专题14 数列(选择题篇)-2026届高考三轮冲刺专项训练

专题14 数列 题型1：等差数列及其性质相关计算 题型2：等差数列前n项和及其性质计算 题型3：等差数列的函数特性(单调、最值) 题型4：等比数列及其性质相关计算 题型5：等比数列前n项和及其性质计算 题型6：等比数列的函数特性(单调、最值) 题型7：数列求和 题型8：数列的实际应用 题型1：等差数列及其性质相关计算 1．（2026·河北衡水·模拟预测）已知数列为等差数列，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设数列的公差为d，从而可求得，，代入求解即可. 【详解】设数列的公差为d， 则， 所以， 所以， 所以 2．（2026·陕西宝鸡·三模）已知等差数列的前项和为，且，则（   ） A． B．18 C． D．22 【答案】B 【分析】由等差数列的性质可得，进而得到，再结合求解． 【详解】解：在等差数列中，， ，解得， ． 3．（2026·河北沧州·三模）已知等差数列满足，则（   ） A． B．14 C． D．21 【答案】B 【详解】由等差数列满足，得， 所以，所以. 4．（2026·河北保定·二模）已知各项不全为零的数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得数列为等差数列， 则，又，所以， 由于数列各项不全为零，则等差数列为递增数列或递减数列，即其他项均不为0. 5．（2026·贵州安顺·模拟预测）等差数列中，，则数列中正数项共有（    ） A．7项 B．8项 C．9项 D．10项 【答案】B 【分析】先根据等差数列基本计算得，再解即可求得答案. 【详解】设等差数列的公差为， 因为等差数列中，， 所以，解得， 所以， 故，解得， 因为，所以时，，即数列中正数项共有8项. 6．（2026·内蒙古赤峰·三模）（多选）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．是公差为2的等差数列 D．的最小值是-4 【答案】BC 【详解】对于A，即，故，故A错误； 对于B，由于为等差数列，则，故B正确； 对于C，设等差数列的公差为，根据，得到， 所以，所以是以为首项，为公差的等差数列. 因为公差，所以是公差为2的等差数列，故C正确； 对于D， 故，，故当时，．故D错误． 7．（2026·山东青岛·一模）已知等差数列中，，则___________． 【答案】8 【详解】在等差数列中，， 所以 8．（2026·安徽安庆·三模）已知是公差不为0的等差数列，是其前项和，若，则______. 【答案】0 【详解】不妨设公差为，则， ，所以，即：，所以， 则. 9．（2026·江西南昌·二模）已知等差数列的前项和为，且，，则________． 【答案】 【分析】利用等差数列前项和公式，结合等差数列性质求出公差即可. 【详解】在等差数列中，， 由，得，解得， 由，得，解得， 因此数列的公差为， 所以. 10．（2026·青海海东·二模）记等差数列的前n项和为，若，则＝______． 【答案】110 【分析】根据条件求出和的关系，再利用前项和公式作答. 【详解】因为为等差数列，所以设， 再代入中，得， 化简得，即， 题型2：等差数列前n项和及其性质计算 11．（2026·陕西渭南·三模）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．11 B．12 C．13 D．15 【答案】A 【分析】利用等差数列前项和公式，列方程组求出，再根据通项公式求解． 【详解】，即， 解得：，． 12．（2026·陕西渭南·三模）已知为等差数列的前项和，若，，则（   ） A．28 B．32 C．36 D．45 【答案】D 【分析】将已知两式作差求得的值，再结合等差数列前项和公式及等差中项性质计算。 【详解】设等差数列的公差为，由，，得， 即，则，因此， 所以. 13．（2026·陕西西安·三模）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用等差数列的“片段和性质”，即可求解. 【详解】因为是等差数列的前项和，则，，成等差数列， 又，得到，所以，，所以， 则. 14．（2026·山东烟台·二模）已知是等差数列，其公差为，前项和为，则“”是“数列为单调递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为，所以. 若，则关于的函数是单调递增的一次函数， 所以数列为单调递增数列. 若数列为单调递增数列，则当时，， 即，解得. 所以“”是“数列为单调递增数列”的充要条件. 15．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知等差数列的前项和为，则（    ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【详解】因为等差数列的前项和为，所以成等差数列， 又，所以， 所以． 16．（2026·河北沧州·模拟预测）已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为等差数列的前项和分别为，且， 所以可设，， 所以，所以. 17．（2026·湖南郴州·三模）设等差数列的前项和为，公差为，若，则（    ） A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】A 【详解】， 由等差数列前项和的性质可知，即， 又， ，，， . 18．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）（多选）已知正项等差数列的前项和为，，公差为，若，则（    ） A．或 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意得出关于的等式，再结合可求得的值，可判断A选项；由可判断B选项；求出的表达式，利用裂项求和法可判断C选项；求出的表达式，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为正项等差数列的前项和为，，公差为，若， ， ， ， 由，则，整理可得， 即，解得或， 根据题意可知，解得，故，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，， 所以， 所以，C对； 对于D选项，，则，D对. 19．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知等差数列的前项和分别为，若，则______． 【答案】 【分析】由，可设，，再利用即可求解. 【详解】因为等差数列，的前n项和分别为，，所以， 因为，所以可设，，， 则，，所以. 20．（2026·辽宁·模拟预测）在一个等差数列中，，则________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用等差数列前和的片断和性质列式求解. 【详解】由等差数列前和的性质知，成等差数列， 即，，所以. 故答案为： 题型3：等差数列的函数特性(单调、最值) 21．（2026·北京延庆·一模）设等差数列的公差为，其前n项和为，则“”是“存在最小值”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】化简得到，分别判断充分性和必要性得到答案. 【详解】为等差数列， 则， 对应的二次函数为， 故当时，函数有最小值，对应的数列有最小值， 当数列有最小值时，则二次函数开口向上，所以， 故是充分必要条件． 22．（2026·贵州毕节·三模）已知公差为d的等差数列的前n项和为，，是中的唯一最大项，则d的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】是的唯一最大项，说明数列前8项和最大，且第9项开始和递减，然后由等差数列通项公式解不等式组即可求解. 【详解】由是中的唯一最大项可得：，即， 代入，解得. 23．（2026·天津河西·一模）已知等差数列的前n项和为，且．当取得最大值时n的值为k，使得成立的最大正整数n的值为m．则的值为（   ） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】B 【分析】由可知，结合等差数列的通项公式及前n项和公式确定，即可得. 【详解】因为，所以， 令数列公差为，所以， 所以是单调递减数列，且，则， 所以，则取得最大值时对应，即， 因为，， 且，在开口向下的抛物线上， 所以成立的最大，即，故. 24．（2026·湖北恩施·二模）等差数列的前项和为，满足，则（    ） A． B． C． D．均为的最大值 【答案】C 【分析】根据条件可得，，根据等差数列的求和公式，分析即可得答案. 【详解】由题意， 所以．故C正确． 无法判断的正负，故A、B、D错误. 25．（2026·广东江苏·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，则使得的的最小值为（ ） A．4050 B．4051 C．4052 D．4053 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合等差数列通项公式可得公差，再利用等差数列前项和公式求解判断. 【详解】设等差数列的公差为，由，得，则， 而，解得，则，， 由和，得，则， ，由，得数列单调递减，当时，， 则当时，，所以使得的的最小值为4051. 故选：B 26．（2026·四川绵阳·模拟预测）（多选）若为等差数列，，，则下列说法正确的是（） A． B．数列单调递减 C．数列前8项和最大 D．数列前5项和 【答案】AB 【分析】先由等差数列求出公差与首项,推出通项,判定A正确；由公差为负知数列单调递减,B正确；令算出,得前7项和最大,C错误；再推出是等比数列,求出前5项和与D式不符,D错误,最终选AB. 【详解】设等差数列的公差为.由，，得. 首项，通项公式，故选项A正确. 由，得数列单调递减，故选项B正确. 令，解得，即时，；时，，因此数列前项和最大，选项C错误. 由，得，数列是首项为，公比为的等比数列，前项和，与选项D中不符，故选项D错误. 27．（2026·重庆渝中·二模）（多选）已知是等差数列的前项和，为公差，且，，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时，取最小值 C． D． 【答案】AD 【分析】根据等差数列性质可得，，即可得，即可判断A；结合单调性分析数列的正负性，即可得的最值，即可判断BCD. 【详解】因为数列为等差数列， 则，即， 且，即，可得， 所以公差，故A正确； 可知等差数列为递增数列，当时，；当时，； 所以当时，取最小值，故B错误； 所以，，故C错误，D正确． 28．（2026·河南开封·模拟预测）（多选）设是等差数列的前n项和，若，，则（    ） A． B．中最小值为 C．当取得最大值时， D．使成立的最大整数n为14 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用等差数列的求和公式和等差数列的性质，求得，且，，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】A，由，可得， 因为，可得，所以，正确； B，由A分析且，所以且，正确； C，在等差数列中，由且， 当时，得；当时，得， 所以取得最大值时，，错误； D，由，且， 所以使得成立的最大整数为，正确. 29．（2026·安徽安庆·二模）（多选）已知等差数列的公差为，其前项和为，且，则（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【详解】由，得或， 即或，显然，故B正确； 则，故A正确； 对于C，当时，有， 此时，等差数列为递增数列，则，故C错误； 对于D，当时，有， 解得，则，故D正确. 30．（2026·陕西西安·模拟预测）已知等差数列满足，，则当时，的最小值为_____． 【答案】27 【分析】根据等差数列的性质结合等差数列前项和公式求解即可. 【详解】由，因为， 若，则所有项为正，与已知条件矛盾，所以，数列递减. 因为，所以，， 不等式移项得，即，所以， 因此，， 因为等差数列是递减数列，且，所以当时，的最小值为27． 31．（2026·山东泰安·模拟预测）与的公共项从小到大构成新数列，则的最小项为______. 【答案】 【分析】根据等差数列的性质，是以13为首项，14为公差的等差数列，再结合函数的单调性判断最小项. 【详解】是以13为首项，14为公差的等差数列，. 令， 根据在上单调递减，上单调递减， 又时，，时，，最小值为. 32．（2026·湖南·三模）在等差数列中，若前n项和有最大值，且，则满足时的最大正整数n为________． 【答案】2026 【分析】应用等差数列求和公式及项的下标和性质计算求解. 【详解】由等差数列，其前项和有最大值，得是首项，公差的等差数列， 因为，故，，且， 则，， 故满足时的最大正整数为2026． 33．（2026·河南郑州·二模）已知为等差数列，记公差为，前项和为，当且仅当时取得最大值，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】由题可得，据此可得答案. 【详解】因，且存在最大值，则，又仅在时取最大值，则前7项为正数，从第8项开始为负数， 从而. 34．（2026·甘肃金昌·三模）设等差数列满足，，则当时，正整数n的最大值为________． 【答案】6 【分析】利用等差数列的性质结合，可以求得公差与首项，再利用前n项和公式求出，最后求得正整数n的最大值 【详解】设的公差为，则，， 又，， 所以， 由得 故的最大值为6． 35．（2026·广东深圳·二模）已知等差数列的前项和为，首项为的最大值，则的值可以为___________．（写出符合条件的一个值即可） 【答案】260（均可） 【分析】根据为的最大值得出公差的取值范围，然后将代入等差数列的前项和公式计算. 【详解】因为等差数列首项，且是前项和的最大值， 所以公差，且满足， 根据等差数列通项公式可得：， 解得：， 再根据前项和公式可得： ， 化简得：，因此任取该区间内一个值即可，例如. 36．（2026·河北邢台·二模）记等差数列的前项和为，，，则的最大值为______. 【答案】42 【分析】根据等差数列下标性质及前n项和公式求得，，进而求得通项公式，然后即可判断数列各项的正负，进而求得的最大值. 【详解】由题得，所以， 又，所以，即， 所以公差，所以， 可得的前6项为正，第7项为0，从第8项起为负， 所以的最大值为. 题型4：等比数列及其性质相关计算 37．（2026·安徽合肥·模拟预测）在等比数列中，，是方程的两个根，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．6或12 【答案】D 【分析】由韦达定理、等比数列通项公式的下标和性质求解即可. 【详解】因为，是方程的两个根，所以， 在等比数列中，有， 所以，所以或， 所以或． 38．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知数列为正项等比数列，，则的值为（    ） A．10 B．16 C．15 D．11 【答案】D 【详解】数列为正项等比数列，所以， ，得. 又，得. 所以. 39．（2026·广东湛江·二模）已知等比数列的各项均为正数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由等比数列的性质得. 由于的各项均为正数，所以. 40．（2026·云南保山·二模）已知各项均为整数的数列中，，，前10项依次成等差数列，从第9项起依次成等比数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，，，成等比数列， ， 整理得，解得或， 又数列的各项均为整数，， ，， ， 当时，， ． 41．（2026·湖南永州·模拟预测）（多选）已知数列分别是等差、等比数列，则必有（    ） A． B． C． D．成等比数列 【答案】BC 【分析】根据等差数列以及等比数列的性质，即可根据选项逐一求解. 【详解】对于A选项，若，则，此时不成立，A错误． 对于B选项，设公差为，则，B正确． 对于C选项，由于等比数列中有，且，故，C正确． 对于D选项，当公比为时，，所以不是等比数列，D错误． 42．（2026·湖南邵阳·三模）在正项等比数列中，若，则___________． 【答案】3 【分析】利用正项等比数列的通项性质，将已知两个等式用和公比q表示，消去公比相关的公共因式即可求得. 【详解】设正项等比数列的公比为，则， 由等比数列通项的性质， 可得，，，， 则，（1） ，（2） （1）（2）得， 因为数列为正项等比数列，故，解得 43．（2026·河南新乡·三模）已知数列是等比数列且各项均为实数，若，则______. 【答案】8 【详解】由等比数列的性质可得，故， 而同号，故，故. 44．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知等比数列的各项都是正数，，则______． 【答案】2 【分析】根据等比数列的下标和性质以及对数的计算公式即可求解. 【详解】由等比数列的性质可知. 45．（2026·广西贵港·三模）等比数列的前项之积为，若，则___________． 【答案】18 【详解】由等比中项的性质可得， 所以． 题型5：等比数列前n项和及其性质计算 46．（2026·四川眉山·模拟预测）记为等比数列的前项和，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等比数列的通项公式及条件可得，再由等比数列的前项和公式计算可得. 【详解】设等比数列的公比为，由​得： ， 因为，所以，又因为，可得 ，解得. 所以，因此. 47．（2026·安徽合肥·模拟预测）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ） A．4 B．2 C．8 D． 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为q，由，得， 则，而，解得， 由，得，即，所以. 48．（2026·山西大同·三模）已知等比数列的前项和为，若，且，则正整数的值为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【分析】设等比数列的公比为，结合等比数列的性质可得，根据等比数列前项和公式计算可得，进而计算可解. 【详解】设等比数列的公比为， 当时，可得，，，则，． 因为，所以，所以，此时， 又因为，可得， 所以，即． 令，可得，解得或（舍去），所以， 因为，所以， 所以 ，所以， 所以，解得． 49．（2026·湖南·一模）已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且满足，，成等差数列，则（    ） A．15 B．17 C．80 D．82 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质和等比数列的通项公式列方程求解的值，从而利用等比数列的求和公式计算可得结果. 【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为， ∵，，成等差数列，∴， ∴，∴，，解得. 则. 50．（2026·河南开封·模拟预测）设等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A．27 B．3 C．24 D．48 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为，， 若，则，与的题设矛盾，故； 根据等比数列前项和公式可得 ① ， ② ； 将②除以①，化简得，解得； 又. 51．（2026·山东泰安·二模）已知等比数列的公比大于1，前项和为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】B 【分析】设等比数列的公比为 ，令，则可由求出，，关于的表达式，再由条件求出，进而得到． 【详解】设等比数列的首项为，公比为，其中． 则，由，得． 令，则．由上式可得， ，，由题意得， 因为，所以． 化简得．解得或． 又，所以，故． 52．（2026·湖北鄂州·模拟预测）记为等比数列的前项和．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由等比数列的性质，依然构成等比数列， 由等比数列的中项可得：， 代入得：，解得：. 53．（2026·安徽滁州·二模）（多选）已知等比数列的公比为，前项和为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．，，成等比数列 D．若，则 【答案】BC 【详解】对于A，当时，无意义，A错误； 对于B， ，B正确； 对于C，若，则，，， 因为，所以，，成公比为的等比数列； 若，则，， ， 所以，所以，，成公比为的等比数列，C正确； 对于D，当时，,对于任意的都满足， 但不一定成立，D错误. 54．（2026·云南昭通·模拟预测）（多选）已知等比数列的公比为q，前n项和为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用等比数列的基本量运算判断A，利用等比数列前n项和公式判断B，利用等比数列的性质判断C，利用等比数列的性质并结合等差数列的求和公式判断D即可. 【详解】对于A，由题意得，则，故A正确； 对于B，由，可得，解得， 由等比数列前项和公式得， 得到，故B正确； 对于C，由等比数列性质得，，成等比数列， 且，，得到， 即，故C错误； 对于D，由等比数列性质得， 则，故D错误. 故选：AB． 55．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知是等比数列的前项和，若，，则________. 【答案】63 【详解】由是等比数列的前项和且，得成等比数列， 而，即成等比数列， 因此，解得，所以. 题型6：等比数列的函数特性(单调、最值) 56．（2026·北京顺义·二模）已知无穷等比数列的公比为，则“且”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】首先写出数列的通项公式，然后根据指数函数的单调性确定充分性，再根据通项公式及单调性确定必要性不成立. 【详解】由题意可得， 且，则，且单调递增， 则数列为递增数列，充分性成立； 若数列为递增数列，， 则或，必要性不成立； “且”是“数列为递增数列”的充分不必要条件. 57．（2026·重庆·二模）已知等比数列的首项，公比．若是数列的前项积，则取得最大值时的值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】由题意可知，可知等比数列为单调递减数列， 由，要使取得最大值，需满足， 则，即且，即且， 因为，所以当时满足要求. 58．（2026·河南周口·模拟预测）已知数列是等比数列，，则“对任意的正整数都有”是“数列是单调递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据等比数列的性质，结合充分、必要条件的定义，分析求解，即可得答案. 【详解】是等比数列，， 对任意的正整数都成立， ，， 是等比数列，是单调递增数列，， ∴“对任意的正整数都有”是“是单调递增数列”的充分必要条件. 59．（2026·山东济南·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，则下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设等比数列的公比为，根据前项和定义可知， ， ，则有， 化简得，D正确； A选项等价于，通过前述分析已知， 因此只有或，A选项才成立，A错误； B选项等价于，已知， 可得， 因此只有，B选项才成立，B错误； 对C选项左边变形 ， 因此只有或，C选项才成立，C错误. 60．（2026·天津和平·二模）等比数列的前n项和为，若，，则（   ） A．9 B．18 C．21 D．27 【答案】C 【分析】利用等比数列的片段和性质列式求解即得. 【详解】由题意，成等比数列，则， 故可得. 61．（2026·山东·模拟预测）若等比数列的前项和，则该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先求出等比数列的通项公式，结合等比数列前项和公式求解即可. 【详解】当时，. 当时，. 因为为等比数列，所以时也满足，即，解得. 所以数列的通项公式为. 该数列的前9项中所有奇数项之和为， 该数列的前9项中所有偶数项之和为， 故该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为. 故选：C. 62．（2026·山东·一模）在等比数列中，已知，且公比，则该数列前100项的和是（    ） A．150 B．200 C．250 D．300 【答案】B 【分析】利用等比数列的前100项中的所有偶数项和与所有奇数项和的关系即可计算得解. 【详解】在等比数列中，公比，则有， 而，于是得， 所以数列的前100项和． 故选：B 63．（2026·广东中山·一模）（多选）数列是等比数列，公比，其前项和为，则（   ） A．当时，为递增数列 B．若，，则 C．若，，成等差数列，则，，成等差数列 D．若，，成等差数列，则，，成等差数列 【答案】BCD 【详解】对于A，当时，时，为递减数列，故A错误； 对于B，若，，，，成等比数列， 则，故B正确； 对于C，若，，成等差数列，则，即， 即，即，即， 所以，，成等差数列，故C正确； 对于D，，，成等差数列，所以， 即，所以， 即，即， 所以，所以，，成等差数列，故D正确. 64．（2026·重庆北碚·模拟预测）（多选）等比数列的前项和为，则下列说法正确的是（） A．若，则 B．若是递减数列，则公比满足 C．若，则公比 D．若(t为常数)，则 【答案】ACD 【详解】因为是等比数列，所以 又，因此，即.那么，A正确. 举反例：若，公比，数列为，是递减数列，但不满足题意，B错误. 若，则，因此. 根据等比数列前n项和性质，比值为即，解得，C正确. 当时，，首项， 由是等比数列，满足，代入得，解得，D正确. 65．（2026·重庆·一模）已知是等比数列的前项和，，则__________． 【答案】381 【详解】由题知，，且 因为成等比数列， 该等比数列的首项为3，公比为2， 则. 题型7：数列求和 66．（2026·云南曲靖·二模）已知正项数列的前n项和为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知关系式得到数列是首项为2、公差为1的等差数列，从而求得的通项公式，则有，应用放缩法、裂项法求和确定范围. 【详解】因为，所以，且， 因此数列是首项为2、公差为1的等差数列，则， 所以，令，则， 因为， 所以， ， 因此，． 67．（2026·河南驻马店·模拟预测）已知数列且满足，令，则数列的前项和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，再根据得到为等差数列，最后利用裂项相消法即可求解. 【详解】令，可得， 由变形可得， 则， 所以是以为首项，为公差的等差数列，所以， 则， 故数列的前项和为. 68．（2026·海南省直辖县级单位·二模）等差数列的前n项和为，已知，，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，，化简得， 又，，即，故， ，， 故数列的前20项和为 . 69．（2026·新疆·二模）已知数列的前n项和为，且，，则的值为（    ） A．300 B．270 C．207 D．171 【答案】D 【分析】根据给定的递推公式求出数列的通项公式，再利用并项求和法，结合等比数列前n项和公式求解. 【详解】在数列中，由，得， 因此，即，而， 因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，，， ，所以 . 70．（2026·河北·模拟预测）若，，则（   ） A． B．2026 C．4050 D．4051 【答案】A 【分析】发现自变量互为倒数时函数值之和为定值，从而应用分组求和两两配对计算即可. 【详解】因为，又， 且， 所以． 71．（2026·安徽铜陵·模拟预测）已知数列的首项，且满足，令，则数列的前2026项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，计算，求证为单调递增数列，再得到为等差数列求解即可. 【详解】令，计算可得，所以，因为，则， 两式相减可得，由递推公式及知，为单调递增数列， 则，则，则，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，则，故所求为. 72．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）（多选）已知数列满足，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．设数列满足，则的最大项为 C．设数列的前项和为，则 D．设数列的前项和为，若，则正整数的最小值为1012 【答案】ACD 【分析】A选项，变形得到，得到通项公式；B选项，，B错误；C选项，错位相减法求和得到C正确；D选项，变形后，分为奇数和偶数两种情况，得到，解不等式，得到答案 【详解】A选项，，即， 故， 又，故，所以，A正确； B选项，， 显然，，，的最大项不为，B错误； C选项，，则①， ②， 式子①-②得， 所以，C正确； D选项，， ， 若为偶数，则， ，即，解得且为偶数， 故且为偶数， 若为奇数，则， ，即，解得且为奇数， 故且为奇数， 综上，若，则正整数的最小值为1012，D正确. 73．（2026·山东聊城·模拟预测）（多选）已知数列的前项和为，则下列结论正确的有（    ） A．数列是等比数列 B． C．数列是等比数列 D． 【答案】BC 【分析】计算出结合等比数列的定义可判断A；分别令可判断B；根据等比数列的定义可判断C；根据C选项写出的通项，然后利用分组求和即可，或者直接根据递推公式结合等比数列求和公式可判断D. 【详解】 当时， ． 当时，， 数列一定不是等比数列，故A错误； 当时，； 当时，；当时，． ，故B正确； ． 数列是首项为，公比为的等比数列，故C正确； 方法一：由可知，， ， ，故D错误． 方法二：， ，故D错误． 74．（2026·江西·二模）（多选）已知数列的前项和为，且，则下列选项中正确的是（   ） A．记数列，则数列的前项的和小于 B．记数列，则数列的前2026项的和为2026 C． D．数列的前项的和为 【答案】ABD 【分析】对于A：利用常见的裂项相消公式化简通项公式求解； 对于B：根据余弦函数在为奇数偶数的取值，求项数为偶数时的前项和公式，代入计算可得； 对于C：先求出，再利用求出和，看与是否相等即可； 对于D：根据的通项公式求出的通项公式，再求前项和 【详解】对于A：依题意， ， 所以的前项和为， 故A正确； 对于B：，当为偶数时， ，当为奇数时， ， 要求前项的和，需求为偶数时的通项公式， 所以当为偶数时，前项和为， 其中括号内从第一项起每相邻两项为一组，每组的和均为，共有组， 故前项和为 ，所以当时，前项和为，故B正确； 对于C：， 所以，， ， ，显然，故C错误； 对于D：，故前项和为，故D正确； 故选：ABD 75．（2026·山西大同·三模）已知数列满足，，则______． 【答案】103 【详解】由题意得， ． 题型8：数列的实际应用 76．（2026·河北衡水·模拟预测）从2019年开始，某生产新能源汽车零件的企业不断引进新技术，此后每年的零件销售额均比上一年增加15%.已知该企业从2019年到2023年的零件总销售额为404万元，则该企业2019年的销售额约为（   ）（参考数据：） A．60万元 B．62.5万元 C．65万元 D．68.5万元 【答案】A 【详解】设该企业2019年的销售额为a万元，由等比数列的定义可知，这5年的销售额构成公比为1.15的等比数列， 由等比数列前n项和公式得这5年的零件总销售额为，解得. 所以该企业2019年的销售额约为60万元. 77．（2026·陕西渭南·模拟预测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：.该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，该数列有这样一个规律：，称为卡西尼恒等式，根据卡西尼恒等式，（    ） A．2026 B．-1 C．2026 D．1 【答案】D 【分析】利用卡西尼恒等式化简乘积的每一项，再根据指数和的奇偶性判断最终结果. 【详解】因为，所以， 当为奇数时，， 为偶数时，， 所以 ， 其中项中奇数项有1013个，即有个1相乘得，偶数项有个，即有1012个相乘得，故结果为. 78．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯.”意思是:一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有（    ）盏灯. A．1 B．3 C．7 D．192 【答案】B 【分析】由等比数列求和公式列方程求解. 【详解】设塔的顶层共有盏灯，7层塔共有盏灯，列方程 ， 由等比数列求和公式得：，解得. 79．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）若客户M准备在银行存入本金1万元，存期为n年，年利率为x，银行存款有单利计息（单利本利和=本金+本金×利率×时间）和复利计息两种方案，客户M经过考虑选择了复利计息的方案，其实这背后蕴藏着一个著名的伯努利不等式：. 已知数列的前n项和为，，若对任意的，恒成立，则λ的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用伯努利不等式对数列通项进行放缩，再通过裂项相消法求前项和，最终转化为由数列的单调性求的取值范围. 【详解】由伯努利不等式可得， 所以， 即，因此. 令，则， 则， 又，则，即，所以，因此数列为递增数列， 当时，，所以. 因对任意的，恒成立，则对任意的，恒成立， 则小于的最小值，即. 80．（2026·浙江·三模）（多选）我国古代典籍《管子·地员篇》最早记载的“三分损益法”是用来算音阶的方法，它是把古琴的一根弦平均分成三截，截短一截就是“三分损一”，加长一截就是“三分益一”.我们取第一个音“黄钟”的弦长81，记为，用“三分损一”得到第二个音“林钟”的弦长，记为，再用“三分益一”得到第三个音“太簇”的弦长，记为，按此规律依次交替损益就能得到“十二律吕”的弦长.把上述依次得到的弦长组成的数列记为（）.则下列说法正确的是（    ） A． B． C．，使得 D．，都有 【答案】ABD 【分析】根据题意可得数列的递推公式，分析可知数列是以首项，公比为的等比数列，即可得，，进而逐项分析判断. 【详解】由题意可知：，，，， 则， 可知数列是首项为，公比为的等比数列，则，， 所以，故A正确； 因为，则，即，故B正确； 因为， 即，所以不存在，使得，故C错误； 由等比数列性质可知，即，都有，故D正确. 81．（2026·四川绵阳·模拟预测）（多选）某科技公司研发人工智能大模型，训练该模型每月消耗的算力（单位：千PFLOPS·天）是前一个月的固定倍数，且始终保持增长.观测到第4个月消耗的算力为4，第3个月与第5个月消耗的算力之和为10.则下列说法错误的是（    ） A．第3个月消耗的算力为1 B．前5个月消耗的总算力为16 C．第7个月消耗的算力比第4个月增长300% D．前8个月消耗的总算力与第4个月消耗的算力比值为 【答案】ABC 【分析】设等比数列通项公式，根据题意求出，再根据通项公式以及前n项和公式求解即可. 【详解】对于A：因为每月消耗的算力是前一个月的固定倍数，且始终保持增长， 说明每月消耗的算力构成了一个公比的等比数列，设第个月消耗的算力为，则； 已知，，得：，即，解得或， 又因为，所以，，故A错误； 对于B：已知，，所以，，，， 前5个月消耗的总算力为，故B错误； 对于C：，增长率为，故C错误； 对于D：，，故D正确. 82．（2026·广西崇左·二模）2026人形机器人半程马拉松于4月19日开跑，共有300多台机器人参赛.某人形机器人在加速奔跑时，电机转速逐秒依次构成等差数列，已知第3秒转速为，第7秒转速为，则第4秒转速为______. 【答案】270 【分析】设第n秒转速为，结合等差数列性质可求公差和. 【详解】设第n秒转速为， 可知数列为等差数列，且，， 则公差，可得， 所以第4秒转速为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $专题14数列 题型汇总 题型1：等差数列及其性质相关计算 题型2：等差数列前项和及其性质计算 题型3：等差数列的函数特性（单调、最值） 题型4：等比数列及其性质相关计算 题型5：等比数列前n项和及其性质计算 题型6：等比数列的函数特性（单调、最值） 题型7：数列求和 题型8：数列的实际应用 模拟题型 题型1：等差数列及其性质相关计算 11 1.(2026-河北衡水·模拟预测)已知数列ma,}为等差数列，4=3，a,= 5 19 20 1 22 A.9 B.9 C.3 D.9 2。(2026陕西宝鸡三模)已知等差数列a的前”项和为5，且4+0，=7， A.-18 B.18 C.-22 D.22 3。(2026河北沧州三模)已知等差数列fa满足4，+ax+as+a,=28 A.-14 B.14 C.-21 D.21 1/13 则a,=(） a+3a,=1,则5，=（) 3a2026-a202s=(） 4,(2026河北保定二模)已知各项不全为零的数列a 满足0，+a:=2aa+4=4,则(） A.%-0 B.a-0 C.4=0 D.%=0 5.(2026贵州安顺模拟预测)等差数列a,}中，4=28a=Ⅱ，则数a中正数项共有() A.7项 B.8项 C.9项 D.10项 6,(2026内蒙古赤峰三模)（多选）已知等差数列a的前”项和为，若“，=64+4+a,=42,则（) A. a6=21 B. S7=7a4 S C 〔nJ是公差为2的等差数列 D. an+S 的最小值是-4 7。(2026山东青岛一模)已知等差数列a,}中，a,+a=a+8, 则4 8。(2026安徽安庆三模)已知a,}是公差不为0的等差数列，S是其前”项和，若4+5a=8,则5。 9.(2026江西南昌二模)己知等差数列a,的前”项和为5。，且-a=16,3,-a=30,则0= 10。(2026青海海东二模)记等差数列a的前n项和为5，若4+a,+a。=30,则S 题型2：等差数列前n项和及其性质计算 1.(2026陕西渭南三模)已知等差数列a的前”项和为5，若8=15,8=25，+3， 则4=() A.11 B.12 C.13 D.15 12.(2026陕西渭南三模)已知3为等差数列a}的前”项和，考4+51，Q+,=6,则8=（) S ,则 A.28 B.32 C.36 D.45 S4-1S= 13.(2026陕西西安·三模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4,则S2() 2/13 3 4 1 A.5 B.5 C.9 D.9 S 14.(2026山东烟台二模)已知{a,}是等差数列，其公差为d,前n项和为S,则“d>0”是“数列n为单 调递增数列”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 15.(2026陕西咸阳模拟预测)已知等差数列 的前”项和为58=2。=6，则5：（) {an} A.18 B.20 C.22 D.24 S2-2n+1a= 16.(2026河北沧州模拟预测)已知等差数列{a},b,}的前n项和分别为S,T,且T,3n+4,则6。() 23 23 19 A.31 B.37 C.31 o D.37 17.(2026湖南郴州三模)设等差数列{a,}的前n项和为Sn,公差为d,若7-3 S_S=2,4+4+4=15,则S,= () A.15 B.14 C.13 D.12 18.(2026黑龙江哈尔滨二模)（多选）已知正项等差数列a的前”项和为5,4=5，公差为，若 55,=5。,则(） A.d=2或d-20 3 B.a=1 2212026 S026.-S203=1 C. 台S,+i2027 D.20262025 S=2n-3 as= 19.(2026-陕西宝鸡模拟预测)已知等差数列a},b.}的前n项和分别为S,T,若T,3n+4,则6 20.(2026辽宁·模拟预测)在一个等差数列 a,中，S。=3105=120,则5= 题型3：等差数列的函数特性（单调、最值） 3/13 21.(2026北京延庆一模)设等差数列a,的公差为1(d≠0，其前n顶和为5，则“d>0”是。存在最小 值”的(). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2026贵州毕节三模)已知公茶为d的等差数列a的前0顶和为，4=12,8是5，中的唯一最大项， 则d的取值范围为() A.（-4,-3) B.[-4,-3] 23.(2026天津河西一模)已知等差数列a的前n项和为5，且5>8>.当取得最大值时n的值为 S >0 k,使得 成立的最大正整数刀的值为m.则+m的值为(） A.28 B.29 C.30 D.31 24.(2026湖北恩谎二模)等荣数列a的前”顶和为5，满足8<8，>5，则（) A.a+a0=0 B.4o<0 C.5,>0 D 5,S0均为八的最大值 S a2025<-1 25.(2026广东江苏模拟预测)已知等差数列a,}的前n项和为S,4=2026,且46，则使得S<0的n的 最小值为() A.4050 B.4051 C.4052 D.4053 26.(2026四川绵阳模拟预测)（多选) a,}为等差数列，4=11,4=5 ，则下列说法正确的是() A an=15-2n B.数列a}单调递减 c.数列a,前8项和最大 4/13 D.数列2}前5项和5=22 3 27.(2026重庆输中二模)（多选）已知>是等差数列和的前”项和，d为公差，且<0，品>0 ,则下列 说法正确的是() A.1>0 S B.当”=8时，心取最小值 C.<0 D.>0 <-1 28.(2026河南开封模拟预测)（多选）设S是等差数列{a,}的前n项和，若Ss<0,a,则() A.d<0 B.a中最小值为a网 S C.当°“取得最大值时，”=8 S >0 D.使 成立的最大整数n为14 29.(2026安徽安庆二模)（多选）已知等差数列0的公差为d0,其前”项和为S,且(a。+)k0, 则() A. S1gS20<0 B.a41<0 C.若4<0，则a202s>a6 n.若41则兮 30.(2026陕西西安模拟预测)已知等差数列a,满足4>0,44：<-，则当5，<0时 时，”的最小值为一 ∫an 31.(2026山东泰安模拟预测){2n+3}与{7n-1的公共项从小到大构成新数列{a,},则2n-11的最小项为 4o3<-1 32.(2026湖南三模)在等差数列a}中，若前n项和S有最大值，且4o4，则满足S,>0时的最大正整数 n为 33.(2026河南郑州二模)已知 为等差数列，记公差为4，前”项和为5,4=14，当且仅当”=7时5取得 最大值，则d的取值范围为一· 5/13 34.（2026甘肃金昌三模)设等差数列a,满足4+4=104+a,=4,则 4,则当4+a+…+a,>0时，正整数n的 最大值为 35.(2026广东深圳二模)已知等差数列a,的前”项和为，首项”=20，S“为5的最大值，则5“的值可以 为 (写出符合条件的一个值即可) 36,(2026河北那台二模)记等差数列a的前”项和为5,24，+8=56,2-7a,=30,则3的最大值为 题型4：等比数列及其性质相关计算 37.(2026安徽合肥模拟预测)在等比数列a中，，“是方程-15x+9=0的两个根，则4a-a（) A.6 B.9 C.12 D.6或12 38。(2026黑龙江齐齐哈尔模拟预测)已知数列a 为正项等比数列， a,a=4则1og,4+1og24,+…+10g,41的 ,则 值为() A.10 B.16 C.15 D.11 39.(2026广东满江二模)已知等比数列a的各项均为正数，且44+4aa,+4a4=16,则+2a,（) A.4 B.8 C.12 D.16 40.(2026云南保山二模)已知各项均为整数的数列a}中，a,=-2,41=4, ，前10项依次成等差数列，从第 9项起依次成等比数列，则”s二 () A.22016 B.22017 C.22018 D.22019 41。(2026湖南水州模拟预测)《多运)已知数列a,6}分别是等差、等比数列，则必有《) A a5+a7=a12 B.a6+a7+Q20=3a1 C.bb2b19=b2b3b17 D.b1+b2,b3+b4,b5+b6成等比数列 42.(2026湖南邵阳三模)在正项等比数列a,}中，若0+a,+a4+a,=40,1+1+1+1=40 0,aaa49,则4 6/13 43.（2026河南新乡三模)已知数列a,}是等比数列且各项均为实数，若“，=2，a,=32,则4， 4。(2026黑龙江哈尔滨二模)已知等比数列a的各项都是正数，，a。=6,则og:a, 45。(2026广西贵港三模)等比数列a的前”项之积为，者0=4，则g,7 ,则 题型5：等比数列前n项和及其性质计算 S4= 46. (2026四川眉山模拟预测)记S为等比数列a,}的前n项和，若2a4=a,-a,且9>0，则4+a,() J A.4 B.4 C. D.3 机.（2026发微合肥模拟预测》记8为等比数列0的前n项和，者8=05，《43 ,则4=() A.4 B.2 C.8 D.-8 48.(2026山两大同三模)已知等比数列a,的前"项和为，若28=8+8，且。+0.80则正整数” 月1+1=1 的值为() A.9 B.12 C.15 D.18 49.(2026湖南一模)已知各项均为正数的等比数列a}的前n项和为S,且满足，3a,-“成等差数列， Ss= 则54() A.15 B.17 C.80 D.82 50.(2026河南开封模拟预测)设等比数列a,的前n项和为入，若8=3，=12，则4+a+a（) A.27 B.3 C.24 D.48 S8,=1S0-5 51.(2026山东泰安·二模)已知等比数列a,}的公比大于1，前n项和为 SS7,则So=() A.2 B.3 C.4 D.9 52.(2026湖北鄂州模拟预测)记5为等比数列a的前”项和.若5=8,5，=12，则，=（) 7/13 A.10 B.14 C.18 D.24 53.(2026安微鞍州二模)（多选）已知等比数列a,的公比为9，前”项和为5，则下列说法正确的是() S,=duu-a 9-1 B.S=a+a2+q's(n22) C.8,8-8,8-5成等比数列D.若=a.a,则m+m=2p {an} S a+az=3 54.(2026云南昭通模拟预测)（多选）已知等比数列的公比为9，前n项和为， a4+a5=24 ,则下列说法正确的是() S6=9 A.9=2 B.S3 n(n+) C.a,+ag+a=504 D.aa,4…an-1an=22 5.(2026陕西榆林模拟预测)已知5是等比数列0的前”项和，若8=51，&=8，则3。= 题型6：等比数列的函数特性（单调、最值） 56.(2026~北京顺义二模)已知无穷等比数列的公比为9，则。4>0目 >0且9>1”是“数列 a,}为递增数列” 的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 1 57.(2026重庆二模)已知等比数列{a}的首项a=527,公比g=3.若T是数列{a,}的前n项积，则T取得最 大值时n的值为() A.5 B.6 C.7 D.8 58、(2026河南周口模拟预测)已知数列a}是等比数列，4>0，则“对任意的正整数”都有4<0”是“数 4>0 列 ’是单调递增数列”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 8/13 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 59.(2026·山东济南模拟预测)已知等比数列a}的前n项和为，则下列等式恒成立的是（） S+S2n=S3n B.S.=S.S C.S,+S2n-S3=S22 D.S2+52=S.(S+3） 60.(2026天津和平二模)等比数列a的前n项和为5，若8=3,5=9，则8=（) A.9 B.18 C.21 D.27 61.(2026-山东·模拟预测)若等比数列a 的前”项和=2” ，则该数列a, 的前9项中所有奇数项之和与所 有偶数项之和的比为() 341 170 A. B.2 C.170 D.341 （2026山东模)在等比数列a中，已知4+%+4++a,=50 62 且公比9=3 ,则该数列前100项的和 是() A.150 B.200 C.250 D.300 63.(2026广东中山一模)（多选）数列a,是等比数列，公比9≠1，其前”顶和为5，则（) A.当9>1时， an 为递增数列 S3=3S0=9 Sis =21 B.若 ,则 3,S,S成等差数列，则，s,成等差数列 C.若， an+l d3n+1 d2n+1 Sn S3n S2n D.若 成等差数列，则， 成等差数列 64。(2026重庆北暗模拟预测)（多选）等比数列0的前”项和为3，则下列说法正确的是 A若4，+A,-6,则aa4=81B.若0是递减数列.则公比9清足0<g<1 C.若9=73=6 3,则公比9=2 D.若=2”+1 《为常数)，则‘=-1 9/13 65.(2026重庆一模)已知S是等比数列a}的前”项和，4+4+4=3，a,+a+a,=6,则51= 题型7：数列求和 66.(2026云南曲靖二模)已知正项数列{a}的前n项和为S,a=，Va1=,VY 1+√a,,则下列选项正确的是 () A月 1 4 3 67.(2026河南驻马店模拟预测)已知数列a,}:4=山4，= 且满足：+a=2a+1neN,）,令 1 b.=an1-an,则数列bb1的前2026项和为() 1013 1015 506 507 A.2028 B.2028 C.1013 D.1013 1 68.(2026海南省直辖县级单位二模)等差数列{a}的前n项和为S。,已知S=30,2a,=ao,则数列Sn的 前20项和为() 19 20 10 9 A.20 B.21 C. D.10 2an,n为奇数 69.(2026新疆二模)已知数列{a,}的前m项和为S,且4=1,0-{a,+n为偶数，则S的值为() A.300 B.270 C.207 D.171 70.(2026河北模拟预测)若 ()= F+i,a,=f(e）,则a+a,++a1=（) 4051 A. 2 B.2026 C.4050 D.4051 71.(2026安徽铜陵模拟预测)已知数列a,的首项4=，且满足-a,=a+a,neN,）,令=a0, 10/13 11 则数列b,bn1的前2026项和为() 1013 1015 506 507 A.2028 B.2028 C.1013 D.1013 2n+1 72.(2026~黑龙江哈尔滨三模)（多选）已知数列{a,}满足a,2n-i4,(≥2)，且a,=3,则下列结论正确 的是() A.a,=2n+1 B.设数列也.}满足”0，-8，则也.}的最大项为b C设数列可的前项和为，则3=2-"2 3” (-1) 4(n+1) +<1 D.设数列 2a的前n项和为S,若5，+2026，则正整数n的最小值为1012 73.(2026山东聊坡模拟预测)（多选）已知数列a,的前”项和为 n,a=1,a4+1+an=23” ,则下列结论正确的 有() A.数列 a,}是等比数列 B.S=1639 3" C.数列 a,-2j是等比数列 D.S2m=9-1 74.(2026江西二模)《多选)已知数列a,的前”项和为9，且=2”， ，则下列选项中正确的是() b=-1 1 A.记数列”4a1,则数列b,}的前n项的和小于4 B.记数列 =acosπ.a o(2a. 则数列1c}的前2026项的和为2026 2S2n=S+S3n 11/13 n2,3n D.数列nJ的前n项的和为22 75.(2026山西大同三模)已知数列a,满足4引，a+a=2n+3,则4+a+a++a, {an}进 题型8：数列的实际应用 76.(2026·河北衡水·模拟预测)从2019年开始，某生产新能源汽车零件的企业不断引进新技术，此后每年的零 件销售额均比上一年增加15%.已知该企业从2019年到2023年的零件总销售额为404万元，则该企业2019年的销 售额约为()（参考数据：1.15≈2.01） A.60万元 B.62.5万元 C.65万元 D.68.5万元 77.(2026·陕西渭南模拟预测)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数： 1,1,2,3,5,8,13,… 该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把 这样的一列数所组成的数 a,}称为“斐波那契数列”，该数列有这样一个规律：-a,a2=（-少，称为卡西尼 恒等式，根据卡西尼恒等式，(aa-aaa,a,4-a}-(ams4e,-aas）卢（) A.2026 B.-1 C.2026 D.1 78.(2026重庆沙坪坝模拟预测)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍 加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是 上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有()盏灯· A.1 B.3 C.7 D.192 79.(2026·重庆九龙坡模拟预测)若客户M准备在银行存入本金1万元，存期为n年，年利率为x,银行存款有 单利计息（单利本利和=本金+本金×利率×时间）和复利计息两种方案，客户M经过考虑选择了复利计息的方案， 其实这背后蕴藏者一个著名的伯努利不等式：(1+x少≥1+m(x>-山m≥）.已知数列a,的前n项和为5， a.=1+nn+0n+2)] 若对任意的 neN,S。-n->0恒成立，则2的取值范围为() 12/13 A BA君 c.对 D.1<2 1 80.(2026浙江三模)（多选）我国古代典籍《管子·地员篇》最早记载的“三分损益法”是用来算音阶的方法， 它是把古琴的一根弦平均分成三截，截短一截就是“三分损一”，加长一截就是“三分益一”.我们取第一个音 1 81×1- “黄钟”的弦长81，记为4，用“三分损一”得到第二个音“林钟”的弦长 (3,记为，再用“三分益 一”得到第三个音“太簇”的弦长 54×+, 记为，…，按此规律依次交替损益就能得到“十二律吕”的弦长. 把上述依次得到的弦长组成的数列记为a}(1∈N)则下列说法正确的是() A 0=64 B.2a,=3a, C.k∈N,使得4k+a3=2a,1 D.keN,都有as3=(an 81.(2026四川绵阳模拟预测)（多选）某科技公司研发人工智能大模型，训练该模型每月消耗的算力（单位： 千P℉LOPS·天)是前一个月的固定倍数，且始终保持增长观测到第4个月消耗的算力为4，第3个月与第5个月消 耗的算力之和为10.则下列说法错误的是() A.第3个月消耗的算力为1 B.前5个月消耗的总算力为16 C.第7个月消耗的算力比第4个月增长300% 55 D.前8个月消耗的总算力与第4个月消耗的算力比值为8 82.(2026广西崇左·二模)2026人形机器人半程马拉松于4月19日开跑，共有300多台机器人参赛某人形机器 人在加速奔跑时，电机转速逐秒依次构成等差数列，已知第3秒转速为240r/min,第7秒转速为360r/min,则第 4秒转速为r/min. 13/13