精品解析：河南方城县第一高级中学2025-2026学年上学期高三2月份第1周数学学情检测试题

方城县第一高级中学2025-2026学年上学期高三2月份第1周数学学情检测 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解一元二次不等式得集合A，再用集合的并集定义求解即得. 【详解】因为，， 则． 故选：C 2. 已知等差数列前三项的和为，则的公差为（ ） A. 3 B. 2 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求解. 【详解】由等差数列前三项的和为，得，解得， 又，所以的公差. 故选：D 3. 已知一组样本数据1，2，2，3，4，5，则2.5是该组数据的（ ） A. 极差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数 【答案】C 【解析】 【分析】利用极差，平均数，中位数和众数的定义进行求解，得到答案. 【详解】由题得众数为2，极差为，平均数为， 中位数为． 故选：C 4. 若双曲线的两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线方程和倾斜角进行求解即可. 【详解】因为双曲线的两条渐近线夹角为， 则渐近线的倾斜角为或， 所以渐近线的斜率为或. 因为该双曲线方程为，所以渐近线方程为. 所以或. 所以双曲线的离心率为或2. 故选：C. 5. 若，是两个互相垂直的单位向量，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积计算可得结果. 【详解】由题可知：，， 所以， 所以. 故选：C 6. 已知矩形，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的各边的边长，再利用余弦定理即可. 【详解】在矩形，，为中点，为靠近的三等分点，则， 如图所示， 则，，， 在中，利用余弦定理可得，， . 故选：C. 7. 一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将正四面体放入正方体中，得到正方体边长为，进而得到外接球的半径，再利用球的表面积公式即可得解. 【详解】 由题可知，该四面体是正四面体，将正四面体补形成正方体，则此时正四面体与正方体的外接球为同一个球， 因为正四面体棱长为，所以正方体棱长为，得正方体的体对角线， 因为正方体的体对角线是正方体外接球的直径， 故外接球半径，所以． 故选：A. 8. 一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为1，当圆锥的体积取最大值时，圆锥的底面半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用球的截面圆性质及圆锥的体积公式列出函数关系，再利用导数求解. 【详解】 如图，根据题意，圆锥高为，底面圆半径，外接球球心为，半径， 则球心到圆锥底面圆心距离， 由，得，圆锥的体积， 求导得， 当时，，函数在上递增， 当时，，函数在上递减， 则当时，圆锥的体积最大，此时底面圆半径. 故选：B 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若复数的共轭复数为，则 B. 若，，则复数的虚部是2i C. 若复数是纯虚数，则实数或 D. 若复数满足，则的最大值为2 【答案】AD 【解析】 【分析】设，直接计算可判断A；根据复数减法运算和虚部概念可判断B；根据纯虚数概念列方程组求解可判断C；设，根据的几何意义求解可判断D. 【详解】对A，设，则，又因为，故A正确； 对B，若，，则，其虚部为，故B错误； 对C，若是纯虚数， 则，解得，故C错误； 对D，设，则， 即，所以复数表示的点在圆心为，半径为的圆上， 表示点到原点的距离，所以 当时，取得最大值为2，故D正确. 故选：AD 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的一个零点为 C. D. 在上单调递增 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据图象求得，然后根据三角函数的最值、单调性、零点等知识确定正确答案. 【详解】由图可得图象最高点纵坐标为，即，故A选项正确； ，， 则函数解析式， 代入点，， 又，所以，故C选项正确； 将代入解析式， 可得，故B选项正确； 由函数的递增区间得： 递增区间满足， 化简得：，取，则， 又，，故在区间上不单调递增，故D选项错误. 故选：ABC 11. 如图所示，在圆锥PO中，PO为高，AB为底面圆的直径，圆锥的轴截面是面积等于4的等腰直角三角形，C为母线PA的中点，点M为底面上的动点，且，点O在直线PM上的射影为H，当点M运动时，则有（ ） A. 三棱锥体积的最大值为 B. 直线PA与直线CH不可能垂直 C. 点H的轨迹长度为 D. 的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于选项A ，根据等体积法表示出三棱锥的体积，用重要不等式可求其最大值；对于选项B，根据条件可证明恒成立；对于选项C，根据条件得：，得点的轨迹为圆，从而得轨迹的长度；对于选项D，用函数表达，即可求得最大值. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为. 由题可知，所以. 因为，所以. 因为，所以. 对于Ａ，因为平面，平面，则， 因平面，故平面， 则三棱锥的体积， 当且仅当时等号成立.故三棱锥体积的最大值为，故Ａ正确； 对于B，由上已证平面，因平面，所以 因为点O在直线PM上的射影为H，所以 由且平面，得平面， 因平面，则，又，连接OC，又C为PA的中点，故， 又平面，所以平面，因平面，故恒成立，即B不正确； 对于C，由选项B可知平面.因为平面，平面，所以， 因过点C且与PA垂直的平面仅有一个，则H点的轨迹为以OC为直径的圆（除去两点）． 因为，所以H点的轨迹周长为，故C正确； 对于D，方法一：由选项B可知因，则点必在圆内， 设，则，，， 令，则. 当时，，在上单调递增；所以，故D错误. 方法二：，当且仅当 即时，取等. 因为，所以，即，故D错误. 故选：AC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在的展开式中，的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】写出展开式的通项公式，令，可得，求出答案. 【详解】展开式通项．令，可得， 则的系数为． 故答案为： 13. 曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】求导代入得到切线斜率，从而得到切线方程，再求出与坐标轴交点即可计算出面积. 【详解】对函数求导得，故所求切线斜率，切点坐标为， 所以曲线在处的切线方程为， 令，则，令，则， 则该切线交轴于点，交轴于点， 因此，曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为. 故答案为：. 14. 已知，且函数的图像关于点对称.若（其中），则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据辅助角公式和对称性得到函数的解析式，要使得取得最小，则让取最值，结合图象即可求解. 【详解】 ， 又函数的图像关于点对称， 即，即， 则， 所以的最大值为，最小值为， 对称轴：令， 当的取值最小时， ，， 且是在轴右侧连续的最值点， 则的最小值为 . 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，某校从高三年级选取了200名学生进行问卷调查，得到如下的列联表.已知在这200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步学生的概率为0.6. 性别 跑步 喜欢跑步 不喜欢跑步 总计 男生 80 女生 20 总计 （1）依小概率值的独立性检验，能否认为喜欢跑步与性别有关？ （2）从上述不喜欢跑步的学生中用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法抽取8名学生，再从这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用表示3人中女生的人数，求的分布列及数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）不能 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据独立性检验进行判断； （2）根据分层抽样计算出男女生人数，结合超几何分布计算概率写出分布列，最后计算数学期望； 【小问1详解】 由题可知，从200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步学生的概率为0.6， 故喜欢跑步的有（人），不喜欢跑步的有（人）． 补全列联表如下： 性别 跑步 喜欢跑步 不喜欢跑步 总计 男生 80 60 140 女生 40 20 60 总计 120 80 200 由列联表中的数据， 零假设:喜欢跑步与性别无关， 由， 根据小概率值的独立性检验，我们没有充分证据推断喜欢跑步与性别有关，即认为喜欢跑步与性别无关． 【小问2详解】 设抽取的8人中女生有名，男生有名，则，解得，， 所以从不喜欢跑步的学生中抽取女生2名，男生6名． 再从这8人中抽取3人（从8名学生（6名男生、2名女生）中抽取3名，典型的超几何分布模型）， 故的可能取值为0，1，2， 且，，， 故的分布列为 X 0 1 2 P 方法一：数学期望． 方法二：服从超几何分布，且，，，所以． 16. 如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，是等边三角形，平面平面，点是的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，证得，再利用线面平行的判定推理得证. （2）取中点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量法求解. 【小问1详解】 在四棱锥中，取的中点，连接， 由点是的中点，得，而， 则，四边形是平行四边形，因此， 而平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 取中点，连接，由正三角形，得， 由，得四边形是矩形，则， 由平面平面，平面平面，平面， 得平面，则直线两两垂直，设， 以为原点，直线分别为建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量，则，令，得， 又，则， 所以直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数的极值点个数； （3）证明：． 【答案】（1）单调递增区间为，递减区间为. （2）函数有唯一的极值点 （3）证明见详解 【解析】 【分析】（1）确定函数定义域求导，根据导函数的单调性确定正负，然后即可得出单调区间； （2）确定函数定义域求导，对函数求导，得到函数的单调性，再利用零点存在定理可确定存在唯一的零点，由此可得到函数存在唯一的极值点； （3），分类讨论，当和可直接判断，当，不等式等价于，令，求导分析单调性即可证明不等式. 【小问1详解】 由题知函数的定义域为， ，又在上单调递减，且， 所以的解为，的解为， 即的单调递增区间为，递减区间为. 【小问2详解】 函数的定义域为， ，令， ，所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，； 又，所以在内有唯一的零点， 即在内唯一的零点， 当时，，当时，， 所以函数有唯一的极值点. 【小问3详解】 令， 由（1）， 当时，，，此时， 当时，，，此时， 当时，要证， 即证， 令， ， 又时，，，即， 所以在单调递增，， 即得证， 综上，. 18. 已知椭圆上点到其右焦点的最大距离为3． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）． ①若的面积为，求直线的方程； ②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上． 【答案】（1） （2）① ；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得出的值，进而得出求出椭圆方程； （2）①设直线的方程及，联立椭圆方程，利用韦达定理，表示出弦长，结合点到直线的距离公式和三角形面积公式建立方程求解； ②联立直线得出代数关系式，结合韦达定理构造方程，化简计算求解． 【小问1详解】 椭圆上点到其右焦点的最大距离为3， ，故， ， 椭圆的方程为； 【小问2详解】 ①设过点的直线方程为，点， 联立，得， 则， 则， 又点到直线距离， 令，化简整理得 ，，，解得， 直线的方程为． ②由①知，， 直线，直线， 联立直线，整理得， 由①知，， ， 即，解得， 点在直线上． 19. 甲、乙、丙三人进行一种传球游戏：当球在甲手中时，甲将球保留（也记为一次传球）的概率为，否则甲将球传给乙；当球在乙手中时，乙将球传给甲的概率为，否则乙将球传给丙；当球在丙手中时，丙将球传给甲的概率为，否则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中. （1）设传球三次后，球在甲手中过的次数为，求随机变量的分布列和数学期望； （2）传次球后，记球在乙手中的概率为，求数列的通项公式； （3）在第（2）问的条件下，设.求证：. 【答案】（1）分布列见解析，1 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据传球游戏的规则，可得，再根据独立事件概率公式，求解概率，再结合分布列公式，即可求数学期望； （2）首先题意，可得关于数列的递推公式，，再通过构造求数列的通项公式； （3）首先根据（2）的结果，求，并利用放缩法证明不等式. 【小问1详解】 由题意知，， ， ， ， ， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 随机变量的数学期望为； 【小问2详解】 由于传次球后不在乙手中的概率为， 此时无论球在甲手中还是球在丙手中，均有的概率传给乙， 故有， 变形为， 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以数列的通项公式； 【小问3详解】 由（2）可得， 则 所以. 又因为， ， 所以， 综上，. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是找到关于数列的递推公式，从而可以利用数列的知识解决问题，第三问的关键是对通项合理的放缩，从而可以求和，证明不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 方城县第一高级中学2025-2026学年上学期高三2月份第1周数学学情检测 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列前三项的和为，则的公差为（ ） A. 3 B. 2 C. 2 D. 3 3. 已知一组样本数据1，2，2，3，4，5，则2.5是该组数据的（ ） A 极差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数 4. 若双曲线的两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 或 5. 若，是两个互相垂直的单位向量，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 已知矩形，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为1，当圆锥的体积取最大值时，圆锥的底面半径为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若复数的共轭复数为，则 B. 若，，则复数的虚部是2i C. 若复数纯虚数，则实数或 D. 若复数满足，则的最大值为2 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的一个零点为 C. D. 在上单调递增 11. 如图所示，在圆锥PO中，PO为高，AB为底面圆直径，圆锥的轴截面是面积等于4的等腰直角三角形，C为母线PA的中点，点M为底面上的动点，且，点O在直线PM上的射影为H，当点M运动时，则有（ ） A. 三棱锥体积的最大值为 B. 直线PA与直线CH不可能垂直 C. 点H的轨迹长度为 D. 的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在的展开式中，的系数为______． 13. 曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为_____. 14. 已知，且函数的图像关于点对称.若（其中），则的最小值为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，某校从高三年级选取了200名学生进行问卷调查，得到如下的列联表.已知在这200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步学生的概率为0.6. 性别 跑步 喜欢跑步 不喜欢跑步 总计 男生 80 女生 20 总计 （1）依小概率值独立性检验，能否认为喜欢跑步与性别有关？ （2）从上述不喜欢跑步的学生中用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法抽取8名学生，再从这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用表示3人中女生的人数，求的分布列及数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 16. 如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，是等边三角形，平面平面，点是的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数的极值点个数； （3）证明：． 18. 已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）． ①若的面积为，求直线的方程； ②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上． 19. 甲、乙、丙三人进行一种传球游戏：当球在甲手中时，甲将球保留（也记为一次传球）的概率为，否则甲将球传给乙；当球在乙手中时，乙将球传给甲的概率为，否则乙将球传给丙；当球在丙手中时，丙将球传给甲的概率为，否则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中. （1）设传球三次后，球在甲手中过的次数为，求随机变量的分布列和数学期望； （2）传次球后，记球在乙手中的概率为，求数列的通项公式； （3）在第（2）问的条件下，设.求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $