第03讲 二次根式的加减（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（苏科版）

本初中数学讲义聚焦二次根式的加减，系统梳理同类二次根式的概念与合并方法，二次根式加减运算的“化、找、合”步骤，混合运算顺序及实际应用，构建从概念到运算再到应用的递进式学习支架。 资料通过典例与变式题组强化同类二次根式判定、混合运算等重点，结合矩形绿地面积计算等实际问题培养数学眼光，在比较大小、化简求值中提升运算能力与推理意识，课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

第03讲 二次根式的加减 考点1：同类二次根式 考点2：二次根式的加减运算 考点3： 考点4：二次根式的实际应用 重点： （1）同类二次根式判定 （2）二次根式加减运算 （3）熟练化简根式、简单分母有理化 难点： （1）准确找出同类二次根式 （2）混合运算顺序与符号处理 （3）复杂根式先化简再合并 知识点1：同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 【题型1 同类二次根式】 【典例1】下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】解：，则与不是同类二次根式，故A错误； ，则与不是同类二次根式，故B错误； ，则与是同类二次根式，故C正确； ，则与不是同类二次根式，故D错误． 【变式1】下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式是同类二次根式，只有同类二次根式可以合并，将各选项化简后判断被开方数即可确定． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并； B、，与不是同类二次根式，不能合并； C、，与不是同类二次根式，不能合并； D、，与是同类二次根式，可以合并． 【变式2】如果与可以合并，那么正整数的最小值是（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式（可合并二次根式）的定义，先化简，再根据同类二次根式的定义求的最小正整数值即可． 【详解】解：∵，与可以合并， ∴正整数的最小值是． 【变式3】已知最简二次根式与可以合并，则的值是（   ） A．1 B．2 C．6 D．10 【答案】B 【分析】先化简，再根据同类二次根式性质列方程求解． 【详解】解：，最简二次根式与可以合并， 与是同类二次根式， ∴，解得． 知识点2：二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【题型2 二次根式的加减运算】 【典例2】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； （2）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 【变式1】计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据二次根式的加减运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：． 【变式3】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 知识点3：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【题型3 二次根式的混合运算】 【典例3】计算： (1)， (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的混合运算的运算法则进行计算即可； （2）根据乘法公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】计算： (1) ； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先化简二次根式，再合并即可； （2）先计算二次根式的除法运算，再合并即可； （3）先计算二次根式的乘法运算，再合并即可. 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： . 【题型4 已知字母的值，化简求值】 【典例4】已知，，求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1)1 (2)9 【分析】（1）直接代入，利用平方差公式求解； （2）先求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：， ∴ ． 【变式1】已知m，n为实数，且． (1)分别求出m，n的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据绝对值非负性和算术平方根的非负性求出答案即可； （2）将数值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）解：当时， ． 【变式2】已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2)22 【详解】（1）解：； （2）解：， 将代入上式得， 原式＝． 【变式3】已知，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2)4 【分析】（1）根据已知条件求得，，然后利用完全平方公式将原式变形求解即可； （2）将原式变形，再将，，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）解：由（1）知，， ∴ 【题型5 已知条件式，化简求值】 【典例5】阅读与思考 【阅读理解】 爱思考的小聪在解决“已知，求的值”的问题时，他是这样分析与解答的： ∵， ∴ ∴，即， ∴， ∴． 【任务】 请你根据小聪的分析过程，解决如下问题： (1)计算：________； (2)求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平方差公式分母有理化即可得答案； （2）把各项分别分母有理化，再加减即可得答案； （3）仿照题中方法求代数式值的方法求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【变式1】【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． (1)【类比归纳】请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； (2)【类比归纳】若，其中，且a，m，n均为正整数，求的值． 【答案】(1) (2)32或16 【分析】（1）将式子转化为，即可得出答案； （2）先将展开得到，从而得到，，结合，且a，m，n均为正整数，即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： 由题意得， ， ，， ，且a，m，n均为正整数， ∴m，n的值可能为15，1或5，3， ∴当、时，， 则； 当、时，， 则； 综上，的值为32或16． 【变式2】解方程： 阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 这种方法称为“构造对偶式”． 问题：已知． (1)求的值； (2)求x的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握题干给定的方法，是解题的关键： （1）根据题干给定的方法，进行求解即可； （2）将两式相加后，利用平方法解方程即可． 【详解】（1）解： ， ， ， 的值为2； （2）由（1）得：，， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解． 【变式3】下面是博学小组的学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 在实数的运算中，灵活运用多种方法，会给运算带来方便．比如：运用公式法，整体代入法等． 例：计算，可以用公式来进行运算．即： ． 例：已知，求代数式的值． 解：由得：，所以，所以，所以，整体代入得：． 任务： (1)已知，求代数式 的值； (2)计算： 【答案】(1) (2) 【分析】（）仿照题例解答即可求解； （）仿照题例解答即可求解； 本题考查了完全平方公式的应用，二次根式的化简及化简求值，看懂题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴原式； （2）解： ． 【题型6 比较二次根式的大小】 【典例6】比较大小：______（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，熟练掌握“通过平方转化为有理数（或含根式的整式）比较大小”是解题的关键． 通过平方两个根式表达式，比较平方值的大小，进而判断原式的大小关系． 【详解】解：设，． ∵ ， ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 均为正数， ∴ ，即， 故答案为：． 【变式1】比较大小：______（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握把根号前面的数变成它的平方移到根号内．先把各个根号前面的数变成它的平方移到根号内，然后比较被开方数的大小，从而比较其算术平方根的大小即可． 【详解】解：， ∵， ∴，即， 故答案为：． 【变式2】比较下列实数的大小（在横线上填上＞、＜或＝） ①___________； ②___________． 【答案】 【分析】通过比较分子的大小可判断①；利用二次根式的性质化简，进而可判断②． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵，，且， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质以及实数的大小比较，灵活运用二次根式的性质进行化简是解题的关键． 【变式3】已知， 若，则；若，则；若，则 若，则；若，则；若，则． 若，则；若，则；若，则 (1)试比较：与大小关系 (2)试比较：与大小关系 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出的结果即可得到答案； （2）可求出，，根据即可得到结论． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， 又 ， ∴． 【题型7 二次根式的应用】 【典例7】如图，某农家乐有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形区域作为小鱼塘（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形小鱼塘的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)若市场上蔬菜8元/千克，农家乐种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？ 【答案】(1) (2)4680元 【分析】（1）根据题意利用长方形周长公式列式计算即可； （2）先计算出种植蔬菜部分的面积，再求出销售收入即可． 【详解】（1）解：由题意得，长方形空地的周长为 ∴长方形空地的周长为． （2）解：由题意得，蔬菜地的面积为， ∴销售收入（元）， ∴销售收入为4680元． 【变式1】如图，在一次手工课上，小红从一张大正方形卡纸上剪下了两张小正方形卡纸，这两张小正方形卡纸的面积分别为和． (1)这两张小正方形卡纸的边长分别为______，_____． (2)求剩余卡纸的面积． 【答案】(1)，（或，） (2) 【分析】.（1）根据正方形的面积公式求解即可； （2）先求出大正方形的边长，再根据剩余卡纸的面积大正方形的面积减去两个小正方形的面积求解． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴这两张小正方形卡纸的边长分别为和； （2）解：由（1）可得，大正方形的边长为， ∴剩余卡纸的面积 【变式2】嘉嘉用一根铁丝，组成一个长、宽的比为，高为的长方体框架，其体积为． (1)求这根铁丝的长度； (2)若嘉嘉用这根铁丝围成了一个长方形，其中长是宽的4倍，求长方形的长与宽； (3)若嘉嘉用这根铁丝首尾相接围成正方形，计算这个正方形的面积，并与（2）中围成的长方形的面积进行比较，通过计算说明谁的面积大． 【答案】(1)这根铁丝的长度为 (2)长方形的长为，宽为 (3)正方形的面积为，正方形的面积大 【分析】（1）设长、宽分别为，根据体积列方程并解方程即可； （2）设宽为，则长为，根据铁丝的长度列方程并解方程即可； （3）设正方形的边长为，根据铁丝的长度列出方程并解方程得到正方形的边长，求出正方形和长方形的面积，比较后即可得到结论． 【详解】（1）解：设长、宽分别为，则 即， 解得（负值已舍去）， ∴ 答：这根铁丝的长度为； （2）解：设宽为，则长为， 则 解得， 则 答：长方形的长为，宽为； （3）解：设正方形的边长为， 则， ∴， ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积为 （2）中围成的长方形的面积为 ∵ ∴与（2）中围成的长方形的面积进行比较，正方形的面积大． 【变式3】某居民小区有块矩形绿地，矩形绿地的长为，宽为，现要在矩形绿地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为． (1)求矩形的周长．（结果化为最简二次根式） (2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建为通道，通道上要铺设价为6元的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）根据矩形的周长计算即可； （2）分别算出矩形，花坛的面积后得到通道的面积，结合题意即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴矩形的周长； （2）解：∵矩形绿地的长为，宽为，小矩形花坛的长为，宽为， ∴矩形绿地的面积为，花坛的面积为， ∴通道的面积为， ∵通道上要铺设价为6元的地砖， ∴购买地砖需要花费元． 1．下列各式中，与是同类二次根式的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，化为最简后被开方数不为，故A不符合要求； ，化为最简后被开方数为，与的被开方数相同，故B符合要求； ，化为最简后被开方数不为，故C不符合要求； ，化为最简后被开方数不为，故D不符合要求． 2．计算的结果是（   ） A． B．8 C．6 D． 【答案】D 【分析】先由二次根式性质化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算与性质，根据同类项合并规则和算术平方根的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项：∵与不是同类二次根式，无法合并，∴A计算错误. B选项：∵与不是同类二次根式，无法合并，∴B计算错误. C选项：∵算术平方根的结果为非负数，表示的算术平方根，∴，C计算错误. D选项：∵，∴D计算正确. 4．据研究，忽略空气阻力，物体从高空下落的时间与下落高度近似满足公式，一物体从高空自由落下，则关于物体下落的时间，说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查估算无理数的大小，二次根式的应用．掌握估算无理数大小的方法是解题的关键． 先把代入公式求出t值，再估算其大小即可求解． 【详解】解：把代入公式，得 ， ∵， ∴， 即． 故选：B． 5．若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．根据同类二次根式的定义得，求出m的值即可． 【详解】解：由题意得：， ， 故选：B． 6．已知，，则的值（   ） A．4 B．8 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据已知条件求出，再利用完全平方公式对所求代数式因式分解，代入的值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 7．计算：_____． 【答案】2 【详解】解：． 8．计算______． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，二次根式的加法运算即可求解． 【详解】解：． 9．我国南宋时期的数学家秦九韶在《数书九章》中提出，利用三角形的三边求面积的公式（其中a，b，c为三角形的三边长）．已知三边长分别是2，3，4的三角形，这个三角形的面积是_______． 【答案】 【分析】将三角形三边长代入已知的面积公式，根据整式运算与二次根式的化简法则计算，即可得到三角形面积. 【详解】解：将代入公式得 10．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用二次根式的性质化简各项，再合并同类二次根式； （2）先计算二次根式的乘、除法，再利用二次根式的性质化简． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 11．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）先求得和的值，根据平方差公式计算即可； （2）根据完全平方公式将原式转化为，再整体代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ． 12．某老师家装修、矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． (1)电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为，则电视背景壁纸需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）直接利用二次根式的加减运算法则计算可得； （2）直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则可得． 【详解】（1）解： ， 答：电视背景墙的周长为． （2）解： （元）， 答：整个电视背景壁纸需要花费元． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 二次根式的加减 考点1：同类二次根式 考点2：二次根式的加减运算 考点3： 考点4：二次根式的实际应用 重点： （1）同类二次根式判定 （2）二次根式加减运算 （3）熟练化简根式、简单分母有理化 难点： （1）准确找出同类二次根式 （2）混合运算顺序与符号处理 （3）复杂根式先化简再合并 知识点1：同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 【题型1 同类二次根式】 【典例1】下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1】下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如果与可以合并，那么正整数的最小值是（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 【变式3】已知最简二次根式与可以合并，则的值是（   ） A．1 B．2 C．6 D．10 知识点2：二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【题型2 二次根式的加减运算】 【典例2】计算： (1) (2) 【变式1】计算 (1) (2) 【变式2】计算： (1)； (2)． 【变式3】计算： (1) (2) 知识点3：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【题型3 二次根式的混合运算】 【典例3】计算： (1)， (2) 【变式1】计算： (1) (2) 【变式2】计算： (1) (2) 【变式3】计算： (1) ； (2)； (3)． 【题型4 已知字母的值，化简求值】 【典例4】已知，，求下列各式的值： (1) (2) 【变式1】已知m，n为实数，且． (1)分别求出m，n的值； (2)求的值． 【变式2】已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 【变式3】已知，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【题型5 已知条件式，化简求值】 【典例5】阅读与思考 【阅读理解】 爱思考的小聪在解决“已知，求的值”的问题时，他是这样分析与解答的： ∵， ∴ ∴，即， ∴， ∴． 【任务】 请你根据小聪的分析过程，解决如下问题： (1)计算：________； (2)求的值； (3)若，求的值． 【变式1】【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． (1)【类比归纳】请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； (2)【类比归纳】若，其中，且a，m，n均为正整数，求的值． 【变式2】解方程： 阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 这种方法称为“构造对偶式”． 问题：已知． (1)求的值； (2)求x的值． 【变式3】下面是博学小组的学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 在实数的运算中，灵活运用多种方法，会给运算带来方便．比如：运用公式法，整体代入法等． 例：计算，可以用公式来进行运算．即： ． 例：已知，求代数式的值． 解：由得：，所以，所以，所以，整体代入得：． 任务： (1)已知，求代数式 的值； (2)计算： 【题型6 比较二次根式的大小】 【典例6】比较大小：______（填“”“”或“”）． 【变式1】比较大小：______（填“”，“”或“”）． 【变式2】比较下列实数的大小（在横线上填上＞、＜或＝） ①___________； ②___________． 【变式3】已知， 若，则；若，则；若，则 若，则；若，则；若，则． 若，则；若，则；若，则 (1)试比较：与大小关系 (2)试比较：与大小关系 【题型7 二次根式的应用】 【典例7】如图，某农家乐有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形区域作为小鱼塘（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形小鱼塘的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)若市场上蔬菜8元/千克，农家乐种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？ 【变式1】如图，在一次手工课上，小红从一张大正方形卡纸上剪下了两张小正方形卡纸，这两张小正方形卡纸的面积分别为和． (1)这两张小正方形卡纸的边长分别为______，_____． (2)求剩余卡纸的面积． 【变式2】嘉嘉用一根铁丝，组成一个长、宽的比为，高为的长方体框架，其体积为． (1)求这根铁丝的长度； (2)若嘉嘉用这根铁丝围成了一个长方形，其中长是宽的4倍，求长方形的长与宽； (3)若嘉嘉用这根铁丝首尾相接围成正方形，计算这个正方形的面积，并与（2）中围成的长方形的面积进行比较，通过计算说明谁的面积大． 【变式3】某居民小区有块矩形绿地，矩形绿地的长为，宽为，现要在矩形绿地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为． (1)求矩形的周长．（结果化为最简二次根式） (2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建为通道，通道上要铺设价为6元的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 1．下列各式中，与是同类二次根式的是（） A． B． C． D． 2．计算的结果是（   ） A． B．8 C．6 D． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．据研究，忽略空气阻力，物体从高空下落的时间与下落高度近似满足公式，一物体从高空自由落下，则关于物体下落的时间，说法正确的是（   ） A． B． C． D． 5．若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（   ） A． B． C． D． 6．已知，，则的值（   ） A．4 B．8 C．6 D． 7．计算：_____． 8．计算______． 9．我国南宋时期的数学家秦九韶在《数书九章》中提出，利用三角形的三边求面积的公式（其中a，b，c为三角形的三边长）．已知三边长分别是2，3，4的三角形，这个三角形的面积是_______． 10．计算 (1) (2) 11．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 12．某老师家装修、矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． (1)电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为，则电视背景壁纸需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 学科网（北京）股份有限公司 $