2026届高考数学模拟卷（5月份）

**基本信息** 2026届高考数学5月模拟卷以导航机器人数据、硬币抛掷字符序列等真实情境为载体，融合统计与概率、函数与导数等核心知识，突出数学建模与逻辑推理能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、向量、统计、双曲线、圆台、三角函数、概率|第4题以导航机器人避障阈值数据考查线性回归与百分位数，体现数学眼光| |多选题|3/18|函数性质、数列、立体几何|第11题正方体动态点问题，融合空间观念与创新意识| |填空题|3/15|二项式定理、椭圆、不等式|第14题多元不等式求最值，考查数学思维的严谨性| |解答题|5/77|三角函数与解三角形、导数、立体几何、解析几何、概率统计|第19题硬币抛掷字符序列问题，结合概率与数列证明，突出数学语言表达与逻辑推理|

2026届高考数学模拟卷（5月份） 数 学 试 题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设全集为，集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数为实数，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，若，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 4．某导航机器人团队，调研5组不同避障阈值（单位：灵敏度）与路径规划耗时（单位：）得到的数据如下表： 避障阈值 9 9.5 10 10.5 11 规划耗时 8 6 5 由表中数据可知，规划耗时与避障阈值之间存在较强的线性相关关系，其经验回归方程是，则规划耗时数据5，6，8，，的第百分位数为（    ） A．8 B．9 C． D． 5．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则a的值为（    ） A． B． C．3 D． 6．设一个圆台的侧面积、体积分别为、，将它的高扩大到原来的2倍（上、下底面圆的半径均不变），得到的圆台的侧面积、体积分别为、，则（   ） A．， B．， C．， D．， 7．将函数图象上的点向左平移个单位长度得到点，若在函数的图象上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知平面坐标系内一曲线的初始状态，每次随机变换的概率按照下述规则之一进行：（1）关于轴对称的概率为；（2）关于轴对称的概率为；（3）关于直线对称的概率为；（4）关于直线对称的概率为．经过次变换后曲线的状态记为，则次变换后中取值范围为的概率为（   ） A． B． C． D． 二．多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．设函数，则下列说法中正确的有（   ） A．函数的关于对称 B．在区间上单调递增 C．直线，与曲线的公共点个数相等 D．函数有三个零点 10．已知数列，，，数列满足若在数列中去掉的项，余下的项组成数列，则（      ） A． B． C． D． 11．在棱长为1的正方体中，点在线段（包括两端点）上运动，点为线段的中点，则（   ） A．存在点，使得 B．存在点，使得平面 C．当时，经过点A，C，E的平面将正方体分成体积之比为3:1的两部分 D．当的面积为时，三棱锥的外接球表面积为 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．在的展开式中项的系数为______. 13．已知椭圆的左右焦点分别为为椭圆上一点，若，则的面积为______． 14．实数满足，，则的最小值是_____. 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知函数在区间单调，其中为正整数，，且图象关于点对称． (1) 求的最小正周期； (2) 在中，, ，边上的中线长为，求的面积． 16．（15分）已知函数． (1) 讨论的单调性； (2) 若，，，求的取值范围 17．（15分）如图所示，正四棱锥的底面边长为，延长CD到点，使，连接. (1) 证明：平面； (2) 若为等边三角形，点是线段上的动点，记与平面所成的角为，求的最大值. 18．（17分）已知曲线的方程为：，、为常数，斜率为的直线过点. (1)若，抛物线上一点，点为焦点，求的值及线段的长； (2)若，直线与曲线有三个不同的交点，求的取值范围； (3)若实数、满足：且，设直线与曲线有三个不同的交点，，求的取值范围. 19．（17分）将一枚质地均匀的硬币重复抛掷，按如下规则从左至右依次生成一个由数字“1”和“0”组成的字符序列：若硬币正面朝上，则在当前序列的末尾添加一个字符“1”；若硬币反面朝上，则在当前序列的末尾添加两个连续的“0”，称这两个“0”中前一个为“前0”，后一个为“后0”．例如，抛掷5次硬币的结果依次是：正、反、正、正、反，那么得到的字符序列为1001100，共7个字符，此时从左向右第4个字符为1，第6个字符为0． (1)若抛掷3次硬币，记得到的字符序列中字符总数为，求； (2)对，记为从左向右第n个字符是“前0”的概率，为从左向右第n个字符是0的条件下，第n+1个字符是1的概率. （ⅰ）证明：为等比数列； （ⅱ）求的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高考数学模拟卷（5月份） 参考答案 一、单选题 1．设全集为R，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】由题知或，又 集合，又或则.故选：B 2．已知复数为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 3．已知向量，若，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】A【详解】因为， 则，则，所以，解得. 4．某导航机器人团队，调研5组不同避障阈值（单位：灵敏度）与路径规划耗时（单位：）得到的数据如下表： 避障阈值 9 9.5 10 10.5 11 规划耗时 8 6 5 由表中数据可知，规划耗时与避障阈值之间存在较强的线性相关关系，其经验回归方程是，则规划耗时数据5，6，8，，的第百分位数为（    ） A．8 B．9 C． D． 【答案】C 【详解】，代入回归方程得， ，解得， 规划耗时数据升序排列为：5，6，8，，， 第百分位数位置为：,当不是整数时，向上取整，为第4个数据，即为． 5．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则a的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A【详解】由双曲线可知该双曲线的一条渐近线为， 由圆可知该圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 因为渐近线被圆所截得的弦长为，且， 所以，故选：A 6．设一个圆台的侧面积、体积分别为、，将它的高扩大到原来的2倍（上、下底面圆的半径均不变），得到的圆台的侧面积、体积分别为、，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C【详解】设原圆台的底面半径分别为、，高为，母线长为， 则，， 扩大后的圆台母线长为，， 可得； 由台体体积公式可知，上、下底面的面积不变，高扩大到原来的2倍，有． 7．将函数图象上的点向左平移个单位长度得到点，若在函数的图象上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】点在上，代入， 得：， 点向左平移个单位，纵坐标不变，横坐标减，得， 因为点在的图象上， 所以，化简得：， 解得，因为，取，得最小正值. 8．已知平面坐标系内一曲线的初始状态，每次随机变换的概率按照下述规则之一进行：（1）关于轴对称的概率为；（2）关于轴对称的概率为；（3）关于直线对称的概率为；（4）关于直线对称的概率为．经过次变换后曲线的状态记为，则次变换后中取值范围为的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】定义域为，进行（1）或（2）变换时，不会影响定义域， 若第一次进行了（3）变换，此时变化为，定义域变为， 若再进行（3）变换，变化为，定义域变为， 若再进行（4）变换，变化为，定义域变为， 若再进行（1）或（2）变换，定义域不会为； 若第一次进行了（4）变换，此时变化为，定义域变为， 若再进行（3）变换，变化为，定义域变为， 若再进行（4）变换，变化为，定义域变为， 若再进行（1）或（2）变换，定义域不会为； 故次变换后中取值范围为的变换可能有以下几种： 三次都为（1）或（2）变换，概率为； 第一次为（1）或（2）变换，第二、三次都为（3）或（4）变换， 概率为； 第一次为（3）或（4）变换，后续有一次为（3）或（4）变换， 有一次为（1）或（2）变换，概率为； 故次变换后中取值范围为的概率为. 二、多选题 9．设函数，则下列说法中正确的有（   ） A．函数的关于对称 B．在区间上单调递增 C．直线，与曲线的公共点个数相等 D．函数有三个零点 【答案】AD A正确； 对于B，， 当时，单调递减，所以B选项不正确； 对于C，因为， 所以当时，单调递减， 当，或时，单调递增， 因为，当时，， 当时，，所以直线，与曲线的公共点个数分别为和，所以C选项不正确；D选项正确. 10．已知数列，，，数列满足若在数列中去掉的项，余下的项组成数列，则（      ） A． B． C． D． 【答案】ACD【详解】对于A，因为，即， 所以， 故数列为等比数列，又，所以， 则，故A正确； 对于B，，则，故B错误； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，因为，， 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列， ，，，， 又，，，因为， 为正奇数组成，的项也是奇数， 由上面推理可得，…是由的前14项去掉的前4项余下的项组成， 所以 故D正确. 故选：ACD. 11．在棱长为1的正方体中，点在线段（包括两端点）上运动，点为线段的中点，则（   ） A．存在点，使得 B．存在点，使得平面 C．当时，经过点A，C，E的平面将正方体分成体积之比为3:1的两部分 D．当的面积为时，三棱锥的外接球表面积为 【答案】BCD 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 设 对于 ， ，若 ，则 ，即 不符，故 错. 对于 ：设平面 的法向量为则 令则 则平面 的法向量 ， 若 平面 ，则 0，即 ，故存在这样的点 故选项B正确； 选项C：由设则故解得： 假设经过点A，C，E的平面将正方体分成体积之比为3：1的两部分， 连接过点做与平行，与交于点 作直线可知三条直线交于点 所以多面体为三棱台， 则三棱台体积为 又三棱台体积为 解得：成立，故选项C正确， 对于D，设则又 则 解得： 则与 重合， 即 ，即 与 重合，则球心 为 ， ， ，D 对 设球心为 则利用球心到球表面上的点的距离相等可知： 则， ， 将上面两式代入第三个方程： 即 ，则 所以球心为 半径为球的表面积为 ： ，故选项D正确， 三、填空题 12．在的展开式中项的系数为______. 【答案】25 【详解】因为的展开式中含的项为， 所以的展开式中项的系数为25. 13．已知椭圆的左右焦点分别为为椭圆上一点，若，则的面积为______． 【答案】 【详解】椭圆的方程为，. ，，. 又，得. 在中，由余弦定理得：，. .故答案为： 14．实数满足，，则的最小值是__________. 【答案】 【详解】由， 因为，可得， 所以， 又由，可得，所以在上单调递增， 又因为，则， 则， 表示函数图象上的点到直线上一点的距离， 则最小值为图象与直线平行的切线到直线的距离， 设切点为，其中，由，可得， 令，解得，可得，即切点为， 可得切点为直线距离为， 即的最小值是.故答案为：. 四、解答题 15．已知函数在区间单调，其中为正整数，，且图象关于点对称． (1)求的最小正周期； (2)在中，，，边上的中线长为，求的面积． 【详解】（1）由题意，的最小正周期，所以， 由为正整数可得， 又因为图象关于点对称，所以，即． 由，若，，无解； 若，，； 若，，无解．所以，，的最小正周期为． （2）由可得，又，， 从而，故． 设边上的中线为，，则 ，，， 解得．所以的面积． 16．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，，，求的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，，不等式， 令，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，则， 所以的取值范围是. 17．如图所示，正四棱锥的底面边长为，延长CD到点，使，连接. (1)证明：平面； (2)若为等边三角形，点是线段上的动点，记与平面所成的角为，求的最大值. 【详解】（1）由题意得，点是正方形的中心，所以平面. ∵平面，∴. ∵正方形中，， 平面， ∴平面PAC. ∵四边形中，∥， ∴四边形是平行四边形，∴∥，. ∴平面. （2）∵平面，平面， ∴. ∵，∴两两垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图空间直角坐标系. 由题意知，， ∴，. ∴， ∴. 设平面的法向量为， 则， 令，则， ∴平面的一个法向量为. 设，则. 记与平面所成的角为，则. 由，得，所以， ∴， ∴的最大值为，此时，点与的中点重合. 18．已知曲线的方程为：，、为常数，斜率为的直线过点. (1)若，抛物线上一点，点为焦点，求的值及线段的长； (2)若，直线与曲线有三个不同的交点，求的取值范围； (3)若实数、满足：且，设直线与曲线有三个不同的交点，，求的取值范围. 【详解】（1）当时，抛物线过点，则， 抛物线的焦点，准线，所以. （2）当时，曲线， 当时，是开口向右的抛物线，当时，是轴负半轴， 由直线与曲线有三个不同的交点，得直线与轴负半轴必相交， 由，得，因此，解得； 直线与抛物线有两个不同交点，即方程有两个不等的非负根， 由，解得，因此， 所以的取值范围是. （3）由且，得曲线的方程为：，， 当时，是开口向右的抛物线； 当时，是开口向左的抛物线（除顶点外）， 由直线与曲线有三个不同的交点，等价于直线与相交，且与抛物 线相切，或直线与相切，且与抛物线相交， 不妨令，由消去得，， 由消去得，， 若直线与相交，且与抛物线相切， 则，解得，， ； 若直线与相切，且与抛物线相交， 则，解得，， ， 所以的取值范围是. 19．将一枚质地均匀的硬币重复抛掷，按如下规则从左至右依次生成一个由数字“1”和“0”组成的字符序列：若硬币正面朝上，则在当前序列的末尾添加一个字符“1”；若硬币反面朝上，则在当前序列的末尾添加两个连续的“0”，称这两个“0”中前一个为“前0”，后一个为“后0”．例如，抛掷5次硬币的结果依次是：正、反、正、正、反，那么得到的字符序列为1001100，共7个字符，此时从左向右第4个字符为1，第6个字符为0． (1)若抛掷3次硬币，记得到的字符序列中字符总数为，求； (2)对，记为从左向右第n个字符是“前0”的概率，为从左向右第n个字符是0的条件下，第n+1个字符是1的概率. （ⅰ）证明：为等比数列； （ⅱ）求的最大值. 【详解】（1）掷3次硬币，每次硬币正面朝上时添加1个字符，反面朝上时添加2个字符，所以的取值可能为. 当时，即3次都是正面朝上，概率， 当时，即2次正面朝上，1次反面朝上，从3次中选1次反面朝上，概率， 当时，即1次正面朝上，2次反面朝上，从3次中选1次正面朝上，概率 ， 当时，即3次都是反面朝上，概率， . （2）（ⅰ）若第个字符是“前0”，则第个字符必须是“后0”， 若第个字符是“后0”或 “1”，则第个字符是“前0”的概率为，是“1” 的概率为， 则有，即， 即， 第1个字符是“前0”的概率为，则， 则是首项为，公比为的等比数列. （ⅱ）若第个字符是“0”，则第个字符是“0”的概率为，是“1” 的概率为， 又第个字符是“前0”的概率为，第个字符是“后0”的概率为，则第个字符是0的概率为， 若保证第个字符是1，则第个字符一定是“后0”，其概率为， 所以可得， 是首项为，公比为的等比数列， ，， ， ， ， 设，则，， ， 设， ， 在定义域内是单调递增函数， 的最大值为，即当时，， 当时，的绝对值逐渐减小，逐渐趋近于， 故的最大值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $