山东高二数学下学期阶段测试2025-2026学年（人教A版选择性必修第三册第六章）

**基本信息** 高二数学第六章计数原理单元卷，90分钟150分，覆盖排列组合、二项式定理等核心知识，结合赛龙舟、元宵节等文化情境与原创题，梯度设计适配单元复习，培养数学抽象与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/40|分步计数、二项式系数、组合应用|赛龙舟选派（文化传承）、互质概率（原创）| |多项选择题|3/18|计数原理辨析、分配问题|书分配方案判断（易混点区分）| |填空题|3/15|因数计数、排列应用|2025正因数（原创数论）、课程表安排（校园情境）| |解答题|5/77|二项式定理、排列组合综合|数字组成五位数（整除应用）、赈灾医疗队选派（实际问题）|

应用场景：周测/单元测/月考/期中/期末 高二数学下学期阶段测试 第六章 计数原理 （考试时间：90分钟 分值：150分） 第一部分 （选择题 共58分） 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.计算：      A. 55 B. 57 C. 100 D. 110 2.“赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一，参加比赛的划手分为划左桨和划右桨.某训练小组有6名划手、其中有3名只会划左桨，3名只会划右桨.现从这6名划手中选派4名参加比赛，其中2名划左桨，2名划右桨，则不同的选派方法共有    A. 3种 B. 6种 C. 9种 D. 36种 3.的展开式中的系数为(    ) A. B. 10 C. D. 80 4.如图，将标号为A、B、C、D、E的五块区域染上红，黄，蓝三种颜色，要求相邻区域不同色，共有不同的染色方法有      A. 30种 B. 36种 C. 27种 D. 18种 5.在中国传统佳节元宵节中赏花灯是常见的活动.某单位拟举办庆祝元宵的活动，购买了A，B，C三种类型的花灯，其中A种花灯4个，B种花灯5个，C种花灯1个，现从中随机抽取4个花灯，则A，B，C三种花灯各至少被抽取一个的情况种数为    A. 30 B. 70 C. 40 D. 84 6.某活动共包含A、B、C、D、E这5个环节，其中环节 A、B必须相邻，环节 C、D不能相邻，那么不同的安排方式一共有      A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 7.（原创）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为    A. B. C. D. 8.展开式中的常数项为    A. 70 B. C. 16 D. 64 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9.下列说法正确的是(    ) A. 从书架上任取数学书、语文书各1本，求共有多少种取法的问题是分步计数问题 B. 分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情 C. 分类加法计数原理可用来求解完成一件事有若干类方法这类问题 D. 求从甲地经丙地到乙地共有多少条路线的问题是分类计数问题 10.下列说法正确的为(    ) A. 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有种不同的分法； B. 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有种不同的分法； C. 6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法； D. 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有540种不同的分法． 11.已知的展开式中共有7项，则(    ) A. 所有项的二项式系数和为64 B. 所有项的系数和为1 C. 二项式系数最大的项为第4项 D. 有理项共4项 第二部分 （非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. （原创）2025有          个不同的正因数. 13.某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同排法种数是           . 14.展开式中系数最大的项是第          项，系数最小的项是第          项. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）二项式的展开式中，求： 二项式系数之和；各项系数之和； 所有奇数项系数之和；各项系数绝对值之和． 16. （15分）某校高中部，高一年级有6个班，高二年级有7个班，高三年级有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动． 任选1个班的学生参加社会实践活动，有多少种不同的选法？ 三个年级各选1个班的学生参加社会实践活动，有多少种不同的选法？ 选2个班的学生参加社会实践活动，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？ 17. （15分）某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中： （1）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？ （2）甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？ （3）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？ 18. （17分）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的五位数． 比20000大的五位偶数共有多少个； 从小到大排列所有的五位数，问35214是第几位？ 能被6整除的五位数有多少个． 19. （17分）求证： 能被64整除． 第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 排列数和组合数公式 0.8 2 单选题 5 组合的简单应用 0.8 3 单选题 5 二项式定理的应用 0.8 4 单选题 5 计数原理的应用 0.6 5 单选题 5 组合与组合数的应用 0.6 6 单选题 5 排列和排列数的应用 0.5 7 单选题 5 组合与古典概型综合 0.4 8 单选题 5 二项式定理的应用 0.4 9 多选题 6 计数原理的应用 0.8 10 多选题 6 组合 0.6 11 多选题 6 二项式定理的应用 0.5 12 填空题 5 计数原理的应用 0.7 13 填空题 5 排列和排列数的应用 0.5 14 填空题 5 二项式定理的应用 0.4 15 解答题 13 二项式定理的应用 0.7 16 解答题 15 计数原理的应用 0.6 17 解答题 15 组合与组合数的应用 0.6 18 解答题 17 排列和排列数的应用 0.5 19 解答题 17 二项式定理的应用 0.3 Sheet2 Sheet3 $ 高二数学下学期阶段测试 第六章 计数原理 答案及解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B C A A B B D A AC ACD ACD 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】B  【解析】  故选 2.【答案】C  【解析】从这6名划手中选派4名参加比赛，其中2名划左桨，2名划右桨， 则共有种选派方法.故选： 3.【答案】A  【解析】的展开式的通项公式为：，则展开式中含的项为：， 所以展开式中的系数是故选： 4.【答案】A  【解析】从A开始涂色，A有3种方法，B有2种方法， ①若E与B涂色相同，则C、D共有种涂色方法； ②若E与B涂色不相同，则E有1种涂色方法， 当C、E涂色相同时，D有2种涂色方法； 当C、E涂色不相同时，C有1种涂法，D有1种涂色方法； 共有种涂色方法.故选： 5.【答案】B  【解析】由题意，A，B，C三种花灯各至少被抽取一个的情况共有两种： A种花灯选2个，B种花灯选1个，C种花灯选1个： A种花灯选1个，B种花灯选2个，C种花灯选1个． 故不同的抽取方法有种故选： 6.【答案】B  【解析】由题意，环节A、B必须相邻，捆绑与E进行全排，共有种不同的安排方式，环节C、D不能相邻，利用插空法，有种不同的安排方式， 根据乘法原理，可得不同的安排方式一共有种不同的安排方式.故选： 7.【答案】D  【解析】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法， 若两数不互质，则不同的取法有：，共7种， 故所求概率故选 8.【答案】A  【解析】，又展开式的通项， 取，得，常数项为故选 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.） 9.【答案】AC  【解析】对于A，从书架上任取数学书、语文书各1本，求共有多少种取法的问题是分步计数问题，故A正确； 对于B，分步乘法计数原理是指完成所有的步骤才是完成整件事情，故B错误； 对于C，分类加法计数原理可用来求解完成一件事有若干类方法这类问题，故C正确； 对于D，求从甲地经丙地到乙地共有多少条路线的问题是分步计数问题，故D错误. 故选： 10.【答案】ACD  【解析】对于A，6本不同的书中，先取2本给甲，再从剩余的4本中取2本给乙， 最后2本给丙，共有种不同的分法，故A正确； 对于B，6本不同的书中，先取1本作为一组，再从剩余的5本中取2作为一组， 最后3本作为一组，共有种，再给甲、乙、丙三人， 共有种，故B不正确； 对于C，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，利用挡板法种； 对于D，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，分3种情况讨论： ①一人4本，其他两人各1本，共有； ②一人1本，一人2本，一人3本，共有种， ③每人2本，共有， 故共有种. 故选 11.【答案】ACD  【解析】二项式的展开式中共有7项，则，， 选项A：所有项的二项式系数和为，故A正确； 选项B：令，则，故B不正确； 选项C：二项式系数最大的项为第4项，故C正确； 选项D：二项式的展开式的通项为， 当，2，4，6时，二项式的展开式中对应的项均为有理项，所以有理项有4项，故D正确． 故选： 第二部分 （非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.【答案】15（5分） 【解析】因为，其正因数的个数具有的形式，其中,由分步乘法计数原理，2025的正因数有个，故答案为：15 13.【答案】192 （5分） 【解析】由题意，要求数学课排在上午前4节，体育课排在下午后2节，有种 再排其余4节，有种， 根据乘法原理，共有种方法，故答案为： 14.【答案】（2分） ； 50和52 （3分） 【解析】展开式的通项为， 当r为奇数时，系数为负，当r为偶数时，系数为正，所以当系数最大时r为偶数，当系数最小时r为奇数. 设第项的系数最大，其中k为偶数， 则 即解得，所以，所以第51项的系数最大. 设第项的系数最小，其中m为奇数， 则 即解得，所以或51， 所以第50项和第52项的系数最小. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.【答案】（1）512； （2）-1； （3）； （4）  【解析】 在二项式的展开式中，二项式系数之和为.（3分） 在二项式的展开式中，令，，可得各项系数之和为… ………………………………………………（6分） 令，，… 令，，可得…， 将两式相加可得，即为所有奇数项系数之和．（9分） 由题意可得…即为展开式中各项系数之和， 令，得，… ………………（13分） 16.【答案】（1）21； （2）336； （3）146 【解析】分三类： 第1类，从高一年级选一个班，有6种不同的方法， 第2类，从高二年级选一个班，有7种不同的方法， 第3类，从高三年级选一个班，有8种不同的方法， 由分类加法计算原理，共有种不同的选法; ……………（5分） 每种选法分三步： 第1步，从高一年级选一个班，有6种不同的方法， 第2步，从高二年级选一个班，有7种不同的方法， 第3步，从高三年级选一个班，有8种不同的方法， 由分步乘法计数原理，共有种不同的选法; ……………（10分） 分三类，每类又分两步， 第1类，从高一、高二两个年级各选一个班，有种不同方法， 第2类，从高一、高三两个年级各选一个班，有种不同方法， 第3类，从高二、高三两个年级各选一个班，有种不同方法， 故共有种不同的选法． ……………（15分） 17.【答案】（1）816； （2）6936； （3）14656 【解析】（1）只需从其他18人中选3人即可，共有种 ……（5分） （2）分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有 种 ………………………………………………………（10分） （3）由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数， 得种 ……………………………………………（15分） 18.【答案】（1）240； （2）352； （3）108 【解析】根据题意，符合题意的五位数的首位只能是2，3，4，5，共4种可能，末位数字必须是0、2或4； 当首位是2时，末位是4或0，有种结果， 当首位是4时，同样有48种结果， 当首位是3，5时，共有种结果， 综上，可知共有种结果， 即比20000大的五位偶数有240个；……………………………………（5分） 根据题意，当五位数首位数字为1、2时，有个数， 当首位数字为3，第2位数字为0、1、2、4时，有个数， 当首位数字为3，第2位数字为5，第3位数字为0、1时，有个数， 当首位数字为3，第2位数字为5，第3位数字为2，十位数字为0时，有2个数， 当首位数字为3，第2位数字为5，第3位数字为2，十位数字为1时，比35214小的还有35210，1个数； 则比35214小的五位数有个， 故35214是第352位；……………………………………………………（10分） 根据题意，被6整除的数必须是既能被2整除，也能被3整除， 若能被3整除，则各位数字之和必须能被3整除，有2种情况， ①、当五个数字由1、2、3、4、5组成时，其末位数字为2、4，有个， ②、当五个数字由0、1、2、4、5组成时， 首位数字为1、5时，末位有3种选择，共有个， 首位数字为2、4时，末位有2种选择，共有个， 此时共有个， 则被6整除的五位数有个. …………………………………（15分）   19.【答案】参见解析 【解析】 ， 能被64整除．……………………………………（8分） ，且， 展开后至少有4项． …， 故 …………………………………………………（17分） 第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $