湖南衡阳市衡阳县第四中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题（A卷）

**基本信息** 高二数学期中卷涵盖集合、向量等基础与函数导数、立体几何等综合内容，以小明游玩概率、正方体轨迹等情境设计，考查数学眼光观察、思维推理及语言表达能力，适配期中分层检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|集合运算、向量共线、复数模、三角函数求值|基础概念直接考查，如第5题等差数列首项计算| |多项选择|3/18|函数奇偶性与极值、立体几何体积与线面关系|第11题结合正方体点轨迹，考查空间观念与创新意识| |填空|3/15|函数新定义、等比数列求和、椭圆焦点三角形|第12题以正因数个数定义函数，培养抽象能力| |解答|5/77|解三角形、导数单调性、概率期望、立体几何证明、双曲线综合|第17题分装入袋取球问题，融合数学建模与数据分析；第19题双曲线渐近线距离之积证明，体现逻辑推理|

衡阳县四中2026年上学期期中考试 高二数学试题卷（A卷） 命题人：颜磊 （本试题卷共2页。试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若与共线，则（    ） A. B. C. D. 3. 在复平面内，复数，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是等差数列，且，，则首项等于（ ） A. 0 B. C. D. 6. 小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，各天穿戴的情况独立，表示他在20天的游玩时间中只戴帽子的天数，则其期望（ ） A. 4天 B. 8天 C. 10天 D. 16天 7. 已知函数在处有极小值，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 在平面直角坐标系中，已知定点、，平面内两个动点、满足，，且点在的平分线上，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某班开设了“打球”“弹琴”“跳舞”“唱歌”4个课外活动项目．在一次活动中，甲、乙、丙3名学生每人至少选1个、至多选2个项目，且每个项目恰有1人选择．设事件“甲选打球”，“甲选唱歌”，“乙选跳舞”，则（ ） A. 与互斥 B. C. 与相互独立 D. 10. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 3是的极大值点 C. 曲线在点处的切线方程为 D. 若，则在上存在最大值 11. 正方体的棱长为2，点在平面内（含边界），且点到点的距离与到平面的距离相等，点为线段中点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 恰有两个点，使得直线平面 C. 的最小值为 D. 若与平面所成角的正弦值为，则到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的函数值等于的正因数的个数．例如，，则______． 13. 已知等比数列的前项和为，若，，则_____________． 14. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点在椭圆上且在 轴上方. 若 的面积为 12，则直线的斜率为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若角是锐角，，求的面积． 16. 已知函数（其中为自然对数的底数）． (1)求函数的单调区间； (2)当时，证明：； 17. 现将个黑球与个白球分装入甲､乙两袋中，通过掷骰子来决定每次操作，掷出奇数点则从甲袋中取一个球，掷出偶数点则从乙袋中取一个球，每次取出的球不放回. （1）若，且甲袋中放有2个黑球与2个白球，求操作一次取出的球是白球的概率； （2）若且甲袋中均为黑球，乙袋中均为白球， （i）操作5次时，求取出白球个数的数学期望； （ii）设事件为“当白球取完时，黑球剩余数量不少于2个”，求. 18. 已知正方体的棱长为2，是空间中的一点. （1）证明：直线平面； （2）若直线平面，则在平面内是否存在点，使得的长为定值，若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由. （3）若点在平面内，且满足平面平面，请判断点的轨迹，并说明理由. 19. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．点为双曲线右支上除右顶点外的任意点． (1)求双曲线的标准方程； (2)证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值； (3)已知的左顶点和右焦点，直线与直线相交于点．试问是否存在常数，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳县四中2026年上学期期中考试 高二数学答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】集合，集合， 因为，，，都在区间内， 所以. 2. 已知向量，，若与共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意知，，解得. 3. 在复平面内，复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由共轭复数定义即可得. 【详解】由，则. 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】． 5. 已知是等差数列，且，，则首项等于（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式建立方程组，解之即可． 【详解】设等差数列的公差为， 由，即， 解得. 6. 小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，各天穿戴的情况独立，表示他在20天的游玩时间中只戴帽子的天数，则其期望（ ） A. 4天 B. 8天 C. 10天 D. 16天 【答案】A 【解析】 【详解】记为事件“小明戴帽子”，记为事件“小明戴墨镜”， ，， ， 所以，，（天）. 7. 已知函数在处有极小值，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得， 由题可知，解得或． 当时，， 当时，或，当时，， 即在和上单调递增，在上单调递减. 此时在处取得极大值，不符合题意； 当时，， 当时，或，当时，， 即在和上单调递增，在上单调递减.， 此时在处取得极小值，符合题意. 8. 在平面直角坐标系中，已知定点、，平面内两个动点、满足，，且点在的平分线上，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对点的位置进行分类讨论，当点在轴右侧时，延长交于点，分析可知，且为的中点，再利用双曲线的定义可得结果. 【详解】易知点不在轴上，由知动点在单位圆上， 设点在轴右侧，如图，延长交于点． 因为点在的平分线上，且， 所以为等腰三角形，则，且为的中点，所以， 因此． 同理，当点在轴左侧时，． 故点在以、为焦点的双曲线上， 则该双曲线实轴长为，焦距，虚轴长为， 所以双曲线方程为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某班开设了“打球”“弹琴”“跳舞”“唱歌”4个课外活动项目．在一次活动中，甲、乙、丙3名学生每人至少选1个、至多选2个项目，且每个项目恰有1人选择．设事件“甲选打球”，“甲选唱歌”，“乙选跳舞”，则（ ） A. 与互斥 B. C. 与相互独立 D. 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，甲可以同时选打球和唱歌，，故与不互斥，故A错误， 对于B，先从4个项目中选择个给其中一个人，有种选法， 再将这个项目与另外两个项目全排列，分给甲、乙、丙3名学生，有种排法， 根据分步乘法计数原理可得总的样本数为种, 甲只选唱歌，此时从剩下个项目给乙、丙，有种； 甲只选唱歌和另外一个项目有种，此时从剩下个项目给乙、丙，共有种，故，故B正确， 对于C，乙只选跳舞，此时从剩下个项目给甲、丙，有种； 乙选跳舞和另外一个项目有种，此时从剩下个项目给甲、丙，有种，故， 甲选唱歌且乙选跳舞，此时有种情况，， ，故与不相互独立，故C错误， 对于D，，故D正确. 10. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 3是的极大值点 C. 曲线在点处的切线方程为 D. 若，则在上存在最大值 【答案】AC 【解析】 【详解】A，，显然是奇函数，正确； B，，易得在，上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极小值，错误； C，，，故曲线在点处的切线方程为，即，正确； D， ，在处左增右减，故为极大值点，极大值，在上单调递增，且时，，所以在上不一定存在最大值，错误. 11. 正方体的棱长为2，点在平面内（含边界），且点到点的距离与到平面的距离相等，点为线段中点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 恰有两个点，使得直线平面 C. 的最小值为 D. 若与平面所成角的正弦值为，则到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：根据等体积法计算即可；对于B：建立空间直角坐标系，根据点到点的距离与到平面的距离相等得到点的轨迹方程，结合线面平行的向量求法得到，联立求解即可；对于C：求出的解析式，结合换元法及二次函数最值求解即可；对于D：根据线面角的向量求法得到，与点的轨迹方程联立求解即可. 【详解】对于A：正方体中，平面平面， 又点在平面内（含边界），所以点到平面的距离为定值. 又点为线段中点，所以，则. 故，为定值，故A正确. 对于B：以为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 因为点为线段中点，所以. 设， 则， 点到平面的距离为， 所以，整理得，即点的轨迹方程为. 设平面的法向量为，，， 则，即，令，则，，所以. 且. 若直线平面，则，所以，即. 联立，整理得，解得或. 因为，所以. 故只有1个点，使得直线平面，故B错误； 对于C：由选项B可知，，，则. 又，，所以. 又，所以. 令，则. 令，则，则， 当，即时，取最大值1， 此时取最小值，取最小值，故的最小值为，C正确. 对于D：已知平面的一个法向量为，. 因为与平面所成角的正弦值为， 则，整理得， 联立，整理得，即， 解得或（舍去）， 故到平面的距离为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的函数值等于的正因数的个数．例如，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】将分解质因数，取质因数的不同组合即可求解. 【详解】将分解质因数：，而也为因数， 则所有正因数为：，共个. 13. 已知等比数列的前项和为，若，，则_____________． 【答案】 【分析】根据等比数列通项公式及求和公式进行求值. 【详解】由数列为等比数列，设其公比为， 又，则， 解得， 所以，即， 所以，， 所以，， 所以， 故答案为：. 14. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点在椭圆上且在 轴上方. 若 的面积为 12，则直线的斜率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】通过三角形面积确定坐标，再由斜率公式即可求解 【详解】由椭圆方程 ，得 ，， 因此 ，即 ， 所以，右焦点 ， 设 ，在轴上方故 ， 的面积： ， 解得：， 将 代入椭圆方程： ， 即 故直线​的斜率： .​ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若角是锐角，，求的面积． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边角关系转化为三角函数关系，通过三角恒等变换求出的值； （2）利用余弦定理结合完全平方式求出，进而求出三角形面积. 【小问1详解】 由， 得， . 因为，所以， 所以，可得或． 【小问2详解】 因为角是锐角，所以，则， 由余弦定理可得， 则， 因为， 所以，得， 故的面积为． 16. 已知函数（其中为自然对数的底数）． (1)求函数的单调区间； (2)当时，证明：； 【详解】（1）由得， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 因为，所以当时，当时， 故的单调递减区间是，单调递增区间是. （2）令， 则， 因为与的单调性一致，故在上单调递增， 因为，所以使得， 则当时，当时， 则在上单调递减，在上单调递增， 因为，，所以当时，， 故当时，； 17. 现将个黑球与个白球分装入甲､乙两袋中，通过掷骰子来决定每次操作，掷出奇数点则从甲袋中取一个球，掷出偶数点则从乙袋中取一个球，每次取出的球不放回. （1）若，且甲袋中放有2个黑球与2个白球，求操作一次取出的球是白球的概率； （2）若且甲袋中均为黑球，乙袋中均为白球， （i）操作5次时，求取出白球个数的数学期望； （ii）设事件为“当白球取完时，黑球剩余数量不少于2个”，求. 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）先确定每个袋子的装球情况，再结合全概率公式求解即可. （2）（i）先确定取出白球的个数服从二项分布，再结合二项分布的期望公式求解即可，（ii）结合题意得到掷骰子至多次就出现了次偶数，进而得到，再利用二项分布的对称性得到，最后求出即可. 【小问1详解】 当时，由题意得甲袋中2黑2白，乙袋中3黑2白. 则由全概率公式得. 【小问2详解】 （i）由题意得取到白球等价于选中乙袋， 设取出白球个数为，则， 由二项分布的期望公式得. （ii）由题意得事件等价于前次操作中就已经摸出所有白球， 即掷骰子至多次就出现了次偶数， 不妨设掷骰子掷满次，用表示其中掷出偶数的次数， 则，由题意得， 因为，所以解得， 故. 18. 已知正方体的棱长为2，是空间中的一点. （1）证明：直线平面； （2）若直线平面，则在平面内是否存在点，使得的长为定值，若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由. （3）若点在平面内，且满足平面平面，请判断点的轨迹，并说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， （3）点的轨迹为抛物线，理由见解析 【解析】 【分析】（1）要证明线面垂直，则需要证明该直线与平面内的两条相交直线均垂直即可. （2）方法一：建立空间直角坐标系，根据平面，利用坐标列出方程组，然后计算，即可判断其是否是定值；方法二：取中点，连接，再取的中点，先证明，得出平面，然后求出的长. （3）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，根据面面垂直列出式子，即可得到轨迹是抛物线. 【小问1详解】 在正方体中， 因为平面平面，所以. 又因为，平面. 所以平面. 【小问2详解】 法一：如图，以为坐标原点，以所在直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系， 则. 设点，则， 因为平面，所以得* 设平面内存在点，满足长为定值， 则， 由*式得， 所以当时，长为定值，此时点. 法二：如图，取中点，连接，再取的中点， 因为平面，所以. 又因为平面，所以平面， 得平面. 在中，因为为定值， 所以在平面内存在点，使得的长为定值，且为的中点. 【小问3详解】 如图，以为坐标原点，以分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系，则. 设点，平面的一个法向量为， 平面的一个法向量为， 得， 由 取，得，即. 由得，取，得. 即. 又因为平面平面，所以， 得，故点的轨迹为抛物线. 19. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．点为双曲线右支上除右顶点外的任意点． (1)求双曲线的标准方程； (2)证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值； (3)已知的左顶点和右焦点，直线与直线相交于点．试问是否存在常数，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在 【分析】（1）由渐近线倾斜角得到，再把点代入，建立方程求解； （2）设出点M的坐标为，，利用点到直线距离公式得到点M到双曲线C的两条渐近线的距离之积为定值； （3）先考虑时，再考虑，当M在x轴上方时，设出点的坐标，表达出，结合正切二倍角公式得到，故，当M在x轴下方时，同理可得结论. 【详解】（1）由双曲线的一条渐近线的倾斜角为，有，可得， 又由点在双曲线上，有， 代入，有，可得，， 故双曲线的标准方程为； （2）设点的坐标为，则，即． 双曲线的两条渐近线，的方程分别为，， 则点到两条渐近线的距离分别为，， 则． 所以点到双曲线的两条渐近线的距离之积为定值． （3）存在． ①当时，，又是的中点， 所以，所以，此时． ②当时． ⅰ）当在轴上方时，由，，可得， 所以直线的方程为， 把代入得． 所以，则． 由二倍角公式可得． 因为直线的斜率及， 所以，则． 因为，， 所以． ⅱ）当在轴下方时，同理可得． 故存在，使得． 学科网（北京）股份有限公司 $