专题04 全等三角形（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材人教版五四制

**基本信息** 以“概念-性质-判定-应用”为逻辑主线，通过11类题型系统覆盖全等三角形核心考点，融合判定方法选择、辅助线技巧（如截长补短）及综合应用，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念与性质|15题|定义辨析、对应关系分析|从全等图形定义到三角形性质，构建基础认知| |判定与应用|34题|SSS/SAS/ASA/AAS/HL选择、条件补充|判定定理正向应用与逆向推理结合| |辅助线与综合|14题|截长补短、倍长中线|复杂图形转化，提升解题策略| |尺规与角平分线|11题|作图原理、角平分线性质|实际操作与性质应用，强化数学表达|

专题04 全等三角形 题型1 图形的全等 题型7 添加条件使三角形全等（重点） 题型2 全等三角形的概念（常考点） 题型8 全等三角形的辅助线问题（难点） 题型3 全等三角形的性质（常考点） 题型 9 全等三角形综合问题 （重点） 题型4 全等三角形的判定综合（重点） 题型10 尺规作图（重点） 题型5 全等三角形的判定与性质综合（重点） 题型11 角平分线（重点） 题型6 灵活选用判定方法证全等（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 图形的全等（共3小题） 1．（23-24八年级上·江苏无锡·期末）下列说法正确的是（    ） A．面积相等的图形叫做全等图形 B．周长相等的图形叫做全等图形 C．能完全重合的图形叫做全等图形 D．形状相同的图形叫做全等图形 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）下列4个图形中的全等图形是（   ）        A．①和② B．③和④ C．①和③ D．②和④ 3．（22-23八年级上·河北邢台·期末）与下图全等的图形是（    ） A． B． C． D． 题型二 全等三角形的概念（共5小题） 4．（23-24八年级上·北京通州·期末）如图，两个三角形△ABC与△BDE全等，观察图形，判断在这两个三角形中边DE的对应边为（    ） A．BE B．AB C．CA D．BC 5．（24-25八年级上·陕西西安·期末）“如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等．”是 命题．（填“真”或“假”） 6．（24-25八年级上·陕西西安·期末）“如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等．”是 命题．（填“真”或“假”） 7．（22-23八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，如果要使以A，B，D为顶点的三角形与全等（点D不与点C重合），那么点D的坐标是 . 8．（23-24八年级上·湖北孝感·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)请画出关于y轴对称的； (2)已知点D的横、纵坐标都是整数，且和全等，请直接写出所有满足条件的点D的坐标__________（D与不重合）． 题型三 全等三角形的性质（共7小题） 9．（23-24八年级上·全国·期末）如图， ，B、C和A、D分别是对应顶点．如果， ， ，那么BC的长是（    ）   A．3 B．4 C．5 D．6 10．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）如图，在长方形中，．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B匀速运动，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点C匀速运动，点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿向点D匀速运动，连接，三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动．若在某一时刻，与全等，则a的值为（　　） A．2或 B．2或 C．或 D．2或 11．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）已知，的周长为，如果，， ． 12．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，点分别在线段上，若，且则的长为 ． 13．（24-25八年级上·湖北·期末）如图，，若，，则的度数为 ． 14．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长； (2)求证：． 15．（23-24八年级上·广西河池·期末）已知两个三角形全等，其中一个三角形的三边长分别为6，8，10，另一个三角形的三边长分别为6，． (1)求m，n的值； (2)当边长小于边长时，以，，为三角形的三边长，求边长a取值范围． 题型四 全等三角形的判定综合（共10小题） 16．（24-25八年级上·全国·期末）如图，，，由此可得下列哪组三角形全等（　　 ） A． B． C． D．没有三角形全等 17．（23-24八年级上·广西柳州·期末）下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号里符号代表的内容： 则回答正确的是（    ） A．☆代表对应边 B．※代表110° C．@代表ASA D．◎代表∠DCA 18．（24-25八年级上·四川·期末）如图，根据图中的角度和边长，能判断这两个三角形全等的方法是（   ） A． B． C． D． 19．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，，，三点在同一条直线上，，，，则不正确的结论是（    ） A．与互为余角 B． C．≌ D． 20．（22-23八年级上·吉林·期末）如图，点是的中点，若，，，可以判定与全等，则这两个三角形全等的判定依据是 （填字母）． 21．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）丽丽同学不小心把家里的一块三角形玻璃打碎成如图所示的四块，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，你认为应带去的一块是 ． 22．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，，点D为边上一点，点E在边上，，，，则的度数为 ． 23．（23-24八年级上·吉林四平·期末）如图，，，垂足分别为，，，，求证：． 24．（23-24八年级上·云南玉溪·期末）如图，在线段上，，，若，求证：． 25．（24-25八年级上·北京怀柔·期末）如图，，小明通过尺规作图、裁剪、重合的操作，证实一种全等三角形的判定方法，以下是小明的操作过程： 第一步：尺规作图. 作法：（1）作射线； （2）以点D为圆心，线段的长为半径画弧交射线于点E； （3）以D为圆心，线段的长为半径画弧； （4）以E为圆心，线段的长为半径画弧，与前弧相交于点F； （5）连接， 第二步：把作出的剪下来，放到上. 第三步：观察发现和重合. 根据小明的操作过程，请你写出小明探究的是哪种判定三角形全等的方法. 小明探究的是 . 题型五 全等三角形的判定与性质综合（共14小题） 26．（24-25八年级上·山西长治·期末）如图，在中，．以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D，再分别以点A，D为圆心，，的长为半径画弧交于点E，连接，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 27．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图所示，，，，，则（　　） A． B． C． D． 28．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图所示，，，足够长，于点，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，点，运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为（   ）． A．8或15 B．4 C．4或5 D．8 29．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在等腰直角中，，点F为上一点，连接，过点C，B分别作于点D，交的延长线于点E，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 30．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，点E在的边上，D为线段上方一点，连接，且，，，若，则的度数为 ． 31．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，，，的延长线交于点，若，则的度数为 ． 32．（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，为的中线，延长至D，使，连接，已知，则与的周长差是 ． 33．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，在中，，为边上的高，，，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点．当点运动 时，． 34．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，与交于点与交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 35．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，为上一点，为上一点，为延长线上的一点，，，． (1)请猜想与有什么关系，并说明理由； (2)若，，求． 36．（23-24八年级上·四川乐山·期末）如图．已知点C，F在直线上，且有，，．求证： 37．（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期末）如图，小明和小芳以相同的速度分别同时从点A，B出发，小明沿行走，小芳沿行走，两人分别同时到达，点C，D，若． (1)与相等吗？为什么？ (2)若，求的度数． 38．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且，求证：． 39．（24-25八年级上·全国·期末）如图①，在四边形中，，连接，且，点E在边上，连接，过点A作，垂足为F，． (1)求证：； (2)如图②，连接，且是的角平分线，求证：． 题型六 灵活选用判定方法证全等（共5小题） 40．（24-25八年级上·四川泸州·期末）如图，在中，图中的字母a，b，c表示三角形的边长，则①②③④四个三角形中的条件能够判定和全等的是（　　） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④ 41．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）根据下列条件，能唯一画出的是（    ） A． B． C． D． 42．（24-25八年级上·福建莆田·期末）按照下列条件，①，，；②，，；③，，；④，，；⑤，，．能画出唯一确定的三角形的是 ．（写出所有正确结论的序号） 43．（23-24八年级上·江苏徐州·期末）如图，已知，要使，那么可以添加条件 ． 44．（24-25八年级上·河南信阳·期末）【问题提出】 我们知道：三角形全等的判定方法有：“，，，”，面对于“”，课本第38页提供了如下材料： 思考：如图1，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木棍，得到，这个实验说明了什么？ 这个实验说明：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“”不一定成立．那么，什么情况下，“”成立呢？数学兴趣小组对两个三角形按角进行分类，展开了以下探究． 【初步思考】 我们不妨设这个对应角为，然后对进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】 (1)第一种情况：当是直角时，． 如图2，在和中，，，，根据 ，可以知道． (2)第二种情况：当是钝角时，． 如图3，在和中，，，，且、都是钝角，李明由（1）受到了启发，很快证出了．请聪明的你完成李明的推理过程； (3)第三种情况：当是锐角时，和不一定全等． ①如图4，在和中，，，，且、都是锐角，则的结论是否仍然成立；请说明成立的理由； ②如图4，和是不全等的，还要满足什么条件，就可以使？请直接写出结论： ． 题型七 添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）（共5小题） 45．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 46．（25-26八年级上·全国·期末）如图，B、E，C、F在同一条直线上，若，添加下列一个条件后，仍然不能证明，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 47．（24-25八年级上·黑龙江七台河·期末）如图，已知，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使． 48．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，点D，E 分别在线段， 上，与相交于点O，，要使，需添加的一个条件是 ．（只需写一个，不添加辅助线） 49．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知平分，点为上一点，连接，． (1)请从，中任选一个作为条件，使得结论“”成立 (2)在（）的条件下，若，，求的度数． 题型八 全等三角形综合问题（共3小题） 50．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）下列条件中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 51．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，且，且，点、、共线，并且点、、到直线的距离分别为4，2，1，则四边形的面积为 ． 52．（24-25八年级上·重庆南川·期末）如图，在中，D为边上一点，E为边上一点，且，连接，F为的中点．连接并延长，交于点G，在上截取点H，使，连接，若． (1)求证：； (2)求证：． 题型九 全等三角形的辅助线问题（共11小题） 53．（23-24八年级上·福建泉州·期末）已知AD是△ABC中BC边的中线，若AB＝4，AD＝3，则AC的长可以是（  ） A．11 B．11 C．10 D．9 54．（22-23八年级上·重庆江北·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 55．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形中，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．7 C．12 D．20 56．（23-24八年级上·河南商丘·期末）如图，直角中，斜边，为直线上的动点，将绕点逆时针旋转得到，则的最小值是 ． 57．（25-26八年级上·全国·期末） “截长补短法”证明线段的和差问题： 先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究． 背景材料： （1）如图1：在四边形中，，，，E，F分别是上的点，且．探究图中线段之间的数量关系．探究的方法是，延长到点G．使，连接，先证明，再证明，可得出的结论是 ． 探索问题： （2）如图2，若四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程． 58．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知：中，，点为直线上一点，过点作直线于点，过点作直线于点． （1）如图1，若，则 ； （2）当点在直线上运动时，，，则 ． 59．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_____； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，，，与互补，连接、，是的中点，求证：： （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．求的面积． 60．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 61．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 62．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点A为上一点，过点A作 垂足为C，延长交于点B， 可根据 证明，则， (即点C为的中点)． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分，于E，若，若通过上述构造全等的方法，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 63．（24-25八年级上·重庆綦江·期末）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到_____，_____，_____．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． (3)如图2，，，，连接，，的面积为，的面积为，，求的值． 题型十 尺规作图（共8小题） 64．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）根据下列条件，画出的不唯一的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 65．（22-23八年级上·吉林长春·期末）如图，小华想作出的平分线，但她没带圆规，手边只有刻度尺，请你帮她设计一个方法．（要求：作出图形，并写出简要的作图步骤，不需要证明）    66．（22-23八年级下·贵州·期末）如图，在中，点D在边的延长线上，根据图中尺规作图的痕迹，若，则（    ） A． B． C． D． 67．（23-24八年级上·河南开封·期末）如图，已知和一条长度为的线段，作一个以为底角，为腰长的等腰三角形的方法是：①连接；②以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点；③在的两边上截取；④画射线，以点为圆心，的长为半径画弧，在射线上截取，并以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点．以上画法正确的顺序是（　　） A．③④①② B．④③②① C．③④②① D．④③①② 68．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）如图，已知． 实践操作： （1）作，使．（要求：尺规作图，点D在直线的下方，保留作图痕迹，不写作法）． 推理与探究： （2）点E是上一点，．探究：线段与有怎样的数量关系，并说明理由． 69．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，请用直尺和圆规在上求作一点，使． 70．（23-24八年级上·福建福州·期末）求证：全等三角形对应角的角平分线相等．（要求在给出的两个全等三角形中画出一组对应角的角平分线，并写出已知、求证和证明过程）    71．（23-24八年级上·河北承德·期末）已知线段a，c，，求作：，使，，． 以下是排乱的作图步骤： 正确作图步骤的顺序是（    ） A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③ 题型十一 角平分线（共3小题） 72．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，三条公路、、两两相交，计划建一座加油站，满足到三条公路的距离相等，则可供选址的地方有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 73．（23-24八年级下·山西运城·期末）如图，点是平分线上的一点，过点作于点，点是射线上的动点，已知，则的最小值为（   ） A．5 B．3 C．4 D．1 74．（25-26八年级上·浙江·期末）两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（ ） A．的平分线上 B．边的高上 C．边的垂直平分线上 D．边的中线上 75．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，平分，，，则的面积为 ． 76．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图，在中，，，，是边上的高，将沿方向平移至，若与交于点，且，则的长为 ． 77．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，在中，是它的角平分线，求证：； (1)在图中完成上面的证明过程． (2)在图中，是的外角平分线，延长交于D，如果，，，求的长． 78．（22-23八年级上·重庆江津·期末） （1）【感知】：如图1，点P是角平分线上一点，过点P作于点C，于点D，证明（不需要证明）． （2）【探究】如图2，在中，，是的平分线，点E在边上，． ①证明：； ②请判断三条线段之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展】如图3，的外角的平分线与内角的平分线交于点P，若，请直接写出的度数． 79．（24-25八年级上·山东青岛·期末）探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． $专题04 全等三角形 题型1 图形的全等 题型7 添加条件使三角形全等（重点） 题型2 全等三角形的概念（常考点） 题型8 全等三角形的辅助线问题（难点） 题型3 全等三角形的性质（常考点） 题型 9 全等三角形综合问题 （重点） 题型4 全等三角形的判定综合（重点） 题型10 尺规作图（重点） 题型5 全等三角形的判定与性质综合（重点） 题型11 角平分线（重点） 题型6 灵活选用判定方法证全等（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 图形的全等（共3小题） 1．（23-24八年级上·江苏无锡·期末）下列说法正确的是（    ） A．面积相等的图形叫做全等图形 B．周长相等的图形叫做全等图形 C．能完全重合的图形叫做全等图形 D．形状相同的图形叫做全等图形 【答案】C 【知识点】图形的全等 【分析】本题考查了全等形的概念．全等图形指的是完全重合的图形，包括边长、角度、面积、周长等，但面积、周长相等的图形不一定全等，要具体进行验证分析． 【详解】解：A、面积相等，但图形不一定能完全重合，说法错误； B、周长相等的两个图形不一定能完全重合，说法错误； C、能完全重合的图形叫做全等图形，符合全等形的概念，正确； D、形状相同的两个图形也不一定是全等形，说法错误； 故选：C． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）下列4个图形中的全等图形是（   ）        A．①和② B．③和④ C．①和③ D．②和④ 【答案】C 【知识点】图形的全等 【分析】本题考查的是全等图形，做题时要注意运用定义，注意观察题中图形．根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，进而分别判断得出答案． 【详解】解：A．不是全等图形，故此选项不合题意； B．不是全等图形，故此选项不符合题意； C．是全等图形，故此选项符合题意； D．不是全等图形，故此选项不合题意． 故选：C． 3．（22-23八年级上·河北邢台·期末）与下图全等的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】图形的全等 【分析】根据全等形的定义逐个判定即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， A选项图形与题干图形形状不一样，故不符合题意； B选项图形与题干图形形状一样，故符合题意； C选项图形与题干图形形状不一样，故不符合题意； D选项图形与题干图形形状不一样，故不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查全等形的定义：完全重合的两个图形叫全等形，即形状及大小都相同． 题型二 全等三角形的概念（共5小题） 4．（23-24八年级上·北京通州·期末）如图，两个三角形△ABC与△BDE全等，观察图形，判断在这两个三角形中边DE的对应边为（    ） A．BE B．AB C．CA D．BC 【答案】B 【知识点】全等三角形的概念 【分析】观察图形，找到与DE长度相等的线段即可． 【详解】观察图形可知：BE＞AB，BE＞BC，∴BE和AC是对应边，显然BD和BC是对应边，∴DE 和AB是对应边． 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的定义．注意全等的规范书写方式，要求各对应点的位置一致． 5．（24-25八年级上·陕西西安·期末）“如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等．”是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【知识点】判断命题真假、全等三角形的概念 【分析】本题主要考查了全等三角形的定义，判断命题的真假，熟练掌握全等三角形的定义是解题的关键．根据全等三角形的定义，即可求解． 【详解】解：周长相等，无法判定三角形全等， 则“如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等，”是假命题． 故答案为：假． 6．（24-25八年级上·陕西西安·期末）“如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等．”是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【知识点】全等三角形的概念、判断命题真假 【分析】本题主要考查了全等三角形的定义，判断命题的真假，熟练掌握全等三角形的定义是解题的关键．根据全等三角形的定义，即可求解． 【详解】解：周长相等，无法判定三角形全等， 则“如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等，”是假命题． 故答案为：假． 7．（22-23八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，如果要使以A，B，D为顶点的三角形与全等（点D不与点C重合），那么点D的坐标是 . 【答案】或或 【知识点】坐标与图形、全等三角形的概念 【分析】根据题意画出图形，根据A、B、C的坐标和全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：符合题意的有3个，如图， ∵点A、B、C坐标为，，， ∴的坐标是，的坐标是，的坐标是， 故答案为：或或． 8．（23-24八年级上·湖北孝感·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)请画出关于y轴对称的； (2)已知点D的横、纵坐标都是整数，且和全等，请直接写出所有满足条件的点D的坐标__________（D与不重合）． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等三角形的概念、画轴对称图形 【分析】本题主要考查平面坐标系点的坐标特征、对称图形的性质、全等三角形的定义等知识点，掌握轴对称图形的性质是解题关键． （1）分别作点A、B、C关于y轴的对称点，然后顺次连接即可； （2）根据对称图形互相全等的性质，作出点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，关于直线的对称点，然后写出、、即可解答． 【详解】（1）解：如图：即为所求三角形； ． （2）解：如图：和关于直线对称；和关于直线对称；和关于直线对称； ∴满足条件的点D的坐标为：． 题型三 全等三角形的性质（共7小题） 9．（23-24八年级上·全国·期末）如图， ，B、C和A、D分别是对应顶点．如果， ， ，那么BC的长是（    ）   A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 直接利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵，， ∴，即． 故选：C． 10．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）如图，在长方形中，．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B匀速运动，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点C匀速运动，点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿向点D匀速运动，连接，三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动．若在某一时刻，与全等，则a的值为（　　） A．2或 B．2或 C．或 D．2或 【答案】A 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形性质，分当时，当时，两种情况分析，然后根据全等三角形的性质即可求解，解题的关键是注意分类讨论，利用对应边相等列方程求解． 【详解】解：设t秒后，与全等， 根据题意得：，， 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：， 综上所述，a的值为2或． 故选：A 11．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）已知，的周长为，如果，， ． 【答案】13 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等是解题的关键．根据全等三角形对应边相等，可得，再根据三角形的周长公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的周长为， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：13． 12．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，点分别在线段上，若，且则的长为 ． 【答案】6 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得，，再结合线段的和差可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为： 13．（24-25八年级上·湖北·期末）如图，，若，，则的度数为 ． 【答案】/60度 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查全等三角形的性质及三角形内角和，熟练掌握全等三角形的性质与三角形内角和是解题的关键；由题意易得，然后根据全等三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故答案为． 14．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，垂直的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得出，，然后通过线段和差即可求解； （2）根据全等三角形的性质得出， 然后由平角定义即可求证． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵点在线段上， ∴， ∴， 即． 15．（23-24八年级上·广西河池·期末）已知两个三角形全等，其中一个三角形的三边长分别为6，8，10，另一个三角形的三边长分别为6，． (1)求m，n的值； (2)当边长小于边长时，以，，为三角形的三边长，求边长a取值范围． 【答案】(1)，或； (2)， 【知识点】确定第三边的取值范围、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质及三角形三边关系， （1）有两种情况：与8、与10分别是对应边；与10、与8分别是对应边；分别求出m与n即可； （2）根据（1）中结果，确定，；再根据三角形三边关系分析即可． 熟练掌握全等三角形的性质及三角形三边关系是解题关键． 【详解】（1）解：当与8、与10分别是对应边时，则， ∴； 当与10、与8分别是对应边时，则， ∴； 综上，或； （2）因为边长小于边长，所以取，； 当时，以a，m，n为三角形的三边长， 则边长a取值范围为． ∴． 题型四 全等三角形的判定综合（共10小题） 16．（24-25八年级上·全国·期末）如图，，，由此可得下列哪组三角形全等（　　 ） A． B． C． D．没有三角形全等 【答案】A 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据推出即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：A． 17．（23-24八年级上·广西柳州·期末）下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号里符号代表的内容： 则回答正确的是（    ） A．☆代表对应边 B．※代表110° C．@代表ASA D．◎代表∠DCA 【答案】B 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定与性质可☆代表对应角，※代表，@代表，◎代表 【详解】解：∵在和中 ， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等）， ∵， ∴， ∴； 故选：B． 18．（24-25八年级上·四川·期末）如图，根据图中的角度和边长，能判断这两个三角形全等的方法是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的证明、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了三角形内角和以及全等三角形的判定，先观察图形，运用三角形内角和算出，则，即运用证明图中的两个三角形是全等三角形，即可作答． 【详解】解：依题意， 则，， 即得出两组角分别相等，夹边相等， 故两个三角形是全等三角形， 故选：B 19．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，，，三点在同一条直线上，，，，则不正确的结论是（    ） A．与互为余角 B． C．≌ D． 【答案】D 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是推出≌． 证明≌，根据全等三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：A：， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵和互余， ∴与也互余，正确，故该选项不合题意； B：由A选项可知，正确，故该选项不合题意； C：由A选项可知≌，正确，故该选项不合题意； D：，， ∴，但不一定与相等，故该选项符合题意． 故选：D． 20．（22-23八年级上·吉林·期末）如图，点是的中点，若，，，可以判定与全等，则这两个三角形全等的判定依据是 （填字母）． 【答案】 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查全等三角形的判定方法，根据全等三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴； 故答案为：． 21．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）丽丽同学不小心把家里的一块三角形玻璃打碎成如图所示的四块，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，你认为应带去的一块是 ． 【答案】第2块 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，要求学生能对常用的判定方法熟练掌握并能进行灵活运用．解决本题主要看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定即选哪块． 根据已知图形及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案． 【详解】解：只有第2块玻璃中包含两角及这两角的夹边，符合． ∴应带去的一块是第2块， 故答案为：第2块． 22．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，，点D为边上一点，点E在边上，，，，则的度数为 ． 【答案】/50度 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】根据，，，得到即可得到，结合三角形内角和定理即可得到答案． 本题考查三角形全等的判定与性质，三角形内外角关系及三角形内角和定理，解题的关键是根据内外角关系得到全等的条件． 【详解】解：∵， ∴，， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 23．（23-24八年级上·吉林四平·期末）如图，，，垂足分别为，，，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据题意可得，由垂线的定义可得，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定方法是解此题的关键． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵，，垂足分别为，， ∴， 在和中， ， ∴． 24．（23-24八年级上·云南玉溪·期末）如图，在线段上，，，若，求证：． 【答案】证明见详解 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由线段间的数量关系得出，利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中，， ∴． 25．（24-25八年级上·北京怀柔·期末）如图，，小明通过尺规作图、裁剪、重合的操作，证实一种全等三角形的判定方法，以下是小明的操作过程： 第一步：尺规作图. 作法：（1）作射线； （2）以点D为圆心，线段的长为半径画弧交射线于点E； （3）以D为圆心，线段的长为半径画弧； （4）以E为圆心，线段的长为半径画弧，与前弧相交于点F； （5）连接， 第二步：把作出的剪下来，放到上. 第三步：观察发现和重合. 根据小明的操作过程，请你写出小明探究的是哪种判定三角形全等的方法. 小明探究的是 . 【答案】 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：；三条边对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】证明：由题意得：，，， 由判定 故答案为： 题型五 全等三角形的判定与性质综合（共14小题） 26．（24-25八年级上·山西长治·期末）如图，在中，．以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D，再分别以点A，D为圆心，，的长为半径画弧交于点E，连接，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握三边对应相等的两个三角形全等是解题关键． 由已知可知，然后根据全等三角形的性质分析求解． 【详解】解：由作图可知，，， ∴， ∴， 故选：C． 27．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图所示，，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．先根据证明，得出即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 28．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图所示，，，足够长，于点，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，点，运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为（   ）． A．8或15 B．4 C．4或5 D．8 【答案】A 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的概念和性质，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想是解决问题的关键． 由题意得，设，，则，分两种情况讨论：①，，；②，，，分别列方程求解即可． 【详解】解：由题意得， 运动的速度之比， 设，， ， ∴， ①当，，， ， 解得：， ； ②当，，， ， 解得：， ； 故选：A 29．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在等腰直角中，，点F为上一点，连接，过点C，B分别作于点D，交的延长线于点E，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 30．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，点E在的边上，D为线段上方一点，连接，且，，，若，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理．利用证明，得到，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 31．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，，，的延长线交于点，若，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．根据题意证明，得出，结合求得，根据，即可解题． 【详解】解：，， 在与中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 32．（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，为的中线，延长至D，使，连接，已知，则与的周长差是 ． 【答案】8 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，正确找出两个全等三角形是解题的关键．先证明，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：为的中线， ， 在和中， ， ， ， ， 与的周长差是 ， 故答案为：8． 33．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，在中，，为边上的高，，，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点．当点运动 时，． 【答案】3或7 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理，注意分类讨论． 分两种情况：当点在射线上时，当点在射线上时，分别画出图形求出结果即可． 【详解】解：当点在射线上时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴此时点运动时间为； 当点在射线上时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴−−， ∴此时点运动时间为． 综上所述，点运动或时，． 故答案为：或． 34．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，与交于点与交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，，证明，即可作答； （2）结合三角形内角性质以及，即可得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）证明：如图所示： ∵， 即， ∵ ∴， ∵，且 ∴． 35．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，为上一点，为上一点，为延长线上的一点，，，． (1)请猜想与有什么关系，并说明理由； (2)若，，求． 【答案】(1)，见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的判定定理证明三角形全等． （1）通过证明，得出对应边相等，从而证明； （2）先证明，结合三角形内角和等知识求出的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ， 在与中，， ∴ ； （2）解：在与中， ∴， ，， ， ． 36．（23-24八年级上·四川乐山·期末）如图．已知点C，F在直线上，且有，，．求证： 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，证明，则，根据平行线的判定即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴，即 ∵，， ∴， ∴ ∴ 37．（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期末）如图，小明和小芳以相同的速度分别同时从点A，B出发，小明沿行走，小芳沿行走，两人分别同时到达，点C，D，若． (1)与相等吗？为什么？ (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【知识点】用HL证全等（HL）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查直角三角形全等的判定和性质，熟练掌握直角三角形全等判定的特殊方法是解题的关键． （1）根据题意，得到，又，利用直角三角形全等的判定方法证明；从而得证； （2）由（1）得，得到，结合，即可得解． 【详解】（1），理由如下： ∵小明和小芳以相同的速度分别同时从点A，B出发，两人分别同时到达， ， ， 在和中， ， ， ； （2）， ， 又， ． 38．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且，求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段的和差关系得到，证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴与都为直角三角形， 在和中，， ∴， ∴． 39．（24-25八年级上·全国·期末）如图①，在四边形中，，连接，且，点E在边上，连接，过点A作，垂足为F，． (1)求证：； (2)如图②，连接，且是的角平分线，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，得出，进而可得，即可得证； （2）连接，证明，得出，由，可得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵在四边形中，，且，点E在边上，，垂足为F，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 题型六 灵活选用判定方法证全等（共5小题） 40．（24-25八年级上·四川泸州·期末）如图，在中，图中的字母a，b，c表示三角形的边长，则①②③④四个三角形中的条件能够判定和全等的是（　　） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④ 【答案】D 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． 根据全等三角形的判定条件逐一判断即可． 【详解】解：①图的三角形与不能证明两个三角形全等； ②图的三角形与可以利用证明两个三角形全等； ③图的三角形与不能证明两个三角形全等； ④图的三角形与可以利用证明两个三角形全等； 故选D． 41．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）根据下列条件，能唯一画出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了三角形全等的判定条件，解题的关键是依据不同条件，结合三角形三边关系、全等判定定理（如“ASA”等）判断能否唯一确定三角形． 依次分析每个选项，根据三角形三边关系、全等判定条件判断能否唯一画出． 【详解】A、根据三角形三边关系＂任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边＂． 在中，，而，不满足三边关系，所以不能构成三角形，更无法唯一画出，不符合题意； B、已知．此时不是与的夹角（与的夹角是），根据这些条件画出的三角形不唯一，因为以为顶点，点的位置不唯一，所以不能唯一画出，不符合题意； C、已知，因为两角及其夹边确定（ASA，即角边角判定定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等），、的夹边是，所以根据这些条件能唯一确定，可以唯一画出，符合题意； D、已知．（斜边），但未给出其他边或角，无法唯一确定直角三角形的两直角边，排除，不符合题意． 故选：C． 42．（24-25八年级上·福建莆田·期末）按照下列条件，①，，；②，，；③，，；④，，；⑤，，．能画出唯一确定的三角形的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】②④ 【知识点】构成三角形的条件、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的判定定理有以及直角三角形全等的判定定理还有． 根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：①根据、、，不能画出三角形，不符合题意； ②根据，，可得，符合能画出唯一三角形，符合题意； ③根据，，符合不能画出唯一三角形，不符合题意； ④根据，，符合能画出唯一三角形，符合题意； ⑤根据，，符合不能画出唯一三角形，不符合题意． 故答案为：②④． 43．（23-24八年级上·江苏徐州·期末）如图，已知，要使，那么可以添加条件 ． 【答案】或或平分（任选其一即可） 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角． 已知，，则只能用或证明，进而作答即可． 【详解】由题意可知，， ∴要使，可用或证明， ∴或或平分， 故答案为：或或平分（任选其一即可） 44．（24-25八年级上·河南信阳·期末）【问题提出】 我们知道：三角形全等的判定方法有：“，，，”，面对于“”，课本第38页提供了如下材料： 思考：如图1，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木棍，得到，这个实验说明了什么？ 这个实验说明：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“”不一定成立．那么，什么情况下，“”成立呢？数学兴趣小组对两个三角形按角进行分类，展开了以下探究． 【初步思考】 我们不妨设这个对应角为，然后对进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】 (1)第一种情况：当是直角时，． 如图2，在和中，，，，根据 ，可以知道． (2)第二种情况：当是钝角时，． 如图3，在和中，，，，且、都是钝角，李明由（1）受到了启发，很快证出了．请聪明的你完成李明的推理过程； (3)第三种情况：当是锐角时，和不一定全等． ①如图4，在和中，，，，且、都是锐角，则的结论是否仍然成立；请说明成立的理由； ②如图4，和是不全等的，还要满足什么条件，就可以使？请直接写出结论： ． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①见解析；②或 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】（1）直接利用定理得出 ； （2）首先得出，则，进而得出，再求出； （3）①利用已知图形再做一个钝角三角形即可得出答案； ②利用①中方法可得出当或 【详解】（1）解：∵， ∴和是直角三角形， 在和中， 故答案为：； （2）证明：在和，且都是钝角，如图，过点作交的延长线于，过点作交的延长线于， 且都是钝角， 在和 在和 在和中 ； （3）解：①在和中，，且都是锐角，如图，和不全等； ②由①图可知，， ∴当时，就唯一确定了， 则． 当时， 即， 在和中， 故答案为：或． 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方式解题的关键． 题型七 添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）（共5小题） 45．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，掌握边边边、边角边，角边角，角角边，斜边直角边判定三角形全等是关键． 根据全等三角形的判定方法逐一验证即可． 【详解】解：∵， ∴添加时，运用“边角边”可证，故A选项不符合题意； 添加时，运用“斜边直角边”可证，故B选项不符合题意； 添加时，不能证明，故C选项符合题意； 添加时，运用“边边边”可证，故D选项不符合题意； 故选：C ． 46．（25-26八年级上·全国·期末）如图，B、E，C、F在同一条直线上，若，添加下列一个条件后，仍然不能证明，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 根据全等三角形的判定定理（ASA、HL、AAS等），对每个选项添加的条件进行分析，判断能否证明两个三角形全等． 【详解】解：， ∴当添加时，可根据判断，故A项不符合题意； 当添加时，可根据判断，故B项不符合题意； 当添加时不能证明，故C项符合题意； 当添加时，可根据判断，故D项不符合题意． 故选：C． 47．（24-25八年级上·黑龙江七台河·期末）如图，已知，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】两直线平行内错角相等、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】由平行线的性质得，，再由证明即可． 本题考查了全等三角形的判定以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：添加，理由如下： ， ，， 又， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 48．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，点D，E 分别在线段， 上，与相交于点O，，要使，需添加的一个条件是 ．（只需写一个，不添加辅助线） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，添加时，利用“”判定即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：在和中， ，， ∴添加时，可由“”判定， 故答案为：（答案不唯一）． 49．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知平分，点为上一点，连接，． (1)请从，中任选一个作为条件，使得结论“”成立 (2)在（）的条件下，若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】（）根据全等三角形的判定定理求解即可； （）根据角平分线定义及三角形外角性质求出，根据全等三角形的性质及邻补角定义求出，再根据角的和差求解即可． 此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 【详解】（1）解：（1）∵平分， ∴， 选择， 在和中， ， ∴； 选择， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型八 全等三角形综合问题（共3小题） 50．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）下列条件中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，全等三角形的判定方法有：，而都不能判定两三角形全等，根据以上内容判断即可． 【详解】解：如图， A、根据，不能判断，故本选项错误； B、根据，利用能判断，故本选项正确； C、根据，不能判断，故本选项错误； D、，不能判断，故本选项错误； 故选：B． 51．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，且，且，点、、共线，并且点、、到直线的距离分别为4，2，1，则四边形的面积为 ． 【答案】 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查三角形全等的性质与判定，分别过点作的垂线，分别交直线于点，证明，，结合梯形面积公式及三角形面积公式即可得到答案． 【详解】解：分别过点作的垂线，分别交直线于点， 则， ∵，，， ∴，，， ∴， 在与中， ∴， ∴，，， 同理可得：， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 52．（24-25八年级上·重庆南川·期末）如图，在中，D为边上一点，E为边上一点，且，连接，F为的中点．连接并延长，交于点G，在上截取点H，使，连接，若． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】（1）利用证明即可； （2）由可得，．根据可得，则可得，则．再证，即证． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵F为的中点， ∴， 又∵，， ∴． （2）证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型九 全等三角形的辅助线问题（共11小题） 53．（23-24八年级上·福建泉州·期末）已知AD是△ABC中BC边的中线，若AB＝4，AD＝3，则AC的长可以是（  ） A．11 B．11 C．10 D．9 【答案】D 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】延长AD至E，使DE=AD，连接CE．根据SAS证明△ABD≌△ECD，得CE=AB，再根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：延长AD至E，使DE=AD=3，连接CE． ∵BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=DE， ∴△ABD≌△ECD， ∴CE=AB=4． 在△ACE中，AE=2AD=6，CE=4 AE-CE＜AC＜AE+CE， 即6-4＜AC＜6+4， ∴2＜AC＜10． ∴AC的长可以是9 故选：D． 【点睛】此题综合运用了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一． 54．（22-23八年级上·重庆江北·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形外角的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取点使得，连接，根据角平分线的定义得到，，进而得到，先证明，得到，再证明，推出，再利用三角形的周长公式求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，在上截取点使得，连接， ∵， ∴， ∵和的平分线、相交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵周长为20，， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：B． 55．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形中，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．7 C．12 D．20 【答案】C 【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线构造“三垂直”全等模型． 过点分别作，交直线于点，证明，则设，，则，则，求出，再由四边形的面积，然后整体代入求解即可． 【详解】解：过点分别作，交直线于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形的面积， ∴四边形的面积 ， 故选：C． 56．（23-24八年级上·河南商丘·期末）如图，直角中，斜边，为直线上的动点，将绕点逆时针旋转得到，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、含30度角的直角三角形、旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】取中点，连接，如图所示，根据直角三角形性质：斜边中线等于斜边一半，以及含的直角三角形性质：所对直角边是斜边的一半，再根据旋转性质得到，从而，结合两个三角形全等的判定定理得到，进而有，即当取最小值时，有最小值，根据点到直线最短距离是垂直时得到可知当时，有最小值，从而利用直角三角形性质：斜边中线等于斜边一半即可得到答案． 【详解】解：取中点，连接，如图所示： ∵，点是中点，， ∴，，， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即当取最小值时，有最小值， 当时，有最小值，此时，， ∴的最小值为， 故答案为：． 57．（25-26八年级上·全国·期末） “截长补短法”证明线段的和差问题： 先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究． 背景材料： （1）如图1：在四边形中，，，，E，F分别是上的点，且．探究图中线段之间的数量关系．探究的方法是，延长到点G．使，连接，先证明，再证明，可得出的结论是 ． 探索问题： （2）如图2，若四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程． 【答案】（1）；（2）成立，见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，构造全等三角形求证是解题的关键． （1）延长到点G，使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）延长到点G，使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题． 【详解】解：（1）， 理由：延长到点G，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：结论仍然成立； 理由：延长到点G，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 58．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知：中，，点为直线上一点，过点作直线于点，过点作直线于点． （1）如图1，若，则 ； （2）当点在直线上运动时，，，则 ． 【答案】 5 16或4/4或16 【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形“三垂直模型”． （1）证明，则，可得； （2）分三种情况讨论，证明，再根据线段和差求解即可． 【详解】解：（1）∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， 过点作平行线，再过点作平行线的垂线，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故点线段延长线上不成立，舍， 综上：或， 故答案为：16或4． 59．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_____； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，，，与互补，连接、，是的中点，求证：： （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．求的面积． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）18 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据提示证即可求解； （2）延长至点，使得，连接，证得，，进而可得，再证即可； （3）由（2）可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解． 【详解】解：（1）∵是的中线． ∴， ∵，， ∴， ∴， 可得， 即：， ∴， 故答案为：； （2）延长至点，使得，连接，如图2： 由题意得：， ，， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）如图3， 由（2）可得：，，， ． ． ，， ． ， ， ， ． 60．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 【答案】(1) (2)的大小不变， (3) 【知识点】旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、全等三角形综合问题、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】此题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识． （1）由，得，而，所以，于是得到问题的答案； （2）作交于点F，则，而，即可证明，得，则，所以的大小不改变，； （3）作交于点G，作于点H，可证明，得，由，得，则，由，得，则，所以，即可推导出． 【详解】（1）∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）的大小不改变， 如图①，作交于点F，则，    ∴， 由（1）得， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴的大小不改变，． （3）， 理由：如图②，作交于点G，作于点H，则    ∴， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 61．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不成立，，理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握利用半角模型去截长补短是解题的关键． （1）延长至点，使，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明； （2）在上截取，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明． 【详解】（1）证明：如图，延长至点，使， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，在上截取， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：． 62．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点A为上一点，过点A作 垂足为C，延长交于点B， 可根据 证明，则， (即点C为的中点)． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分，于E，若，若通过上述构造全等的方法，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）；（3），证明见解析 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，由角平分线的定义构造全等三角形是解题的关键． （1）根据题意可得，，，据此根据全等三角形的性质与判定定理可得答案； （2）延长交于点，同理可得，则，根据三角形的外角的性质可得，由此即可求解； （3）延长、交于点，可证，得到，同理可证明得到，由此即可求解． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 故答案为：； （2）延长交于点，如图 同理可证明， ∴， ∵， ∴； （3），证明如下： 延长、交于点，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴． 63．（24-25八年级上·重庆綦江·期末）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到_____，_____，_____．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． (3)如图2，，，，连接，，的面积为，的面积为，，求的值． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3)1012 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等三角形综合问题、垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，理解“一线三等角”的全等模型以及该模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． （1）证明，根据全等三角形的判定与性质逐步分析即可解答； （2）过作于，过作于，利用“K字模型”的结论可得故可推出，同理可得，再证即可证明结论； （3）过作于，交于，过作于，过作于，利用“K字模型”的结论可得，，进一步可证，再求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 在和中， ， ，， ， 故答案为：，； （2）证明：如图2，过作于，过作于， 由“字”模型得：， ， 同理：， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 点是的中点； （3）解：如图3，过作于，交于，过作于，过作于， ，，， 由“字”模型得：，， ，， 由（2）知：点是的中点， 得， ， ， 即， ， 的值为1012． 题型十 尺规作图（共8小题） 64．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）根据下列条件，画出的不唯一的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【知识点】结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法逐项判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、，，，符合全等三角形判定方法，画出的唯一，该选项不合题意； 、，，，符合全等三角形判定方法，画出的唯一，该选项不合题意； 、，，，符合全等三角形判定方法，画出的唯一，该选项不合题意； 、，，，两边及一边的对角相等，不能判定三角形全等，画出的不唯一，该选项符合题意； 故选：． 65．（22-23八年级上·吉林长春·期末）如图，小华想作出的平分线，但她没带圆规，手边只有刻度尺，请你帮她设计一个方法．（要求：作出图形，并写出简要的作图步骤，不需要证明）    【答案】见解析 【知识点】结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 【分析】利用证明，可得结论． 【详解】解：①利用刻度尺在、上分别截取， ②连接，利用刻度尺作出的中点F， ③作射线， 由作图可知： ，，， ∴， ∴， 则为的平分线．    【点睛】本题考查了全等三角形的应用及基本作图的知识，同学们注意仔细审题，理解这些作角平分线的方法，按照题目意思解答． 66．（22-23八年级下·贵州·期末）如图，在中，点D在边的延长线上，根据图中尺规作图的痕迹，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】几何图形中角度计算问题、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题主要考查角平分线，限定工具作图，角的和差；根据图中尺规作图得平分，再结合角的和差计算即可． 【详解】解：根据图中尺规作图得， 平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：C． 67．（23-24八年级上·河南开封·期末）如图，已知和一条长度为的线段，作一个以为底角，为腰长的等腰三角形的方法是：①连接；②以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点；③在的两边上截取；④画射线，以点为圆心，的长为半径画弧，在射线上截取，并以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点．以上画法正确的顺序是（　　） A．③④①② B．④③②① C．③④②① D．④③①② 【答案】C 【知识点】尺规作图——作三角形、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查了尺规作图和等腰三角形的作图，解决本题的关键是理解等腰三角形的作图过程，根据尺规作等腰三角形的过程逐项判断即可解答． 【详解】解：已知和一条长度为的线段，作一个以为底角，为腰长的等腰三角形的方法是： ③在的两边上截取； ④画射线，以点为圆心，的长为半径画弧，在射线上截取，并以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点； ②以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点； ①连接． 即为所求作的三角形． 画法正确的顺序是③④②①， 故选C． 68．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）如图，已知． 实践操作： （1）作，使．（要求：尺规作图，点D在直线的下方，保留作图痕迹，不写作法）． 推理与探究： （2）点E是上一点，．探究：线段与有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），见解析 【知识点】尺规作图——作三角形、全等三角形的性质、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了作三角形以及全等三角形的性质、平行线的性质： （1）以点A为圆心，为半径在下方画弧，同时以点B为圆心，为半径，在下方画弧，两弧相交一点，即为点D，因为，所以，即可作答． （2）先由全等三角形的性质，得，，结合平行线的性质，得，以及等角对等边，即可作答． 【详解】解：（1）如图即为所求； （2）．理由： ， ． 69．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，请用直尺和圆规在上求作一点，使． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．作平分交于点E，连接，点E即为所求． 【详解】解：如图，点E即为所求． 根据作图可知：， ∵，， ∴， ∴． 70．（23-24八年级上·福建福州·期末）求证：全等三角形对应角的角平分线相等．（要求在给出的两个全等三角形中画出一组对应角的角平分线，并写出已知、求证和证明过程）    【答案】见解析 【知识点】三角形角平分线的定义、作角平分线(尺规作图)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了学生对全等三角形的性质及判定的理解及运用能力，注意命题的证明的格式和步骤是正确解题的前提． 作出图形，结合图形写出已知、求证，根据全等三角形对应边相等，对应角相等，得， ，，由、分别是和的平分线，可得，根据角边角可以判定，即可得出结论． 【详解】已知：如图所示，，、分别是和的平分线．    求证： 证明：∵， ∴， ，， ∵、分别是和的平分线．， ∴， 在和中， ∴()， ∴． 71．（23-24八年级上·河北承德·期末）已知线段a，c，，求作：，使，，． 以下是排乱的作图步骤： 正确作图步骤的顺序是（    ） A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③ 【答案】B 【知识点】尺规作图——作三角形 【分析】本题考查了三角形的基本作图，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键．根据基本作图，先作射线并在射线上截取，再作，接着在上截取，最后连接即可． 【详解】解：由作图步骤：先作射线并在射线上截取，再作，接着在上截取，最后连接， 则正确作图步骤的顺序是①③②④， 故选：B． 题型十一 角平分线（共3小题） 72．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，三条公路、、两两相交，计划建一座加油站，满足到三条公路的距离相等，则可供选址的地方有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】本题考查了角平分线的性质，加油站要到三条公路的距离都相等，可知加油站必须是三条相交直线所组成的三角形的两内角或两外角的角平分线的交点，而相邻两外角平分线有个交点，内角平分线的交点有个，据此即可求解，掌握叫佛系的性质是解题的关键． 【详解】解：∵加油站要到三条公路的距离都相等， ∴加油站必须是三条相交直线所组成的三角形的两内角或两外角的角平分线的交点，而相邻两外角平分线有个交点，内角平分线的交点有个， ∴加油站可供选址的地方有个， 故选：． 73．（23-24八年级下·山西运城·期末）如图，点是平分线上的一点，过点作于点，点是射线上的动点，已知，则的最小值为（   ） A．5 B．3 C．4 D．1 【答案】C 【知识点】垂线段最短、角平分线的性质定理 【分析】根据角平分线的性质，找到取最小值的情况，进而求解．本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：∵点是平分线上的一点，过点作于点，点是射线上的动点， ∴当时，的值最小，此时． ∵， ∴的最小值为． 故选：． 74．（25-26八年级上·浙江·期末）两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（ ） A．的平分线上 B．边的高上 C．边的垂直平分线上 D．边的中线上 【答案】A 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上是解题的关键． 作射线，根据角平分线的判定定理得到平分，得到答案． 【详解】解：作射线， 由题意得，，，， 平分， 故选：A． 75．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，平分，，，则的面积为 ． 【答案】13 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线性质，三角形的面积等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．如图，过点D作于点E，利用角平分线上的点到角的两边距离相等可得，进而利用三角形的面积公式计算即可得解． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ，平分，， ， ， ， 故答案为：． 76．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图，在中，，，，是边上的高，将沿方向平移至，若与交于点，且，则的长为 ． 【答案】3 【知识点】利用平移的性质求解、角平分线的判定定理 【分析】本题考查平移的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定．连接，由平移的性质得到，，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，由平行线的性质和角平分线定义推出，得到，因此． 【详解】解：连接， 由平移的性质得到，， ∴，， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 77．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，在中，是它的角平分线，求证：； (1)在图中完成上面的证明过程． (2)在图中，是的外角平分线，延长交于D，如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由三角形的面积来解决问题． （1）过作于，于，由角平分线性质得到，由三角形面积公式即可证明； （2）过作于，于，由三角形面积公式可得到，再代入数据计算即可求解． 【详解】（1）证明：过作于，于， 平分， ， 的面积，的面积， ， ； （2）解：如图，过作于，于， 平分， ， 的面积，的面积， ， 过作于， ， ，即． 解得． 78．（22-23八年级上·重庆江津·期末） （1）【感知】：如图1，点P是角平分线上一点，过点P作于点C，于点D，证明（不需要证明）． （2）【探究】如图2，在中，，是的平分线，点E在边上，． ①证明：； ②请判断三条线段之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展】如图3，的外角的平分线与内角的平分线交于点P，若，请直接写出的度数． 【答案】（2）①见解析；②，理由见解析；（3） 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键． （2）①过D作于F，则；证即可； ②根据推出，再证，得，即可； （3）过P作交延长线于H，于G，于K，由题意得，，推出，得出平分，即可求解； 【详解】（2）①证明：过D作于F，如图： ∵是的平分线，， ∴， ∵，且． ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：之间的数量关系为，理由如下： 由①知， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：过P作交延长线于H，于G，于K，如图： ∵平分 ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 79．（24-25八年级上·山东青岛·期末）探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理、角平分线性质的实际应用 【分析】本题考查角平分线性质（角平分线分对边的比等于邻边比、角平分线关联三角形面积比与邻边比），解题关键是运用探索新知得出的角平分线性质，建立边与面积的比例关系． （1）依据探索新知结论，代入、得；设、，由，推出． （2）根据探索新知中，结合已知，直接得． （3）用平分的性质，结合，及，算；同理，由平分，结合，算．连接，因点到三边距离相等，结合，得，算出 由，代入计算得结果． 【详解】（1）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知，是的角平分线时， ， ∵，， ∴． 设，， ∴， ∴． （2）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知可知，对于，是角平分线时： ， ， ∵ ∴． ∵， ∴． 故答案为； （3）∵平分， ∴点D到，的距离相等， ∴， ∵， ∴，， 同理平分， ∴， ∴，， 连接，过点F作,，分别垂直于，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∴平分， ∴点F到，，三边的距离相等， ∴， ∵ ∴，，， ∴ ． 故答案为. $