河北保定市2025-2026学年高一下学期数学期末自编模拟试卷（二）

**基本信息** 这份高中数学期末试卷以复数、向量等基础内容为核心，融入立体几何动态探究、《易经》八卦概率等创新情境，实现基础巩固与文化传承、实际应用的结合，考查数学眼光、思维与语言的综合素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数运算、向量模、统计分位数|基础与文化结合，如第7题《易经》八卦概率考查数据意识| |多选|3/18|解三角形、立体几何折叠|分层设题，如第11题折叠问题考查空间观念| |填空|3/15|分层抽样、古典概型|注重实际应用，如第12题抽样问题体现数据观念| |解答|5/77|复数应用、向量运算、概率面试问题、三棱锥体积|综合探究，如第19题体积探究考查推理能力与创新意识|

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数满足，则（    ） A．2 B．4 C． D．8 2．已知向量，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知一组数据为：26，28，32，38，38，40，48，则这组数据的80%分位数为（ ） A．40 B．38 C．37 D．35 4．如图，在中，为边上靠近的三等分点，若为的中点，则（   ） A． B． C． D． 5．在中，内角的对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D．或 6.在各棱长均相等的直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知M是棱BB1的中点，N是棱AC的中点，则异面直线A1M与BN所成角的正切值为(　　) A.　　 　 B．1　　 　 C.　　 　 D. 7．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(表示一根阳线，表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为(　　) A. B. C. D. 8.在△ABC中，若，且满足，则△ABC的面积等于（    ） A． B．2 C． D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 10．在中，，，，则（   ） A． B．若是的中线，则 C．若是的高，则 D．若是的角平分线，则 11．如图，在正方形中，点分别是线段上的动点（不含端点），且与交于点．现将四边形沿直线折起，使平面平面，则（   ） A． B．与所成角为定值 C．为定值 D．存在点，使得直线与平面所成角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，用随机数法在该中学抽取容量为n的样本，若每人被抽到的可能性为20%，则n等于________． 13．若以连续掷两次均匀的正方体骰子分别得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x＋y＝5上的概率为________． 14．如图，圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，点是底面弧的两个三等分点，则异面直线与所成角的正切值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知复数z＝(m∈R，i是虚数单位)． (1)若z是纯虚数，求实数m的值； (2)设是z的共轭复数，复数－2z在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围． 16．(15分)在中，P为AB边上一点，且，，，且，的夹角为． (1)用，表示，； (2)求的值； (3)当与垂直时，求实数t的值． 17．（15分）在中，内角的对边分别为，若，且． (1)求角； (2)若点为线段上的一点，且，，求的面积． 18．(17分)科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek．小明、小华两位同学报名参加某公司拟开展的DeepSeek培训，培训前需要面试，面试时共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为，且小明、小华两人每道题能否答对相互独立．记“小明只回答2道题就结束面试”为事件，记“小华3道题都回答且通过面试”为事件． (1)求事件发生的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率． 19．（17分）如图，在三棱锥中，，，.    (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在一点E，使得二面角的正切值为?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)已知点为线段上另一动点，过点且与垂直的平面将三棱锥分成左右两部分，设，当为何值时，右侧部分的几何体的体积为？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】B 【解析】因为，则； 因为，故； 则；故． 2．【答案】D 【解析】，，则， 所以. 3．【答案】A 【解析】由于，所以这组数据的80%分位数为第6个数40. 故选：A. 4．【答案】B 【解析】因为为边上靠近的三等分点， 所以， 所以, 因为为的中点， 所以， 所以. 5．【答案】D 【解析】由正弦定理，可得， 因为，则，而，，所以或． 6.【答案】　C 【解析】如图，取AA1的中点P，连接PN，PB，则易知A1M∥PB，则∠PBN为异面直线A1M与BN所成的角(或其补角)．设三棱柱的棱长为2，则PN＝，PB＝，BN＝，所以PN2＋BN2＝PB2，所以∠PNB＝90°，在Rt△PBN中，tan∠PBN＝＝＝.故选C. 7．【答案】　C 【解析】　从八卦中任取一卦，样本点总数n＝8， 由题图知，一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线包含的样本点个数m＝3， ∴所求概率P＝.故选C. 8.【答案】C 【解析】由， 则由正弦定理有，即 则由余弦定理有， 又在△ABC中，，则， 又，即， 所以△ABC的面积为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．【答案】ABD 【解析】设 ， 对于A项，由，所以A项正确； 对于B项，， 得， ， 则，故B项正确； 对于C项，举反例：，，，但，故C项错误； 对于D项，若，由，得，故D项正确． 10．【答案】BD 【解析】对于A，由余弦定理，得，A错误； 对于B，由是的中线，得，则 ，B正确； 对于C，由是的高，得，则，C错误； 对于D，由是的角平分线，得，由， 得，则，D正确. 11． 【答案】AC 【解析】在正方形中，令，则， ，如图，连接，， 显然，而平面平面，平面平面，平面， 则平面，而平面， 于是，，故选项A正确； ，， 因为， 所以为定值，故C正确； 显然，即有，因为，则是AC与MN所成的角， ，当且仅当时取等号， 所以与所成角为定值，故B错误； ，平面平面，平面平面， 平面，则平面，所以是与平面所成的角， 从而，当时，， 化简得，方程无解， 故不存在点，使得直线与平面所成角为，故D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．【答案】　200 【解析】　由＝20%，解得n＝200. 13．【答案】　 【解析】　组成的点P共有36个，其中在直线x＋y＝5上的点有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共有4个，则点P在直线x＋y＝5上的概率为＝. 14．【答案】 【解析】设圆锥底面圆心为，连接， 为弧的两个三等分点，， 又，为等边三角形，， ， 即为异面直线与所成角， 平面，平面，， ，，， 即与所成角的正切值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）【解析】　z＝＝3－2m－(3＋2m)i. (1)因为z为纯虚数，所以 解得m＝. (2)因为是z的共轭复数， 所以＝3－2m＋(3＋2m)i， 所以－2z＝2m－3＋(9＋6m)i. 因为复数－2z在复平面内对应的点位于第二象限， 所以解得－<m<. 所以实数m的取值范围是. 16．(15分) 【解析】（1）由，则， 所以， 依题意可得． （2）结合（1）有，， 所以 ． （3）由与垂直，且结合（2）有， 则 ， 解得． 17．（15分）【解析】（1）依题意由正弦定理得， 即． 因为，所以． 所以，即． （2）因为， , 所以，两边平方， 得, 即 ， 可得， 又，所以代入方程，可解得． 所以的面积. 18．(17分) 【解析】（1）若事件发生，则小明前两题都答对或都答错， 所以． （2）若事件发生，则小华前两题答对一题，答错一题，第三题答对， 根据题意则小华3道题都回答且通过面试的概率为， 由题意可知，事件相互独立， 则． （3）记小明没有通过面试为事件， 即分前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误两种情况， 则小明没有通过面试的概率为， 可得小明通过面试的概率为． 记小华通过面试的事件为，由（2）得， 由题意可知，事件相互独立， 记小明、小华两人恰有一人通过面试的事件为， 则． 19．（17分）【解析】（1）证明：在中，， 所以， 过点作于点，连接，则， 因为，，为公共边， 所以，所以，且，又， 所以，所以， 又因为平面，，所以， 又因为平面，所以平面平面.   （2）取中点，由（1）知，，∴. 过作交于，过作交于，则，所以， 所以，为二面角的平面角， 设，由，得， 同理；， 由，得， 在中，，解得， 所以线段上存在一点E，使得二面角的正切值为.， （3）当时，平面截三棱锥所得截面为三角形，右部分的体积最大值为， 当时，平面截三棱锥所得截面为四边形， 设截面与棱的交点分别为，求得 ， 右侧部分的体积， 化简得， 当时，检验符合上方程， 又时，有且只有一个值符合，故， 学科网（北京）股份有限公司 $