第六章计数原理通关检测卷-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第六章计数原理通关检测卷 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）有2位同学报名参加5个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法有（   ） A．10种 B．20种 C．25种 D．32种 2．（本题5分）若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（本题5分）某教室有一排个座位，4位男同学和3位女同学要坐下，但为了减少聊天，规定同性别的同学不能相邻而坐（即任意两位男生不相邻，任意两位女生不相邻）的坐法总数为（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）若，则（    ） A．127 B．128 C．129 D．256 5．（本题5分）为全面提升学生的核心素养与综合实践能力，某校举办“模拟联合国大会”活动，设置了A，B，C，D共4个不同的国家立场，由4名同学通过随机抽签确定每人代表一个国家立场参与活动.已知这4名同学每人都有且仅有一个心仪的国家立场，且4人心仪的国家立场互不相同，则仅有1名同学抽到自己心仪国家立场的抽取方法数是（    ） A．4 B．8 C．12 D．24 6．（本题5分）的展开式中的常数项是（   ） A．352 B． C．1120 D． 7．（本题5分）某校招聘了名教师，现分配给学校的两个校区，其中名英语教师不能分配在同一个校区，另外名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配方案共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 8．（本题5分）对一个四棱锥各个顶点着色，现有5种不同颜色供选择，要求同一条棱连接的两个顶点不能着相同的颜色，则不同的着色方法有（   ）种． A．120 B．360 C．420 D．240 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 10．（本题6分）关于的展开式中，正确的是（   ） A．二项式系数之和为 B．存在常数项 C．第6项的二项式系数最大 D．各项系数之和为 11．（本题6分）下列选项中正确的是（    ） A．运动员每次射击击中目标的概率为0.7，则在11次射击中，最有可能击中的次数是8次 B．将2个a，3个b，1个排成一排，则共有120种排法 C．某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有100种 D．360的正因数有24个 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为___________． 13．（本题5分）运动会期间，将甲､乙､丙､丁四名志愿者分配到三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要一名志愿者，则不同的安排方法数为__________. 14．（本题5分）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现用4种不同颜色给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有_____种． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）（1）已知，求的值（用数字作答）； （2）已知试求，的值． 16．（本题15分）7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种? (1)两个女生必须相邻而站； (2)4名男生互不相邻； (3)老师不站中间，女生甲不站左端. 17．（本题15分）用6种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有多少种不同的书写方案？ 18．（本题17分）（1）求的展开式； （2）化简：． 19．（本题17分）已知的展开式中，第6项为常数项． (1)求n； (2)求含的项； (3)求展开式中所有的有理项． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】利用分步乘法计数原理求解即可. 【详解】每位同学都有5种选择，则不同的报名方法有（种）． 故选：C． 2．A 【分析】根据组合数与排列数的计算公式，将原方程化简整理，即可求出结果. 【详解】由，可得：,且， 解得：. 故选：A 3．D 【分析】根据分步乘法计数原理计算即可. 【详解】先排好3位女生，有种排法，此时产生4个空位，再将4位男生排入这4个空位，有种排法， 根据分步乘法计数原理，共有种坐法. 故选：D. 4．B 【详解】当时，， 当时，， 相减得，即. 5．B 【详解】从4名同学中选1名抽到自己心仪国家立场，则有种， 设剩下3名同学分别为甲，乙，丙，他们心仪国家分别为， 当甲抽到时，乙只能抽到，丙只能抽到； 当甲抽到时，乙只能抽到，丙只能抽到，共2种情况， 仅有1名同学抽到自己心仪国家立场的抽取方法数有种. 6．C 【分析】法一：将原式看作二项式的展开，利用二项式定理展开，仅选取展开式中不含的项并求和，得到常数项；法二：先将原式括号内配方并平方转化为，再写出其通项公式，令的指数为0确定值，代入计算得常数项. 【详解】法一：原式， 所以其常数项为． 法二：原式． ， 由，得， 所以常数项为． 故选：C. 7．B 【分析】依次分配英语教师、数学教师以及最后名教师，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】由题意可知，名英语教师每个校区分配个，共种分法， 名数学教师分配给两个校区，一个校区个，另一个校区个，不同的分法种数为种， 最后名教师有种选择，由分步乘法计数原理可知，不同的分配方案种数为种. 故选：B. 8．C 【分析】根据分类与分步计数原理，点P，A，B分别有5，4，3种涂法，再分当C与A颜色相同与颜色不同分类计数即可. 【详解】设四棱锥为， 则由题意，点P，A，B分别有5，4，3种涂法， 当C与A颜色相同时，C有1种涂色方法，此时D有3种涂色方法， 当C与A颜色不相同时，C有2种涂色方法，此时D有2种涂色方法， 故此时共有种涂色方法（种）. 故选：C． 9．BCD 【分析】利用排列数公式，组合数公式一一判断即可. 【详解】，故A 错误； ，故B正确； ，故C正确； 因为，且， 所以，故D正确. 故选：BCD 10．ABC 【分析】根据二项展开式二项式系数的和的性质即可判断A；写出的展开式的通项，令的幂指数，看求出的值是否满足，且，即可判断是否存在常数项；根据二项式系数的最大值的性质即可判断C；在中，令，求出展开式的各项系数之和，即可判断D. 【详解】由二项式系数的和的性质可知，在中，， 所以其展开式的二项式系数之和为，故A正确； 因为的展开式的通项为， 令，解得.因为，且，所以满足条件， 即的展开式中存在常数项，故B正确； 由二项式系数的性质可知，当是偶数时，二项式系数最大的为中间一项， 即，所以第6项的二项式系数最大，故C正确； 在中，令，即可得展开式的各项系数之和为， 故D错误. 故选：ABC 11．ACD 【分析】对A，列不等式组法即可求解；对B，利用排列公式即可求解；对C分丙校派遣1人和丙校派遣2人讨论即可；对D，利用组合公式即可求解. 【详解】对于A，运动员在11次射击中，击中的次数为，则， 设击中次的概率最大，则， 解得：，因此最有可能击中的次数是8，故A正确； 将2个a，3个b，1个排成一排，共有种排法，故B错误； 若丙校派遣1人，则甲校可以派遣1或2或3人，派遣方案有种； 若丙校派遣2人，则甲校必须派遣2人，派遣方案有种； 所以满足条件的不同的派遣方案有种， 故C正确； 又； 其正因数为， 故正因数个数有（个），故D正确. 故选：ACD. 12．81 【分析】由二项式系数和确定，再通过赋值法即可求解. 【详解】因为二项式系数的和是16，所以，解得， 令得展开式中各项系数的和为． 13． 【分析】先分组，从4名志愿者中选2个人为一组，其余2个人各为一组，再排列，将分好的3组全排列，对应3个场地，根据分步乘法计数原理计算得解. 【详解】从4名志愿者中选2个人为一组，其余2个人各为一组，共有种选法， 将分好的3组全排列，对应3个场地，共有种排法， 则满足题意的不同的安排方法数为种. 故答案为：. 14．72 【分析】根据题意，分4步依次分析区域A、B、C、D、E的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案． 【详解】分4步进行分析： ①，对于区域，有4种颜色可选； ②，对于区域，与区域相邻，有3种颜色可选； ③，对于区域，与、区域相邻，有2种颜色可选； ④，对于区域、，若与颜色相同，区域有2种颜色可选， 若与颜色不相同，区域有1种颜色可选，区域有1种颜色可选， 则区域、有种选择， 则不同的涂色方案有种． 15．（1）462；（2），． 【分析】（1）（2）根据组合数公式及组合数的性质计算可得； 【详解】解：（1）由可得， 即， 可得，整理可得，解得或， 因为，所以， 所以 ． （2）由可得（舍去）或，所以， 所以，即， 化简得，即，解得，所以． 16．(1)1440种 (2)144种 (3)3720种 【分析】（1）采用捆绑法，将两个女生视为一个元素，先对该元素与其余5个元素全排列，再排列女生内部，计算站法数. （2）采用插空法，先排列老师与女生，再将4名男生插入形成的空位中，计算站法数. （3）分类讨论老师站左端与不站左端的情况，结合分步乘法计数原理，利用分类加法计数原理计算站法数. 【详解】（1）两个女生必须相邻而站，∴把两个女生看作一个元素，则共有6个元素 进行全排列，还有女生内部的一个排列，所以共有（种）站法． （2）∵4名男生互不相邻，∴应用插空法， 对老师和女生先排列，形成四个空再排男生，共有（种）站法． （3）当老师站左端时，其余六个位置可以进行全排列，所以共有（种）站法： 当老师不站左端时，老师有5种站法，女生甲有5种站法， 余下的5个人在五个位置进行排列，共有（种）站法． 根据分类加法计数原理知共有（种）站法． 17．600 【分析】根据分步计数原理将问题分成四步，分别求得每一步的选法进行相乘可得结果. 【详解】完成这件事可分四步： 第一步，“英语角”用的粉笔颜色有6种不同的选法； 第二步，“语文学苑”用的粉笔颜色不能与“英语角”用的粉笔颜色相同，有5种不同的选法； 第三步，“理综世界”用的粉笔颜色与“英语角”和“语文学苑”用的粉笔颜色都不相同，有4种不同的选法； 第四步，“数学天地”用的粉笔颜色只要与“理综世界”用的粉笔颜色不同即可，有5种不同的选法. 由分步计数原理知，该板报共有6×5×4×5＝600（种）不同的书写方案. 18．（1）；（2） 【分析】（1）法一：直接利用二项式的展开式即可得到结果；法二：整理可得，结合二项式的展开式即可得到结果； （2）根据题意，反向利用二项式定理，即可得到结果. 【详解】法一： ． 法二：． （2）原式． 19．(1) (2) (3)，， 【分析】（1）求得展开式的通项，结合题意，列出方程，即可求解； （2）由（1）中展开式的通项，令，求得，代入计算，即可求解； （3）由（1）中展开式的通项，令，求得，结合，得到为偶数，分别确定和的值，代入计算，即可求解. 【详解】（1）由二项式展开式的通项为， 因为第6项为常数项，即当时，，解得． （2）由（1）知：展开式的通项为， 令，可得， 所以展开式中含的项为． （3）由（1）知：展开式的通项为，其中， 令，可得，即， 因为，所以为偶数， 当时，可得，此时； 当时，可得，此时； 当时，可得，此时， 所以展开式的第3项，第6项与第9项为有理项，分别为，，． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $