精品解析：湖南衡阳市祁东县第一中学2025-2026学年下学期期中考试试题高一数学

祁东一中2025-2026学年下学期期中考试试题 高一数学 （命题人：曾建湘） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数，则其共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的运算化简，再求出共轭可得. 【详解】， 所以，其虚部为. 故选：A. 2. 在△中，为边上的中线，为的中点，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果. 【详解】根据向量的运算法则，可得 ， 所以，故选A. 【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 3. 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积． 【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为． 故选：A． 4. 如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中，且，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知中，，求出、的长，利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】在斜二测直观图中，，且， 所以为等腰直角三角形，所以， 且，由斜二测画法可知，在中，， 且，， 故. 故选：C. 5. 如图所示，一艘海轮在海面上的处发现一座小岛，测得小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，则处与小岛之间的距离为 （ ）. A. B. C. 10 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题可知在中，，，所以， 由正弦定理可得：，又， 所以（海里）． 6. 若的三个内角满足，则是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 锐角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式将已知等式化为，然后利用正弦定理边角互化得，进而求得，即可判断. 【详解】利用二倍角公式将已知等式化为， 即，由正弦定理得，即，所以， 所以是直角三角形. 故选：A. 7. 某地区乡村用来盛粮食的小容器通常被称为“升篓”.升篓呈棱台形，全木制作，上口大，下口小，制作形态为榫卯契合，完全不用一颗钉子.如图是一个正四棱台形的升篓，体积，上､下底面棱长分别为，则该正四棱台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据台体的体积公式求台体的高，再计算台体的斜高，进而可求四棱台的侧面积. 【详解】如图,点分别是棱台上下底面的中心，分别取边的中点,连接. 设四棱台的高为， 则. 由图知，, 设正四棱台的斜高. 所以正四棱台的侧面积为：. 故选：D 8. 在△ABC中 ，，且，，若，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示出，由此可知表示轴上一点到和的距离之和，由对称性即可得出答案. 【详解】由可得， 又因为，，所以， 建立如图所示的平面直角坐标系，可得， 所以，， ， 所以， ， 表示轴上一点到和的距离之和， 所以求即， 关于轴的对称点为， 所以， 所以的最小值为， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知都是复数，下列选项中正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 若，则是实数 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的相关定义，以及复数的运算公式，即可求解. 【详解】若，则或，故A正确； 若， ，满足，但，故B错误； 若，则是实数，故C正确； 若，则，得或，所以，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知向量，，则下列叙述中正确的是（ ） A. 不论取何值都有 B. 存在实数，使 C. 存在实数，，使 D. 存在实数，，使 【答案】AD 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标表示判断A；利用共线向量的坐标表示推理判断BCD. 【详解】对于A，任意实数，，则，A正确； 对于B，，而方程无实数解，即不共线，B错误； 对于C，，若，则，而此方程无实数解，C错误； 对于D，令，则，无论为何值，都有，D正确. 故选：AD 11. 已知正四棱锥的底面边长为1，高为，该正四棱锥的顶点在正方体的内部（包括表面），则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 若正四棱锥的侧棱长为，则 C. 当点为正方体的上底面的中心时，正四棱锥外接球的表面积为 D. 当点为正方体的内切球球心时，正方体的内切球与正四棱锥的公共部分的体积为 【答案】CD 【解析】 【分析】设正方形和正方形的中心分别为，当在线段（不含端点）上，即可判断A；根据勾股定理即可判断B；设正四棱锥的外接球球心为，半径为，则点在上，连接，根据勾股定理求得，由球的表面积公式即可判断C；当为正方体的内切球球心时，此时正方体被分割为6个与四棱锥相同的四棱锥，正方体的内切球与正四棱锥的公共部分的体积为内切球体积的，根据球体积公式即可判断D． 【详解】对于A，设正方形和正方形的中心分别为， 因为正四棱锥的底面边长为1，高为， 该正四棱锥的顶点P在正方体的内部（包括表面）， 所以当在线段（不含端点）上，此时，故A错误； 对于B，如图，在中，，故B错误； 对于C，设正四棱锥的外接球球心为，半径为，则点在上，连接， 在中，， 则，解得， 所以正四棱锥的外接球表面积，故C正确； 对于D，当为正方体的内切球球心时， 此时正方体被分割为6个与四棱锥相同的四棱锥， 所以正方体的内切球与正四棱锥的公共部分的体积为内切球体积的， 所以公共部分的体积为，故D正确； 故选：CD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求解即可． 【详解】依题意可得． 13. 已知某圆台的上、下底面面积分别是，，侧面积是，则这个圆台的体积______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的面积公式和圆台的侧面积公式求出圆台的上、下底面半径和母线长，再根据勾股定理求出圆台的高，最后利用圆台的体积公式求解. 【详解】设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h， 则，，，． 又，， ， ． 故答案为： 14. 如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，，若，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】对两边平方得出①，对两边同时点乘即可得出②，联立①②即可解出的值. 【详解】与的夹角为，与的夹角为，且，； 对两边平方得：①； 对两边点乘得：，两边平方得：②； ①②得：；根据图象知，， ，代入得，； ． 故答案为：3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，，且是实数. （1）求； （2）在复平面内，复数对应的点在第四象限，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题中条件及复数的乘法法则、复数的分类即可求解的值，再根据共轭复数的定义即可求解； （2）由（1）知，根据复数的加法运算及复数的几何意义即可求解. 【小问1详解】 ∵，， ∴. ∵是实数，∴，解得. ∴，∴. 【小问2详解】 由（1）知，∴. ∵复数对应的点在第四象限， ∴，解得，即实数m的取值范围为. 16. 如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕． （1）求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕； （2）试确定缉毒船的行驶方向． 【答案】（1）缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕 （2）缉毒船的行驶方向为北偏东 【解析】 【分析】（1）设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕，可知，利用余弦定理运算求解； （2）根据（1）中结果，利用正弦定理可得，进而可得结果. 【小问1详解】 设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕， 由题意可知：， 由余弦定理可得， 即， 整理可得，解得， 所以缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕. 【小问2详解】 由（1）可知：， 由正弦定理可得， 且为锐角，则，可得， 所以缉毒船的行驶方向为北偏东. 17. 已知单位向量满足． （1）求的最大值； （2）若在上投影的数量为，求的值； （3）设向量满足，求的取值范围． 【答案】（1）1 （2）0 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的数量积运算律求得，然后利用二次函数性质求解最大值； （2）根据数量积投影公式列方程，化简得，即可求解； （3）设，，结合数量积的运算律及模的运算，根据数量积的夹角公式得，化简得，设函数，则在区间上存在零点，结合判别式法，根据零点存在定理判断求解即可. 【小问1详解】 因为单位向量满足， 则， 当且仅当时等号成立， 故当时，取得最大值为1； 【小问2详解】 在上投影的数量为， 又，则得，所以； 【小问3详解】 设，， 则， ， 因， 故， 整理得， 设函数， 则在区间上存在零点，则， 即，解得，即， 又，， 且当时，，即， 即在区间上存在零点，所以的取值范围为. 18. 在正四棱台中，，，为棱上的动点（含端点），求： （1）四棱台的表面积； （2）四棱台的体积； （3）求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出正四棱台上下底面的面积，再求侧高，由此得出侧面积，最后即可得出表面积； （2）先求出正四棱台的高，再根据体积公式即可得体积； （3）将侧面展开在同一平面，判断出点共线时，最小，结合余弦定理即可求出． 【小问1详解】 由题可知，四边形为正方形，所以， 分别取的中点，则为侧面的高， 因为侧面为等腰梯形，则侧面的高， 所以一个侧面的面积为， 故正四棱台的表面积为. 【小问2详解】 连接，取中点，连接，过点作， 则正四棱台的高为，且，则， 在梯形中，， 所以四棱台的体积. 【小问3详解】 把四边形展开至同一个平面，当点共线时，最短， 由侧面展开图知： 由余弦定理得，，解得， 所以的最小值为. 19. 在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，． （1）求； （2）若，的面积为，求的周长； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对原等式进行展开化简，即可求出. （2）根据三角形面积公式和余弦定理求出三角形边长. （3）根据正弦定理将的表达式列出来，然后根据三角函数的单调性进行求解即可. 【小问1详解】 在中，， . 所以 所以 所以 所以，所以． 因为，所以，所以． 【小问2详解】 因为的面积为， 所以，． 由余弦定理，得， 所以，所以，所以， 所以的周长为． 【小问3详解】 由正弦定理， 得，， 所以． 因为为锐角三角形，且，所以，所以． 因为函数在上单调递增，所以， 所以，所以的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 祁东一中2025-2026学年下学期期中考试试题 高一数学 （命题人：曾建湘） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数，则其共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 在△中，为边上的中线，为的中点，则 A. B. C. D. 3. 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中，且，则的面积是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，一艘海轮在海面上的处发现一座小岛，测得小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，则处与小岛之间的距离为 （ ）. A. B. C. 10 D. 6. 若的三个内角满足，则是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 锐角三角形 7. 某地区乡村用来盛粮食的小容器通常被称为“升篓”.升篓呈棱台形，全木制作，上口大，下口小，制作形态为榫卯契合，完全不用一颗钉子.如图是一个正四棱台形的升篓，体积，上､下底面棱长分别为，则该正四棱台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在△ABC中 ，，且，，若，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知都是复数，下列选项中正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 若，则是实数 D. 若，则 10. 已知向量，，则下列叙述中正确的是（ ） A. 不论取何值都有 B. 存在实数，使 C. 存在实数，，使 D. 存在实数，，使 11. 已知正四棱锥的底面边长为1，高为，该正四棱锥的顶点在正方体的内部（包括表面），则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 若正四棱锥的侧棱长为，则 C. 当点为正方体的上底面的中心时，正四棱锥外接球的表面积为 D. 当点为正方体的内切球球心时，正方体的内切球与正四棱锥的公共部分的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，，则__________． 13. 已知某圆台的上、下底面面积分别是，，侧面积是，则这个圆台的体积______________． 14. 如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，，若，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，，且是实数. （1）求； （2）在复平面内，复数对应的点在第四象限，求实数m的取值范围. 16. 如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕． （1）求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕； （2）试确定缉毒船的行驶方向． 17. 已知单位向量满足． （1）求的最大值； （2）若在上投影的数量为，求的值； （3）设向量满足，求的取值范围． 18. 在正四棱台中，，，为棱上的动点（含端点），求： （1）四棱台的表面积； （2）四棱台的体积； （3）求的最小值. 19. 在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，． （1）求； （2）若，的面积为，求的周长； （3）若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $