精品解析：四川省广安友谊中学等校2026届高三下学期模拟预测数学试题

数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知非零向量，不共线，，，若与共线，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知变量与变量的观测数据为，，…，，满足经验回归方程.若，则（ ） A. 9 B. 10.5 C. 133 D. 139 5. 已知公比大于1的等比数列，若，，则（ ） A. B. 11 C. 23 D. 121 6. 在平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 给出下列命题：①如果一条直线与一个平面内的两条直线垂直，那么该直线与该平面垂直；②如果直线平面，，那么过点且平行于直线的直线有无数条且都在平面内；③已知，是两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的充分不必要条件．其中正确的命题个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知函数，则的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的单调递增区间为， C. 的对称中心为， D. 的对称轴为， 10. 已知函数，是其导函数，则（ ） A. B. 的单调递减区间为 C. 是的极小值点 D. 的图象的对称中心为 11. 已知，两点的坐标分别为，，曲线上任意一点满足，则（ ） A. 曲线关于原点对称 B. ， C. 若，则曲线与圆：有交点 D. 若，直线与曲线有3个交点，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为数列的前项和，若，，则______. 13. 若，则______． 14. 在长方体中，，，，长方体表面上的动点满足，则点的轨迹长度为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四边形中，，，，.将沿翻折至（为点的对应点），使得平面与平面垂直. （1）证明：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 16. 已知椭圆的右焦点为，椭圆上的点到的距离最大值为. （1）求和的离心率； （2）过点的直线交于，两点，若为的中点，求的方程. 17. 记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求； （2）点在边上，若平分，，，求的长. 18. 随着人工智能技术的迅猛发展，大型语言模型正以前所未有的速度渗透至人们的生活场景.作为其中的代表性模型之一，凭借其强大的推理性能赢得了广泛关注.为全面了解人们对的真实使用情况，某新闻媒体机构随机挑选男、女志愿者各100名进行问卷调查，得到如下列联表： 性别 使用情况 男 女 合计 喜爱 60 40 100 不喜爱 40 60 100 合计 100 100 200 （1）根据小概率值的独立性检验，分析喜爱的程度是否与性别有关； （2）现使用解答代数问题和几何问题，规则如下：每次解答一类问题中的一个不同题目，且相互独立.若答案正确，则继续解答同类中问题；若答案错误，则解答另一类中的问题.每次解答代数问题的正确率为，每次解答几何问题的正确率为.已知第1次解答问题是代数问题和几何问题的概率均为. （ⅰ）求第2次解题时解答代数问题的概率； （ⅱ）记前次（即从第1次到第次）解答中，解答代数问题的次数为，求. 附：，其中. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 19. 已知函数 . （1）若，求函数在区间的最大值； （2）设函数 ，若对任意，恒成立，求的取值范围； （3）设函数，求在区间上的零点个数，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合交集的定义，取两个不等式范围的公共部分即可得到结果. 【详解】由 ， ，取两个区间的公共范围可得： 左端点取两个左端点的较大值，右端点取两个右端点的较小值， 因此得到： . 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，所以复数的共轭复数是. 3. 已知非零向量，不共线，，，若与共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量共线定理，结合不共线向量线性表示的系数唯一性列方程求解x. 【详解】因为与共线，由平面向量共线定理可知，存在实数λ，使得， 而，，故， 非零向量，不共线，可得方程组：，解得. 4. 已知变量与变量的观测数据为，，…，，满足经验回归方程.若，则（ ） A. 9 B. 10.5 C. 133 D. 139 【答案】B 【解析】 【分析】利用经验回归直线必过样本中心点的性质，先求，再代入回归方程求，最后计算即可. 【详解】因为，所以，因为经验回归直线必过样本中心点，所以，，所以，所以. 5. 已知公比大于1的等比数列，若，，则（ ） A. B. 11 C. 23 D. 121 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列性质转化，结合韦达定理求出，再用通项公式求出 【详解】因为为等比数列，所以 ， 又因为，公比大于1，所以，则是方程 的两个根， 且 ，即 ， 6. 在平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两点的距离公式与点到直线的距离公式列出方程化简求解即可. 【详解】设动点的坐标为， 则点到定点的距离为， 点到定直线的距离为, 由题意得 ， 化简得：，即 . 7. 给出下列命题：①如果一条直线与一个平面内的两条直线垂直，那么该直线与该平面垂直；②如果直线平面，，那么过点且平行于直线的直线有无数条且都在平面内；③已知，是两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的充分不必要条件．其中正确的命题个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由线面垂直的判定定理判断命题①，由线面平行的性质判断命题②，根据面面垂直的性质以及面面垂直的判定定理判断命题③即可． 【详解】命题①：根据线面垂直的判定定理可知：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与该平面垂直，没有强调相交，故命题①错误； 命题②：根据线面平行的性质，若直线与平面平行，则过这条直线的平面与已知平面相交的交线平行于这条直线，故在平面内，有无数条平行于交线的直线都与直线平行，但是过点且平行于直线的直线有且只有一条，故命题②错误； 命题③：根据面面垂直的性质可知，当时，内垂直于交线的直线必然垂直于，但是为平面内的一条直线，未强调垂直于交线，故“”无法得到“”； 根据面面垂直的判定定理可知，如果一条直线垂直于一个平面，那么过这条直线的任一平面都与该平面垂直，故，且，可得； 综上“”是“”的必要不充分条件，故命题③错误． 综上，正确的命题个数为0个． 8. 已知函数，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性和时的单调性，将函数值不等式转化为绝对值不等式求解即可. 【详解】函数的定义域为R， 且满足， 故为偶函数； 当时，，其中在上单调递增， 在上单调递减，则在上单调递增， 因此在上单调递增； 由偶函数性质，等价于， 结合函数的单调性得 两边均非负，平方后不等号方向不变， 得，展开整理得， 即 ，解得，即的解集为. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的单调递增区间为， C. 的对称中心为， D. 的对称轴为， 【答案】AC 【解析】 【分析】由函数的图象与性质，根据选项利用性质逐一判断即可. 【详解】对于A，函数最小正周期为，故A正确； 对于B，函数的单调递增区间满足 ， 解得 ，所以的单调递增区间为，故B错误； 对于C，函数的对称中心满足， 解得 ，此时 ，所以对称中心为 ， 故C正确； 对于D，函数的对称轴满足 ， 解得 ，故D错误. 10. 已知函数，是其导函数，则（ ） A. B. 的单调递减区间为 C. 是的极小值点 D. 的图象的对称中心为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出函数的导数后讨论其符号从而可判断ABC的正误，根据可判断D的正误. 【详解】 ，故A正确； 当或时，；当时，， 故的单调递减区间为，故B正确； 由符号变化可得是的极大值点，故C错误； 又 ， 故的图象的对称中心为，故D正确. 11. 已知，两点的坐标分别为，，曲线上任意一点满足，则（ ） A. 曲线关于原点对称 B. ， C. 若，则曲线与圆：有交点 D. 若，直线与曲线有3个交点，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件得到曲线的方程，根据方程的特征判断A，平方后结合不等式的性质和判别式为非负判断B，结合B可判断C，联立直线方程和曲线的方程后消元求解可判断D. 【详解】由题设有，此方程即为曲线的方程. 对于A，设关于原点的对称点为， 则， 故也在曲线上，故曲线关于原点对称，故A正确； 对于B，曲线的方程可化为， 整理得，故， 故，故，故， 所以. 又 ，故 ， 整理得，故，故B正确； 对于C，若，若曲线与圆：有交点， 则由可得， 故，这与B中判断矛盾， 故C错误； 对于D，若，则曲线方程为 ， 由可得， 整理得 ，故或， 因为直线与曲线有3个交点，故，故，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为数列的前项和，若，，则______. 【答案】1013 【解析】 【分析】利用等差数列的定义，等差数列通项公式以及等差数列前项和公式分析求解即可. 【详解】因为，所以数列是公差的等差数列， 设首项为，由，则 ，解得：， 所以 ， 所以. 13. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用赋值法，将x根据指数赋值1和，进而计算奇次项的系数和． 【详解】令可得：， 令可得：； 将(1)式与(2)式相减可得：， 故． 14. 在长方体中，，，，长方体表面上的动点满足，则点的轨迹长度为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题设，在长方体表面确定P的轨迹，应用弧长公式计算轨迹长度. 【详解】因为，故在以为球心，半径为的球面上， 而点在长方体各面上，故在各面上的轨迹为圆弧， 如图，在矩形，因为，，故， 故，故， 同理，故， 因为，故，故，故， 故. 同理，，故，， 综上，点的轨迹长度为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四边形中，，，，.将沿翻折至（为点的对应点），使得平面与平面垂直. （1）证明：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取线段的中点，求证平面即可； （2）作，垂足为，求证或其补交为平面与平面所成角，再设，并证明计算各边长度，最后利用余弦定理可得. 【小问1详解】 取线段的中点，连接， 因为，，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以； 【小问2详解】 作，垂足为，连接， 因为，所以全等， 所以，， 则或其补角为平面与平面所成角， 设，则， 因为平面平面平面，平面平面， ，所以平面， 因为平面，所以，则， 所以等腰底边上的高为， 则，得， 在中， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 16. 已知椭圆的右焦点为，椭圆上的点到的距离最大值为. （1）求和的离心率； （2）过点的直线交于，两点，若为的中点，求的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件列关系式可得； （2）设 ，与椭圆方程联立，利用韦达定理和中点坐标公式可得. 【小问1详解】 由题意可知，，得， 则的离心率为； 【小问2详解】 由（1）知，， 若直线斜率为或不存在，则线段的中点应在坐标轴上， 故设 ，， 联立，得 ， 则 ，得， 故的方程为. 17. 记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求； （2）点在边上，若平分，，，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由三角恒等变换即可求解； （2）由余弦定理可以求出边c的值，再根据三角形面积关系即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理可知（为外接圆半径）， 所以可得，代入已知中， 可得 ， 根据三角恒等变换即可求得 ，而 ， 则 ，因为，所以， 则，而，所以； 【小问2详解】 由余弦定理，由（1）知， 将已知条件代入化简可得，解之可得或（舍）， 由三角形面积关系可得， 即 ， 由（1）知，又因平分，所以可知， 将已知代入上式可得 ，所以. 18. 随着人工智能技术的迅猛发展，大型语言模型正以前所未有的速度渗透至人们的生活场景.作为其中的代表性模型之一，凭借其强大的推理性能赢得了广泛关注.为全面了解人们对的真实使用情况，某新闻媒体机构随机挑选男、女志愿者各100名进行问卷调查，得到如下列联表： 性别 使用情况 男 女 合计 喜爱 60 40 100 不喜爱 40 60 100 合计 100 100 200 （1）根据小概率值的独立性检验，分析喜爱的程度是否与性别有关； （2）现使用解答代数问题和几何问题，规则如下：每次解答一类问题中的一个不同题目，且相互独立.若答案正确，则继续解答同类中问题；若答案错误，则解答另一类中的问题.每次解答代数问题的正确率为，每次解答几何问题的正确率为.已知第1次解答问题是代数问题和几何问题的概率均为. （ⅰ）求第2次解题时解答代数问题的概率； （ⅱ）记前次（即从第1次到第次）解答中，解答代数问题的次数为，求. 附：，其中. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）在小概率值的独立性检验下，没有充分证据推断喜爱DeepSeek的程度与性别有关，即认为二者无关. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据列联表数据代入卡方公式计算观测值，与临界值比较，得出独立性检验结论. （2）（i）分第一次解答代数题正确、第一次解答几何题错误两类互斥情况，由互斥事件概率加法公式计算第二次解代数题的概率. （ii）构造第次解答代数题的概率序列，推导递推关系，构造等比数列求通项，再利用期望的线性性质求和得到. 【小问1详解】 零假设为：喜爱的程度与性别无关. 由列联表得， ∵ ， ∴ 代入数据得. ∵ 小概率值对应的临界值为，， ∴ 没有充分证据拒绝，即在的检验水平下，认为喜爱的程度与性别无关. 【小问2详解】 记“第次解答代数问题”为事件，，. （i）第2次解答代数问题包含两类互斥情况： ① 第1次解答代数问题且答案正确，概率为； ② 第1次解答几何问题且答案错误，概率为. ∵ 两类事件互斥， ∴ . （ii）由题意得，第次解答代数问题的递推关系为： ， 化简得，. 构造等比数列，令，展开得， 对比递推式得，解得. ∴ 数列是首项为，公比为的等比数列. ∴ ，即. 由期望的可加性，前次解答代数问题的总期望等于每次解答代数问题的概率之和，即 . 【点睛】方法点睛：本题为概率与数列结合的典型综合题，通用解题路径为：① 分析事件转移逻辑，建立单次事件发生概率的递推关系；② 构造等比数列求解概率通项；③ 结合期望的累加性质求和得到结果. 19. 已知函数. （1）若，求函数在区间的最大值； （2）设函数 ，若对任意，恒成立，求的取值范围； （3）设函数，求在区间上的零点个数，并说明理由. 【答案】（1）； （2）； （3）零点个数为2，理由见解析 【解析】 【分析】（1）代入，求导判断函数在区间上的单调性，进而求得最大值. （2）化简，将恒成立问题转化为参数与函数最值的大小关系，构造函数求最小值即可得到的取值范围. （3）化简消去参数，将零点问题转化为两个函数图象的交点问题，结合函数值域、单调性分析交点个数即可. 【小问1详解】 当时， ，定义域为. ∵ 当时，，，， ∴ ，即在上单调递减， ∴ . 【小问2详解】 由题意得， ∵ 对任意 ，恒成立，即恒成立， ∵ ，∴ 对任意 恒成立. 令，则. 令，得 ，即. ∵ ， ∴ ，对应极值点为. 当时，， ，故，单调递减； 当时， ，，故，单调递增. ∴ 是的第一个极小值点，且. 对于其余极小值点 ，，而，故对应的. 当 时，其余区间，对应的. ∴ 在 上的最小值为，故. 【小问3详解】 零点个数为2，理由如下： 由题意，得，. 令，得. ①当时，，单调递增， ， 所以单调递减，所以. ②当时，， ，则在区间上必定存在，使得. 因为在上单调递减， 所以当时，，单调递增，； 当 时，，单调递减， . 因为， ，所以在区间上必定存在，使得， 即当时，，单调递增，； 当时，，单调递减， . ③当时，单调递减，单调递减，则单调递减. 因为 ， ， 所以必定存在零点，使得. ④当 时，因为 ，所以 ， 所以在 上，不存在零点. 综上所述，在上存在两个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $