福建厦门第一中学2025-2026学年高三下学期周测五数学试卷

**基本信息** 聚焦数学核心素养，以真实情境（如昆虫跳跃、沙漠治理）与梯度问题设计，适配高三周测对知识巩固与能力提升的需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|复数、函数奇偶性、双曲线、导数应用|基础概念与运算结合，如第4题用导数求最大跳跃高度| |多项选择|3/18|三角函数性质、立体几何翻折、概率统计|多维度辨析，如第11题电子元件寿命考察条件概率| |填空|3/15|三角恒等变换、函数图像、平面向量|空间想象与代数运算，如第14题向量模的范围求解| |解答|4/77|统计相关系数、解三角形、立体几何、圆锥曲线与导数|综合应用与创新，如19题导数证明不等式考察逻辑推理，15题野生动物调查体现数据观念|

福建省厦门第一中学2025—2026学年高三（下）周练五 数学试题参考解答 一、单项选择题：1．C 2．C 3．A 4．A 5．D 6．C 7．B 8．B 7．解：由题意可得，，即，，即． 再由，即，，，则最小为， ，．得，或，故选：B． 8．解：由题意可分以下四种情况讨论：①若中有一个元素，则中至少有三个元素，此时满足的情况有种，而满足恰有个元素的有种；②若中有两个元素，则中至少有两个元素，此时满足的情况有种，而满足恰有个元素的有种；③若中有三个元素，则中至少有一个元素，此时满足的情况有种，而满足恰有个元素的有种；④若中有四个元素，则中至少有一个元素，此时满足的情况有种，而满足恰有个元素的有种．故满足题意的概率为：．故选：B． 二、多项选择题： 9. AD 10. ABD 11. ACD 10．解：选项A，取中点，连接，由题易知，所 以，，所以，，又因为， 所以面，又因为面，所以，A正确； 选项B，因为，当面面时，四面体体积最大．作（垂足为），因为面面，面面，，面，所以面，因为，，B正确； 选项C，设截面与交于点，因为平面，平面平面，平面，所以，因为为中点，所以为中点；同理，且为中点，所以且，所以四边形为平行四边形．连接，因为，所以，又因为面面，所以为二面角所成的平面角，由选项C可知，因为，所以为等边三角形，所以，所以，由选项A有，所以，所以平行四边形为矩形，面积为，C错误； 选项D，当时，，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，则，设球心，则，即，解得，所以外接球表面积为，D正确． 11．解：设元件总数为，寿命为年的元件数为，依题意，， 整理得，则，两式相减得，，，而，则数列是首项为，公比为的等比数列，，对于A，，故正确； 对于B，由，得，则，故错误； 对于C，，故正确； 对于D，，设，则， ，两式相减得， ，故D正确．故选：ACD． 三、填空题： 12. 13. 14. 13．解：函数的图象经过点，．则， 整理得，解得，得，由，故． 14．解法一：不妨设，由得，即，所以．由，设，则，所以，即．代入得， 所以． 解法二：设对应，不妨设，依题意两点分别在 以为圆心，分别以为半径的圆上．由得． 即为．设中点为，则由与余弦定理， 得，所以，又，所以，所以，即．所以在以为圆心，以为半径的圆上运动，而在该圆内部．所以，所以． 解法三：以为邻边，构造矩形，则，且．由“矩形大法”：，所以，则在以为圆心，以为半径的圆上，在圆内，所以． 四、解答题： 15．解：（1）由已知，， 个样区野生动物数量的平均数为， 2分 该地区这种野生动物数量的估计值为； 4分 （2），，， ； 8分 （3）更合理的抽样方法是分层抽样， 10分 参考理由如下（言之有理即可）： 根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对个地块进行分层抽样．由（2）知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确地估计． 13分 16．解：（1）因为， 2分 所以 3分 因为，所以，所以． 5分 因为，所以． 6分 （2）由可得， 8分 所以 10分 所以，即， 12分 当且仅当时等号成立，所以． 13分 所以，所以的最大值为． 15分 17．解：（1）证明：直三棱柱的底面是边长为的正三角形， ，分别是，的中点．，， ，平面， 3分 平面，平面平面． 5分 （2）以为原点，在平面中过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设三棱柱的高. ，，，所以， 7分 所以，，，， 设平面的法向量， 则，取， 10分 点到平面的距离 所以，即，解得. 12分 所以 设平面的法向量， 则，取， 13分 设直线与平面所成的角为，则， 直线与平面所成的角的正弦值为． 15分 （2）法二：作于，于， 平面，， 又，平面，同理平面． 所以，是直线与平面所成的角． 8分 ，在中，，所以， 所以在中，，所以． 11分 在中，，所以. 在中，由，得． 14分 直线与平面所成的角的正弦值为． 15分 18．解：（1）抛物线的焦点， 直线的倾斜角为，则斜率，故直线的方程为． 3分 （2）证明：联立消去，整理得． 设，，由韦达定理得，所以． 5分 由，可得，所以， 6分 即，所以直线，故直线过定点． 8分 （3）当时，． 设，又因为，所以． 9分 由，得， 化简得，① 11分 联立消去，整理得． 由，得． 所以． 13分 由，，且， 得，从而，即， 化简得，② 15分 ①②两式相减，整理得． 而，即， 16分 故，即． 故存在点使得、、成等比数列，、、也成等比数列． 17分 19．解：（1）当时，，求导得， 1分 令，求导得，函数在上单调递增， 2分 而，则当时，；当时，， 因此函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 4分 （2）不等式， 5分 设函数，求导得， 6分 设，求导得， 函数在上单调递增，且， 8分 则当时，，；当时，，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 9分 ，则， 因此的取值范围是； 10分 （3）证明：由（2）知，当时，，当且仅当时等号成立， 则，即，同理， 于是，即， 12分 当时，，，显然当时，，单调递增， 当时，令，则， 当时，；当时，， 则当时，，单调递增， 而，且，则存在唯一，使得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 15分 又，，则存在唯一，使得， 因此当时，，当时，， 而，且，于是，即， 又，则，即，从而， 因此． 17分 （3）法二：由（2）知，当时，，当且仅当时等号成立， 所以，只需证明。 （*） 由，结合（2）可得，，所以。 将看成一个整体，下面要证明（*）式，只需证明当时，。 ，， ①当时，， 所以在单调递增，所以； ②当时，，所以在单调递减， 所以，所以在单调递增，由， 由零点存在性定理，存在，使得， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增。 由，，由零点存在性定理，存在，使得， 因此当时，，当时，， 又，则，即，从而成立。 厦门一中2025-2026学年高三（上）12月适应性练习数学参考解答 第3页 （共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省厦门第一中学2025—2026学年高三（下）周练五 数学试卷 满分为150分，考试时间120分钟 注意事项： 1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，复数是复数的共轭复数，则 A． B． C． D． 2．设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是 A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 3．已知为双曲线的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为 A． B． C． D． 4．部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌．已知某类昆虫在水平方向上速度为（单位：米秒）时的跳跃高度（单位：米）满足，则该类昆虫的最大跳跃高度为 A．米 B．米 C．米 D．米 5．已知的展开式中的系数为，则 A． B． C． D． 6．数列中，，．若，则 A． B． C． D． 7．设函数，若存在的极值点满足，则的取值范围是 A． B． C． D． 8．从集合的非空子集中随机取出两个不同的集合，则在的条件下，恰有个元素的概率为 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 9．关于函数有下述四个结论正确的有 A．是偶函数 B．在区间单调递增 C．在有个零点 D．的最大值为 10．如图，与是两个等腰三角形，，． 将沿着翻折到，如图，设二面角的平面角为， 分别为和的中点，则 A． B．四面体体积的最大值为 C．时，过直线且与平行的平面截四面体所得截面面积为 D．时，四面体外接球表面积为 11．假设在一定的环境下，某种电子元件的寿命（单位：年）是一个取值为正整数的随机变量，且满足如下统计规律：对任意正整数，寿命恰好为的元件在所有寿命不小于的元件中的占比 为．记事件，事件，则下列说法正确的是 A． B． C．设，则 D．设，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，是第三象限的角，则　▲　． 13．已知常数，函数的图象经过点，．若， 则　▲　． 14．已知平面向量满足：，，，且．则的 取值范围为　▲　． 四、解答题：共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分) 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取个作为样区，调查得到样本数据，其中和分别表示第个样区的植物覆盖面积 （单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得，，，，． （1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）； （2）求样本的相关系数（精确到）； （3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确地估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由． 附：相关系数，． 16．(15分) 在中，角的对边分别为，记的面积为，满足． （1）求； （2）若满足，且，求的最大值． 17．(15分) 如图，直三棱柱的底面是边长为的正三角形，分别是的中点． （1）证明：平面平面； （2）若点到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值． 18．(17分) 已知三条直线分别与抛物线交于点、，为轴上一定点，且，记点到直线的距离为，△的面积为． （1）若直线的倾斜角为，且过抛物线的焦点，求直线的方程； （2）若，且，证明：直线过定点； （3）当时，是否存在点，使得、、成等比数列，、、也成等比数列？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．(17分) 已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）若，求的取值范围； （3）若，设，且，证明：． 厦门一中2025-2026学年高三（下）周考一数学 第4页 （共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $