,从而推出OE‖AD,再利用平行线的性质和等边对等角推理论证即 可 (2)连接OE,借助RIAODE,利用勾股定理求出OE(即半径)的长，再利用平行线分线段成比例（或证明相似 三角形)，用k表示出BE和OB,借助RIAOBE,利用勾股定理求解即可； (3)借助圆周角定理，推得∠DOE=2LEAF,作∠DOE的平行线，借助△DOE,利用角平分线的性质和勾股定理 求解即可. 【详解】(1)证明：如图，连接OE, D 由题意，得BD与⊙O相切于点E, 6 圆与相似三角形的性质综合问题、圆中的解直角三角形问题复习讲义 OE⊥BD, 又AD⊥BD, .OEll AD, .LOEA=∠DAE, ·OA和OE都是⊙O的半径， 0A=0E, .∠OEA=∠OAE, .∠DAE=∠OAE, :.AE平分∠BAD; (2)解：由(1)，得OE⊥BD, :点F在⊙O上， .0F=0E, :.OD =OF+DF=0E+1, 在Rta0ED中，OD2=OE2+DE2,即(OE+1)=OE2+32, 解得0E=4, .0A=4, .AB=0B+0A=0B+4=k0B, 4 :.OB=- -1' :∠B=∠B,∠OEB=∠ADB=90°， .△OBEn△ABD, :BE-O8,即BE=, “BDAB' BE+3 k' 3 :BE=- -1’ 在Re08E,08=-e+0e,号-气广+ 1 设1=，则4=(3+4， 解得1=4V7 (负值已舍去)， 7 147 k-17 4 圆与相似三角形的性质综合问题、圆中的解直角三角形问题复习讲义 (3)解：由圆周角定理，得∠EOF=2∠EAF, 如图，过点O作OM平分∠EOF,交DE于点M,连接MF D 子 由(2)，得0E=0F, :OM平分∠E0F, :∠DOM=∠EOM=}∠DOE=∠EAF, 21 又0M=0M, △OEM≌aOFM(SAS)）, .EM=FM,LOFM=∠0EM=90°， .DM DE -EM =3-FM, 在R1aDMF中，DM2=DF2+FM2,即(3-FM2=1+FM2, 都得M- ÷在R1a0FM中，OM=VOF2+FW_40 3 cos∠D0M=OF=43V10 OM 410 10, 3 ÷cos∠EAF=cos∠D0M=3Ni0 10 8 圆与相似三角形的性质综合问题、圆中的解直角三角形问题复习讲义 考点一 圆与相似三角形的性质综合问题 【例题分析】 例1.(2026四川达州模拟预测)如图，AB是⊙0的直径，点C在⊙0上，点E是BC的中点，延长AC交BE的 延长线于点D,点F在AB的延长线上，EF⊥AD,垂足为G. 0 B (1)求证：GF是O0的切线： (2)若BF=1,EF=√2，求AG的长， 【答案】(1)见解析 24G 3 【分析】(1)根据题意可得CE=BE,则∠CAE=LEAB，再由等边对等角推出LCAE=∠OEA，则可证明 OE∥AD,进而证明EF⊥OE,据此可证明结论； (2)设00的半径为户，则AB=2n,0E=0B=r,0F=r+1,由勾股定理得2+V2=(r+12,解方程可求出 0E-宁4B=1,F-2,QF-子正明△4GFo△0EF,为到C仁，据能代入求筐即可 【详解】(1)证明：连接OE,如图所示， B :点E是BC的中点， CE BE' LCAE=∠EAB, :0A=0E, 0 圆与相似三角形的性质综合问题、圆中的解直角三角形问题复习讲义 :ZEAB ZOEA, .∠CAE=∠OEA, .OE∥AD, :EF⊥AD, .EF⊥OE, :OE是00的半径， GF是O0的切线； (2)解：设O0的半径为r,则AB=2,OE=0B=r, .OF =0B+BF =r+1, 在Rt△OEF中，由勾股定理得OE2+EF2=OF2, r2+2=(r+1, 解得r=2 OE=AB=1. AF=4B+BF=2.OF=0B+BF= 由(1)得0E∥AD, .△AGF∽△OEF, AG AF AG 2 0E0E即13 22 2 .AG= 3 例2.(2026·江苏南通模拟预测)如图，己知AB,CD是半径为4的⊙0中互相垂直的弦，垂足为P,过0作 OM⊥AB于M,延长OM交劣弧AB于E. E B D (I)求AB2+(DP-CP)的值： 5 ②若PD=AB,OM=),求CP+CM的值 【答案】(1)64 10 圆与相似三角形的性质综合问题、圆中的解直角三角形问题复习讲义 2)V39 2 【分析】(1)过点0作0H⊥CD于点H,连接A0,证明四边形OMPH是矩形，推导出DP-CP=2PH=20M,则 AB2+(DP-CP)=4AM2+40M2=4A02=64; (2)连接OB,由勾股定理求出MB=VOB-OM=B9,从而求出HB=PD=59,再分别求出 2 4，再根据 CD=239-5,CP=V39-5,由相似三角形的判定与性质可得CPPD=AP.BP,求得MP=5√59-1 勾股定理求出MC=5- 2,即可得到答案 2 【详解】(1)解：过点O作0H⊥CD于点H,连接A0, :OH⊥CD,OM⊥AB,AB⊥CD, :四边形OMPH是矩形，AM=MB,CH=DH, ∴.OH=MP,OM=PH, :DP-CP=2PH =20M, .AB2+DP-CP)2=4AM2+40M2=4A02=64; E M H D 图1 (2)解：：AB⊥E0, :AM MB, 连接OB、AC、BD, :MB=OB2-OM2= V39 2 ,AB=V39, :PD=AB, .PD=39, D-2xW59-3=23-5, Cp=2V39-5-V39=V39-5, 11 圆与相似三角形的性质综合问题、圆中的解直角三角形问题复习讲义 BC=BC, ∴∠CAP=∠BDP, :∠CPA=∠BPD, .∠CPA∽△BPD, CP_AP BP PD' CP·PD=AP·BP, :(V39-5)xV39=(N39-BP)BP, 39-5V39=V39BP-BP2, .BP2-V39BP+39-539=0, 解得BP=V59-V2039-117,BP=539+V20V39-117 (舍去)， 2 2 MP=MB-BP=39_39-V2039-17.V20N39-117 2 2 Mp2=5V39-117 , :MC2=CP2+Mp2=(N39-5+559_117_139-20v39 4 4 :MC+CP=5-3+59-5=59 2 B D 例3.(2026广东江门二模)如图1，C,D是以AB为直径的O0上的两动点，分别位于AB两侧，连接AC、BD 、AD,且∠CAB=2LDAB,连结CD交AB于E. 12 圆与相似三角形的性质综合问题、圆中的解直角三角形问题复习讲义 B B D 图1 图2 (I)求证：AC=AE; (2)若DE=1,AD=2,求AC的长： (3)如图2，若直径AB为定值，当ABC的面积最大时，求△CBD的面积与△BED的面积比. 【答案】(1)见解析 ②4c=3 SACBD=√2+I (3) SABED 【分析】(1)设∠DAB=a,利用直径性质得到∠ADB=90°，推导得到∠ABD=90°-，利用同弧对应的圆周角相 等，得到∠ACD=∠ABD,通过三角形内角和计算出∠AEC的度数，证明两个底角相等，最终用等角对等边得到 AC=AE; (2)利用三角形内角和得到三个内角的三角函数关系，结合正弦定理和同角三角函数平方和为1，解出sia和 cos的数值，利用相似三角形的比例性质，代入已知边长求出AE的长度，结合第一问的结论直接得到AC的长度； (3)先确定ABC面积最大的条件：C为上半圆中点，ABC为等腰直角三角形，得到对应角度值，利用圆周角 和弧的度数对应关系，得到各段弧的圆心角，再利用同高三角形面积比等于底边长之比的性质，最终计算出两个三 角形的面积比值。 【详解】(1)证明：如图，连接BC, C D 设∠BAD=a,则∠BCD=∠BAD=, LCAB=2∠BAD=2a, :AB为直径， .∠ADB=∠ACB=90°， LACE=∠ACB-∠BCD=90°-a, 圆与相似三角形的性质综合问题、圆中的解直角三角形问题复习讲义 .∠AEC=180°-∠CAB-∠ACE=180°-2a-(90°-a)=90°-， :ZACE ZAEC, :AC=AE (2)解：过点D作DG垂直于AB,垂足为G,如图， C E G B ZACE=ZAEC,ZC=ZB,LB=LCEA, ∠CEA=∠DEB,∠B=∠DEB,DB=DE=I, :△BED为等腰三角形， :DG垂直于AB,BGE, :BD=1,AD=2, :在Rt△ADB中，AB=VAD2+BD2=V22+12=V5, :∠DGB=∠ADB=90°，∠B=∠B, :△ADB∽△DGB, 即0-0-想5-5G5, DG BG BD1 G=5,即E=2BG25 5 E=AB-BE=525-35 5 5 :AC=AE= 35 5 (3)解：设点C到线段AB的距离为hB, CO z hAB, :要使得ABC的面积最大，就是当CO=h4B, 此时，△ACB为等腰直角三角形，且C0⊥AB, 连接DO,过点D作DF⊥AB,如图， 14 圆与相似三角形的性质综合问题、圆中的解直角三角形问题复习讲义 C F B ZCAB=24DAB,ZCOB 2LBOD, D :∠C0B=90°，则∠B0D=45°， :△0FD为等腰直角三角形，：DF=5OD, 2 0D=0C,DF=2 OC, 2 1 :c= ×BExCO c0c0=2, SABED 1 x BEx DF DF2 2 2 OC S△cB2=√2+1. SABED 【变式训练】 变式1.(2026·浙江温州二模)如图1，ABC内接于O0,作直径AD交边BC于点G,OB平分∠ABC,连接 CD,BD. E B 0 图1 图2 (I)若LDAC=50°，求∠BAD的度数. (2)如图2，作CE⊥AB于点E,交A0于点F, ①求证：∠DCF=∠DFC. ②若0F=0G+1,且FG≥2，求DG的最小值. 【答案】(1)20 (2)①见解析②1 【分析】(1)由AD为直径得ABD90,求出LABC=40°，由BO平分∠ABC得∠AB0=L0BC=20°，根据 OB=OA可得结论； 15 圆与相似三角形的性质综合问题、圆中的解直角三角形问题复习讲义 (2)①设∠AB0=a,则∠EBC=2a,证明∠DFC=LDCF=90-a即可：②证明。B0Gn6CDG,得BO=OC DC DG 0G=x,DG=y,OF=x+1,DC=DF=y+2x+1,BO=DO=x+y, 代入比例式得+y=x +2+少，整理得 y=2x+x,求得x之2根据二次函数的性质得=1从而得出y的最小值为1，即DG的最小值为1. 【详解】(1)解：：AD为直径， .ABD 90, .∠DBC=∠DAC=50°， .∠ABC=90°-∠DBC=40°， :BO平分∠ABC, .∠AB0=∠0BC=20°， 0B=0A, .∠BAD=∠AB0=20°. (2)解：①证明：设∠AB0=a,则LEBC=2a, 0B=0A, .∠BA0=LAB0=a, :CE⊥AB, ∠AFE=90-a=∠DFC,∠BCE=90-2a, :∠BCD=∠BAD=a., .∠DCF=∠BCD+∠BCE=a+90-2a=90-a, :ZDFC ZDCF ②由①得，DF=CD, :∠BAD=∠ABO=∠OBC,∠BAD=∠BCD, :Z0BC =ZBCD, OB∥CD, .aB0Gn△CDG, BO OG DC DG OG=x,DG=y,OF=x+1,DC=DF=y+2x+1,BO=DO=x+y, x+y y+2x+1 y 11 整理得y2=2x2+x=2x+ 48 16 圆与相似三角形的性质综合问题、圆中的解直角三角形问题复习讲义 :FG=2x+1≥2， 1 x22' y品n=1, 又y>0, :y的最小值为1，即DG的最小值为1. 变式2.(2026广西贵港二模)如图，ABC内接于O0,AB为⊙0的直径，点D在AB的延长线上，连接CD, LBCD=LA,过点B作BE⊥AD,交CD于点E. (1)求证：CD是O0的切线； (2)若点B是AD的中点，且BE=4,求⊙0的半径. 【答案】(1)见解析 (2)42 【分析】(1)连接0C,证明LBCD=LAC0,根据AB为O0的直径，得到∠ACB=90°，证明0C⊥CD即可得到 结论； (2)设O0的半径为r,则OC=OB=r,求出OD=OB+BD=r+2r=3r,证明aEBD∽aOCD,根据相似三角形 42r 的性质得到，22，即可得到答案。 【详解】(1)证明：连接0C, :0A=0C, ∠A=∠AC0, ZBCD ZA, ∠BCD=∠ACO, :AB为OO的直径， ∠ACB=90°， .∠AC0+∠BC0=90°， :∠BCD+∠BC0=90°， .∠0CD=90°， OC⊥CD, 17 圆与相似三角形的性质综合问题、圆中的解直角三角形问题复习讲义 :0C是00的半径， 故CD是OO的切线； B (2)解：设00的半径为r,则0C=0B=r, :点B是AD的中点， :BD =AB=2r :OD =0B+BD =r+2r=3r, :BE⊥AD, ∠EBD=90°， :∠0CD=90°， ·LEBD=∠OCD, :∠D=∠D, .△EBD∽△OCD, BE BD OC CD .CD=OD2-OC2=2v2r, 42r r22r’ 解得r=4√2， 故⊙0的半径为42 变式3.(2026河北唐山二模)如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O,以点O为圆心、OA为半径作⊙0 ,过点O作OF⊥AD于点F,交劣弧AD于点G,连接AG,DG,OD. E 9 圆与相似三角形的性质综合问题、圆中的解直角三角形问题复习讲义 (1I)求证：△AOF∽△ACD; (2)若AC=10,∠AGD=120°， ①求线段DG的长； ②过点D作OO的切线交BA的延长线于点E,求线段DE的长. 【答案】()见解析 (2)①DG=5;②DE=10V5 【分析】(1)根据矩形的性质得∠ADC=90°，由OF1AD得∠AF0=90°，则LAF0=∠ADC,又因为 ∠OAF=∠CAD,即可证明△AOF∽aACD; (2)①根据垂径定理得AF=DF,则OG垂直平分AD,根据垂直平分线的性质得AG=DG,再根据等腰三角形 三线合一的性质得∠4G0=∠DG0=4GD=60°，则：G0D是等边三角形，即可求解， ②由已知根据等边三角形的性质得DF_5 ,∠0DF=30°，则AD=2DF=55,∠ADE=∠0DE-∠0DF=60°， 2 再解RtAADE,求出线段DE的长. 【详解】(1)证明：在矩形ABCD中，∠ADC=90°， :过点O作OF⊥AD于点F, ∠AF0=90°， .∠AFO=∠ADC, ∠OAF=∠CAD, .△AOF∽△ACD: (2)解：①：AC=10, 1 0A=0D=24C=5, :OG⊥AD, :AF=DF, :OG垂直平分AD, .AG=DG, :∠AG0=∠DG0=∠AGD=60°， 又：0G=0D, :△G0D是等边三角形， .DG=0D=5; ②在等边三角形G0D中，GD=5,∠ODG=∠DG0=60°，DF⊥OG, 19 圆与相似三角形的性质综合问题、圆中的解直角三角形问题复习讲义 DF=5 2 3,∠0DF=30°， :AD =2DF=53, :DE是OO的切线， OD⊥DE, LADE=LODE-∠0DF=60°， :DE在矩形ABCD中，∠BAD=90°，E在BA的延长线上， ∠DAE=90°， 在RtADE中，DE=2DA=10V5. 20 圆与相似三角形的性质综合问题、圆中的解直角三角形问题复习讲义 考点二 圆中的解直角三角形问题 【例题分析】 例1.(2026山东菏泽·二模)如图，⊙0是ABC的外接圆，点D在BC的延长线上，且满足∠CAD=∠B. (1)求证：AD是⊙0的切线： (②)若AC是∠BAD的平分线，cosB=4, BC=6,求00的半径. 5 【答案】()见解析 (2)5 【分析】(1)作直径AE,连接EC,利用直径得出直角，利用圆周角定理得出相等的角，最后等量代换可得出结论； (2)根据相等的角得出相等的边，最后利用锐角三角函数求解. 【详解】(1)证明：如图，作直径AE,连接EC, 则∠ACE=90°，所以∠E+∠EAC=90°， 因为∠B和∠E所对的弧为AC, 所以∠B=∠E, 又因为∠CAD=∠B, 所以LCAD=∠E, 所以∠CAD+∠EAC=90°， 所以OA⊥AD, 因为OA是半径， 所以AD是OO的切线： 21 圆与相似三角形的性质综合问题、圆中的解直角三角形问题复习讲义 (2)解：因为AC是∠BAD的平分线，∠CAD=∠B, 所以∠B=∠BAC, 所以BC=AC=6, 由(1)得∠B=∠E, 所以cosB=cosE=CE=4 AE-5 令CE=4x,AE=5x,则根据勾股定理AC=3x, 所以sinE=4C、3 AE 5 则AE=4C=10, 3 所以00的半径为5. 例2.(2026陕西渭南二模)如图，AF是⊙0的直径，ABC内接于⊙0，连接0C、0B,过点B作⊙0的切线交 0C的延长线于点D,∠AC8=C0B. F D (1)求证：AC∥BD; (2)OB与AC交于点E,若AF=6,AC=4√2，求tan/CBD的值. 【答案】(1)见解析 号 【分析】(I)先推导出∠CAB=!∠COB,得到∠ACB=∠CAB,则AB=BC,推导出AC⊥OB,则AC∥BD,即可解答： (2)先求出0C=0B=3,CE=4C=22,∠0EC=∠BEC=90°，得到OE=OC-CE=L,继而推导出 ∠ACB=∠CBD,则tan∠CBD=tan∠ACB=BE=2-V2 CE222，即可解答 【详解】(1)证明：BC=BC, :∠CAB=1∠cOB, 2 :∠ACB=∠COB, ∠ACB=∠CAB, 22 圆与相似三角形的性质综合问题、圆中的解直角三角形问题复习讲义 :AB=BC, OB是00的半径， .AC⊥OB, BD是⊙O的切线， .BD⊥OB :AC∥BD. (2)解：：AF是00的直径，AF=6,AC=42,AC⊥0B, :0C=OB=3,CE=4C=2N2,∠0EC=LBEC=90°， .0E=V0C2-CE2=1, .BE =OB-OE=2, :ACI‖BD .∠ACB=∠CBD, tan∠CBD=tan∠ACB=BE=2-V2 CE 22 2 例3.(2026陕西西安·模拟预测)如图，在Rt△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，AC为O0的弦，圆心O在 ABC内部，连接AO并延长分别交BC及OO于点D,E,CF为OO的切线，过点A作AF⊥CF,垂足为F. B E (I)求证：∠FAC=LEAC; ②)若c0s∠FAC是o0的半径为)，求AD的长， 2 【答案】（①）见解析 (2156v5 17 【分析】(1)连接OC,根据切线的性质可得OC⊥CF,结合AF⊥CF,进而得到AF‖OC，利用平行线的性质 及等边对等角求解即可； (2)连接CE,通过论证△ABD∽△ECD,可得B-4D 进而求解即可 EC ED 【详解】(1)证明：如图，连接0C, 23 圆与相似三角形的性质综合问题、圆中的解直角三角形问题复习讲义 :CF为00的切线，0C为00的半径， .∠OCF=90°，即0C⊥CF, :AF⊥CF, ∴.AF‖OC, ∴.∠FAC=∠ACO, :0A=0C, ∠0AC=∠AC0, :∠FAC=LEAC; E (2)解：如图，连接CE, 由(1)得∠FAC=∠EAC, cos∠EAC=cos∠FAC=12 13 :4E为00的直径，00的半径为135 .∠ACE=90°，AE=13V5, AC=AEcos∠EAC=12V5, :CE =AE2-AC2=55. :∠BAC+∠ACE=90°+90°=180°， .ABI CE, :∠BAD=LCED, :∠ADB=LEDC, AABD∽△ECD, AB AD EC ED' AB=AC=125, AD 12 DE 5' AD+DE AE 24 圆与相似三角形的性质综合问题、圆中的解直角三角形问题复习讲义 4D-号4-号15.156 17 B E 【变式训练】 变式1.(2026四川泸州二模)如图，AB为⊙0的直径，C为⊙0上一点，CF⊥AB于点F,∠ECF=2∠B,过点 A作AD∥EC交CF于点G,交BC于点D. C D E (1)求证：CE是O0的切线； ②)连接AC,若n∠C4D=,AE=2,求DG的张 【答案】(I)证明见解析 7 @2 【分析】(1)连接0C,由CF⊥AB得LOCF+∠COF=90°，再证明∠ECF=∠COF,得到LOCF+∠ECF=90, 即可求证； 2)过点D作DH14AB于H,可i证LB=Z0CB=LC4D,得到anZB=tan∠OCB=an∠CAD,设CDE30 则AC=40,可得D=5a,BC6a 23a 9c四子cC号克家司国8 20，即可求解. 定理和相似三角形的性质可得AG三，进而得到DG=AD-AG=0 【详解】(1)证明：如图，连接0C, C D G E 25 圆与相似三角形的性质综合问题、圆中的解直角三角形问题复习讲义 :CF⊥AB于点F, .∠CF0=90°， .∠0CF+∠C0F=90°， :0B=0C, .∠OCB=∠B, .∠C0F=L0CB+∠B=2LB, :∠ECF=2LB, .∠ECF=LCOF, ∴.∠0CF+∠ECF=90°，即∠0CE=90°， .OC⊥CE, :0C是⊙0的半径， .CE是oO的切线： (2)解：如图，过点D作DH⊥AB于H, B A :AB为OO的直径， .∠ACB=∠0CE=90°， .∠OCB=∠ACE, :AD∥EC, :ZACE ZCAD, :0B=0C, ∠B=∠OCB, .∠B=∠OCB=∠CAD, :m<c0-子 :tan∠B=tan∠OCB=tan∠CAD=3 设CD=3a,则AC=4a, 16 .AD=5a,BC= 30, 26 圆与相似三角形的性质综合问题、圆中的解直角三角形问题复习讲义 m-c-m-9。-a-0:-cC-4f-S可-9 :AD∥EC, AE CD AB BD' 23a 即20= 3030 7 解得a= 30’ :Sc-号1BCr -ACBC, 2 16 .CF=ACBC 4ax 30_16 AB 20 0, 3 AF=AC2-CF2= - :tan∠B= 设DH=3m,则BH=4m, DH2+BH2=BD2, :3m+4m2-3 7)2 7 150, m1= 150，BH=28 ·DH=2。 , 51 :AH AB-BH 202824 3a-i5a=5a, -a= :CF⊥AB,DH⊥AB, ∴.△AFG∽aAHD, AG AF AD AH' 12 即4C= a 5a24’ 5 :4G=20, 27 圆与相似三角形的性质综合问题、圆中的解直角三角形问题复习讲义 :.DG=AD-AG=5a-5a=5a=5x7_7 -2m=2a=2*3012 变式2.(2026·安徽滁州·二模)如图，AB为O0的直径，CD是⊙0的弦，连接BD,过点D作O0的切线，交CA 的延长线于点G,且∠CAB=2∠B, (1)求证：DG⊥AC; 1 2)若00的半径为5，anC=2求DG的长. 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】(1)连接OD,证明出OD∥AC,以及OD⊥DG,即可得结论； 2)连接40，得am月=mC=分求出40=25，证明m∠GD4=m8=分设4G=,则DG=2,由勾 股定理可得AG、DG的长. 【详解】(1)证明：连接0D, D B :∠CAB=2LB,∠A0D=2∠B ∠AOD=∠CAB, 0D∥AC, :DG是O0的切线 .OD⊥DG, DG⊥AC; (2)解：连接AD, :∠B=∠C, 1 .tan B=tanC=- AB为直径， 4 圆与相似三角形的性质综合问题、圆中的解直角三角形问题复习讲义 .∠ADB=90°， AD 1 BD-2' .AB=10, ∴AD2+BD2=AB2,AD2+(2AD)2=102, :AD=25, :DG为00的切线， .∠GD0=90°，即∠GDA+∠AD0=90° :∠BD0+∠AD0=90°， .LBD0=∠ADG, .∠BDO=∠B, .∠GDA=∠B, tan∠GDA=tanB= 2， AG=1, GD-2' 设AG=x, .DG=2x, :DG⊥AC, .x2+(2x)2=(2V5)2, 解得x=2, ∴.DG=2x=4. 变式3.(2026江苏泰州模拟预测)如图，AB是半圆O的直径，O为圆心，AB=8,点M、N分别是A0、BO的 中点，点C在半圆上，且LCAB=60°，以C为直角顶点作RtACNP,使得CP=√3CN,连接BP、PM、OC. MON B (I)求证：△ACN∽△BCP; (②)求线段BP的长； 29 圆与相似三角形的性质综合问题、圆中的解直角三角形问题复习讲义 (3)求S△MwP; (4)求∠NPM的正切值. 【答案】（①）证明见解析 (2)BP=6V5 3)SAMNP =123 ④tan∠MPM=5 【分析】(1)由圆周角定理可得∠ACB=90°，结合∠NCP=90°可得∠ACN=∠BCP,由三角函数可得 聚-5=只，因ta4Cn△BCP CN (2)由中点的定义可计算出4N=6,结合△4CNn△BCP可得肥=BC=5,因此P:AN:6N5, AN-AC (3)由△ACN∽△BCP可得∠CBP=∠CAB=60°，进而求得∠MBP=90°，由中点的定义可得MN=4,使用三 角形的面积公式进行计算即可； (4)作NE⊥PM于点E,使用勾股定理计算出PN=4V7,PM=12,使用面积法求出NE=25,进而求出PE=10 ,因此tan∠WPW=E=V5 PE 5 【详解】(1)解：：AB是半圆O的直径， .∠ACB=90°， 由题意可知，∠NCP=90°， :LACB=LACN+∠BCN=90°，∠NCP=∠BCP+∠BCN=90°， .∠ACN=∠BCP, 在RIAABC中， BC=tan∠CAB=tan60°=3， AC CP=3CN BC=3=CP AC CN' .△ACN∽△BCP; (2)解：AB=8, :0A=0B=0C=1AB=4, :点N是BO的中点， &ON=BN=)0B=2, 2 30 圆与相似三角形的性质综合问题、圆中的解直角三角形问题复习讲义 .AN=0A+0N=6, 由(1)可知，△ACN∽△BCP, BP BC ·ANAC =5, BP =3AN =6v3: (3)解：：点M是A0的中点， :AM=0M=10A=2, 2 .MN=OM +ON=4,BM OM +0B =6, 由(1)可知，△ACNm△BCP, .∠CBP=∠CAB=60°， :LABC=90°-∠CAB=30°， .∠MBP=∠CBP+∠ABC=90°， 5aw=w,D=方x4x6N5=125, (4)解：如图，作NE⊥PM于点E, 在RtABPN中，PN=VBN2+Bp=22+(6=4W万， 在R1aBPM中，PM=VBM2+BP=6+6=12, :Sae=号PWE=125, ·E=24v5 =25, PM 在R1aPEN中，PE=VPW2-NE2=4V万)'-(25=10， ∴.tan∠NPw= NE 3 PE =5 31圆与相似三角形的性质综合问题、圆中的解直角三角形问题复习讲义 圆与相似三角形的性质综合问题、圆中的解直角三角形问题复习讲义 考点目录 圆与相似三角形的性质综合问题 圆中的解直角三角形问题 知识点解析 考点一 圆与相似三角形性质综合 知识点 1. 圆核心性质 同弧/等弧所对圆周角相等、直径所对圆周角为直角、弦切角定理、圆内接四边形对角互补、相交弦定理、切割线定理。 1. 相似三角形判定 AA、SAS、SSS、直角三角形HL相似；公共角、对顶角、同弧等角是主要等角来源。 1. 常用模型 圆内八字型、母子型、射影定理模型、切线构直角相似。 解题原理 利用圆的性质推出相等角，凑出相似三角形判定条件；借助相似得到边成比例，完成线段求值、证明等积式、求线段比值。 解题思路 1. 结合圆的性质找出两组相等角； 1. 判定三角形相似，写出对应边比例式； 1. 转化为等积式或线段关系式； 1. 代入已知边长，计算未知线段长度； 1. 证明线段乘积、比例类结论。 考点二 圆中的解直角三角形问题 知识点 1. 圆中直角来源 直径对直角、切线垂直半径、弦心距垂直平分弦、垂径定理构造直角三角形。 1. 解三角工具 勾股定理、锐角三角函数（正弦、余弦、正切）、特殊角三角函数值。 1. 常用线段 半径、弦心距、弦长一半、切线长、拱高构成直角三角形三边。 解题原理 通过作辅助线（连半径、作弦心距）在圆内构造直角三角形，把圆中线段、角度问题转化为直角三角形边角计算问题求解。 解题思路 1. 作辅助线：连接圆心与切点、作弦心距、连直径造直角； 1. 锁定直角三角形，标出已知边、已知角； 1. 利用垂径定理平分弦，拆分线段； 1. 选用勾股定理或三角函数列式计算； 1. 求解半径、弦长、弦心距、角度、切线长。 真题速递 1．（2025·四川雅安·中考真题）如图，中，是角平分线，O是上一点，经过点A、点M的分别交于点E，点F． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求证：； (3)若，，求的长． 2．（2025·山东德州·中考真题）如图，点D是的内心，连接并延长交的外接圆于点E，与交于点F，连接． (1)设，则 ；（用含的式子表示） (2)求证：； (3)若，求的长． 3．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，点A，C在上，连接，并延长，分别与的切线相交于点，点，切点为E，与交于点，连接，垂足为点． (1)求证：平分； (2)设，求的值； (3)求的值． 考点一 圆与相似三角形的性质综合问题 【例题分析】 例1．（2026·四川达州·模拟预测）如图，是的直径，点C在上，点E是的中点，延长交的延长线于点D，点F在的延长线上，，垂足为G． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 例2．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，已知，是半径为4的中互相垂直的弦，垂足为，过作于，延长交劣弧于． (1)求的值； (2)若，，求的值 例3．（2026·广东江门·二模）如图1，C，D是以为直径的上的两动点，分别位于两侧，连接、、，且．连结交于E． (1)求证：； (2)若，，求的长： (3)如图2，若直径为定值，当的面积最大时，求的面积与的面积比． 【变式训练】 变式1．（2026·浙江温州·二模）如图1，内接于，作直径交边于点，平分，连接，． (1)若，求的度数． (2)如图2，作于点，交于点， ①求证：． ②若，且，求的最小值． 变式2．（2026·广西贵港·二模）如图，内接于，为的直径，点D在的延长线上，连接，，过点B作，交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若点B是的中点，且，求的半径． 变式3．（2026·河北唐山·二模）如图，在矩形中，对角线的中点为O，以点O为圆心、为半径作，过点O作于点F，交劣弧于点G，连接，，． (1)求证∶； (2)若， ①求线段的长； ②过点D作的切线交的延长线于点E，求线段的长． 考点二 圆中的解直角三角形问题 【例题分析】 例1．（2026·山东菏泽·二模）如图，是的外接圆，点D在的延长线上，且满足． (1)求证：是的切线； (2)若是的平分线，，，求的半径． 例2．（2026·陕西渭南·二模）如图，是的直径，内接于，连接，过点B作的切线交的延长线于点D，． (1)求证：； (2)与交于点E，若，，求的值． 例3．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，，为的弦，圆心在内部，连接并延长分别交及于点，，为的切线，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若，的半径为，求的长． 【变式训练】 变式1．（2026·四川泸州·二模）如图，为的直径，为上一点，于点，过点作交于点，交于点． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，求的长． 变式2．（2026·安徽滁州·二模）如图，为的直径，是的弦，连接，过点D作的切线，交的延长线于点G，且． (1)求证：； (2)若的半径为5，，求的长． 变式3．（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，是半圆的直径，为圆心，，点、分别是、的中点，点在半圆上，且，以为直角顶点作，使得，连接、、． (1)求证：； (2)求线段的长； (3)求； (4)求的正切值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $