2026年云南中考数学训练——26、27压轴题（5月集）

**基本信息** 汇编26年云南多地中考数学压轴题（26、27题），涵盖二次函数与圆的综合应用，适配三轮冲刺实战训练。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|30道（压轴题）|二次函数解析式及最值、圆的切线证明及线段关系探究|分层设计（如几何题含角度计算、切线证明、存在性探究三问），贴合中考命题趋势（整合云南昆明等多地模考题）|

26年中考数学一一26、27题(5月集)》 1.（2026云南昆明·二模)在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2+nx+m-4的对称轴是直线 x=1. (1)若抛物线经过点(2，-3)，求该抛物线的解析式： (2)抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1,为2，满足|x-x2=2V2.当t≤x≤3时，y的 最大值与最小值的差为2，求t的值 2.(2026云南昆明·二模)如图，AB为O0的直径，DA和O0相交于点F,AC平分 ∠DAB,点C在OO上，且CD⊥DA,AC交BF于点P. D F (I)若LCAB=33°，求LCBF的度数： (2)证明：CD是O0的切线： ③已知AB=4F,是香存在m使得BC=mFP.CD成立？若存在，求出m的值并证明： 若不存在，请说明理由 1 3.(2026云南昆明·官渡)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bxa≠0)经过点(1，-2a. (1)用含a的式子表示b: (2)过点P(m,0)作x轴的垂线，交抛物线于点E,交直线y=ax于点F.己知点P从点(0,0)运 动到(4a,0)的过程中，EF的长随OP长的增大而增大，求a的取值范围. 4.(2026云南昆明·官渡)如图，ABC内接于00,0D⊥BC于点E与00交于点D, 连接AD延长至F,使∠DBF=∠BAD,AD与BC交于点G,连接DC. (I)若∠CBD=35°，求∠BAD的度数； (2)求证：BF是O0的切线： (3)已知∠BDC=120°，是否存在常数a,b,使等式0+b= AG AC AB 成立？若存在，请直接写 出一个a的值和一个b的值，并证明等式a+b= AG AC AB 成立；若不存在，请说明理由. 4 G D 2 5.(2026云南昆明·模拟预测)己知a是常数，函数y=(x+2)(x+a2-5a-2)+3,记 T=a2-33a+a+1 a (1)若x=-2,a=1,求y的值： (2)若x=3a+1,y=3,比较T与30的大小. 6.(2026云南昆明·模拟预测)如图，已知，正方形ABCD内接于以对角线BD为直径的 OO,点E在劣弧AB上，连接DE并延长至点F,使得∠FBE=∠BDE,连接EA,连接 EC. D B (I)求∠AED的度数； (2)求证：BF是⊙0的切线： (3)探究，发现与证明：是否存在常数a和b,使等式CE2-DE2=aBE·DE+bAE.CE成立？ 若存在，请直接写出一个α的值和一个b的值，并证明你写出的a的值和b的值，使等式 CE2-DE2=aBE·DE+bAE·CE成立；若不存在，请说明理由. 7.(25-26九年级下云南期中)己知二次函数y=x2+bx-10图象的对称轴是x=-3 (1)求二次函数的解析式： ②设直线=4红+1与抛物线y=产+x-10交点的横坐标为m.求代数式(m+4+2刃 (m+4)3 的值. 8.(25-26九年级下·云南期中)如图，O0是ABC的外接圆，AB为O0的直径，D为劣 弧BC的中点，连接AD,与BC交于点E,并过点D作BC的平行线分别交AB,AC的延 长线与点F,P E B (I)求∠P的度数； (2)求证：PF是O0的切线： ③)看一看，想一想，证一证，存在一个常数k,使得DF,D4=k,4CDE.以下三个结论， AF CE k>1,k=1,k<1,你认为哪个正确？请说明理由. 9.(2026云南昆明·二模)在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线y=ax2-4x+3a≠0)上 分别有两点M(x,y),N(x+2,y2). (1)若当x=1时，y=0，,求a的值： (②)若当0<x<2时，恒有>y2,求☑的取值范围. 10.(2026云南昆明二模)如图，AB为⊙0的直径，弦CD⊥AB于点H,点G在⊙0上， 过点G作直线EF,交CD延长线于点E,交AB的延长线于点F,连接AG交CD于K,且 KE =GE. (I)若∠CAB=55°，求∠BAD的度数； (2)求证：直线EF与00相切； (3)探究，发现与证明： 若4CEF,K=号KG,是否存在常数a,使等式AG=aHC,FG成立？若行在，请直接 写出一个a的值，并证明你写出的a的值，使等式AG=aHC·FG成立；若不存在，请说明 理由. B E G 5 11.(2026云南昆明二模)己知抛物线y=x-1)x-a2+1(a为常数，且a≤0). (1)当a=0时，求该抛物线的解析式： ②若指物线过点(a,0,设T=4r,,5，请判断T>0,7=0,T<0哪个正确？并说 a6-11-2a 明理由， 12.(2026云南昆明·二模)如图，四边形ABCD内接于00，AB为⊙0的直径，过点C的 直线交AB的延长线于点E,且LBCE+∠DAC=LDBA,点D为ACB的中点. (I)求∠DAB的度数； (2)求证：直线CE是O0的切线； (3)探究、发现与证明：是否存在常数a,使得等式AB2-2AC·BC=aCD2成立？若存在，请 求出a的值；若不存在，请说明理由. D A 6 13.(2026云南德宏.一模)己知二次函数y=二ax2+ax+4(a为常数，a≠0) 2 (1)求抛物线y=二ax2+ax+4的对称轴； 1 (2)二次函数y=二ax2+ax+4(a为常数，a≠0)的图象与一次函数y=x+3的图象有唯一 公共点，设M=2a-7a2-a+4+12,求M的值。 a2+1 14.(2026云南德宏一模)如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，0是AB边上的点，且不与 A,B重合，以O为圆心，OA长为半径的圆交AB,BC,AC于点D,E,F,点E是劣 弧DF的中点，连接AE F E E G B D B 图1 图2 (I)【探索与发现】AE (填“是”或不是”)∠BAC的角平分线； (2)【猜想与证明】BC是O0的切线： ③)【实践与应用】如图2，连接0F交AE于点G,已知AC=-3AB,是否存在常数K,使 C=k?若存在，求k的值：若不存在，请说明理由. BD 7 15.(2026云南玉溪一模)已知抛物线y=x2+r+2在直线x=5的左侧时，y的值随x的 值的塔大而减小，在直线x=的右侧时，y的值随x的值的塔大而塔大，m是抛物线 2 y=r2+bx+2与x轴交点的横坐标，记T=m-3m+2m3-8m2-10m+16 20 (1)求抛物线的解析式： (2)比较T和17的大小. 16.(2026云南玉溪一模)如图，在AABC中，AB=AC,⊙O是△ABC的外接圆.过点A 作AD∥BC,交LABC的平分线BD于点D,BD交⊙O于点E,连接AE并延长，交BC的 延长线于点F. (I)若AB=8,求线段AD的长； (2)求证：AD是⊙O的切线； (③)若AB=a,ME=DE,cosD=手，用含a的代数式表示线段BC的长. A D 8 17.(2026云南·模拟预测)已知关于x的二次函数y=ax2-2ax+3的图象过点A1,2). (1)求二次函数的解析式： (2)若点P(m,M)和Q(n,N)都在该二次函数的图象上，且m-m=2,比较M+N与6的大小 关系 18.(2026云南模拟预测)如图，ABC是⊙0的内接等腰三角形，AB=AC,点E是劣 弧AC上的动点（与点A,点C均不重合），连接BE,CE,连接AE并延长交BC的延长线 于点D,过点A作直线AM∥BC. (I)若LABC=52°，求∠AEC的度数； (2)求证：AM是O0的切线； (3)探究、发现与证明：是否存在常数m和n,使等式DC·DB=m·AD2+n·AC2成立？若存 在，请直接写出m和n的值，并证明DC·DB=m·AD2+n·AC2成立；若不存在，请说明理 由. M O 9 19.(2026云南红河一模)如图，⊙0是四边形ABCD的外接圆，AD为00的直径，延长 BC至点E,连接DEAC,BD,使得BE=BD,DE=CD. (I)求∠ABD的度数： (2)求证：DE是O0的切线； (3)探究：若BD=a,AB=b(a>b),试间AD-CD 是否为定值？如果是，请求出这个定值， AC 并用含a,b的代数式表示：如果不是，请说明理由. 20.(2026云南红河一模)已知抛物线y=ax2-4x(a≠0)的对称轴是直线x=2. (1)求a的值； (2)抛物线过点(n,-2),当自变量x的取值范围是m≤x≤m+4时，y的最大值与最小值的差 记为T,且T=n4-8n3+20n2-16n+12,求m的值. 9 21.(2026云南临沧二模)己知抛物线y=x2+bx+c的最低点的坐标是-2，-3)，设r是该 抛物线与x轴交点的横坐标. (1)求b和c的值； 2记T=产+m+1，是否存在正整数m,使得T为整数，若存在，请求出m的值，若 3r3+mr2+3r 不存在，请说明理由. 22.(2026云南临沧·二模)如图，ABC内接于O0,∠ACB的平分线交⊙0于点D,交 AB于点F,延长CB至点E,使CFCE=CB·CD,连接DE,P是劣弧AB上异于A,B的 任意一点，连接AP和BP. 0。 (I)求证：D是AB的中点； (2)求证：直线DE与⊙0相切； (3)探究，发现与证明： 点D作DH上BP于点H,P+BP是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定 请说明理由， 11 23.(2026云南曲靖一模)我们约定：若函数y图象上的点的横坐标和纵坐标的k倍均在 函数图象上，则称函数y为函数y的k函数”. (1)若k=2时，求函数y=x2的“k函数”的解析式： ②已知函数=任-的长函数为函数为x-4,在45x<5时，对任意实数9，不 等式(x-k)≥-q2-s-2q)x+5恒成立，求实数s的取值范围. 24.(2026云南曲靖一模)如图，过⊙0上的动点D作⊙0的切线AD,在⊙0上取点B(异 于点D),使得AB=AD,弦CD∥AB,连接AC交OO于点F,连接DF并延长，交AB于 点E,连接BC. B D (1)求证：AB是O0的切线； (②记aAEF,△ADF:áDCF的面积分别为S,S,S,当S+S,=S时，求华的值： (3)设OO的半径为R,当DE∥CB时，求四边形BCDE的面积.（用含R的式子表示） 12 25.(2025湖南长沙中考真题)如图1，点O是以AB为直径的半圆的圆心，AD与BC均 为该半圆的切线，C,D均为直径AB上方的动点，连接CD,且始终满足CD=AD+BC, D D 0 图1 图2 (1)求证：CD与该半圆相切： 22 b (2)当半径r=√2时，令AD=a,BC=b,m 2+a2+b'n= 比较m与n 1+a1+b 的大小，并说明理由； (3)在(1)的条件下，如图2，当半径r=1时，若点E为CD与该半圆的切点，AC与BD交 4 于点G,连接EG并延长交AB于点F,连接AE,BE,令EG=X,AEBE+FG 1 十 +CD=y ,求y关于x的函数解析式.（不考虑自变量x的取值范围） 26.(2026云南昆明一模)在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+m(m为常数)与y 轴的交点在原点上方，且到原点的距离为5. (1)求此抛物线的解析式： (②)记抛物线y=产+mx+m与x轴交点的横坐标为n,求(n+3)P+48 (n+3的值. 13 27.(2026云南昆明一模)如图，在ABC中，AB=4,以AB为直径的O0过线段AC的 中点D,连接BD,过点D作DE⊥BC于点E.若点P是OO上与点D位于AB异侧的一个 动点（∠PAB>∠ABD),连接AP,BP,过点A作AM∥BD交BP于点M,AN∥BP, 交BD于点N. A M (I)BC的长度是 (2)求证：直线DE是O0的切线； (3)请探究在点P的运动过程中，BM·BP+BN·BD的值是否改变？若不变，请求出此值；若 改变，请说明理由。 28.(2026云南保山二模)已知抛物线y=ar2-(a+1x+3a+凸a≠0)的顶点在x轴上. 4a (1)求抛物线的解析式： 2设t是直线y=3与抛物线y=a2-(a+1x+3a+l交点的横坐标，记 4a 5t T=+2r+-72r-20+8r+16'比较T与1的大小. 14 29.(2026云南保山二模)如图，AB是⊙0的直径，E,G是⊙0上异于A,B的点，连 接EG交AB于点F,点C在OO外，BC⊥AB,且CE=BC,延长CE交BA的延长线于点 D,∠DEF+∠DBE=90°，记BDE的面积为S,△EBG的面积为S2,△BFG的面积为S. (I)若LDEG=62°，求LBGE的度数； (2)求证：直线CD是⊙0的切线： S-n G (3)看一看，想一想，证一证：是否存在常数m,n,使得等式 sS-"DE =1成立？若 存在，请直接写出一个m和一个的值，并证明你写出的m的值和的值，使等式 S BG m =1成立；若不存在，请说明理由. E D 0 B A F 15 30.(2025云南昆明·昆三)如图，在ABC中AB=AC,以AB为直径的O0交BC于点D, M为4C上一点，∠CDM=∠B4C,点E是∠ABD内一点，连接BE,延长ED至R,使 ED=DF,连接AF 备用图 (1)若BC=10,求CD的长： (2)求证：DM为O0的切线： (③)若AB2-BE2=AF?,设BE的延长线交AF于点G,请判断点G在O0内、在⊙0上、在 ⊙0外，哪个正确？并说明理由， 16 参考答案 1.(1)y=x2-2x-3 (2)1+V5 【详解】(1)解：由题意可得：抛物线对称轴公式为x=- 2a :-=l,即n=-2m, 2m :抛物线解析式可化为y=mx2-2mx+m-4, :抛物线经过点(2，-3)， :将x=2,y=-3代入解析式，得 4m-4m+m-4=-3, 解得m=1, :该抛物线的解析式为y=x2-2x-3; (2):n=-2m, :抛物线解析式为y=mx2-2mx+m-4=m(x-1)2-4, :抛物线与x轴的两个交点的横坐标为X,女2， ·X,x2是一元二次方程的两个实数根， m-4 .x1+x2=2xx2= m x1-2=2V2 x-+xj-4=2：-4×m-4=22 m 解得m=2(经检验符合)， ：y=2(x-12-4, :m=2>0, ·抛物线开口向上，对称轴为直线x=1,顶点坐标为1，-4)，函数最小值为-4， 当x=3时，y=2(3-12-4=4, :当1≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为2， t>1时，符合题意，且x=t时，y=2, ·2(t-1)2-4=2, 解得t=1+√5（负数舍去）， 故t的值为1+√5 2.(1)∠CBF的度数33°； (2)证明见解析； (3)存在，m的值是2.5，证明见解析. 【详解】(1)解：：AC平分∠DAB, ∠DAC=∠BAC=33°， :∠CBF=LDAC, .∠CBF=33°. (2)解：连接OC,OC与交BF交于点E,如图， D :AC平分∠DAB, :∠DAC=∠BAC, .BC=FC, :OC L BF,BE-EF=LBF, :AB为⊙0的直径， ∠AFB=90°， :CD⊥DA, :四边形EFDC为矩形， .0CD=90°， 0C⊥CD, :0C为00的半径， CD是O0的切线： (3)解：存在m使得BC2=mFP.CD成立，m的值为2.5， 过点P作PH⊥AB于点H,如图， D HO B 由(2)知：∠AFB=90°， PF⊥AD, :AC平分∠DAB,PH⊥AB, .PF PH. :4B=5 AF2’ :设AB=5k, AF=2k, :AH=AF=2k, :AB为O0的直径， .∠ACB=90°， :CD⊥DA, :∠D=∠ACB=90°， ZDAC=ZFBC :△DACm△CBP, ..CD_CP AC BP .AC.CP=CD.BP :AC平分∠DAB, ∠DAC=∠BAC, .BC=FC, .∠CBP=∠CAB, :∠BCP=∠ACB, ∴.△BCP∽△ACB,， 3 BC_AC CP BC' ∴.BC2=CP.AC, .BC2=CD.BP, 在RtaAFP和RtAAHP中，PF=PH,AP=AP, ∴.Rt△AFP≌Rt△AHP（HL), ∴S△HFp=SA4HP,AH=AF=2k, FPSAL =SAWL= 1 AH.PH AH 2k 2 BPS△APBS△MPB AB.PH AB 5k5' 2 PB=5FP. 2 :.BC:=5FP-CD, .m=2.5. 3.(1) b=-3a (2) a<0或0<a≤ 【详解】(1)解：将点(1，-2a)代入抛物线y=ax2+bx,得： -2a=a12+b.1, 整理得b=-3a; (2)解：由(1)得抛物线解析式为y=ax2-3ax, :过点P(m,O)作x轴垂线， .E(m,am2-3am),F(m,am), .EF=am-(am2-3am)=-am2+4am曰am(4-m)川， 分两种情况讨论： 当a>0时， 令ax=ax2-3ax,则x1=0,x2=4, 当0<x<4时，直线在抛物线的上方， 4 :点P从(0,0)运动到(4a,0),可得0≤m≤4a,且EF的长随OP长的增大而增大， 故此时am(4-m)≥0， .EF =-am2+4am ·抛物线的开口向下，对称轴为m=一 40=2, -2a ∴.在对称轴的左侧，EF随m(即OP)的增大而增大， 1 :4a≤2，解得a≤2' :.0<as2' 1 当a<0时，点P从(0,0)运动到(4a,0),可得4a≤m≤0，此时am(4-m)≥0， .EF=-am2+4am,-a>0, :抛物线的开口向上，对称轴为直线m=-4如=2， -2a .在对称轴的左侧，EF随的增大而减小， .4a≤m≤0<2，EF随m增大而减小， :点P运动过程中，OP增大对应m减小，故EF随m减小而增大，符合要求， 所有a<0都满足条件； 综上，a的取值范围是a<0或0<a 2 4.(1)∠BAD=35 (2)见解析 (3)存在，a=V3,b=-1 【详解】(1)解：：∠CBD=35°， ∠CAD=∠CBD=35°， :OD⊥BC于点E, ·BD=CD, ∠BAD=∠CAD=35°. (2)证明：连接OB, .0B=0D, ·LODB=∠DBO BD=CD 5 :∠BAD=∠DBC, 又：∠DBF=∠BAD, .LDBF=∠DBC; :OD⊥BC, .∠ODB+∠DBC=90°， .∠OBD+∠DBF=90°， ∠0BF=90°， OB⊥BF, .BF是OO的切线； (3)解：存在常数a,b,使等式0+b=成立，此时，a=5,6=-1, AG AC AB 证明：OD⊥BC, OD垂直平分BC, ·BD=CD, :DB=DC, .∠BD0=∠CD0, :∠BDC=120°， .∠BD0=∠CD0=60°， .∠DBC=90°-60°=30°， .∠BAD=∠CAD=30°， .∠BAC=60°， 分别过B点向AC、AD作垂线，垂足分别为H、M,再过C点向AD作垂线，垂足记为N, BH=AB-sin∠BAC=4B.sin60°=5 AB, 2 6 :SA-4CB=)4C54B=5AC4B. 2 2 2 4 :∠BAD=∠CAD=30°， BM-B CN-C. Swc-Sm +Smco -AG.BM+GCN-AG.AB+GAC=GAB+GAC 2 2 2 2 4 4 5404844B+46AC 4 √5AC,AB=AG·AB+AG·AC, 移项得√5AC,AB-AG·AB=AG·AC, 两边同时除以AC·AG·AB, 5+11 AG AC AB :存在常数a,b,当a=5,b=-1时，等式0+么=成立. AG AC-AB 5.(1)3 (2)当a=-1时，T<30;当a2-2a-1=0时，T>30. 【详解】(1)解：当x=-2,a=1时，y=(-2+2)-2+12-5-2)+3=3: (2)解：当x=3a+1,y=3时， (3a+1+23a+1+a2-5a-2+3=3, 即(3a+3)a2-2a-1+3=3, 即3(a+10(a2-2a-1)=0, a+1=0或a2-2a-1=0, .a=-1或a2-2a-1=0, 当a-1时，7-02-3a+a+1-l-3x-+-+11-3+1+1.-30. a* (-1)4 1 此时T<30; 7=42-33a+at=a-33a++i a" 当a2-2a-1=0时，整理得a2=2a+1, 4-1-2, 6 0 。+34, 六0=34-a， 1 a4=a2）=(2a+1)2=4a2+4a+1=42a+l+4a+1=12a+5, a3=(a2=(12a+5=144a2+120a+25=1442a+1）+120a+25=408a+169, E=34-112a+5)=29-12a T=408a+169-3312a+5)+29-12a+1 =408a-396a-12a+(169-165+1+29=34,T>30, .当a=-1时，T<30;当a2-2a-1=0时，T>30. 6.(1)45°； (2)见解析； (3)存在，当a=1,b=-1时，CE2-DE2=BE·DE-AE.CE成立，理由见解析 【详解】(1)解：：正方形ABCD内接于以BD为直径的OO, ∠BAD=90°，∠ABD=45°， 由题意可得，点A,B,E,D都在O0上，AD=AD, .∠AED=∠ABD=45°： (2)证明：：BD是OO的直径， .∠BED=90°， :LBDE+∠DBE=90°， :∠FBE=∠BDE, .∠FBE+∠DBE=90°，即∠DBF=90°， 又：OB为半径， BF是OO的切线； (3)解：存在，当a=1,b=-1时，CE2-DE2=BE·DE-AECE成立，理由如下： 作BG⊥CE, 由题意可得，LBGC=LBED=90°，∠BCG=∠BDE, .∠EBD=∠GBC, .∠EBG=∠DBC=45°， :△BGE为等腰直角三角形， :2EG2=BE2,BE =2EG, :∠BGC=∠BED=90°，∠BCG=LBDE, .△BCG∽△BED, :.BG BC_CG ·BE BD DE2 :DE=2CG,DE2 =2CG2, CE=CG+EG, CE=(CG+EG)=CG+2CG-EG+EG+BBE DE 2 作AM⊥DE,连接AC,如下图： 刀 同理可证，△AME为等腰直角三角形，△ADM∽△ACE, 得到AE=√2AM,CE=√2DM, DE=(DM+ME)=1AE+1CE+AE.CE, 由题意可得，AE2+CE2=AC2,BD2=DE2+BE2,AC=BD, 2 9 :CE2-DE2 BE.DE-AE.CE. 7.(1)y=x2+3x-10 (2)648 【详解】1)解：：二次函数y=2+bx-10图象的对称轴是x=-3 b3 -2x12 b=3, .y=x2+3x-10; (2)解：令x2+3x-10=4r+7, .x2-x-17=0, :直线y=4x+7与抛物线y=x2+3x-10交点的横坐标为m, .m2-m-17=0, ∴.m2+8m+16-9m-36+3=0, .（m+4)2-9m+4+3=0, :(m+4)-9+3=0, m+4 (m+4+3 =9, m+4 (m+4到+3了 m+4=(m+42+9 (m+4+6=81, :(m+42+ 9 =75， (m+4)2 +2会=m+AtAn4)+,94m+4是495y6s (m+4)+27 m+4 8.(1)90° (2)见解析 (3)k=1正确，见解析 【详解】(1)解：：AB为⊙0的直径， LACB=90°， BC∥FP, 10 .∠P=∠ACB=90°： (2)证明：如图，连接OD交BC于点M, D为劣弧BC的中点， .CD=BD, :.OD⊥BC, L0MC=90°. :BC∥PF, :∠0DP=∠0MC=90°， OD⊥PF. :0D是00的半径， PF是OO的切线； (3)(3)解：k=1正确.理由如下： 如图，连接BD D E :DF与OO相切于点D, OD⊥DF, .∠ODF=∠ODB+∠BDF=90°. :AB为⊙O的直径， ∠ADB=90°， .∠0DB+∠AD0=90°， :LADO=∠BDF. 0D=0A, :LAD0=∠OAD, 11 :∠OAD=∠BDF. :∠F=∠F, ∴△FBD∽△FDA, .DF DB AF DA' DF·DA=AF.DB. CD=CD' :ZCAE ZDBE 又：∠CEA=∠DEB, △CEA∽△DEB, .AC_CE DB DE AC·DE=DB.CE, 由DF.DA=k.4CDE,得k=DF.D1.CE AF CE AFAC·DE .k=DF.DA.CE AF.DB CE AF AC.DE AF DB.CE =1, :k=1,使得DFD1=k.4C-DE AF CE 成立 9.(1)a=1 ☒as号且a0 【详解】(1)解：：抛物线y=ax2-4x+3(a≠0)， 又：当x=1时，y=0, 即：0=a-4+3, 解得：a=1 (2)解：：点M(x,),N(x,+2,y,)都在抛物线y=ax2-4x+3a≠0)上， 片=ax-4x+3,2=a(x+2)2-4(x+2)+3=ax+4a-4)x+4a-5, 令>》2， 即：ax2-4x1+3>ax2+4a-4x1+4a-5,化简得：ax<2-a, 2-a ①当a>0时，x< a 12 :当0<x<2时，恒有乃>y2, :2-“≥2，解得：a 2 a 2 :.0<a≤ 2-a ②当a<0时，x> a :当0<x<2时，恒有y>2, :2-0≤0，解得：a≤2， a 因为a<0, a<0; 踪上所述：a≤且a≠0 10.(1)55 (2)见解析 (3)存在，a=6,见解析 【详解】(1)解：(1)AB为⊙0的直径，弦CD1AB, :弧BC与弧BD相等， LBAD=LCAB=55°； (2)解：如图1，连接0G, KE =GE B G 图1 :Z GKE ZKGE :0A=0G, .∠0AG=∠0GA, :AB⊥CD, .∠AHK=90°， ∠0AG+∠HKA=90°， :∠HKA=∠GKE, 13 LHKA=∠KGE, :∠KGE+∠0GA=∠0AG+∠HKA=90°， 即：∠0GE=90°， .OG⊥EF, 0G是00的半径， .EF是OO的切线： (3)解：存在，a=6,理由如下： :AC∥EF, .LCAF=∠OFG, 由(1)得LAHC=LAHK=90°， 由(2)得L0GF=90 即LAHC=∠0GF=90° :△AHC∽△FG0, AH HC FG GO 即：=IC·FGHC·FG2IC·FG① AB 如图2，连接BG, :AB为OO的直径， E G 图2 ∠AGB=90°， :∠BAG=∠HAK,∠AGB=∠AHK=90° △AGB∽△AHK, AG AB AHAK’ :AH=AG·AK AB 1 AK-KG. 14 AK-IAG, 3 AG.IAG 即AH=4G,AK 3 AG2② AB AB 34B 结合①②可得： 2HC.FG AG2 AB 3AB .AG=6HC·FG, AG2=aHC.FG, .a=6. 11.(1)该抛物线的解析式为y=x2-1 (2)T=0正确，理由见解析 【详解】(1)解：当a=0时，y=(x-1(x-0+1=(x-(x+ :该抛物线的解析式为y=x2-1; (2)解：T=0,理由如下： 把点(a,0)代入y=(x-1)(x-a2+1得，(a-1a-a2+1=0 a-1=0或a-a2+1=0, a≤0， a-1=0舍去 .a-a2+1=0 解得a=1-5 2 (舍正) 由a-a2+1=0可得a2-1=a, a-1=1, a a君 +2=l (-e)- 15 1 1 .a3+-a- a 33 1 -=3+a a 所以7=4aV5 a6-11-2a 4 5 a3 1-5 a 1-2 2 =45 45 =0. 12.(1)∠DAB=45° (2)证明见解析 (3)存在，当a=2时，等式AB2-2AC.BC=2CD2成立 (3)当a=2时，等式AB2-2ACBC=2CD2,根据勾股定理和完全平方公式可得： AB2-2ACBC=AC2+BC2-2ACBC =(AC-BC). 解法一：在AC上截取CF=CB,可证aABF∽aDBC,根据相似三角形的性质可证 (AC-BC)2=2DC2,从而可证AB2-2ACBC=2CD2成立； 解法二：过点D作DG⊥DC交AC于点G,可证△ADG≌△BDC,根据全等三角形的性质可 证CG=√2CD,所以可得(AC-BC)2=2DC2,从而可证AB2-2ACBC=2CD2成立； 解法三：过点D作DG⊥DC交BC延长线于点G,可证△ADC≌△BDG,根据全等三角形的 性质可证(AC-BC)2=2DC2,从而可证AB2-2ACBC=2CD2成立. 【详解】(1)解：AB为⊙0的直径， :∠BDA=∠BCA=90°， “点D为ACB的中点， .AD=BD' ∠DAB=∠DBA=45°， 6 (2)证明：如下图所示，连接0C, :∠BCE+∠DAC=∠DBA, .∠BCE+∠DAC=∠DAB,∠CAB+∠DAC=∠DAB, :ZBCE ZCAB, :0A=0C, :∠CAB=∠OCA. :ZBCE Z0CA :∠0CA+∠0CB=90°， ∠BCE+∠0CB=90° 即OC⊥CE :0C为半径 .CE为OO的切线； (3)解：当a=2时，等式AB2-2ACBC=2CD2成立， 理由如下： 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2 .AB2-2ACBC=AC2+BC2-2ACBC=(AC-BC)2 解法一：如下图所示，在AC上截取CF=CB, 可得：∠CFB=∠CBF=45°， 由LCFB+LAFB=180°，∠DAB+∠DCB=180°， 可得∠AFB=∠DCB, :∠BAF=∠BDC, AABF∽△DBC, :4g==2, DC DB :4C=CF-4C-BC-2, DC DC 17 fc-6r. .(AC-BC)2=2DC2, AB2-2AC·BC=2CD2; D B E 解法二：过点D作DG⊥DC交AC于点G, 可得：LDGC=LDCG=45°，CG=√2CD, 从而可得∠AGD=∠BCD, :∠DAG=∠DBC,AD=BD, A△ADG≌△BDC(AAS), .AG=BC, .CG=AC-AG=AC-BC=2CD ∴.(AC-BC)2=2DC2, :AB2-2AC.BC=2CD2 D A B E 解法三：过点D作DG⊥DC交BC延长线于点G, 可得：∠DGC=∠DCG=45°，CG=√2CD, 从而可得LACD=∠BGD, :∠DAC=∠DBG,AD=BD, △ADC≌△BDG(AAS), :AC=BG, :CG=BG -BC=AC-BC=2CD 18 ∴.(AC-BC)2=2DC2, AB2-2AC·BC=2CD2. 13.(1) 直线x=1 (2) 15 详解】)解：榄物线ya++4的对称轴为直线 2x11 a 3。 1 y= (2)解：联立 2ar2+a+4 y=x+3 则ar2+ax+4=x+3,即ax2+(a-1x+1=0, 1 :二次函数y=2ar++4(a为常数，a#0)的图象与一次函数y=+3的图象有唯一公 共点， 4=(a-l-4xx1-=0,即a-4+1=0. .a2=4a-1, a3=a2a=4a-1a=4a2-a, .M=2a3-7a2-a+ 4+12 a2+ =2(4a2-a)-7a2-a+,4 +12 4a-1+1 =a2-3a+1+12 a =4a-1-3a+1+12 19 =a-1+1+12 =a+1+11, a :a2-4a+1=0,a≠0， 六a-4+1=0,即a+1=4, a .a+-+11=15, a .M=15. 14.(1)是 (2)见解析 (3存在，k=6 1 【详解】(1)解：：点E是劣弧DF的中点， ·EF=DE, .∠CAE=∠BAE, AE平分∠CAB,即AE是∠BAC的角平分线； (2)证明：连接DE, D B 由(1)知∠CAE=∠BAE, :0A=0E, :ZAEO ZBAE .∠AE0=∠CAE, .ACI‖OE, .∠C=LOEB, :∠C=90°， .∠0EB=90°， :OE是⊙O的半径， 20 BC是O0的切线； (3)解：存在，k=65 11 过点E作EH⊥AB于点H,连接DF,OE,DE, :AC=2B,即4C=3 5 AB 5' 设AC=3x,AB=5xx>0), :∠C=90°， :BC=AB2-AC2=4x, 由(1)知AE是∠BAC的角平分线， :AC⊥BC,EH⊥AB, .EH CE :AC=√AE2-CE2,AH=√AE2-EH2, .AC=AH =3x, .BH AB-AH =2x, :tan∠ABC=AC=3 F-4=tan∠HBE=EH BC 4 BH 3 .EH , AE=AH+EH=35 x CE-EH-3 x, BE=BC-CE- :∠C=∠0EB=90°， .tan∠ABC= AC 3 OE BC 4 BE' 0E=15 8 15 .AD=20E= X, 4 :.BD-4B-AD-x, 4 :AD为⊙O的直径， ∠AFD=90°， :cos∠BAC=4C=3 AB 5 =cos∠DAF=AF AD 21 F ACIlOE, ∴∠AFO=∠FOE,∠FAE=∠AEO, .△AFGn△E0G, 8品 ·EG=5 5V5 AE= 22 x, 11 15v5 x 6V5 EG-22= =k, BD 5 11 41 H D B 15.(1)抛物线的解析式为y=x2-5x+2 ②m=5+匝时，7>17：m=5-7时7<17 2 2 【详解】①解：：抛物线y=r+x+2在直线x=的左侧时，y的值随x的值的增大而减 ,在直线x多的右侧时，y的值随x的值的增大而增 ·抛物线y=x2+bx+2的对称轴为直线x=5 2 合月则65 .抛物线的解析式为y=x2-5x+2. (2)解：：m是抛物线y=x2+bx+2与x轴交点的横坐标， .m2-5m+2=0,则m2=5m-2. m3=m2,m=(5m-2)m=5m2-2m=55m-2）-2m=23m-10, m4=m3.m=(23m-10m=23m2-10m=23(5m-2）-10m=105m-46, m3=m4.m=(105m-46m=105m2-46m=105(5m-2）-46m=479m-210. 2 :T=m5-3m'+2m-8m2-10m+16_160m-60=8m-3. 20 20 :m2-5m+2=0, 解得m=5+7 5-17 2 ，m2=3 2 当m=5+7时，T=8x5+7-3=17+4, 2 2 此时T-17=4V17>0, .T>17. 当m=5-7时，T=8×5-匝-3=17-47， 2 2 此时T-17=-4V17<0, T<17 综上可得，m=5+面时，T>17:m=5-匝时，T<17. 2 2 16.(1)AD=8 (2)见解析 周c-始 【详解】(1)解：：AD∥BC, .ZDBC ZD :BD平分∠ABC, .∠DBC=∠ABD. .∠D=∠ABD,则AD=AB=8. (2)证明：如图1，过点A作AG⊥BC于点G,则∠AGC=90°. A E F C 图1 :在△ABC中，AB=AC, .BG=CG. 由垂径定理知，AG经过⊙O的圆心O. 23 A0是⊙O的半径. :AD∥BC, .∠AGC+∠GAD=180°，则∠GAD=90°， AG⊥AD,垂足为A, AD是⊙O的切线. (3)如图2，过点E作EH⊥AD于H, H D E C 图2 由(1)知，AD=AB=a, AE DE, :AH =DH=74. 1 1 4, cos D= DH-2 DEDE 5 DE-a, AE=DE, .∠EAD=∠D. 由题及(1)知，∠ABD=∠D, ∴.∠ABD=∠EAD，,∠D=∠D, 则△ABD∽△EAD, BD AB AD EA BE+ 5 即一 8 a 5,解得，BE=39 a 00. .·AD∥BF, ∠DAE=∠F,∠D=∠FBE. :∠DAE=∠D, 24 ∠F=∠FBE. :∠FBE=∠CAE, .∠F=∠CAE,则CF=AC=AB=a. :AD∥BF, .△AED∽△FEB, :D、DE FB BE 5 BC+a39,解得，BC=14 0. 409 17.(1)y=x2-2x+3 (2)M+N26 【详解】(1)解：把A1,2)代入y=ax2-2ax+3,得a-2a+3=2, 解得a=1, .二次函数的解析式为y=x2-2x+3. (2)解：M+N≥6，理由如下： m-n=2, .m-n=±2. M=m2-2m+3,N=n2-2n+3, ①当m-n=2时，m=2+n. M+N=(2+n2-2(2+n)+3+n2-2n+3 =4+4n+n2-4-2n+3+n2-2n+3 =2n2+6, .当n=0时，M+N取得最小值6， .M+N≥6. ②当m-n=-2时，m=n-2. M+N=(n-2-2(n-2)+3+n2-2n+3 =n2-4n+4-2n+4+3+n2-2n+3 =2n2-8n+14 25 =2(n-2)2+6, 当n=2时，M+N取得最小值6， .M+N26. 综上所述，M+N≥6. 18.(1)128 (2)见解析 (3)存在；m=1,n=-1；证明见解析 【详解】(1)解：：四边形ABCE是圆的内接四边形， .∠ABC+LAEC=180°， .LAEC=180°-∠ABC=128°； (2)证明：如图，连接0A、OB、OC, .AB=AC,OB=0C, .点O、A在线段BC的垂直平分线上， .OA⊥BC, :AM∥BC, .0A上AM, :0OA是⊙0的半径， AM是⊙0的切线； M (3)解：存在；m=1,n=-1,此时DCDB=AD2-AC2; 证明如下： 如图，延长A0交BC于点F, :AB=AC,AO⊥BC, .CF=-BC; 2 在RtA ACF、RtADF中，由勾股定理得：AC2-CF2=AF2=AD2-(CF+DC)2, 26 p4c-传cj-A0-Gc+nc, 整理得：AC2=AD2-DC(DC+BC), 即AC2=AD2-DC.DB, :DC.DB AD2-AC2, .当m=l,n=-1,DC.DB=mAD2+n·AC2成立. A M 19.(1)90° (②)见解析 (3)是定值，定值为a-b a+b 【详解】(1)解：：AD为⊙0的直径， .∠ABD=90°； (2)证明：：BE=BD,DE=CD, .∠E=∠BDE,∠DCE=∠E, .∠DCE=∠BDE, :∠DCE=∠DBC+∠CDB,∠BDE=∠CDB+∠CDE, .∠DBC=∠CDE, :∠DBC=∠CAD, .ZCAD ZCDE :AD为O0的直径， .∠ACD=90°； ∠CAD+∠ADC=90°， .∠CDE+∠ADC=90°， .LADE=90°， :0D为⊙0的半径， DE是⊙O的切线： 27 (3)解：是定值，定值为a-b, 9a+b,理由如下： 连接OB,不妨设DC=DE=x,由题意可知BD=BE=a, D :BD=a,AB=b,∠ABD=90°， AD=AB2+BD2=b+a, 0A=0B=B2+a2 2 BE BD,DE=CD, ∠E=∠BDE,∠DCE=∠E, :ZDCE ZBDE 又∠E=∠E, .△DCE∽△BDE, CE DE ·DE-BE' :CE、x x a cE=￡， a :四边形ABCD是OO的内接四边形， .∠DAB+∠BCD=180°， :∠DCE+∠BCD=I80°， .∠DAB=∠DCE, DC=DE,OA=OB, .∠DCE=∠E,∠OAB=∠OBA, .∠DCE=∠E=∠OAB=∠OBA, ∴.△OAB∽aDCE, OA AB ·DCCE' 28 Vb2+a2 :2 b 0 2ab ..X= 即DC=DE= 2ab a2+b2 ， Va2+b2' :AD是直径， .∠ACD=90°， 12 ∴AC=VAD2-CD2 2ab (a2-b2)2 a2-b2 a2+b a2+b2 Va2+b2 va+b 2ab AD-CD va2+b2 a-b AC a2-b2 a+b' va2+b2 20.(1)a=-1 (2)2-2√5或-2+2√2 【详解】(1)解：：抛物线y=ax2-4x(a≠0)的对称轴是直线x=2, .a=1; (2)解：由(1)可知：抛物线的解析式为y=x2-4x, .把点(n,-2)代入得：n2-4n=-2,则有n2=4n-2, .n3=n…n2=n4n-2=4n2-2n=44n-2）-2n=14n-8, n=(n2)2=(4n-22=16m2-16n+4=16(4n-2-16m+4=48n-28, .T=n-8n3+20n2-16n+12 =48n-28-8(14n-8)+20(4n-2-16n+12 =48n-28-112n+64+80n-40-16n+12 =8; ①当m+4≤2时，即m≤-2，当m≤x≤m+4时，y随x的增大而减小， ymx=m2-4m,yn=(m+4)2-4(m+4)=m2+4m, :T=8, 29 m2-4m-m2+4m=-8m=8, .m=-1(不符合题意，舍去)： ②当m≥2时，当m≤x≤m+4时，y随x的增大而增大， ·ymn=m2-4m,ymx=(m+4)2-4(m+4)=m2+4m, .m2+4m-m2-4m=8m=8, .m=1（不符合题意，舍去)： ③当m<2<m+4时，即-2<m<2，此时yn=22-4×2=-4, 若2-m≥m+4-2,则-2<m≤0时，此时ymx=m2-4m, m2-4m-(-4=8, 解得：m,=2-2V2,m,=2+2√2（不符合题意，舍去）； 若2-m<m+4-2,即0<m<2,此时ymx=m2+4m, m2+4m-(-4=8, 解得：m1=-2+2√2，m2=-2-2V2(不符合题意，舍去)； 综上所述：m的值为2-2√2或-2+2√2， 21.(1)b=4,c=1 (2)存在，m=38或m=25或m=14或m=10或m=13或m=11 【详解】(1)解：：y=x2+bx+c的最低点的坐标是-2，-3， 抛物线的顶点坐标为-2，-3)， 抛物线的解析式为y=(x+2)-3=x2+4x+1, .b=4,c=1; (2)解：存在. :r是抛物线与x轴交点的横坐标， .r2+4r+1=0, r2+1=-4r, r4+1=r2+1-2r2=(-4r2-2r2=16r2-2r2=14r2, 30 ..T r4+mr2+1r4+1+mr214r2+mr2 3+mr2+3r3r2+3r+mr3r2+1+m7 。(14+m)r2(14+m)r2 (14+m)r2 3r(-4r）+mr -12r2+mr2(m-12r2 m+14_m-12+26=1+26 m-12m-12 m-12 :m为正整数，T为整数， .m-12=26或m-12=13或m-12=±2或m-12=±1， .m=38或m=25或m=14或m=10或m=13或m=11. 22.(1)见解析 (2)见解析 P 。为定值时 【详解】(1)证明：：CD平分∠ACB, :ZACD Z BCD AD=BD, D是AB的中点； (2)证明：如图①，连接0D, O· F B H D E D 图① 由(1)得，D是AB的中点，且0D是O0的半径， .OD⊥AB, .CF.CE=CB.CD, CF-CB CD CE :∠FCB=∠DCE, :.△CFB∽△CDE, .∠CFB=∠CDE, 31 .AB∥DE, :OD⊥AB, .OD⊥DE, :0D是⊙0的半径， 直线DE与O0相切； (3)解：B 一为定值 AP+B 解法一：如图②，在BP上截取BM=AP,连接DM,BD,DP,AD, P D 图② 由(1)得，D是AB的中点， :AD BD, PD=PD, ∠PAD=∠PBD=∠MBD, △APD≌△BMD(SAS), :DP=DM :DH⊥BP, :HP=HM=TPM, .BP=BM PM BM +2HM BH BM +HM, BH BM+HM 1 ·AP+BPBM+BM+2HM2 解法二： 解：，BH 为定值， AP+BP 如图③，连接AD,BD,PD,将△APD沿PD翻折得到△A'PD, 32 B A'. D 图③ 则△APD≌△A'PD, .∠APD=∠A'PD, 由(1)得，AD=BD, .∠BPD=∠ACD,AD=BD, .A'D BD, :∠APD+∠ACD=180°， .∠BPD+∠APD=180°， .∠BPD+LA'PD=180°， “A,P,B三点共线， :DH⊥A'B, AH=BH=T4B, 2 BH BHBH 1 AP+BP A'P+BP A'B 2' 23.0 17 2)s24 【详解】(1)解：：由题意可知，函数y,=x2的“k函数”是，且k=2, :不妨设函数y上任意点的坐标为(a,b),函数2上任意点的坐标为(a,b,), :将点(a,b)代入y=x2函数可得，b=a2①， :由“k函数”定义，k=2可知， a2=2a,② b=2b③' 将②式两端平方可得，a,2=4a,2④ 结合①和③可知，b,=2a,2⑤ 33 将⑤式代入④式可得，a22=2b2,即b2=5a22, 2 :函数⅓上任意点a,b),都满足b=2a,， 函数y=x的k函数”的解析式为：2=)；门 （2》解：由题意可知，函数男=：-的k函数为函数为=x-4, :不妨设函数y上的任意一点为(a,b),则点(ka,kb)在函数上， :将点坐标代入可得， ∫a2-2ka,+k2=b① k2a2-8ka,+16=2kb,② 将①代入②可得，(ka,-4)2=2k(a,-k)2, 整理得，（k2-2ka,2+4k2-8k)a,-2k3+16=0③， :a,取任意数， :以，为变量的方程③恒成立的条件是所有系数等于0， k2-2k=0 4k2-8k=0, -2k3+16=0 解得k=2, “在4≤x≤5时，对任意实数q,不等式(x-k)2≥-g2-(s-2q)x+5恒成立， 将k=2代入得， (x-2)2≥-g2-(s-2g)x+5, 整理得g2-2xq+xs-5+(x-2)220, 将9作为自变量得到函数y3=g2-2xq+xs-5+(x-2)2, 又：对于任意实数9不等式y≥0都成立， ：△=(-2x)2-4[xw-5+(x-2)2]≤0， 化简，得(s-4)x-120, 将x作为函数自变量得到y4=(s-4)x-1, 34 “当s-4=0,即s=4时，y4=-1≤0， :不符合题意，舍去； :当s-4≠0时，函数y4为一次函数， 在4≤x≤5时，y4=(s-4)x-120恒成立， :当>4时，将x=4代入函数，得到不等式组， s>4 5-4到×4-1≥0'解得≥17 41 当s<4时，将x=5代入函数，得到不等式组， 5<4 (s-4)×5-1≥0’不等式无解，舍去. ·不等式(-≥-g2-(6-2g)x+5恒成立，的取值范围是≥17 4 24.(1)见解析 (2)1+5 2 675R. 8 【详解】(1)解：如图，连接OB、OD,BD, B D :AD是⊙0的切线， .OD⊥AD, ∠AD0=∠ADB+∠0DB=90°， .OB=OD,AB=AD, .∠OBD=∠ODB,∠ABD=∠ADB, .∠AB0=∠OBD+∠ABD=∠ODB+∠ADB=90°， OB⊥AB, :OB是⊙0的半径， 35 AB是O0的切线； (2)解：：CD∥AB, ∠AEF=∠CDF,∠EAF=LDCF, △AEFn△CDF, --(j即-( S.CDF :△AEF和△ADF等高， EF_S. DF S2 S22=S S3, :S1+S2=S3, S22=SS+S2, S,2+SS2-S22=0, 解得S=55,成5，=，5，《舍去) 2 2 s=+5=55+5,-5s 2 2 -1+5s,（-1+5 4 AF_-1+V5 (负值舍去)： CF 2 (3)解：连接BO并延长交OO于M,交CD于H,连接OD,BF,BD,OA, B H M D OB=OD,AB=AD, .点O在线段BD的垂直平分线上，点A在线段BD的垂直平分线上，∠ABD=∠ADB 36 .OA垂直平分BD, .∠A0B+∠0BD=90°， 由1得∠AB0=∠OBD+∠ABD=90°， .∠AOB=∠ABD=∠ADB, .OB=OD,AB=AD,OA=OA, .△AB0≌△AD0, :∠AOD=∠AOB=∠BOD=∠ABD=∠ADB, 2 :∠BCD=L∠BOD, 2 .LBCD=∠AOD=∠AOB=∠ABD=∠ADB, :DE∥CB,CD∥AB, .四边形BCDE是平行四边形，∠CBD=∠BDF, ∠BDC=∠ABD=∠BCD=∠AOD=∠AOB=∠ADB :∠BED=∠BCD=∠BDC=∠ABD=LAOD=∠AOB=LADB,BF=CD, .BF=CD =BE,BD=BC DE, BF=CD, ∴BF+DF=CD+DF即CF=BD, .∠CBF=∠BCD=∠ABD, .∠ABF=∠CBD=∠CFD=∠AFE, ∠EAF=∠FAB, .△AEF∽△AFB, .AF-EF_EF AB BF BE ,:∠BFC=∠BDC,∠BDC=∠BCD=∠CBF=∠ABD, ∠CBF=∠CFB,BD=BC, .CF=BC=BD :∠DBE+∠DEB+∠BDE=∠BFE+∠BEF+∠EBF=180°， ∠EBF=∠BDE, .△EBF∽△BDE, 37 BE EF EF AF ·BD-BE-BF AB 同理可得△BDE∽△DAB, BE BD BD CF BD AD ABAB AF CF ·ABAB :AF =CF, 由(2)得AAEF∽CDF, AE EF AF =1, CD DF CF .AE BE =CD, BEBD即 BE BD BD AD BD 2BE BE BD BD 2BE .BD=√2BE=√2CD, .BD=BC, :BD=BC, :BM⊥CD,DH=CH=cD, DH=CH=CD=BD 4 :BD=22DH, 在RtBDH中，BH=VBD2-DH?=√万DH, OH=BH-OB=√7DH-R, :在Rta0DH中，OD2=OH2+DH2, i.R2=(DH-R)+DH2, 解得DH=5R, 4 BH-DH-R.CD-2DHR 1 ·平行四边形BCDE的面积=2S.BcD=2×亏CD.BH=2×) xLxRx1R-2FR. 22 4 8 25.(1)见解析 (2)m=n,理由见解析 38 3)y=3 x 【分析】(1)如图3，连接CO,并延长交DA的延长线于点M,过点O作OE⊥CD于点E 根据AD与BC均为该半圆的切线，得出AD⊥AB,BC⊥AB,则AD∥BC,可得∠M=∠1.证 明△OAM≌△OBC,得出AM=BC.根据CD=AD+BC,得出CD=AD+AM=DM.则 ∠M=∠2，可得∠I=∠2，即CO平分∠BCD.又OE⊥CD,OB⊥CB,得出OE=0B,即 可证明CD与该半圆相切， (2)如图4，过点C作CM⊥AD,交AD于点M,在CDM中，由勾股定理可得 CD2=DM2+CM2,根据CD=AD+BC=Q+b,DM=a-b,CM=2r,列等式得出 户=4DBC=ab=2,代入可得m=,2+,2-b+ab。b a=n. 2+a 2+b ab+a ab+b 1+b'1+a (3)如图5，根据CD,AD,BC均为该半圆的切线，则DA=DE,CB=CE,证明 na6a6,商名-8焉从面 ,证明△ACD∽△GCE,得出 CA CD ∠ADC=∠GEC,得出EG/AD//BC,.FGI ADI BC.得出FC=AE,FG_BF, 则 BC AB AD AB C+G-l,即可得+=. BC AD c0而同可别配+石高，得G:G,由 （2)可知r2=AD·BC=DE·EC=1,得出 1=1+1=1=DC=,又在 DE CE BC AD EG Rt△ABE中， 41 E8E-22=2,将出EE=,即可得他跳女从面网 1 出y= ++Dc=1+l+1-3 AE·BE'FG xxxx 【详解】(1)解：如图3，连接CO,并延长交DA的延长线于点M,过点O作OE⊥CD于 点E. D M 图3 :AD与BC均为该半圆的切线， AD⊥AB,BC⊥AB. :AD∥BC. 39 ∠M=∠1. :O为AB的中点， 0A=0B 在△OAM与△OBC中， ∠M=∠1 ∠OAM=∠OBC=90°， OA=OB AOAM≌△OBC(AAS. :AM BC. :CD=AD+BC, :CD=AD+AM DM .∠M=∠2. ∠1=∠2，即CO平分LBCD. 又：OE⊥CD,0B⊥CB, 0E=0B ·CD与该半圆相切 (2)解：m=n.理由如下： D C 6 B 图4 如图4，过点C作CM⊥AD,交AD于点M, 在CDM中，由勾股定理可得CD2=DM2+CM2, CD AD+BC=a+b,DM=a-b,CM =2r, .(a+b)2=(a-b)2+4r2 .r2=AD.BC=ab=2, 22 代入可得m= 一十 =ab+ab=b+ a=n. 2+a 2+b ab+a ab+b 1+b'1+a 40 (3)解：如图5，：CD,AD,BC均为该半圆的切线， :DA=DE,CB=CE, E .·AD⊥AB,BC⊥AB, F B 图5 :AD∥BC. aDAG∽aBCG, CG CB_CE GA AD ED CGCE CA CD :∠ACD=LGCE, △ACD∽△GCE. LADC=∠GEC. EG∥AD∥BC,FG∥AD∥BC. FG AF FG BF BC AB'AD AB .FGFG=1, BC AD 11 1 BC AD FG 同理可得+1.1 BC AD EG' :FG=EG=x, 由(2)可知r2=AD·BC=DE·EC=1, 小e+Gc*地o-8限-c- 又在Rt△ABE中， 号4E=22-2. AE·BE=4x· 41 AE·BEx 41 1 1113 ∴y= -+DC=二+二+二=二 AE·BE'FG' xxxx 【点睛】该题考查了圆综合题，涉及圆切线的性质和判定，切线长定理，相似三角形的性质 和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线定理，勾股定理，函数解析式等知识点，解题 的关键是掌握以上知识点. 26.(1)y=x2+5x+5 (2)329 【详解】(1)解：：抛物线y=x2+mx+m(m为常数)与y轴的交点在原点上方，且到原 点的距离为5， m=5, :此抛物线的解析式为y=x2+5x+5. (2)解：：抛物线y=x2+5x+5与x轴交点的横坐标为n, ∴.n是方程x2+5x+5=0的根，即n2+5n+5=0, 法一：令n+3=1,则n=t-3, 代入n2+5n+5=0可得(t-3)+5(t-3)+5=0, 整理得：-1-1=0，则t-=1, +（》+2=P+2=3+=-2=+=-2=41 (n+32+ 48 n+3)4 2+48 4 r ,47 =47+下 =47×7=329. (注：其他方法参考此标准给分) 法二：令n+3=1,则n=t-3,代入n2+5n+5=0可得(t-3)+5(t-3)+5=0, 整理得：2-t-1=0,可得：2-1=1， 两边平方得：t4-22+1=t2,即+1=3t2, 两边平方得：8+2+1=9t4,即t8+1=714, 两边平方得：t16+2r8+1=49r8，,即t6=47t-1=47714-1-1=329t4-48, (n+3)2+48 (n+3)4 12+48 =6+48 t 32914-48+48 1* =329. 法三：（换元，硬降一次）令n+3=t,则n=t-3, 代入n2+5n+5=0可得(t-3)+5(t-3)+5=0, 整理得：t2-1-1=0, 可得：t2=t+1,t4=3t+2,t3=21t+13,t6=987t+610, (n+3)2+48 (n+3)4 2+48 =6+48 9871+610+48 3t+2 987t+658 3t+2 329(3t+2) 3t+2 =329. 法四：（不使用换元法，硬降一次） 由n2+5n+5=0,可得n2=-5n-5, 则(n+3)2=n2+6n+9=(-5n-5)+6n+9=n+4, (n+3)4=(n+42=n2+8n+16=-5n-5+8n+16=3n+11, (n+3)°=(3n+11)2=9n2+66n+121=9(-5n-5)+66n+121=21n+76, 43 (n+36=(21n+76)2=441n2+3192n+5776=441(-5n-5+3192n+5776=987n+3571, (n+3)2+48 （n+3)16+48 (n+34 (n+3) 987n+3571+48 3n+11 987n+3619 3n+11 329(3n+11)】 3n+11 =329. 27.(1)4 (2)见解析 (3)不变，16 【分析】(I)由圆周角定理可得∠ADB=90°，即BD⊥AC,再结合题意得出BD是AC的 垂直平分线，由垂直平分线的性质即可得出结果； (2)连接OD,证明OD是ABC的中位线，得出OD∥BC,从而可得OD⊥DE,即可得 证； (3)过点M作MF⊥AB于点F,过点N作NG⊥AB于点G,则 ∠BFM=∠AFM=∠BGN=90°，证明△BMF∽△BAP,得出BM·BP=AB·BF,再证明 △BNG∽△BAD,得出BN·BD=AB·BG,证明四边形AMBN是平行四边形，得出AM=BN ,最后证明△AMF≌△BNG(AAS)得出AF=BG,即可得出结果. 【详解】(1)解：：AB是⊙0的直径， .∠ADB=90°，即BD⊥AC, 又D是AC的中点， BD是AC的垂直平分线， :BC=AB=4, .BC的长度是4： (2)证明：连接0D,如图： 44 M :DE⊥BC, E LDEC=90°， :O是AB的中点，D是AC的中点， :OD是ABC的中位线 OD∥BC, ·∠ODE=∠DEC=90°，即OD⊥DE, OD是⊙0的半径，且0D1DE, :直线DE是⊙0的切线 (3)解：BM·BP+BN·BD的值是定值16.理由如下： 如图：过点M作MF⊥AB于点F,过点N作NG⊥AB于点G, D M N B 则∠BFM=∠AFM=∠BGN=90°， :AB是⊙0的直径， ∠APB=∠BFM=90° 又：∠MBF=∠ABP, △BMF∽△BAP, :BM、BF AB BP 即BM·BP=ABBF, 同理可得△BNG∽△BAD, :BN、BG :B8S即8N8D=88G, :AM∥BN,AN∥BM, 45 :四边形AMBN是平行四边形，∠MAF=∠NBG, :AM =BN 在△AMF和△BNG中， ∠MAF=∠NBG ∠AFM=∠BGN, AM=BN aAMF≌△BNG(AAS, AF =BG 又：BM·BP=AB·BF,且BN·BD=AB·BG, :BM·BP+BN·BD=AB·BF+AB·BG =AB·BF+AB·AF AB.(BF +AF =AB·AB=AB -42 =16. 【点晴】直径所对的圆周角是直角；相似三角形的对应边成比例 28.(1)y=x2-2x+1 (2)当1=1+√5时，T<t；当1=1-V5时，T>t 【分析】(1)利用顶点在x轴上的抛物线与x轴只有一个交点，得判别式△=0；代入抛物 线系数列方程求出α的值，再回代写出解析式， (2)联立直线y=3与抛物线，得到t满足的二次方程2-21-2=0：由方程变形得1-2=2 ，再通过两次平方得到r+=8、广+=56；分子分每同除以中，将高次分式转化为对 5 称式的组合形式，代入数值计算得T=):解二次方程得1=1±5，分别计算T-1的正负， 判断大小关系 【详解】(1)解：：抛物线y=am2-(a+1x+30+l(a≠0)的顶点在x轴上， Aa :抛物线与x轴只有一个交点，即判别式△=0. 3a+1 .△=[-(a+1)]-4a. Aa 46 =a2+2a+1-(3a+1) =a2-a 令4=0，得a2-a=0, 即a(a-l)=0, .a≠0， ∴.a=1. 将a=1代入原抛物线解析式得：y=X2-2x+1. (2)解：联立直线y=3与抛物线y=x2-2x+1,得： x2-2x+1=3整理得x2-2x-2=0. :t是直线与抛物线交点的横坐标， t是方程x2-2x-2=0的解，即t2-2t-2=0,且1≠0. 由2-2t-2=0,两边同除以t,得： 4-2-2=0, t 1-2=2, t 2=2两边平方： 对t t 〔-- 4+亭=4， 4 再对十号-8时运平方 - +8+16=64, 4 r+9=6 51 对T=+2+-72-27+8+16,分于分母同除以1： 47 5 T=2fP72-2r+8x+16 ++++ 5 t+2r2+1-72-2+816 5 +9+2 4 将t 2=2、P+ 16 =8、+ =56代入上式： 5 T=- 5 56+2×8+2-722 解方程2-2t-2=0,由求根公式： 1=2±V-2-4×1x-2=1士5 2 ①当t=1+√5时： T-10+)=房5 :5e172,15. 5<0.即7<1 ②t=1-V5时： T-1-0--=*5≥0 即T>t. 答：当t=1+√5时，T<t;当t=1-√5时，T>t. 29.(1)LBGE=62°： (2)证明见解析； (3)存在，m=1,n=1. 【分析】(1)连接AE,由AB是⊙O的直径，则∠AEB=90°，通过同角的余角相等得 ∠DEF=∠BAE=62°，再由圆周角定理即可求解： (2)连接OE,由等边对等角得LOEB=∠OBE,∠CEB=∠CBE,所以 ∠OEB+∠CEB=∠OBE+∠CBE,即∠CEO=∠CB0=90°，然后通过切线的判定方法即可 求证： 孕 (3)由(1)知∠DEF=∠BGE,∠DFE=∠BFG,所以aDEF∽△BGF,则设 DE-EF-DE=k,△BEF的面积为S,则头=BD-DF+BE BG GF BE S BF BF =k+1,通过两个三角形 同高不同底，面积比即为底边长之比，得S=1+kS,所以=C-EF+G S GF -=k+1,同 GF 理S2=(1+k)S,则 SFk,即S=&,所S=+S=k0+S,将S用上面® 得的含S的等式代入得S,·S,=(1+)S,S=[1+k)S,]=(1+k)'S好，代入可得当m=1, n=1时， S BG 1 +1-=1. S·S DE kk 【详解】(1)解：如图，连接AE, AB是⊙0的直径， D B G .∠AEB=90°， :LDBE+∠BAE=90°， :∠DEF+∠DBE=90°， :∠DEF=∠BAE=62°，即∠DEG=LBAE=62°， BEBE, .LBGE=LBAE=62°； (2)证明：如图，连接OE, E 0B=0E, D F G :∠OEB=∠OBE, CE=BC 49 :LCEB=∠CBE, LOEB+LCEB=∠OBE+∠CBE, 即LCEO=LCBO, :BC⊥AB, LCE0=LCB0=90°， :OE⊥CD, :OE是O0的半径， 直线CD为O0的切线； (3)解：存在，m=1,n=1, 证明：由(1)知∠DEF=∠BGE,∠DFE=∠BFG, △DEF∽△BGF, 设DE=EF=DE=k,△BEF的面积为S, BG GF BF .S-BD-DF+BF S BFBF k+1, :两个三角形同高不同底，面积比即为底边长之比， S=(1+k)S, S=EG_EF+GF S:GF GF =k+1, 同理，S2=(1+k)S, S=EF-k S GF :.S=kS3, S,=1+k)S=k(1+k)S,, S,S,=k1+k)S好，S好=[1+k)S]了=(1+2S好， $=0+g=1+k=是+， S·SkI+k)Skk BG 1 DE k' :当m=1,n=1时， S2 BG 1 50 30.(1)5 (2)见解析 (3)点G在⊙0上，理由见解析 【分析】(1)连接CD,由圆周角定理得到∠BDA=90°，再由等腰三角形三线合一即可求解： (2)连接OD,证明△CDM∽△CAD,则∠DMC=∠ADC=90°，可得OD是ABC的中 位线，则OD‖AC,得到∠ODM=∠DMC=90°，即可求证： (3)连接CF,延长BE交AF于点G,连接OG,证明aBDE≌aCDF(SAS),则 BE=CF,∠EBD=∠FCD,则BE∥CF,可证明AC2=AF2+CF2,则LAFC=90°， ∠8G4=180-90=90,在R1△4GB巾，由于点0是4B的中点，则0G=01=B,那 么点G在00上. 【详解】(1)解：连接CD, :AB为O0的直径， .∠BDA=90°，即AD⊥BC, AB=AC, 点D为BC中点， (2)证明：连接0D, 4 :AB=AC,AD⊥BC, .AD平分∠BAC, 51 :∠DAC=∠BAC, :∠CDM=2∠B1C, .∠CDM=∠DAC, :∠C=∠C, .△CDM∽△CAD, .∠DMC=∠ADC=90°， :点O是AB的中点，点D是BC的中点， :ODII AC, .∠0DM=∠DMC=90°， 即OD⊥DM, OD为半径， .DM为OO的切线； (3)解：点G在00上， M 连接CF,延长BE交AF于点G,连接OG, 在BDE和CDF中 ED=DF ∠BDE=∠CDF BD=CD △BDE≌△CDF(SAS, .BE=CF,∠EBD=∠FCD, .BE∥CF, AB2-BE2=AF2, 又：BE=CF,AB=AC, .AC2=AF2+CF2, 52 ∠AFC=90°， △AFC是直角三角形， :BG∥CF, LBGF=∠AFC=90°， .∠BGA=180°-90°=90°， 在Rt△AGB中， :点O是AB的中点， :0c=01=40 .点G在00上. 53