湖北武汉市2026届高三年级五月供题数学试题

武汉市2026届高三年级五月供题 数学 武汉市教育科学研究院命制 2026.5 本卷共4页，19题，全卷满分150分。用时120分钟。 注意事项： 1.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。 2.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求. 1.集合A={IInx≤2}，B={y∈NI2'>8},则A∩B= A.(3,e2] B.{3,4,5,6,7,8}C.{4,5,6,7} D.⑦ 2.已知复数z满足（1+i)z=1-3i,则1z= A.5 B.3 C.√5 D.√3 3已知等比数列{a,3的公比为9，则0g<是“1a,}是递减数列的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4为了得到函数y=3c0s(4x-平)的图象，只需把函数y=3osx图象上的 A.每个点的横坐标缩短到原来的。倍，纵坐标不变，再向右平移：个单位 B.每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移需个单位 C.每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向右平移平个单位 D.每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 高三数学第1页（共4页） 5.已知a=log2,b=log511,c=log23,则a,b,c的大小关系为 A.a<c<b B.b<c<a C.b<a<c D.a<b<c 6.游乐园里有一个半径为4的圆形水池（对应圆：x2+y2=16).现在要在水池里搭一条直 线形的浮桥，浮桥的位置满足方程mx+y=m+2(m是可以调节的参数)，需要找到浮桥 被水池截得的最短长度，这样的浮桥既节省材料，又能让游客体验最佳.则浮桥的最短 长度是 A.√I B.23 C.2√11 D.43 7.表面积为6π的圆柱内放人一个球，则该球体的体积最大值为 等 T B. 8.已知函数f(x)=cos(wx+p)(w∈R,0<p<π)，若不等式f(x)1≤I2 sinxl对任意x∈R恒 成立，则满足条件的ω的取值个数为 A.3个 B.5个 C.7个 D.无穷多个 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列说法正确的有 A.一组数据1,2,3,4,5,6,7,8的第30百分位数为3 B.若随机变量X-B(4,),则E(X)=2 C.若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A与B是对立事件 D.若事件A,B满足P(AIB)=P(AIB),则事件A,B相互独立 10关子多项式+1 的展开式，下列结论正确的是 A.各项系数之和为32 B.常数项为80 C.x2项的系数为-120 D.展开式一共有21项 1.已知1，为方程-4k+1=0的两个实根，设0，子(+》，下列结论正确的是 A.a3=26 B.存在keN·,使得aak+2-ak1=2 C.42026的个位数字为7 D.226+1 2一为完全平方数 高三数学.第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在凸四边形ABCD中，AC=2,AD=1,AB1BC,AC⊥AD,则AB·AD的最小值 为 3.已知椭圆C:”2+2=1(Q>6>0)的左右焦点分别为P1,P2,点P为椭圆C上一点，若直 线PR,和PR,的斜率分别为写和，则棚圆C的离心率为 14.已知不等式e“+e是≤2e对任意e(0,+m)恒成立，则实数a的取值范围 为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin2A+cos2B+cos2C=2+sinBsinC. (1)求角A的大小； (2)若a=2√5，∠BAC的角平分线交BC于点D,求线段AD长度的最大值， 16.(15分) 已知函数f代x)=。-x+alnx存在两个极值点：1，x2 (1)求a的取值范围； (2)求f(x,)+fx2)-3a的最小值. 17.(15分) 如图，在三棱柱ABC-AB1C1中，侧面BCC,B1是正方形，AB⊥平面BCC,B1,2AB=BB1=2, 点M是线段A,B,的中点，点N在线段AC上，满足A,N平面BCM. (1)证明：N是线段AC的中点； (2)求平面ABB,A1与平面BMC,夹角的余弦值； (3)求点C,到平面NBM的距离： 高三数学第3页（共4页） 18.（17分) 已知圆E:(x+3)2+y2=16和定点F(3,0),动点P是圆E上任意一点，线段PF的垂 直平分线与直线PE交于点Q,设曲线工为点Q的轨迹， (1)求曲线Γ的方程； (2)设R(0,2),斜率为k(k≠0)的直线1与曲线T交于A,B两点，直线AR,BR分别 与曲线T交于C,D两点； (i)若直线AR,BR的斜率之和为0，证明：直线AB过定点； (i)若k=2,证明：直线CD过定点 19.(17分) 某中学共有N个社团(N≥3)，学校计划在周一和周三各举办一场社团博览会.每场 博览会需随机邀请其中k个社团参展(1≤k≤N-1,k为常数).两场博览会的邀请工作独 立进行，每次均从N个社团中等可能地选取k个不同的社团.记至少参展过一场博览会的 社团总数为X. (1)求社团“星火社”至少参加一次博览会的概率； (2)求使概率P(X=m)取得最大值的整数m的值（用N,k表示）； (3)记随机变量X的数学期望为E(X),方差为D(X); ()求E(X); ()证明：D(x)<N+3 、16 附：对服从超几何分布的离散型随机变量专，即P(5=k)= ChCN N,D(5)=n-A(N-n） 有E(5)= W2(N-1) 高三数学第4页（共4页） 武汉市2026届高三年级五月供题 数学试卷参考答案及评分标准 选择题： 题号 1 2 4 6 6 7 8 9 10 11 答案 B D 8 B ABD AC ACD 填空题： 12. -1 13.√10-√5 14.[-ln2,0] 解答题： 15.(13分)解： (1)由sin2A+cos2B+cos2C=2+sin Bsin C→sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C,结合正弦定 理得a2-b2-c2-bc,所以cosA=62+c2-a2、-1 2bc 2 又A∈(0，，所以A=2 …6分 2自Sx=m+5mP如晋-0-子+号：40m号得0-g年。 32 b+c 由1D知a2--c2-c,又a=25,所以12--e2-c,be=b+e-12s2,得 b+c≤4，当且仅当b=c时等号成立，又因为b+c>a=2√5，所以25<b+c≤4. 0-=2-6+e ,因为f)=x-12在(25,4上递增，所以 12 b+c b+c f(x)mx=f(4)=1,即线段AD长度的最大值为1. …13分 16.(15分)解： (1)f(x)=-a 3+g=x+a0x>0),令g)=-x2+ax-ac>0 △=a2-4a>0 则g(x)=0有两个不等正根x,x2,所以x1+x2=a>0,解得a>4,所以实数a的取值范围为(4，+o∞). xx2=a>0 …6分 (2)由(1)知a>4,x1,x2是8(x)=0的两根，所以x1+x2=a,xx2=4, 所以fx)+f0,)-3a=&-x+anx+g-5,+an名-3a=a3+x)-k+5) XX2 +aln(x x2)-3a alna-3a. 令h(a)=ana-3a(a>4),则h(a)=lna-2(a>4),当ae(4,e2)时，h(a)<0,当a∈(e2,+o)时， h(a)>0,所以h(a)在(4，e2)上递减，(e2,+o)上递增，所以h(a)mm=h(e2)=-e2，即 f(x)+f(x2)-3a的最小值为-e2. …15分 17.(15分)解： (1)在△ABC中，过点N作NQ∥AB交BC于点Q,连接QM,在三棱柱ABC-A,BC,中，因为AB ∥AB,所以NQ∥AM,所以A,N,Q,M四点共面，因为直线AN∥平面BCM,ANc平面 A,NQM,平面BCM∩平面ANQM=QM,所以AN∥QM,所以四边形ANQM是平行四边形，得 到O=AM=方4码=方B,所以N是线段4C的中点 …5分 (2)因为AB⊥平面BCC,B1,BC,BB,C平面BCC,B,所以AB⊥BC,AB⊥BB,又因BCC1B,为 正方形，BC⊥BB,故可以B为原点建立空间直角坐标系，如下图， 因为2AB=BB=2,所以B0,00),A1,0,0),A(1,2,0,B,(0,2,0,C0,02),C02,2),M(5,2,0,所 以BC=(02,2,BM=(分2,0).设平面BMC的-个法向最为元=k,八，则 nBC=2y+2z=0 -+2=0 取y=-1得n=(4,-1,1),又易知平面ABBA的法向量m=(0,0,1), m·n. 1√2 所以cos<m,n>= 32×16,故平面4BBA与平面BMG,夹角的余弦值为 .…10分 6 (3)设平面NBM的一个法向量为元=(G,片，二)，BM=(2,0),由中点坐标公式得N0,),则 Bx=(兮0，.所以 -丽=5+=0 ，取y=1,得乃=(4,1,2)， 1 元~BM=2x+2y=0 BC·n 2+42√21 又BC=(0,2,2),设点C,到平面NBM的距离为d,则d= √21 7 …15分 18.(17分)解： (1)圆心E(-3,0),半径r=4,由线段PF的中垂线与直线PE交于点Q知口P=|QF 当线段PF的垂直平分线与射线EP相交时，lQE-lOF=|QP+PE-lOF=|PE=4 当线段PF的垂直平分线与射线PE相交时，lQF-l2E=|QP-lQE=|PE=4 所以№F-QE=4<EF=6，,所以点9的轨迹「是以点E,F为焦点的双曲线，设其方程为 a>0.b>0,则2a=42c=6,解得a=2,c=3,所以62=C2 所以点Q的轨迹「方程为。上-1. …3分 45 (2)(i)设直线1：y=kc+m,A(x,y),B(x2,y2) y=kx+m 联立 15x2-4y2=20 →(4k2-5)x2+8kmx+4m2+20=0 -8km 4m2+20 则△=64k2m2-16(4k2-5m2+5)>0,且x+,=4k2-5x=4K2-5 所以k+k=乃-2+五-2_+m-2+,+m-2=2k+m-25+x) X1 X2 X2 X X2 =2k+0m-2),8m=0,解得m=-；, 4m2+20 所以直线1：y=在-多过定点0，-多…9分 ()设C(,D(xy),则直线AC:y=kx+2,其中k=当-2 y=kx+2 联立 5x42=20P6-4-16kx=36=0,则*36将k=22 x 5x3-4y=20代入得 -36 -36 -36x号 -36x3 -4-42宏466206=6奇® 少，=为2 2x,+2=20-上，所以4〔9%20-当，同理B9%20-当 3 4y3+1 4y+1'4y+1 4y4+1'4y4+1 设直线4B:y=2x+,则代入点A的坐标得20-兰=2×9x.+n,整理得 4%+14y3+1 18x3-(4n+1)y3+20-n=0,同理18x4-(4n+1)y4+20-n=0,所以直线CD: 18x-(4n+1)y+20-n=0,即18x-y+20-n(4y+1)=0 ◆0-0，解x=名=子所以直线C0过定点（名 …17分 4y+1=0 19.(17分)解： (1)设“社团‘星火社'至少参加一次博览会”为事件M,则PM)=1-1-冬. 3分 N (2)当X=时，同时收到两次邀请的社团数为2k-m,仅收到周一或仅收到周三邀请的社团数均为 m-k,则由乘法计数原理知事件{X=m}所含基本事件数为CC-mCW套=CCW*C 此时P(X=m）=CCCw达 (C)2 令PX=m≥PX=m-D CC*C≥9 CC (C%)2 (C)2 P(X=m)≥P(X=m+1) CCgC≥CC*C'解 (C)2 (C*)2 2k-医+≤m≤2k+1-医+，则当（化+y能被N+2整除时，PX=m在m=2k-+和 N+2 N+2 N+2 m=2k+1-化+处取得最大值：当K+1Y不能被N+2整除时，PX=m在m=2k (k+1)2 处 W+2 N+2 取得最大值， …10分 (3)记“某社团参加周一的博览会”为事件A,“某社团参加周三的博览会”为事件B,记S=A∩B, 则X=AUB=2k-S,由(2)知S满足超几何分布. (1)E(X)=2k-E(S)=2k-k.k=2k-k …13分 N N (i)D(X)=D(S)=k.k.N-k.N-k_k2(N-k) NN N-1 N2(N-1) y2 所以DX0=NN-≤NN-)16N-D16 …17分