精品解析：2026年广东广州市部分学校中考一模九年级数学试卷

2026年广东广州市部分学校中考一模九年级 数学试卷 （本试卷共8页，25小题，满分120分．考试用时120分钟．） 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的圆珠笔或钢笔填写自己的考生号、姓名；将自己的条形码粘贴在答题卡的“条形码粘贴处”． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试卷上． 3．非选择题答案必须用黑色字迹的圆珠笔或钢笔写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，涉及作图的题目，用2B铅笔画图；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动后的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔（作图除外）、涂改液和修正带．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 若有理数a与b互为倒数，则下列表述错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，数轴上四个点表示的数可以使不等式组成立的是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 5. 甲、乙两位同学进行了5轮的定点打靶训练，每轮打靶100次，他们的命中率折线统计图如图．下面根据统计图得到的结论中，正确的是（ ） A. 甲打靶命中率的平均数大，且成绩更稳定 B. 乙打靶命中率的平均数大，且成绩更稳定 C. 甲打靶命中率的中位数大，但乙的成绩更稳定 D. 乙打靶命中率的中位数大，但甲的成绩更稳定 6. 如图，在中，，是的中线，于点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图为云南拉祜族竹编技艺编织的圆锥形斗笠帽，若这种帽子的底面半径为，高为，则该斗笠帽的侧面积为（ ） A. B. C. D. 8. 中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：今有雀一只重一两九铢，燕一只重一两五铢．有雀燕二十五只，并重二斤一十三铢，问燕雀各几何？（注：古代质量单位中1斤两，1两铢），题目大意：1只雀重1两9铢，1只燕重1两5铢．雀和燕一共有25只，共重2斤13铢．燕、雀各有多少只？设有只燕、有只雀，则可列方程组为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，正方形的边长为，以为边在正方形外作等边三角形，连接，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点A作x轴的平行线l，将直线向上平移个单位长度后、分别与x轴，反比例函数，直线l交于点B，C，D．当时，b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分．） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是___________． 12. 如图的小树卡通画是由平移前后的两个等腰三角形和一个矩形组成的．如果图中，那么的度数为___________． 13. 如图，已知，与交于点，若，，则的长为___________． 14. 已知，是一元二次方程的两个实数根，且，则的值为________． 15. 如图，在半径为的中，为的中点，，为上两点，，连接，则的最大值为___________． 16. 如图，将一张矩形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕，连接．再将矩形纸片折叠，使点B落在上的点H处，折痕为，折痕与折痕交于点Q，连接，． （1）_____（用含的式子表示）； （2）当时，______． 三、解答题（本大题有9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．） 17. 解方程：． 18. 如图，在和中，，，（点，，，在同一条直线上）．求证：． 19. 已知，，，试从或中任选一个进行化简，并求出当时，你所选的整式的值． 20. 如图，在中，，为的中点． （1）实践操作：利用尺规作于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）猜想证明：若是的中点，证明：． 21. 在国产大模型持续引领全球科技热潮下，某校七年级的课外社团选修课也正如火如荼地展开，开设有定向越野、啦啦操、武术、飞盘四门选修课．小明为掌握七年级同学的选修课情况，在每个班随机抽取部分学生进行调查统计，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图信息，解答下列问题： （1）本次调查的七年级学生共有___________人；在扇形统计图中，“定向越野”对应的扇形圆心角度数为___________； （2）该校七年级学生共有900人，请你根据调查结果，估计七年级选择“啦啦操”选修课的学生人数； （3）为庆祝端午节，学校从选“武术”这门选修课的4名学生中（其中有3名男生，1名女生）随机抽取2名学生参加表演，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生参加表演的概率． 22. 如图，学校的正南方向有一条东西走向的高速路，高速路出口位于学校的东南方向，位于公园的南偏西方向，学校位于公园的北偏西方向，公园与高速路出口相距140米． （1）求学校与公园之间的距离； （2）若大型货车的噪声污染半径为150米，当大型货车在高速路上行驶时，请通过计算说明学校是否在大型货车的噪声污染范围内？若在范围内，将计划在高速路靠近学校一侧安装隔音板，则至少需安装隔音板多少米（不计损耗）？（参考数据：，，，结果保留整数．） 23. 已知一量筒装一定量水后放置在太阳下面，随着液体的蒸发，其液面高度会随着放置时间产生一定的变化．数学小组将一个带刻度的圆柱形量筒装入一定量水后放在太阳下面，通过观察放置时间的变化，记录量筒中水的液面高度，得到了如下几组数据． 放置时间 液面高度 （1）如图，在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并依次连接起来．在量筒中的水完全蒸发之前，水的液面高度（单位：）与在太阳下放置的时间（单位：）符合初中学习过的某种函数关系，则可能是___________函数关系；（请选填“一次”，“二次”或“反比例”） （2）根据以上判断，求关于的函数表达式，并直接写出的取值范围； （3）在实验条件相同且不受其他因素影响的情况下，若在中午将另一装有等量水的量筒放置在太阳下面，中间有一段时间将其移至阴凉处并加盖（假设此时液面无下降），重新移至太阳下面并去盖后，直到时液面高度下降了一半，求量筒在阴凉处放置了多长时间． 24. 如图①，在菱形中，，点为边上一动点，交于点为线段上一动点，点在边上，且． （1）求证：； （2）连接，当点是中点时． （i）如图②，若，，求的长； （ii）如图③，当点与点重合时，求的值． 25. 若抛物线与一条直线有且只有一个公共点，且这个公共点恰好是抛物线的顶点，我们称这条抛物线为该直线的顶点伴生抛物线．已知抛物线C：（m，n为常数）经过点． （1）若抛物线C是直线：的顶点伴生抛物线． （i）求抛物线C的解析式； （ii）点在抛物线C上，若当时，总有抛物线对应的函数值，求的取值范围； （2）若抛物线C是直线：的顶点伴生抛物线，点在抛物线C上，点在直线上（M，N均不与抛物线顶点重合）．设，若d是一个与无关的定值，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年广东广州市部分学校中考一模九年级 数学试卷 （本试卷共8页，25小题，满分120分．考试用时120分钟．） 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的圆珠笔或钢笔填写自己的考生号、姓名；将自己的条形码粘贴在答题卡的“条形码粘贴处”． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试卷上． 3．非选择题答案必须用黑色字迹的圆珠笔或钢笔写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，涉及作图的题目，用2B铅笔画图；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动后的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔（作图除外）、涂改液和修正带．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 若有理数a与b互为倒数，则下列表述错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查倒数的定义，根据倒数的定义判断各选项，找出错误表述即可． 【详解】解：∵ 有理数与互为倒数，根据倒数的定义可得， ∴ A选项表述正确； 对变形可得，， ∴ C，D选项表述正确； B选项表示与互为相反数，不符合倒数的定义，表述错误． 本题要求选错误选项，故选B． 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知： A、既是轴对称图形也是中心对称图形，符合题意； B、C、D、是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据合并同类项法则，同底数幂乘除法法则，分式乘法法则，分别计算各选项后判断正误即可． 【详解】解：选项A：，∴A计算正确； 选项B：，∴B计算错误； 选项C：，∴C计算错误； 选项D：，∴D计算错误． 4. 如图，数轴上四个点表示的数可以使不等式组成立的是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】B 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，再结合数轴判断点的情况即可得出结果． 【详解】， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集是， ∴点B表示的数可以使不等式组成立． 5. 甲、乙两位同学进行了5轮的定点打靶训练，每轮打靶100次，他们的命中率折线统计图如图．下面根据统计图得到的结论中，正确的是（ ） A. 甲打靶命中率的平均数大，且成绩更稳定 B. 乙打靶命中率的平均数大，且成绩更稳定 C. 甲打靶命中率的中位数大，但乙的成绩更稳定 D. 乙打靶命中率的中位数大，但甲的成绩更稳定 【答案】C 【解析】 【详解】解：甲的命中率从小到大排序后为65%，72%，83%，87%，，∴中位数为， 乙的命中率从小到大排序后为75%，79%，80%，80%，82%，∴中位数为， ∴甲打靶命中率的中位数大； 甲打靶命中率的平均数为， 乙打靶命中率的平均数为， 由题图可得出甲的打靶命中率波动程度大于乙的， ∴甲打靶命中率的平均数大，但乙的成绩更稳定． 6. 如图，在中，，是的中线，于点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：利用直角三角形斜边中线的性质得出，利用勾股定理得出，利用的正弦函数得出，求出的长即可；解法二：同理求出，，利用等面积法得出，求出的长即可． 【详解】解：解法一：是的中线，， ， ，， ， ， ， ． 解法二：是的中线，， ， ， ， ∵， ，即， ． 7. 如图为云南拉祜族竹编技艺编织的圆锥形斗笠帽，若这种帽子的底面半径为，高为，则该斗笠帽的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斗笠的底面半径、高及斗笠的母线组成直角三角形，利用勾股定理求得其母线长，然后利用扇形面积公式计算得出斗笠的侧面积． 【详解】解：∵这种帽子的底面半径为，高为， ∴母线长为， ∴该斗笠帽的侧面积为． 8. 中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：今有雀一只重一两九铢，燕一只重一两五铢．有雀燕二十五只，并重二斤一十三铢，问燕雀各几何？（注：古代质量单位中1斤两，1两铢），题目大意：1只雀重1两9铢，1只燕重1两5铢．雀和燕一共有25只，共重2斤13铢．燕、雀各有多少只？设有只燕、有只雀，则可列方程组为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意知有只燕、有只雀， 雀和燕一共有25只， ； 由题意，按古代质量单位换算，得1只燕29铢，1只雀33铢，所有的雀和燕共重2斤13铢，即（铢）， ，故选A． 9. 如图，正方形的边长为，以为边在正方形外作等边三角形，连接，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于点，延长交于点，容易证明四边形是矩形，则，由等边三角形的性质可得，，由勾股定理可得，则，利用三角形面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， 由勾股定理可得，， ∴， ∴ ． 10. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点A作x轴的平行线l，将直线向上平移个单位长度后、分别与x轴，反比例函数，直线l交于点B，C，D．当时，b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将点A代入一次函数和反比例函数中求得a和k的值，从而得到一次函数和反比例函数的解析式，由平移的性质可得新直线的解析式为，由轴和点A的坐标可得点D的纵坐标，可设点D的坐标为，点B的坐标为，当D为的中点时，点C的坐标为，由于点C在反比例函数上，从而可求出b的值，结合函数图象可得到b的取值范围． 【详解】将点分别代入一次函数与反比例函数中， 得，，解得，， ∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为， ∴将直线向上平移b个单位长度后得到的新直线的解析式为． ∵轴，， ∴点D的纵坐标为4，易得点D的坐标为，点B的坐标为， 当D为的中点时，点C的坐标为， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴，解得， 结合函数图象可得，当时，b的取值范围为． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分．） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握知识点是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，即可解答． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得． 故答案为：． 12. 如图的小树卡通画是由平移前后的两个等腰三角形和一个矩形组成的．如果图中，那么的度数为___________． 【答案】##100度 【解析】 【分析】由平移可得，则，根据是等腰三角形即可求解． 【详解】解：由平移可得， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， ∴． 13. 如图，已知，与交于点，若，，则的长为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】证明，根据相似三角形的性质即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴​， 解得． 14. 已知，是一元二次方程的两个实数根，且，则的值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】利用根与系数的关系和根的定义，将已知条件转化为关于的方程． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， 又是方程的根， ， 将代入已知条件中， 得，即， 将代入上式，得， 整理得， 因为， 所以， 解得． 15. 如图，在半径为的中，为的中点，，为上两点，，连接，则的最大值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，取的中点，连接、，作于点，取的中点，连接，设，由垂径定理可得，由直角三角形的性质可得，利用勾股定理可得．分类讨论，当点在点的右侧时，，，由，可得 ，即；当点在点的左侧时，同理可得，．因此点在以点为圆心，为半径的圆上，当、、三点共线时，取得最大值，此时也取得最大值，计算出即可． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接、，作于点，取的中点，连接，设， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵点为的中点， ∴， ①当点在点的右侧时， ∴，， 在中，， 在中，， ∴ ， 化简，得， 变形，得 ， 在中，， ②当点在点的左侧时， ∴，， 同理，，， ∴ ， 整理，得 ， ∴， 综上所述，为定值， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， ∴当、、三点共线时，取得最大值，此时， ∴的最大值为． 16. 如图，将一张矩形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕，连接．再将矩形纸片折叠，使点B落在上的点H处，折痕为，折痕与折痕交于点Q，连接，． （1）_____（用含的式子表示）； （2）当时，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质知，即点E为的中点，再由折叠的性质及垂直平分线的性质得出，利用各角之间的关系即可求解； （2）连接，由（1）得为的垂直平分线，根据相似三角形的判定和性质得出，，，，然后代入求解即可 【详解】解：（1）由折叠的性质知，即点E为的中点， ∵， ∴Q为的中点， 又∵， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴； （2）如解图，连接， 由（1）得为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴，即， ∴， 三、解答题（本大题有9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】根据解分式方程的一般步骤解方程即可，注意验根． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 去括号得：， 解得：， 检验：当时，， 是原分式方程的根． 18. 如图，在和中，，，（点，，，在同一条直线上）．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键．根据“”判定即可． 【详解】证明：， ， 即， 在和中， ， ． 19. 已知，，，试从或中任选一个进行化简，并求出当时，你所选的整式的值． 【答案】选择，当时，原式；选择，当时，原式 【解析】 【分析】根据整式的混合运算法则计算，再代入x的值计算即可． 【详解】解：选择，则 ， 当时，原式． 选择，则 ， 当时，原式． 20. 如图，在中，，为的中点． （1）实践操作：利用尺规作于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）猜想证明：若是的中点，证明：． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】（1）利用尺规作图作； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知，根据线段垂直平分线定理可知点在的垂直平分线上，所以可得，从而可证． 【小问1详解】 解：如下图所示， 以点为圆心画弧，交于点、， 分别以点、为圆心画弧，两弧交于点， 连接交于点， 即为所求作； 【小问2详解】 证明：，为的中点， ， 是的中点，， 点在的垂直平分线上， ， ． 21. 在国产大模型持续引领全球科技热潮下，某校七年级的课外社团选修课也正如火如荼地展开，开设有定向越野、啦啦操、武术、飞盘四门选修课．小明为掌握七年级同学的选修课情况，在每个班随机抽取部分学生进行调查统计，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图信息，解答下列问题： （1）本次调查的七年级学生共有___________人；在扇形统计图中，“定向越野”对应的扇形圆心角度数为___________； （2）该校七年级学生共有900人，请你根据调查结果，估计七年级选择“啦啦操”选修课的学生人数； （3）为庆祝端午节，学校从选“武术”这门选修课的4名学生中（其中有3名男生，1名女生）随机抽取2名学生参加表演，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生参加表演的概率． 【答案】（1）50， （2）估计七年级选择“啦啦操”选修课的学生人数为180人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据啦啦操的人数是10人，占总调查人数的，求出总人数；用总人数减去其余三组人数求出定向越野的人数，即可求出所对圆心角度数； （2）利用样本估计总体的方法求解即可； （3）根据列表法解答即可． 【小问1详解】 解：因此本次调查总人数为：人， 定向越野的人数为：人， 对应扇形圆心角为：； 【小问2详解】 解：由扇形统计图可知，选择“啦啦操”的人数占比为20%， （人）， 估计七年级选择“啦啦操”选修课的学生人数为180人； 【小问3详解】 解：将这4名学生分别记作：男1，男2，男3，女，根据题意，列表如下： 男1 男2 男3 女 男1 （男2，男1） （男3，男1） （女，男1） 男2 （男1，男2） （男3，男2） （女，男2） 男3 （男1，男3） （男2，男3） （女，男3） 女 （男1，女） （男2，女） （男3，女） 由列表可知，共有12种等可能的结果，其中抽到2名男生的结果有6种， （恰好抽到2名男生参加表演）． 22. 如图，学校的正南方向有一条东西走向的高速路，高速路出口位于学校的东南方向，位于公园的南偏西方向，学校位于公园的北偏西方向，公园与高速路出口相距140米． （1）求学校与公园之间的距离； （2）若大型货车的噪声污染半径为150米，当大型货车在高速路上行驶时，请通过计算说明学校是否在大型货车的噪声污染范围内？若在范围内，将计划在高速路靠近学校一侧安装隔音板，则至少需安装隔音板多少米（不计损耗）？（参考数据：，，，结果保留整数．） 【答案】（1）学校与公园之间的距离约为270米； （2）学校在大型货车的噪声污染范围内；至少需安装隔音板约108米． 【解析】 【分析】（1）过点作的平行线，过点作的垂线，进而求出的内角，过C点作的垂线构造直角三角形，利用特殊角、的三角函数值求解． （2）先计算点A到直线的垂直距离，与噪音半径比较；若受影响，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作的平行线，过点作的垂线，两线交于点． 由题意得，． ∵，， ∴，， ∴， ∴； 过点作于点， ∴， ∵， ∴，， ∴（米）． 答：学校与公园之间的距离约为270米． 【小问2详解】 如图，过点作的垂线，垂足为， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形， 由（1）知，在中，，， ∴，， ∴学校在大型货车的噪声污染范围内． 设货车在点与点之间行驶时，学校受到噪声污染，连接、、则 ∵， ∴， ∴米． 答：学校在大型货车的噪声污染范围内；至少需安装隔音板约108米． 23. 已知一量筒装一定量水后放置在太阳下面，随着液体的蒸发，其液面高度会随着放置时间产生一定的变化．数学小组将一个带刻度的圆柱形量筒装入一定量水后放在太阳下面，通过观察放置时间的变化，记录量筒中水的液面高度，得到了如下几组数据． 放置时间 液面高度 （1）如图，在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并依次连接起来．在量筒中的水完全蒸发之前，水的液面高度（单位：）与在太阳下放置的时间（单位：）符合初中学习过的某种函数关系，则可能是___________函数关系；（请选填“一次”，“二次”或“反比例”） （2）根据以上判断，求关于的函数表达式，并直接写出的取值范围； （3）在实验条件相同且不受其他因素影响的情况下，若在中午将另一装有等量水的量筒放置在太阳下面，中间有一段时间将其移至阴凉处并加盖（假设此时液面无下降），重新移至太阳下面并去盖后，直到时液面高度下降了一半，求量筒在阴凉处放置了多长时间． 【答案】（1）图见解析；一次 （2）关于的函数表达式为 （3）量筒在阴凉处放置了 【解析】 【分析】（1）描出表中数据对应的点，并依次连接起来即可，根据图象判断对应的函数关系； （2）利用待定系数法求出函数表达式，结合实际意义求出的取值范围； （3）先计算出时的液面高度，结合（2）的关系式求出在太阳下面的放置的时间，结合时间间隔，求出阴凉处放置的时间． 【小问1详解】 解：图象如图所示： 由图可知，与可能是一次函数关系； 【小问2详解】 解：设关于的函数表达式为， 将点，代入，得， 解得， ∴关于的函数表达式为， ∵，， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：由题意可知，量筒的初始液面高度为， ∵液面高度下降一半， ∴时，， 令，解得， 从到经过了， ∴量筒在阴凉处放置的时间为． 答：量筒在阴凉处放置了． 24. 如图①，在菱形中，，点为边上一动点，交于点为线段上一动点，点在边上，且． （1）求证：； （2）连接，当点是中点时． （i）如图②，若，，求的长； （ii）如图③，当点与点重合时，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由，可推导出，再证即可证明． （2）（i）根据条件首先可推导出 ，再根据 ， 可推导出 ，然后过点作 ；用勾股定理求出即可求出．（ii）首先根据 可证明，，，四点共圆，进一步推导出，然后取中点 ，连接 构造 ，可得 ，再根据的三边比值，可得，的比值，从而求出和的比，即可求出 ． 【小问1详解】 证明：∵四边形为菱形，且， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：（i）∵，为中点， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图①，过点作，交的延长线于点， ∵， 则，，， ∴， ∴； （ii）如图②，连接， ∵为中点， ∴， 由题意可知，， ∴四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴， 取中点，连接， 由（1）知，； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角函数等知识，本题的关键是根据角度的关系构造相似三角形和全等三角形． 25. 若抛物线与一条直线有且只有一个公共点，且这个公共点恰好是抛物线的顶点，我们称这条抛物线为该直线的顶点伴生抛物线．已知抛物线C：（m，n为常数）经过点． （1）若抛物线C是直线：的顶点伴生抛物线． （i）求抛物线C的解析式； （ii）点在抛物线C上，若当时，总有抛物线对应的函数值，求的取值范围； （2）若抛物线C是直线：的顶点伴生抛物线，点在抛物线C上，点在直线上（M，N均不与抛物线顶点重合）．设，若d是一个与无关的定值，求m的值． 【答案】（1）（i）；（ii）t的取值范围为或 （2）m的值为1 【解析】 【小问1详解】 解：（i）∵抛物线C是直线：的顶点伴生抛物线， ∴抛物线的顶点横坐标为1， ∴抛物线顶点坐标为（1，3）， ∴抛物线C的解析式为； （ii）由（i）得抛物线对称轴为直线， ∴点Q关于对称轴对称的点为， ∵抛物线开口向上， ∴当或时，， 若当时，总有抛物线对应的函数值， 需满足：完全在内， ∴， 解得， 或完全在内， ∴， 解得， 综上所述，t的取值范围为或； 【小问2详解】 解：∵抛物线C经过点， ∴，∴， ∴， ∵抛物线是直线：的顶点伴生抛物线，且点N在直线：上， ∴， ∴， ∴， ∵d是一个与无关的定值， ∴， 由第二个方程得， 此时为定值，符合题意． ∴m的值为1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $