函数与导数专题训练卷（五）恒成立存在性与参数范围-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数与导数中恒成立、存在性及参数范围问题，通过基础巩固、中档综合、拔高拓展三级分层设计，构建从单一知识点应用到复杂问题解决的递进式知识巩固路径，培养数学抽象、逻辑推理与模型构建能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一参数范围求解|8道单选题聚焦单调区间、零点存在等基础考点，强化概念理解与运算能力| |中档|多知识点交汇应用|3道多选题结合单调性、极值与零点综合判断，3道填空题深化存在性问题转化，培养推理意识| |拔高|复杂情境问题解决|5道解答题含多问设计，涉及分类讨论、恒成立证明及方程根分析，提升数学建模与创新意识|

高三数学一轮复习函数与导数专题训练卷（五） 恒成立、存在性与参数范围 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知函数 ，若 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A．　　B．　　C．　　D． 2．若方程 在 上至少有一个实数根，则实数 的取值范围为（ ） A．　　B．　　C．　　D． 3．若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ） A．　　B．　　C．　　D． 4．若不等式 在区间 上有解，则实数 的取值范围是（ ） A．　　B．　　C．　　D． 5．已知函数 在 上的最大值为正数，则实数 的取值范围是（ ） A．　　B．　　C．　　D． 6．函数 有三个不同的零点，则实数 的取值范围为（ ） A．　　B．　　C．　　D． 7．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的值为（ ） A．　　B．　　C．　　D． 8．已知函数 在区间 上存在零点，则实数 的取值范围是（ ） A．　　B．　　C．　　D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知函数 ，则下列结论正确的有（ ） A．若 ，则 在 上单调递增 B．若 ，则 在 处取得极大值 C．若 ，则 有三个不同的零点 D．若 ，则 只有一个零点 10．已知函数 ，，则下列说法正确的有（ ） A．当 时， 在 上单调递增 B．当 时， 的最大值为 C． 对任意 恒成立的充要条件是 D．方程 有两个不同正根的充要条件是 11．已知函数 ，则下列结论正确的有（ ） A．若 ，则 在 上单调递增 B．若 ，则 的最小值为 C． 对任意 恒成立的充要条件是 D．若 ，则方程 有两个不同实根 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的值为__________． 13．函数 恰有一个零点，则实数 的取值范围为__________． 14．若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围为__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知函数 ，． （1）求 在区间 上的最小值； （2）若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围． 16．（15分）已知函数 ． （1）当 时，求 在区间 上的最大值和最小值； （2）若 在 上单调递增，求实数 的取值范围． 17．（15分）已知函数 ，． （1）讨论 的单调性； （2）若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围； （3）若方程 有两个不同的正实根，求实数 的取值范围． 18．（17分）已知函数 ． （1）当 时，判断 的单调性； （2）若 对任意 恒成立，求实数 的值； （3）若函数 恰有两个零点，求实数 的取值范围． 19．（17分）已知函数 ，． （1）证明： 对任意 恒成立； （2）若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围； （3）若存在 ，使得 ，求实数 的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学一轮复习函数与导数专题训练卷（五） 恒成立、存在性与参数范围 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知函数 ，若 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】 函数 图象开口向上，对称轴为 ．若 ，则最小值在 处取得，；若 ，最小值为 ，需 ，得 ；若 ，最小值在 处取得，，不合题意．综上，． 2．若方程 在 上至少有一个实数根，则实数 的取值范围为（ ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【解析】 方程可化为 ．令 ，，则 ，所以 在 上递增，在 上递减，最大值为 ．又 时 ，故值域为 ． 3．若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】 ．要使 在 上单调递增，只需 对任意 恒成立．由于 的取值范围为 ，故需 ． 4．若不等式 在区间 上有解，则实数 的取值范围是（ ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【解析】 令 ，则不等式为 ．在 上， 的最小值为 ．存在 使不等式成立，等价于 ，即 ． 5．已知函数 在 上的最大值为正数，则实数 的取值范围是（ ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】 若函数在 上有最大值，则需 ．此时 ，令 得 ，最大值为 ．由最大值为正数，得 ，即 ．又 ，故 ． 6．函数 有三个不同的零点，则实数 的取值范围为（ ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】 ，所以 在 处取得极大值 ，在 处取得极小值 ．函数有三个不同零点当且仅当 且 ，即 ． 7．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的值为（ ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】 由常用不等式 可知 时成立．若 ，由 可知常数 只能取 ，故 ． 8．已知函数 在区间 上存在零点，则实数 的取值范围是（ ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】 由 得 ．令 ，则 ．在 上，，故 单调递增，且 ，所以 ． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知函数 ，则下列结论正确的有（ ） A．若 ，则 在 上单调递增 B．若 ，则 在 处取得极大值 C．若 ，则 有三个不同的零点 D．若 ，则 只有一个零点 【答案】ABCD 【解析】 ．若 ，则 ，函数在 上单调递增，A正确．若 ，导数符号为正、负、正，所以在 处取得极大值，B正确．当 时，极大值为 ，极小值为 ，故有三个不同零点，C正确．当 时，极大值与极小值同号条件不满足三零点情形，函数只有一个零点，D正确． 10．已知函数 ，，则下列说法正确的有（ ） A．当 时， 在 上单调递增 B．当 时， 的最大值为 C． 对任意 恒成立的充要条件是 D．方程 有两个不同正根的充要条件是 【答案】ABCD 【解析】 ．当 时，，A正确．当 时， 为极大值点，最大值为 ，B正确．由最大值不大于 得 ，即 ，C正确．方程 有两个不同正根等价于函数最大值大于 ，即 ，D正确． 11．已知函数 ，则下列结论正确的有（ ） A．若 ，则 在 上单调递增 B．若 ，则 的最小值为 C． 对任意 恒成立的充要条件是 D．若 ，则方程 有两个不同实根 【答案】ABC 【解析】 ．若 ，则 ，A正确．若 ，令 得 ，最小值为 ，B正确．要使 恒成立，若 ，则当 时 ，不合题意；若 ，显然成立；若 ，需 ，得 ．故充要条件为 ，C正确．当 时方程只有一个实根，故D错误． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的值为__________． 【答案】 【解析】 由 可知 时成立．又当 时，，若不等式对任意实数 恒成立，则 只能为 ． 13．函数 恰有一个零点，则实数 的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 由 知，极大值为 ，极小值为 ．恰有一个零点时，极大值与极小值同号，且不含相切情形，故 或 ． 14．若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 令 ．当 时，显然存在充分大的 使 ．当 时， 的最大值在 处取得，最大值为 ，要使存在 使 ，需 ，即 ．综上，． 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知函数 ，． （1）求 在区间 上的最小值； （2）若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围． 【解析】 （1）函数图象开口向上，对称轴为 ． 当 ，即 时，最小值为 ； 当 ，即 时，最小值为 ； 当 ，即 时，最小值为 ． 所以 （2）由题意，区间最小值不小于 ． 当 时，，符合题意；当 时，需 ，得 ；当 时，需 ，得 ． 综上，实数 的取值范围为 ． 16．（15分）已知函数 ． （1）当 时，求 在区间 上的最大值和最小值； （2）若 在 上单调递增，求实数 的取值范围． 【解析】 （1）当 时，，． 所以 在 、 上单调递增，在 上单调递减． 计算得 ，，，． 故最大值为 ，最小值为 ． （2）．若 在 上单调递增，则 对任意 成立，即 对任意 成立． 由于 在 上的最小值为 ，故 ． 17．（15分）已知函数 ，． （1）讨论 的单调性； （2）若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围； （3）若方程 有两个不同的正实根，求实数 的取值范围． 【解析】 （1）． 当 时，，所以 在 上单调递增． 当 时，令 ，得 ．此时 在 上单调递增，在 上单调递减． （2）若 ，则 时 ，不合题意． 若 ，由（1）知最大值为 ．要使 恒成立，需 ，解得 ． （3）方程 有两个不同正实根，等价于函数 有两个零点．由（1）知需 且最大值大于 ，即 ，解得 ． 18．（17分）已知函数 ． （1）当 时，判断 的单调性； （2）若 对任意 恒成立，求实数 的值； （3）若函数 恰有两个零点，求实数 的取值范围． 【解析】 （1）．当 时， 对任意 恒成立，所以 在 上单调递增． （2）若 ，则当 时， 不能恒非负，故不合题意． 若 ，由 得 ，函数最小值为 ． 设 ，则 ， 在 上递增，在 上递减，最大值为 ． 因此要使 恒成立，只能有 ． （3）注意到 ，故 恒为零点． 当 时，由（1）知函数单调递增，只有一个零点． 当 且 时，由（2）知函数恒非负，且只在 处取零，故只有一个零点． 当 且 时，函数的最小值小于 ，结合 是一个零点以及两端函数值趋向正无穷，可知函数恰有两个零点． 综上，． 19．（17分）已知函数 ，． （1）证明： 对任意 恒成立； （2）若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围； （3）若存在 ，使得 ，求实数 的取值范围． 【解析】 （1）令 ，，则 ． 所以 在 上单调递减，在 上单调递增，故 ． 因此 对任意 恒成立． （2），要使 恒成立，等价于 对任意 恒成立． 当 时，需 ；当 时，需 ． 由函数 在 上的最大趋近值为 ，可知右侧区间条件要求 ；在 上，该函数的最小趋近值为 ，左侧区间条件要求 ． 因此实数 的值为 ． （3）若存在 ，使得 ，则需函数在 上的最大值为正． ．当 时，对 有 ，所以 在 上单调递增，且 ，不合题意． 当 时，，函数在该点取得最大值， ． 因为 时 ，故存在 使 ． 综上，实数 的取值范围为 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $