湖北省黄冈中学2026届高三下学期5月第二次模拟考试数学试卷

高三5月第二次模拟考试 数学试卷 本试卷共4页，19题.满分150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将 准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置， 2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写 在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 3非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿 纸和答题卡上的非答题区域均无效， 4.考试结束后，请将答题卡上交 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1.已知命题p:xeR,有11-xk1,命题g:3x>0,使得x2>2,则 A.p和q都是真命题 B.一p和g都是真命题 C.p和一9都是真命题 D.p和一q都是真命题 2.已知复数在复平面内对应的点为(-1，)，则z= 7 A.-1+1 B.-11 D.+ 22 22 c. 22 22 3.已知函数f(x)3-2|-t+1有两个零点，则t的取值范围是 A.(1,+∞) B.(2,+00) C.(1,2) D.(1,3) 4.等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3+a,=18,2a+a6=29,则S0= A.90 B.100 C.110 D.200 5.已知直线1：x+y+2m=0与圆C:x2+y2+6x-2y=0交于A,B两点，则△ABC面 积的最大值为 A.10 B.5 C.4 D.2 6.某游客计划3天内游览完A,B,C,D,E这5个景点，每天至多游览2个景点，且 A,B两个景点不安排在同一天游览，则不同的安排方案种数为 A.36 B.72 C.90 D.144 x2 y2 7.已知双曲线C京京=1a>>0及圆0：广+少=c2(其中c=V匠+F)因0与 高三5月第二次模拟考试数学试卷第1页（共4页) C相交于A,B,C,D四点.圆O与C的两条渐近线相交于，B,C,D四点.若矩 形ABCD与矩形AB'C'D'相似，则C的离心率为 A. V5+1 B. 5+V2 C. V5+3 D. √2+1 2 2 2 2 8.已知a>e时，关于x的不等式(e-ax(r2-r+≥0恒成立，则e的最大值为 A. D. e 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分， 9.如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,P为△ABC内的一点，AP=xAB+yAC, 则下列说法正确的是 A.若P为△ABC的重心，则2x+y=1 B.若P为△ABC的内心，则x+y= 6 C.若P为△ABC的外心，则P.B=25 9题图 D.若P为△ABC的垂心，则cos<亚Dy号 10.在数列a,}中，若4=2,1+1-2=0，则 an ant A. 数列 为等比数列 a B.数列{an}是递减数列 C.若数列 1 的前n项和为Sn,则Sn<n-1 D.若数列 的前n项和为Tn,则Tn<l 2n+1 11.已知正四面体ABCD的棱长为1，O是其外接球的球心，动点P,Q分别在棱BC,CD 上（不包括端点），则 A.△1B0面积的最小值为 4 B.若恰有两个点P满足OP=m,则m的取值范围是 √25 4’4 C.Q到平面ABC与到平面ABD的距离之和为定值 D.若∠POQ-则△PQ的周长不可能为5 高三5月第二次模拟考试数学试卷第2页（共4页) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 ◆频率组距 12.一组数据x,x2,x…,xn频率分布直方图如图所示.若 0.35 ----- y=x-1（i=1,2,…,n),则估计数据，2y,yn的中0.30 位数为 0.15 0.10 18.已知分别为函数闭=2x+引m+君) 056.7 8910x 的两个零点，则|x-2的最小值为 12题图 14.己知集合A={xx=2n-1,neN},B={xx=2”,neN},将AUB的所有元素从小到 大依次排列构成一个数列{an}.若am∈B且am+33∈B,则m= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 在三棱锥P-ABC中，△ABC和△APC均为等边三角形. (1)若F为线段PB的中点，求证：平面PBC⊥平面ACF: (2)当直线PC与直线AB所成角的余弦值为时，求二面角P-AC-B的大小. 8 16.(15分) 已知锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足 b(2cos2 C-1)=2ccos B cosC. (1)求证：B-2C; (2)求1+的取值范围。 cosC b 17.(15分) 为了增强学生的国防意识，某中学组织了一次国防知识竞赛，高一和高二两个年级学生 参加知识竞赛，两个年级各派一位学生代表参加国防知识决赛，决赛的规则如下：①决赛一 共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一次题目，两队累计答对题目数量多者胜；若五轮答 满，分数持平，则并列为冠军：②如果在答满5轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一 方答满5次题可能答对的题目数量，则不需再答题，譬如：第3轮结束时，双方答对题目数 量比为3：0，则不需再答第4轮了；®设高一年级的学生代表甲答对比赛题目的概率是 高三5月第二次模拟考试数学试卷第3页（共4页) 乙答对比赉愿目的概率是，每轮答题比赛中， 各轮结果也互不影响. (1)在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了3轮题，且每次答题互不影响，记X为 答对题目的数量，求X的分布列及数学期望： (2)求在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率. 18.(17分) 已如箱图C号茶=a6>0的左、右焦点分别为F(20520,P是时 x2+y2-4x-32=0上一点，线段PE,与C交于点Q,且|PQ1=F2: (1)求C的标准方程： (2)设O为坐标原点，D(-3,0),直线x=y+2(t≠0)与C交于A,B两点，线段AB的 中点为N,△ABD的外心为M,直线OM的斜率为k,直线OW的斜率为k, (i)试用t表示点N的坐标； (1i)试判断是否为定值.若是，求出该定值：若不是，请说明理由. 19.(17分) 设f=2nx+1-e,aeR. （1)若a=0,讨论f(x)的单调性； (2)若a≥0，求f(x)的最大值（用a表示）： (3)若f(x)有三个极值点，求a的取值范围. 高三5月第二次模拟考试数学试卷第4页（共4页)报告查询：登录zhixue..com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) ▣Ti 高三5月第二次模拟考试 数学答题卡 考场/座位号： 姓名： 班级： 贴条形码区 可郎只 (正面朝上，切勿贴出虚线方框) 正确填涂 缺考标记 客观题(18为单选题；911为多选题) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 填空题 12 13. 14. 解答题 15.(13分) ㄖㄖ■ 15题续 16.(15分) 囚囚■ 17.(15分) ■ ■ 18.(17分) I ■ 囚■囚 18题续 19.(17分) 囚■ㄖ ■ 口 ■5月第二次模拟考试试题答案及评分标准 题号 6 答案 公 A ⊙ 小 题号 9 10 11 12 13 14 答案 47 ACD ABD ACD 2π 7 0 38 一、选择题： 1.对于命题p,取x=3,则1-3>1，则命题p为假命题 对于命题9，取x=3,由9>8，则命题9为真命题.所以，p和9都是真命题.故选B, 2.因为复数1在复平面内对应的点为(-1,1)，所以二=-1+i,故 Z 1+-)号子则方政选A 1 -1-i1i z=- 3.画出y3-2和y=t-1的函数图象，可得0<t-1<2,解得1<t<3.故选D. 4.由a3+a,=18得a5=9.再由2a5+a6=29得a5+a6=20,.a1+a10=20 所以，S。=10a+a-100.故选B. 2 5.直线1过定点P(-2,0),圆C:(x+3)2+(y-1)2=10 VA .C(-3,1),1CP=V2. 设C到l距离为d,则0≤d≤√2 :5c=)210-Pd=V2s-d-5y,当d=V5 时，(S△4BC)max=4.故选C. 6.由题将5个景点分成1,2,2三组， 有CC-15种不同的 A 分组方法，其中A,B两个景点在同一组的情况有C=3(种)，所以A,B两个景点不在 同一组时，共有12种不同的分组方法. 三组景点安排在3天游览完，共有A?=6种不同的安排方法 由分步乘法计数原理可知，共有12×6=72种不同的安排方案.故选B. 7.不妨设A,A在第一象限，则由相似矩形的对角线夹角相等知∠A'Oy=∠AOx,KOKOA=1 x2+y2=c2 avb2+c B2 联立 解得A =1 a2 b2 上式两边平方得，b6=a4(a2+2b2),即(c2-a2)3=a4(2c2-a2),.(e2-1)3=2e2-1, 即e-3+1=0.由e>1解得e-5+1.故选A. 2 8.设f(x)=e"-ax,f'(x)=e-a,令f'(x)=0,解得x=lna>1.∴.f(x)在(-o,lna)上 递减，(na,+oo)上递增，最小值为fna)=a1-lna)<0. 又f(0)=1>0,f①)=e-a<0,因此f(x)有两个不同的零点x,x: 又(e-axx2-bx+c)≥0恒成立，所以g(x)=x2-bx+c的零点恰好就是，， b=+,c=55,÷ac-e”e5-0-瓜四2_d xx2e“xx2exx2e 令g@=&a>e,则g@=a6.当e<a<3时，g@)>0,g@递增：当a ea 子.故选C 时，ga)<0,ga)递减.因此g(@)的最大值为g3)=2 二、多选题： 9.设BC的中点为D. 对于A选项：若P为△ABC的重心，亦-号D-子B+4C)-孤+C,所以 32 2x+y=1,故A选项正确， 对于B瑰黄P为ABC的内心则码--护前+名C。了 -81 16 所以x+y=, 放B选项错误。 对于C选项：若P为△ABC的外心，过P作PM⊥AB于M,则M为AB的中 点，DBf=空故C远项正确， 对于D选项：如图，若P为△ABC的垂心，则 <4,B那>=π-C,c0s<PA,PB-cosC=-3 ，故D选项 正确. 故选：ACD 10.对于A选项：因为数列a}的前”项和为S,且a=2,1+-2=0,则 111 an an+l a 首项为7，公比为2的等比数列，故A选项正确。 对于B选庭由A选项可日安故a六=1是关于。 的递减函数，故B选项正确。 2 对于C运项，821-分所以S=a+宁1>a-1,放C港项指装 对于D选项，a,au1三 2" 11 2n+1 1<1,故D选 2-12-022-'7.=12 项正确。 故选：ABD 11.如图，将正四面体ABCD放入正方体中. 对于A选项：当Q是CD的中点时，点Q到AB的距离最小，为5，△4B0面积的最小 值为×1x55,故A选项正确。 2 24 对于B选项：在△0c中，0B=0C-5,6C=,C边上的高为日 所以m的取值 范围是 26 44 故B选项错误。 对于C选项：记Q到平面ABC和到平面ABD的距离分别为d,d2,则 子碳4+写o以=am-成，d+4=（为正四面你的腐)是定值.故C 1 1 选项正确。 对于D选项：以D点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B0,?,二 丽-9u.x-是-0。 0=5-1-1-. 设BD=A8C,D0-uDC,则0p=20C+0-2O5=2(2-L1-2. 4 00-0c+0-A00-92w-12-l-, o-o0-2u-X2a-0+2u-+(2a-=4u-=0, 4 又P顶-00-0m-2w-2,4-11-》,且1+4≥2a-1, @外盟5a+2r-2a-2a-2a*2-2--+0+于+ 21 而C+@外1-2)+-川=2--，可+C@+1P@为定值，故D选项 正确. 故选：ACD 三、填空题： 3 12估计。比的中位数为7495015=头，火的中位数为 0.35 54-1=47 Γ-7 18自题意得了()=m+}-m+别的零点，名即为血2x+引=m+君的 解，，即得2x+2-x++2kmk∈Z或2x+天+x+不=元+2m,m∈Z, 6 6 6 6 即x=2kπ，k∈Z或x= 2π，2m元 93m∈Z, 对于x=2kπ，k∈Z,其中相邻解之间距离为2π， 对于=号+罗m2,其中相部解之间距商为 3 当在x=2k∈Z中取一解，在x=2红+2m∈Z中取一解时，丙解之间的距离最小为2石 9 3 综合以上可知：-x的最小值为2 14.依题意，集合A中元素是奇数，集合B中的元素是偶数，.A∩B=⑦. 由am∈B,am+3∈B,令am=2,t∈N，am+3=2,s∈N,则因为[a,am+33]中有A中 的元素2-)2+D+1=21-21个，有B中的元素5-1+1个，所以 2 2--2+s-t+1=34,即2(2--)+s-t=33 ①. 当t=1时，①为21+s=35,无整数解. 当1≥2时，由①得2-1≤17，s-t≤4.又s-t为奇数，s-t=1,3. 若s-t=1,则①为2-=32，.t=6,此时m=25+6=38. 若s-t=3,则①为72-1=30，无整数解。 故m=38. 四、解答题： 15.(1)连接AF,CF. :△ABC和△APC均为等边三角形，.PA=AB,PC=CB. :F为PB的中点，AF⊥PB,CF⊥PB. 又：AF∩CF=F,AFc平面ACF,CFc平面 ACF,∴.PB⊥平面ACF, PBc平面PBC,.平面PBC⊥平面ACF …(4分) (2)取AC的中点O,连接OB,OP. B :PA=PC=AC=AB=BC,O为AC的中点， .OB⊥AC,OP⊥AC, .二面角P-AC-B的平面角为∠POB,设∠POB=0.…(6分) 4 :OP∩OB=O,OP,OBc平面POB,.AC⊥平面POB. 以点O为坐标原点，OA,OB所在直线分别为x,y轴，平面POB内过点O且垂直于OB 的直线为z轴建立空间直角坐标系，则 A1,0,0),B(0,V3,0),C(-1,0,0),P(0,V3cos0,√3sin0),…(8分) .4B=(-1,3,0),CP=(1,3 cos0,3sin0), AB.CP 由题意得，cos 4B,CP |3cos0-13cos8-15 …（11分) AB.CF 2×2 4 81 解得cos0= 7(舍去)，cos0=- 1 6 ’0=2 3 故二面角P-AC-B的大小为2r (13分) 16.(1).b(2cos2 C-1)=2ccos BcosC,..bcos2C=2ccos B cosC, 由正弦定理得sin Bcos2C=2 sin Ccos BcosC,∴.sin Bcos2C=sin2 Ccos B. 因为△48C是镜角三角形，所以0<B<受0<C<径， ,∴.tanB=tan2C,,∴.B=2C. (5分) 0<C< 2 (2)因为△ABC为锐角三角形，故 0<B=2C< ,解得亚<C< 2 4 0<A=π-3C< 2 ∴.cosC的取值范围是 …(8分) 2’2 1 1 sinA sin(B+C) 1 sin Bcos C+cos Bsin C cosC b cosC sin B cos C sin B cosC sin B 1 sin 2Ccos C+cos2Csin C 1 2sin Ccos2C+cos 2Csin C cosC sin2C cosC 2sin CcosC 1 cosC +cosC+2cosC-1 =2cosC+ 1 ……（13分) 2cosC 2cosC 令t=2cosC∈(2，⑤，记f0=1+. 函数在(2，√5)上为增函数，f①e 3√24V5 23 故、1 3v243 cosC 的取值范围是 23 …(15分) 6 17.(1)由题可得X~B3,4 X的可能取值为0,1,2,3. =m-a==c--8 PX=2)=C3 -》x--c- …（4分) X的分布列为： X 0 1 2 3 P 1 9 27 27 64 64 64 64 E(X)=3x3-9. (6分) 44 (2)将“在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出”记为事件A,“在第4 轮结束时，学生代表乙答对0道题”记为事件A,“在第4轮结束时，学生代表乙答对1道 题”记为事件A，则事件A即“甲在第4轮比赛中答对，在前3轮比赛中答对2题，并且 乙在4轮比赛中全答错”.事件A,有两种情形：①甲在第4轮中答错，乙在前3轮中答对1 题：②甲在第4轮中答对 -c-0-到- …(9分) --c引-+c0-引c-,- …(14分) ∴.P(A)=P(A)+P(A)= 11 256 “在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率为1川 。…（15分） 256 18.(1)x2+y2-4x-32=0,即(x-2)2+y2=36,所以该圆是以E,(2,0)为圆心，6为半 径的圆。 QF1+OF,HPO1+|QF曰PE=6,即2a=6,a=3. 又c=2,∴b=a2-c2=5,故C的标准方程为上+上 9+5=l.…(3分) (2)(i)设A(x,y),B(x2,y2)· 联立 y 9+5-L得㎡+9y2+20-25=0, x=y+2, 20t 25 ∴y+y2=- 5t2+9 ，yy2= 5t2+9 36 .x+x2=t(y+y2)+4= 5t2+9 718 10t ∴. (7分) (512+9'512+9 (ii)飞为定值9，理由如下： k2 设M(x,),△ABD外接圆的方程可设为x2+y2-2xx-2yoy+F=0. 6 因为D(-3,0)在外接圆上，所以6x。+F+9=0,即F=-6x。-9, 故外接圆的方程为x2+y2-2xx-2yy-6x。-9=0.…（10分) 联立x=y+2 1x2+y2-2x,x-2y-6x。-9=0 得(t2+1)y2+(4t-2xt-2)y-10x-5=0, 为+为= -2-2少，4=-10+5 …（12分) t2+1 t2+1 又y+%= 20t 25 5t2+9 ’= 5t2+9 故-4-2-2y=-204,10+5 25 t2+1 52+9't2+1 5t2+9' 10t 解得x三5+9少520 (15分) k==-51,=出=5， XN 9 =9，为定值.…( 17分) k2 19.1)a=0时，f=2n+-x,故-1-2nx- x2 令0)=1-21nx-x2,则5W=-2-2r<0,故)在(0，+0上为减函数. 而s(1)=0,故在(0,1)上，s'(x)>0,f'(x)>0;在(1，+o)上，s'(x)<0,f'(x)<0. 故f(x)的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(L,+0).…(3分) (2)令g(x)=ax+2lnx,则g(x)在(0，+o)上单调递增， 又x→0时，g(x)>-00:x→+0时，g(x)→+0， 3x0>0,使得g(x0)=0.… …(5分） :f0w=2hr+1-e“=2hx+1-e+2m er+2nx≥ax+2lnx+1(等号当且仅当x=x时取到)， f0W≤2血x+1-(a+2血x+D.-a, …fmax(x)=-a.… …(8分) (3)结合(2)可知a<0.…(9分) :f')=1-21nx-a+ae=1-2nx-0+ae x2 x2 e -2x+ax)e"(1+ax e. (11分) 设g0=lh,()=与，=e,则方程8m(=go①有三个解 由g0=+1知，在o日上，g0<0,g0递 g(t)个 e ←m(x) 0 ←n(x)e 藏在仁+树上，gi0>0,g0递增 又在0+四）上，m)=三单调递藏，且值域为0+四：)=心也单得递减，值域 为(0，e),所以方程①有三个解时，m(x)=n(x)解的个数不少于2 …(13分） m=n)台-g=nx=. 2 x h=1-nx,在(0，e上，N>0,)递增，在(e,+四上，<0，i递 x2 减. h(x) 又x→0时，h(x)→-o;x→+o时，h(x)→0： 仅当0)即a0时， m(x)=n(x)解的个数不少于2.… （15分) 而当aE-2,0时，md)=n()有两解，且分别在0，⊙，(C,+0)上，记为x,,则 1 (x2)=n(x2)∈0， g(t)↑ 结合函数gt)=t,m(x),n(x)的单调性可知， n(x2) 此时方程①有三个解，f(x)有三个极值点。 m(x,)(x←m(x) g(m(x))=g(n(x)) 综上，a的取值范围是 …（17分）