河北定州市2025-2026学年高一下学期数学期末自编模拟试卷（一）

**基本信息** 本试卷为高中数学期末综合卷，涵盖复数、立体几何、解三角形等核心知识，解答题如景区距离测量（第17题）、几何体折叠问题（第18题），融合空间想象与实际应用，体现数学眼光与思维的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数虚部、向量分解、分层抽样、三棱台结构|基础题占比60%，如第3题分层抽样考查数据意识| |填空题|3题/15分|解三角形、独立事件概率、球与圆台相切|第14题结合圆台与球相切，考查空间几何直观| |解答题|5题/77分|复数纯虚数判定、三角形面积计算、仿射坐标系创新应用|第18题折叠问题综合空间推理与距离计算，第19题仿射坐标系体现创新思维，符合高考命题趋势|

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数 则的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，边，，点E是对角线BD上靠近点D的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 3．高一某班有56名学生，其中男生24人，女生32人.按性别进行分层，用分层随机抽样的方法，从该班学生中抽取14人参加跳绳比赛，如果样本按比例分配，则应抽取的男生人数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 4. 如图所示，在三棱台ABC－A1B1C1中，沿平面A1C1B截去三棱锥B1－A1C1B，则剩余的部分是(　　) A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱 5．某校根据学生情况将物理考试成绩进行赋分，目的是为了更好地对新高考改革中不同选科学生的考试成绩进行横向对比，经过对全校300名学生的成绩统计，可得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学物理成绩大于等于80分的人数为（    ） A．60 B．90 C．120 D．150 6．已知的内角的对边分别为，若，则中线的长为（ ） A． B． C． D． 7．O为平面上的定点，A，B，C是平面上不共线的三点，若(－)·(＋－2)＝0，则△ABC一定是(　　) A．以AB为底边的等腰三角形 B．以BC为底边的等腰三角形 C．以AB为斜边的直角三角形 D．以BC为斜边的直角三角形 8．如图，为圆锥的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥的体积的最大值为 C．的取值范围是 D．若，E为线段上的动点，则的最小值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．设复数在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A．若，则或 B．若点Z的坐标为，且是关于的方程的一个根，则 C．若，则的实部为 D．若，则点的集合所构成的图形的面积为 10．某影院连续天的观影人数（单位：百人）依次为，，，，，，，，，，则下列关于这天观影人数的结论正确的是（   ） A．众数为 B．平均数为 C．中位数为 D．第百分位数为 11．在中，，，分别为内角，，的对边，，，的面积为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝b，c2＝2b2(1－sin C)，则C＝________． 13．高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考试，已知这位同学在物理、化学、政治科目的考试中得A＋的概率分别为，，，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得2个A＋的概率是________． 14．已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，球与该圆台的上、下底面及其侧面都相切，则球的表面积为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知复数． (1)若复数是纯虚数，求实数的值； (2)若在复平面内，复数表示的点在第二象限，求实数的取值范围． 16．(15分)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足sin C＋cos C＝2. (1)求C的大小； (2)现给出三个条件：①a＝b；②B＝；③c＝2.试从中选择两个可以确定△ABC的条件，写出你的选择并以此为依据求△ABC的面积S.(只写出一种情况即可) 17．（15分）盘山是中国著名的5A级景区，它有五大主峰.以主峰挂月峰为中心，其余四峰（紫盖峰、自来峰、九华峰、舞剑峰）环绕，合称“五峰攒簇”.如图，工作人员要测量舞剑峰M，九华峰N之间的距离，P，G，M，N四点在同一铅垂平面内，飞机沿水平方向在P，G两点进行测量，途中在点P测得，，在点G测得，，测得． (1)求点P和点M之间的距离； (2)求两主峰M，N间的距离． 18．(17分)如图1所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，AC＝2BC＝3DE＝6.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2所示，M是线段A1D的中点，P是A1B上的点，EP∥平面A1CD. (1)求的值； (2)证明：平面BCM⊥平面A1BE； (3)求点P到平面BCM的距离． 19．（17分）如图，设Ox、Oy是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与Ox、Oy正方向同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； (3)如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，，，E、F分别为BD、BC中点，求的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．【答案】C 【解析】，故复数的虚部为. 2．【答案】C 【解析】在平行四边形中，边，，点是对角线上靠近点D的三等分点， 所以. 3．【答案】B 【解析】因为样本按比例分配，男女比例为， 所以应抽取的男生人数为. 4. 【答案】　B 【解析】　截去三棱锥B1－A1C1B，则剩余的部分B－ACC1A1是四棱锥． 5．【答案】B 【解析】由频率分布直方图的性质可得，， 解得. 这些同学物理成绩大于等于80分的人数为. 6．【答案】B 【解析】在中, 由余弦定理，， 则. 因点是的中点，则， 两边平方得 ， 故. 7．【答案】　B 【解析】　设BC的中点为D，连接OD，AD， ∵(－)·(＋－2)＝0， ∴·(2－2)＝0， ∴·2＝0，∴⊥， ∴△ABC的BC边上的中线也是高线．故△ABC一定是以BC为底边的等腰三角形． 8．【答案】D 【解析】在中，，则圆锥的母线长，半径， 对于A，圆锥的侧面积，A错误； 对于B，当时，的面积最大，此时， 则三棱锥体积的最大值为，B错误； 对于C，在中，，又，则， 当点与点重合时，为最小角，当点与点重合时，达到最大值， 又与不重合，则，又，得，C错误； 对于D，由，得，又， 则为等边三角形，则， 将以为轴旋转到与共面，得到， 则为等边三角形，，如图知， 由， 得， 所以，D正确. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．【答案】BCD 【解析】对于A，若，则，故A错误； 对于B，点Z的坐标为，则， 因为是关于的方程的一个根， 所以， 整理得，所以，解得， 所以，故B正确； 对于C，若，则， 所以实部为，故C正确； 对于D，因为，所以点的轨迹为圆心为，半径分别为3和2围成的圆环， 所以点的集合所构成的图形的面积为，故D正确． 10．【答案】BC 【解析】这10个数从小到大排列为：80，90，120，120，130，160，160，160，180，200， 众数为160， 平均数为， 中位数为， ，因此第百分位数为第8个数160， 故选：BC. 11．【答案】AD 【解析】因为，所以，根据正弦定理边角互化得， 因为，，所以，即， 所以，即. 由余弦定理可知，，故， 若，则，注意到， 所以，（两者同负会有两个钝角，不成立），即，， 因为，，都是锐角， 所以， 于是，这和相矛盾， 故不成立，所以． 所以，，， 所以，故A选项正确； ，即， 所以或，即或， 当时，，； 当时，，，故B选项错误； 因为的面积为， 所以，当，时，，，， 解得，，； 当，时，，，， 解得，，， 故C选项错误，D选项正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．【答案】　 【解析】∵c2＝2b2(1－sin C)，b≠0， ∴sin C＝1－. 又∵a＝b，由余弦定理可得， cos C＝＝1－＝sin C， ∴tan C＝1. ∵C∈(0，π)，∴C＝. 13．【答案】　 【解析】　设这位同学在物理、化学、政治科目的考试中得A＋的事件分别为A，B，C， 则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝， 这三门科目考试成绩的结果互不影响， 则这位考生至少得2个A＋的概率 P＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＋P(ABC)＝××＋××＋××＋××＝. 14．【答案】 【解析】如图所示，作出圆台和内切球的组合体的轴截面，圆台的母线与圆的切点为， 因为圆台的上底面半径为，下底面半径为， 根据圆的切线的性质，可得， 设圆台的内切球的半径为，可得 可得圆台的母线长为， 又由，可得，即， 所以圆台的内切球的表面积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．【解析】（1）因为复数是纯虚数， 所以且， 解得或； 所以实数的值为2或4； （2）因为复数表示的点在第二象限， 所以，    即，解得， 所以实数的取值范围为． 16．【解析】(1)依题意sin C＋cos C＝2＝2sin＝2， 即sin＝1. ∵0<C<π，∴<C＋<， ∴C＋＝，∴C＝. (2)选条件①和③， 由余弦定理a2＋b2－2abcos C＝c2， 有3b2＋b2－2b2·＝4，则b＝2，a＝2， 所以S＝absin C＝×2×2×＝. 选条件②和③， 由正弦定理＝，得b＝c·＝2. ∵A＋B＋C＝π， ∴sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝， ∴S＝bcsin A＝×2×2×＝＋1. 若选条件①和②，由a＝b得sin A＝sin B＝×＝>1，不成立，这样的三角形不存在． 17．【解析】（1）根据题意得，，， 所以， 在△PMG中，根据正弦定理， 得，解得PM，所以点P和点M之间的距离为. （2）在中，， ，所以 由正弦定理得，解得， 在中，， 由余弦定理得 ，解得. 综上所述，两主峰M、N之间的距离为． 18．【解析】　(1)如图，连接PD，设平面PED交棱A1C于点N，连接PN，DN， 由DE∥BC，BC⊂平面A1BC，DE⊄平面A1BC 则DE∥平面A1BC， 而平面PED∩平面A1BC＝PN，DE⊂平面PED，于是PN∥DE， 又EP∥平面A1CD，平面PED∩平面A1CD＝DN，EP⊂平面PED，于是EP∥DN， 因此四边形DEPN是平行四边形，PN＝DE，而BC＝3，DE＝2，PN∥BC， 所以＝＝. (2)证明：在题图1的Rt△ABC中，由DE∥BC，AC＝2BC＝3DE＝6，得AD＝4，CD＝2， 于是折叠后A1D＝4，CD＝2，而A1C⊥CD，则A1C＝＝2，∠CA1D＝30°， 又M是线段A1D的中点，则MC＝MA1，∠A1CM＝∠CA1D＝30°，由(1)得＝＝，则A1N＝，CN＝，tan∠CND＝＝，则有∠CND＝60°，∠CND＋∠NCM＝90°，因此DN⊥CM，显然DE⊥CD，DE⊥A1D，CD∩A1D＝D，CD，A1D⊂平面A1CD，则DE⊥平面A1CD，而DE∥BC，因此BC⊥平面A1CD，又DN⊂平面A1CD，则DN⊥BC， 又BC∩CM＝C，BC，CM⊂平面BCM，从而DN⊥平面BCM，又EP∥DN， 则EP⊥平面BCM，而EP⊂平面A1BE， 所以平面BCM⊥平面A1BE. (3)由(1)知PN∥BC，又BC⊂平面BCM，PN⊄平面BCM，则PN∥平面BCM， 即点P到平面BCM的距离等于点N到平面BCM的距离h＝CNsin 30°＝×＝， 所以点P到平面BCM的距离为. 19．【解析】（1）由题意可知，、的夹角为， ∴ ∵，则， ∴ ∴. （2）由，，得：，， ∴ 则， ∵与的夹角为， ∴ 解得. （3）依题意设、，且，， ∵为的中点， ∴ ∵为中点，同理可得： ∴ 由题意可知，，， ∴ 在中依据余弦定理得： 代入上式得： 在中，由正弦定理： 设，则，且， ∴， ，其中为锐角，且， ∵，则， 故当时，取最大值， ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $