专题09 智慧广场——排列组合问题-2025-2026学年四年级数学下学期期末备考真题分类汇编（青岛版五四学制）

**基本信息** 青岛版五四学制四年级数学下学期期末备考排列组合专题真题分类汇编，通过数字卡片、车票设计等生活情境，分层考查排列、组合及乘法原理应用，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|数字组成（2、0、5组成三位数）、车票种类（A到B经7站往返）|结合密码设置、蚂蚁触角触碰等场景，基础概念辨析| |填空题|12题|偶数组成（0,1,2,3两位数）、速度组合（前齿轮与后齿轮搭配）|融入变速自行车、微信密码等真实情境，考查有序思考| |解答题|10题|拍照排列（5同学两端不动交换位置）、信号旗组合（4种选3挂旗杆）|综合应用乘法原理与枚举法，如立体图形搭法分析，适配期末综合能力考查|

专题09 智慧广场——排列组合问题 2025-2026学年四年级数学下学期期末备考真题分类汇编（青岛版五四学制） 一、选择题 1．兰兰有三张数字卡片，分别是2、0、5，可以组成（    ）个不同的三位数。 A．3 B．4 C．5 2．用4、7、9中的任意两个数字可以组成（    ）个没有重复数字的两位数。 A．3 B．6 C．9 3．小明将11粒纽扣作了逐层分类，结果如下图。如果从这些纽扣中选3粒相同的纽扣做一件新衣服，有（    ）种选法。 A．2 B．3 C．4 4．小刚百宝箱的密码是25，他忘记了密码中的一个数字，他最多需要尝试（    ）次肯定能打开。 A．1 B．3 C．10 5．丫丫的铅笔盒密码是由3个数字组成的，每个数字都可以是0～9这十个数字中的任意一个，丫丫一共能设置出（    ）个密码。 A．1000 B．100 C．10 6．一列客运火车从A城市到B城市，途中经过7站。这列火车往返A、B两个城市时，需要准备（    ）种不同的车票。 A．36 B．42 C．72 7．某市私家车车牌号由四个数字组成，由于私家车发展迅速，车辆管理部门就在数字前面增加了一个英文字母，这样就可以增加（    ）个车牌号。 A．10000 B．26 C．250000 8．蚂蚁之间有一种特殊的交流方式，它们通过触碰触角交流信息。有4只蚂蚁，每2只碰一次触角，它们一共需要触碰（    ）次触角。 A．6 B．10 C．12 9．用2、5、8三个数组成两位数，十位和个位的数不能一样，能组成（    ）个两位数。 A．3 B．4 C．6 10．把“车”“马”“兵”“炮”4个象棋子反扣在桌面上，任意翻开2个，可能的结果有（    ）。 A．6种 B．4种 C．3种 二、填空题 11．有数字卡片0，1，2，3各一张，每次取两张组成一个两位数，组成的两位数中有( )个偶数。 12．用3、5、7可以组成( )个没有重复数字的两位数。 13．从贺州站开往深圳北站的高速列车中途经过3站，单程需要准备( )种火车票；如果再往后增加一站，那么需要增加( )种单程票。 14．妈妈给小宝的微信账户设置了一个6位的密码，这个密码第一位上是大写的英文字母。其余各位上是0～9这十个数字中的任意一个，则一共有( )个可能的密码。 15．一种变速自行车，前齿轮齿数分别是48、36、24；后齿轮齿数分别是36、24、16、12，这辆自行车可以变化出( )种速度，蹬同样的圈数，前、后齿轮的齿数比是( )的组合使自行车走得最远。 16．淘气从家到外婆家的路上共有7个汽车站（包括起点和终点），单程需要准备( )种不同的车票。 17．一辆公交车从红薯站开往土豆站中间停靠西红柿站、茄子站、胡萝卜站，如果每两个车站之间都需要准备一种单程车票，那么一共需要准备( )种不同的车票。 18．从广州到茂名的城际列车C6955一共8个站（包括广州站和茂名站），广州与茂名之间一共需要_____种单程火车票。 19．班级庆新年活动中，每组6位同学，每两人握一次手，一共要握( )次手；他们互赠新年祝福贺卡，一共要准备( )张贺卡。 20．从甲城开往乙城的列车，沿途停靠A站、B站、C站。铁路部门要为这趟列车准备( )种单程车票。 21．武夷山崇阳溪漫游道是一条生态景观带，这条漫游道不仅展示了武夷山的自然美景，还串联了多个著名的自然与人文地标景观，被誉为“百里画廊”。乘坐观光车游览，单程需要准备( )种不同的车票。 22．从明明家到学校有3条不同的路可以走，从学校到书店有4条不同的路可以走，则明明从家经学校到书店共有( )条不同的路可走。 三、解答题 23．老师要给参加读书分享会的5个同学照相，如果坐在两端的同学不动，交换其他人的位置，一共可以照出多少种不同的照片？ 24．李老师和3个同学横着排成一排拍照片，李老师要站在右边第一个。这样一共有多少种不同的拍照方法？ 25．用6个小正方体搭一个立体图形，从上面看到的形状如图所示，请问一共有多少种搭法？请写出你的分析过程。若下图是用10个小正方体搭成，又有几种搭法，请直接写出结果。 26．有黄、蓝、白、红四种信号旗，把其中任意三面分上、中、下挂在旗杆上表示不同的信号，一共可以组成多少种不同的信号？ 27．小红和小力各有、、三张数字卡片，每人拿出1张，一共有多少种不同的拿法？ 28．在用0，1，3，5组成的四位数中，是5的倍数的数一共有多少个？（各个数位上的数不能重复） 29．亚洲乒乓球锦标赛第一阶段共有32支球队参加，共分8个组，其中每组球队的前2名进入第二阶段比赛，如果这32支球队采取单循环赛制，第一阶段共赛多少场？ 30．1号列车从起点到终点共有5个站点，单程需要准备 种不同的车票。请画出示意图。 31．G58是绍兴东站到北京南站的一趟高铁列车，绍兴东站开车时间为08：13，预计到达北京南站的时间为14：43，途经浙江省的站点依次是：绍兴东站、绍兴北站、杭州东站、长兴站。 （1）东东从绍兴东站到北京南站，需要花多长时间？ （2）请问铁路局为这4个站点共需要准备多少种不同的省内车票？ 32．某市的电话号码是七位数：首位不能是0，其余各位上可以是0～9中的任何一个，并且数字可以重复。这个城市最多可以容纳多少部电话机？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《09智慧广场——排列组合问题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A C A C C A C A 1．B 【分析】先排百位，因为0不能在最高位，所以有2种选择；再排十位，有2种选择；再排个位，有1种选择；共有2×2×1＝4种选择。 【详解】2×2×1＝4（种） 三张数字卡片，分别是2、0、5，可以组成4个不同的三位数。 2．B 【分析】先确定十位上的数字，再依次确定个位上的数字，列举出所有可能的两位数，最后统计个数。 【详解】两位数的十位先排4，个位可放7或9，能组成47、49； 再排7，个位可放4或9，能组成74、79； 最后排9，个位可放4或7，能组成94、97，将所有个数都加起来，即2＋2＋2＝6（个）。 3．A 【分析】由题图可知，一共有4种不同类型的纽扣，第一种方形四孔纽扣有4粒，第二种方形两孔纽扣有2粒，第三种圆形四孔纽扣有2粒，第四种圆形两孔纽扣有3粒。根据题干，从这些纽扣中选3粒相同的纽扣做一件新衣服，必须在四种纽扣类型中，选出粒数与3相同或大于3的纽扣类型，据此解答。 【详解】由分析得：方形四孔纽扣有4粒，可以选出3粒相同的纽扣；圆形两孔纽扣有3粒，可以选出3粒相同的纽扣。另外两种类型的纽扣只有2粒，不符合题意。 因此，如果从这些纽扣中选3粒相同的纽扣做一件新衣服，有2种选法。 4．C 【分析】 已知密码的形式为25，其中中只能填一位数，那么满足条件的一位数的个数就是他需要尝试的次数。 【详解】 密码是25， 中只能填一位数，一位数的可能取值为0到9，即0，1，2，3，4，5，6，7，8，9共10个不同的数字，所以他最多需要尝试10次肯定能打开。 5．A 【分析】每一个数字都有10种选择，第二个数字是在第一个数字基础上有10种，也就是10×10种选择，第三个数字是在前面两个数字基础上，还有10种，也就是一共10×10×10种选择。 【详解】10×10×10 ＝100×10 ＝1000（个） 丫丫一共能设置出1000个密码。 6．C 【分析】先算总站点数是起点A、终点B加上途中7个停靠站；车票是有方向的，从甲站到乙站和乙站到甲站是两种不同车票，且题目计算往返的所有车票，每个站点需要准备到除了本站外的其余站点，再利用乘法计算即可， 【详解】总共有（个）站点； 每个站点需要准备到其余（个）站点的不同车票。 （种） 则需要准备72种不同的车票。 7．C 【分析】有26个英文字母，其余四个数位，每个数位可以是0至9共10个数字，根据乘法原理，将5个数位上的字母或数字数量相乘，求出车牌号总数量，再减去原来车牌号数量即可。 【详解】26×10×10×10×10＝260000（个） 10×10×10×10＝10000（个） 260000－10000＝250000（个） 这样就可以增加250000个车牌号。 8．A 【分析】通过枚举法推导结果，给4只蚂蚁编号为①、②、③、④。 ①需要和②、③、④触碰一次，共3次 ②还需要和③、④触碰，共2次 ③还需要和④触碰，共1次 ④已经和所有蚂蚁完成触碰。 【详解】3＋2＋1＝6（次） 即它们一共需要触碰6次触角。 9．C 【分析】用2、5、8三个数组成两位数，十位和个位的数不能一样，能组成25，28，52，58，82，85一共6个两位数，据此得出结论即可。 【详解】根据分析知，能组成6个两位数。 故答案为：C 10．A 【分析】当翻开“车”时，另一个象棋子可以是“马”、“兵”、“炮”中的一个，有3种结果。当翻开“马”时，另一个象棋子可以是“兵”、“炮”中的一个，有2种结果。当翻开“兵”时，另一个象棋子可以是 “炮”，有1种结果。一共有6种结果。 【详解】任意翻开2个，可能的结果有6种，分别是“车”“马” 、“车”“兵”、“车”“炮”、“马”“兵”、“马”“炮”、“兵”“炮”。 故答案为：A 【点睛】可以采用枚举法解答，要按照顺序列举。 11．5 【分析】偶数的个位数字必须是 0，2，4，6 或 8。那么这个两位数的个位是0或者2。当个位是0时，十位可以是1，2，3，有3个。当个位是2时，十位可以是1， 3，有2个。据此解答。 【详解】当个位是0时，十位可以是1，2，3，两位数是10，20，30，有3个。当个位是2时，十位可以是1， 3，两位数是12，32，有2个。所以组成的两位数中有5个偶数。 12． 6 【分析】要组成没有重复数字的两位数，需确定十位和个位数字：当十位为时，个位可选择或，组成、；当十位为时，个位可选择或，组成、；当十位为时，个位可选择或，组成、。据此解答。 【详解】（个） 所以用3、5、7可以组成6个没有重复数字的两位数。 13． 10 5 【分析】由题可知，中途经过3站，加上起点和终点，一共5个站点；把贺州站看作第一站，从第一站到其他四站，需要4种火车票；从第二站到其他三站，需要3种火车票；从第三站到其他两站，需要2种火车票；从第四站到最后一站，需要1种火车票；如果再往后增加一站，前面五个站到这个站需要5种火车票。 【详解】4＋3＋2＋1＝10（种） 因此，从贺州站开往深圳北站的高速列车中途经过3站，单程需要准备（10）种火车票；如果再往后增加一站，那么需要增加（5）种单程票。 14．2600000 【分析】一个六位的密码，有六个位置，第一个位置放置字母，有26种选择，其余各位上是0～9这十个数字中的任意一个，余下的五个位置，每个位置都有0到9共10个（数字可以重复）选择，据此解答。 【详解】26×10×10×10×10×10＝2600000（个） 一共有2600000个可能的密码。 15． 12 4∶1 【分析】用前齿轮的种类数乘后齿轮的种类数，即可求出可变化的速度种数； 要找蹬同样圈数时走得最远的组合，就选齿数最多的前齿轮和齿数最少的后齿轮，再写出它们的齿数比，并根据比的基本性质化简即可。 【详解】3×4＝12（种） 48∶12 ＝（48÷12）∶（12÷12） ＝4∶1 16．21 【分析】7个汽车站相当于7个点，单程车票相当于连接两个点的线段，每两个车站之间需要一种车票，所以这是一个排列问题。从起点出发，每到一站，就会有一张车票，所以从起点出发到终点，共有6种车票；从第二站出发，每到一站，一共有5种车票；从第三站出发，每到一站，共有4种车票；从第四站出发，每到一站，共有3种车票；从第五站出发，每到一站，共有2种车票；从第六站出发，每到一站，共有1种车票，依次列式计算即可。 【详解】（种） 17．10 【分析】公交车从红薯站开往土豆站的站点依次为：红薯站、西红柿站、茄子站、胡萝卜站、土豆站，把红薯站看作第一站，从红薯站到土豆站共有5站；从第一站出发去其余四站共有4种票；从第二站出发去其余三站共有3种票；从第三站出发去其余两站共有2种票；从第四站去第五站即土豆站，有1种票；把所有的票相加即可。 【详解】4＋3＋2＋1＝10（种） 因此，一共需要准备10种不同的车票。 18．28 【分析】一共8个站，每个站与另外（8－1）个站之间都需要1种单程火车票，共需要8×（8－1）种单程火车票，这样就重复计算了一遍，再除以2即可。 【详解】8×（8－1）÷2 ＝8×7÷2 ＝56÷2 ＝28（种） 广州与茂名之间一共需要28种单程火车票。 19． 15 30 【分析】根据题意，每组6位同学，每两人握一次手，第一位同学要和其余5位同学握手；第二位同学已经和第一位同学握过了，所以只需要和剩下的4位同学握手；第三位同学已经和前两位同学握过了，所以只需要和剩下的3位同学握手；第4位同学已经和前三位同学握过了，所以只需要和剩下的2位同学握手；第5位同学已经和前四位同学握过了，所以只需要和剩下的1位同学握手；第6位同学已经和前五位同学都握过了。把这几位同学握手的次数相加即可求出一共握手的次数。对于互赠贺卡问题，因为是互赠，所以每位同学都需要给其他5位同学赠送贺卡，因此用人数乘每人送的贺卡数即可求出要准备多少张贺卡。据此解答。 【详解】握手总次数： 5＋4＋3＋2＋1 ＝9＋3＋2＋1 ＝12＋2＋1 ＝14＋1 ＝15（次） 准备贺卡的张数：5×6＝30（张） 班级庆新年活动中，每组6位同学，每两人握一次手，一共要握15次手，他们互赠新年祝福贺卡，一共要准备30张贺卡。 20．10 【分析】首先确定从甲城开往乙城的这趟列车的站点总数，然后一一列举出要准备的所有单程车票，将以上数量相加汇总，得出结果。据此解答。 【详解】从甲城到乙城的列车所有站点包括：甲城、A站、B站、C站、乙城，共个站点。由于是单程票，从每个站点出发到后续站点的车票有：从甲城出发分别到A站、B站、C站、乙城，共计种；从A站出发分别到B站、C站、乙城，共计种；从B站出发分别到C站、乙城，共计种；从C站出发到乙城，有种。以上数量相加，共计种。因此铁路部门要为这趟列车准备种单程车票。 21．15 【分析】从图中可以数出有6个驿站，求单程车票的种类，是从6个驿站中选2个驿站确定起点和终点的种类，第一个驿站能和剩下5个驿站形成5种车票，第二个驿站能和剩下4个驿站形成4种车票，第三个驿站能和剩下3个驿站形成3种车票，第四个驿站能和剩下2个驿站形成2种车票，第五个驿站能和剩下1个驿站形成1种车票，据此解答。 【详解】根据分析可知：5＋4＋3＋2＋1＝15（种） 因此，坐观光车游览，单程需要准备15种不同的车票。 22．12 【分析】明明从家到学校有3条不同的路可以走，从学校到书店有4条不同的路可以走，这是最简单的排列组合问题，当两种选择互不干涉时，可运用乘法求得结果。 【详解】3×4＝12（条） 如图： 先从家走第①条路到学校，然后到书店有4条不同路线； 同理，先走第②条路也有4条不同路线； 3×4＝12（条） 明明从家经学校到书店共有12条不同的路可走。 23．6种 【分析】两端的同学不动，用列举法列举出中间三个同学共有几种排列方法。 【详解】中间三个同学换位置，给这三位同学编号①②③，一共有6种坐法：①②③、①③②、②①③、②③①、③①②、③②①，故一共可以照出6种不同的照片。 24．6种 【分析】我们可以用画图的方式解决这样的问题，注意有序排列，做到不重不漏，如用1，2，3分别表示三个同学，用○表示李老师，123○，132○，213○，231○，312○，321○，共6种情况。 【详解】根据分析可知：拍照方法有，123○，132○，213○，231○，312○，321○，共6种情况。 答：一共有6种。 25．10种；分析过程见详解；36种 【分析】（1）用6个小正方体搭一个立体图形，根据从上面看到的形状可知，这个立体图形的底层有3个小正方体，那么还剩下的3个小正方体需放在这3个底层小正方体的上方。 把底层的3个小正方体设为A、B、C，分别考虑在A上放3个、2个、1个、0个小正方体时，B、C上放小正方体的情况，进而得出一共有几种搭法。 （2）从上一题中发现：n个小正方体搭成从上面看到的形状是的立体图形，搭法总数＝1＋2＋3＋…＋（n－3＋1），据此得出用10个小正方体搭这个立体图形的搭法。 【详解】如图： （1）用6个小正方体搭一个立体图形，底层有3个小正方体，则剩下的3个小正方体的摆法有： 当A上放3个时，B、C上放0个，即（3，0，0），有1种搭法； 当A上放2个时，摆成（2，1，0）、（2，0，1），有2种搭法； 当A上放1个时，摆成（1，2，0）、（1，0，2）、（1，1，1），有3种搭法； 当A上放0个时，摆成（0，3，0）、（0，0，3）、（0，2，1）、（0，1，2），有4种搭法； 一共有：1＋2＋3＋4＝10（种） 答：用6个小正方体搭一个立体图形，一共有10种搭法。 （2）用10个小正方体搭一个立体图形，底层有3个小正方体，则还剩下： 10－3＝7（个） 搭法一共有： 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36（种） 答：用10个小正方体搭一个立体图形，一共有36种搭法。 【点睛】通过用6个小正方体搭出符合要求的立体图形的搭法中得出规律，进而得出用10个小正方体搭这个立体图形的搭法。 26．24种 【分析】分析题意可得，把四种信号旗，按上、中、下挂在旗杆上，那么挂在上面的信号旗就有4种信号；挂在旗杆中间的信号旗就有3种不同的信号；最后，挂在旗杆下面的信号旗就有2种不同的信号，由此即可得出信号的数量为4×3×2种，据此解答即可。 【详解】4×3×2 ＝12×2 ＝24（种） 答：一共可以组成24种不同的信号。 27．9种 【分析】已知小红和小力各有8、2、5三张数字卡片，每人拿出1张，小红有3种拿法，小力也有3种拿法，所以共有（3×3）种不同的拿法。 【详解】3×3＝9（种） 答：一共有9种不同的拿法。 28．10个 【分析】5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数；在用0，1，3，5组成的四位数中，是5的倍数的数有好几个，为了不重复、不遗漏，可以按顺序枚举；据此解答。 【详解】是5的倍数的数个位是0或5 个位是5的数，从小到大有1035，1305，3015，3105 个位是0的数，从小到大有1350，1530，3150，3510，5130，5310 答：是5的倍数的数一共有10个。 29．48场 【分析】32支球队被分为8个组，32除以8即可求出每组有4支球队，第1支球队与其余3个队进行3场比赛，第2支球队与其余2个队进行2场比赛，第3个球队与最后1个球队进行1场比赛，最后把所有的比赛场数相加，即可求出4支球队之间进行了几场比赛，再乘8即可求出8个组共进行了几场比赛。 【详解】32÷8＝4（支） 3＋2＋1 ＝5＋1 ＝6（场） 6×8＝48（场） 答：第一阶段共赛48场。 【点睛】求出1个组比赛的场数是解答的关键。 30．10；图见详解 【分析】从起点站A出发需要准备AB、AC、AD、AE这些站点之间的车票，需要准备4种不同的车票；从站点B出发需要准备BC、BD、BE这些站点之间的车票，需要准备3种不同的车票；从站点C出发需要准备CD、CE这些站点之间的车票，需要准备2种不同的车票；从站点D出发需要准备DE这两个站点之间的车需，要准备1种车票。再将从不同站点出发需准备的车票种类相加即可。 【详解】4＋3＋2＋1 ＝7＋2＋1 ＝9＋1 ＝10（种） 1号列车从起点到终点共有5个站点，单程需要准备10种不同的车票。请画出示意图。 【点睛】此题考查了数线段的知识，有次序地数出图中线段，不能重复也不能遗漏。 31．（1）6小时30分钟 （2）12种 【分析】（1）根据经过时间＝结束时刻－开始时刻，代入数据计算即可。 （2）任意一个站都与其它另外3个站各准备一张往返票，这4个站点共准备（3×4）种不同的车票。 【详解】（1）14时43分－8时13分＝6小时30分钟 答：从绍兴东站到北京南站只用了6小时30分钟。 （2）（4－1）×4 ＝3×4 ＝12（种） 答：共需要准备12种不同车票。 【点睛】解答此题的关键是掌握经过时间＝结束时刻－开始时刻这个公式。本题考查了排列组合的实际应用，如果站点比较少可以用枚举法解答，如果站点比较多可以用公式：往返票的种类＝站点数×（站点数－1）。 32．9000000部 【分析】据题意可知：要计算最多可容纳多少部电话机这件事，需要分七步完成： 第一步首位，由于首位不能是0，所以十个数字中有9种排法； 第二步第二位，由于不同位的数字可以重复，所以十个数字中有10种排法； 同理，第三至第七步即第三位至第七位数字都有10种排法； 所以共有：9×10×10×10×10×10×10＝9000000（部）。 【详解】9×10×10×10×10×10×10 ＝90×10×10×10×10×10 ＝900×10×10×10×10 ＝9000×10×10×10 ＝90000×10×10 ＝900000×10 ＝9000000（部） 答：这个城市最多可以容纳9000000部电话机。 【点睛】此题考查排列组合问题，只要我们把可容纳的电话部数转变为可组成的电话数的种数即可轻松解答。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $