2026年普通高等学校招生全国统一考试信心卷数学

**基本信息** 2026年高考数学信心卷，通过选择、填空、解答题（8+3+3+5题，150分）覆盖集合、函数、几何等核心知识，以鱼缸漏水体积、短跑预赛等情境考查数学抽象、逻辑推理与数学建模能力，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合运算、充分必要条件、函数图像|结合单位向量夹角（数学抽象）、椭圆顶点平行四边形面积（几何直观）设计选项| |填空题|3题15分|二项式系数、切线方程、双曲线离心率|通过导数求切线参数最小值（数学思维），融合内心重心性质（空间观念）| |解答题|5题77分|概率分布列、数列通项与求和、立体几何证明、抛物线方程、导数恒成立|以短跑预赛概率（数学建模）、三棱锥线面角（逻辑推理）、导数不等式证明（运算能力）构建综合考查|

2026年普通高等学校招生全国统一考试信心卷 数 学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h时的水的体积为V，则函数的大致图像可能是图中的（    ） 4．已知，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．已知，是单位向量，且与的夹角是120°，若，，且，则（    ） A． B． C． D． 6．已知等比数列的前项和为，若，且，则正整数的值为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 7．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上的两点，满足，（为原点），且以的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为12，则的方程为（   ） A． B． C． D． 8．已知是定义在上的奇函数，函数的图象关于点对称，且满足 ，则（    ） A． B． C．4 D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知为复数，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B． C． D．若，则 10．已知一组数据，，，，，，，的中位数为，则（    ） A． B．该组数据的平均数为 C．该组数据的分位数为 D．剔除该组数据中的后，剩余数据的平均数变大 11．如图，在棱长为2的正方体中，E为棱CD的中点，动点P在侧面内（含边界）运动，则（   ） A．过点E，P的平面截正方体所得截面可能为五边形 B．若三棱锥的体积为，则动点P的轨迹长度为2 C．若P为的中点，则平面 D．若P为棱的中点，则平面AEP截正方体所得截面面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的展开式中，的系数是______ 13．若直线与曲线相切，则的最小值为________． 14．已知，为双曲线的焦点，点在上，点，分别为的内心和重心.若，且，则的离心率为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 为了即将到来的运动会短跑比赛，体育老师计划从高三（1）班的同学中通过短跑预赛选出适合参加短跑比赛的学生加以训练，短跑预赛的规则是：设置某一个时间，每位同学可以试跑三次，若三次均未成功，则不通过预赛；若有一次试跑成功，则无需再跑，视为通过预赛．已知甲同学每次能试跑成功的概率是，且每次试跑相互独立，互不影响． (1)记甲同学的试跑的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望； (2)在甲同学通过预赛的条件下，求甲是第三次试跑成功的概率． 16．（15分） 已知数列的前n项和为，且，，数列满足，，其中． (1)分别求数列和的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和. 17．（15分） 如图，在三棱锥中，侧面底面，，是边长为2的正三角形，，E，F分别是，的中点，记平面与平面的交线为l． (1)证明：直线平面； (2)求与平面的正弦值． 18．（17分） 设抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，在第一象限，点为的重心，与轴的交点分别为.当的斜率为时，到的距离为. (1)求的方程； (2)若的面积与的面积之比为，求的方程. 19．（17分） 已知，，． (1)若对于恒成立，求实数m的取值范围； (2)证明：对任意，． 绝密★启用前 数学试题 第1页（共4页） 试卷第2页，共4页 数学试题 第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 2026年普通高等学校招生全国统一考试信心卷 数 学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B B A D B D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BC ABD AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．/ 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 解：（1）由题意知X的所有可能取值为1，2，3， 1分 ， 2分 ， 3分 ， 4分 X的分布列为： 6分 X 1 2 3 P ． 7分 （2）记“第i次试跑成功”分别为事件，，“甲同学通过预赛”为事件B， 9分 ， 10分 ， 12分 ， 13分 在甲同学通过预赛的条件下，甲是第三次试跑成功的概率为． 13分 16．（15分） 解：（1）由，得，而， 1分 则数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 1分 所以，则， 2分 当时，， 3分 显然满足上式，则. 4分 由，得：，， 5分 以上个式子相乘，可得，即 ， 7分 又满足上式，所以. 8分 （2）若在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， 则，即为， 9分 整理得，所以， 10分 11分 ， 12分 则， 13分 两式相减得：， 14分 所以. 15分 17．（15分） 解：（1），分别是，的中点，； 1分 平面，平面，平面； 3分 平面平面，平面，. 5分 平面底面，平面底面，，平面， 7分 平面，平面. 8分 （2）设与平面的夹角为. 9分 是的中点，平面即平面； 10分 由（1）可知，平面，，平面. 12分 与平面的夹角， . 14分 即与平面的正弦值为1. 15分 18．（17分） 解：（1）抛物线的焦点， 1分 直线斜率为，时，方程为， 2分 到的距离：，结合， 3分 解得，故的方程为； 4分 （2）设直线，联立， 5分 得:， 6分 设，韦达定理:，， 8分 已知为的重心，由重心坐标公式： 代入， 10分 解得：， 12分 即， 13分 与面积比，化简得: ， 15分 解得, 16分 故直线的方程为. 17分 19．（17分） 解：（1）若，则，则， 1分 设，则， 2分 ，，单调递减， ，， 单调递增，所以， 3分 因为对一切，恒成立， 4分 所以；即实数m的取值范围是. 5分 （2）问题等价于证明， 6分 又，， 7分 令，解得， 8分 当时，，单调递减； 9分 当时，，单调递增； 10分 所以， 11分 所以的最小值为. 12分 设，则， 13分 当时，，单调递增； 14分 当时，，单调递减； 15分 所以，当且仅当时取到， 16分 从而对一切，都有成立． 17分 2026年普通高等学校招生全国统一考试信心卷 数学部分试题解析部分 1．C 解：由题可得： 2．B 解：已知，若，则可得或. 当时，；当时，. 因此由无法推出， 所以“”是“”的不充分条件； 已知，若，则，此时， 因此由可以推出， 所以“”是“”的必要条件， 综上，“”是“”的必要不充分条件. 3．B 解：由题意，水深越深，水的体积越大，排除A，C， 水深由0到时，水深增大时，体积增加的速度越来越快， 水深由到时，水深增大时，体积增加的速度越来越慢，可排除D. 4．A 解：因为， 所以在上为增函数， 由，得，即， 则不等式的解集为． 5．D 解：由题意得，， 因为，所以 ， 即 ，解得． 6．B 解：设等比数列的公比为， 当时，可得，，，则，． 因为，所以，所以，此时， 又因为，可得， 所以，即． 令，可得，解得或（舍去），所以， 因为，所以， 所以 ，所以， 所以，解得． 7．D 解：如图，由，得， 由，得三点共线，连接，设， 则，，， 在中，由勾股定理得，即， 在中，由勾股定理得，化简得， 所以，即， 因为以的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为12，所以， ，即，得， 所以，即的方程为. 8．C 解：因为函数的图象关于点对称， 则，即， 当时，则， 且，可知对任意恒成立， 又因为是定义在上的奇函数，则，， 可得，即， 则，得，可知4是的一个周期， ，， 所以， 所以， 又因为，即，可得， 所以． 9．BC 解：A，若，不妨取，， 此时，但不成立，错误； B，由上， 由，得， 所以成立，正确； C，设，， ， 所以 所以，正确； D，若，不妨取，，则，错误. 10．ABD 解：选项A .将已知数据从小到大排序，插入后，第4，5两数记为，由中位数为17，得，即. 若，排序后第4、5个数为14和18，中位数为16，不符合题意； 当，则，解得， 若，排序后第4、5个数为18和18，中位数为18，不符， 若，则中位数不小于18，不符合题意；综上，正确. 选项B. 所有数据总和为，平均数为，B正确. 选项C .，不是整数，向上取整得第5个数据，排序后第5个数据为18，故60%分位数为18，错误. 选项D.剔除后，剩余7个数据总和为，平均数为，平均数变大，正确. 11．AD 解：对于A，如图，过点E，P的平面截正方体所得截面可能为五边形，故A正确； 对于B，由于， 则， 所以， 则， 设到平面的距离为， 由，则， 以为原点，以所在直线建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， 则， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 则，即， 所以点P的轨迹线段，而， 则动点P的轨迹长度为，故B错误； 对于C，建立同B选项的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 因为，所以与不垂直， 则与平面不平行，故C错误； 对于D，连接并延长交的延长线于点，连接， 而为的中点，P为的中点，则为与的交点，为的中点， 即， 所以平面AEP截正方体所得截面为梯形， 而，则梯形的高为， 所以梯形的面积为，故D正确. 12.解：展开式的通项公式为 令，解得， 所以的系数为． 13.解：已知直线与曲线相切，设切点横坐标为， 则①， 曲线求导得，则②，解得， 代入①得，，故， ， 当时，取得最小值，最小值为． 14.解：设双曲线E方程为， 则重心， 因为内心到的距离等于内切圆半径，故的纵坐标为. 由于，所以， 因为的面积， 代入得， 不妨设， 则有， 在中，由余弦定理得， 即， 因为，则， 当时，代入得; 当时，代入得(不成立，舍去). 答案第14页，共14页 数学试题答案 第4页（共12页） 学科网（北京）股份有限公司 $绝密★启用前 2026年普通高等学校招生全国统一考试信心卷 数学 注意事项 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上， 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合A={x-1<x≤2}，B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=() A.{-2,-1,0} B.{-1,0,1} C.{0,1,2} D.{} 2.设ae(0,),则sina=5是“cosa= 1 ”的() 2 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3,一高为H,满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流 出.若鱼缸水深为h时的水的体积为V,则函数V=f(h)的大致图像可能是图中的() H h H OH五 y B C 4.已知f(x)=nx+e,则不等式f(x-2)<f(I)的解集为() A.{x2<x<3}B.{xx>3} C.{xx>1} D.xx<1 5.已知e,e2是单位向量，且e与e2的夹角是120°，若a-3e+e2,b=me,-e2,且a⊥b, 则m=() A.月 B. c 6.已知等比数列{a,}的前n项和为S,若28，=3，+S,且上+1=1 ,则正整数m的值 as ao Sam 为() A.9 B.12 C.15 D.18 数学试题第1页（共4页） 知椭圆C:+1a>b>0的左、右焦点分别为，乃，C上的两点4 AE=2FB,EE=2OA(O为原点)，且以C的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为 12,则C的方程为() A61B6号1 8.已知f(x)是定义在R上的奇函数，函数g(x)=(x-1)f(x)的图象关于点(1,0)对称，且 满足2f0=2,则g(-)=（） A.-4 B.-2 C.4 D.2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知22为复数，下列说法正确的是（) A.若2+1=22+1，则2=22 B.21+22=Z+22 C.3z2=222 D.若>2，则> 10.已知一组数据24,18,10,30，m,12,14,20的中位数为17，则() A.m=16 B.该组数据的平均数为18 C.该组数据的60%分位数为17 D.剔除该组数据中的m后，剩余数据的平均数变大 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，E为棱CD的中点，动点P在侧面BCC,B, 内（含边界）运动，则() A.过点E,P的平面截正方体所得截面可能为五边形 B.若三棱锥D-PAE的体积为；，则动点P的轨迹长度为2 C.若P为BB,的中点，则AP∥平面ACE D.若P为棱CC的中点，则平面AEP截正方体所得截面面积为 数学试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在x2-3 的展开式中，x的系数是 x 13.若直线y=x+a与曲线y=ln(x+b)相切，则a2+b2的最小值为 14.已知F,F为双曲线E的焦点，点P在E上，点M,G分别为△PFF的内心和重心. 若MG/RS,且sn∠FPR-}则E的离心率为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 为了即将到来的运动会短跑比赛，体育老师计划从高三(1)班的同学中通过短跑预赛 选出适合参加短跑比赛的学生加以训练，短跑预赛的规则是：设置某一个时间，每位同学可 以试跑三次，若三次均未成功，则不通过预赛；若有一次试跑成功，则无需再跑，视为通过 预囊。已知甲同学每次能试跑成功的概率是}，且每次试跑相互独立，互不影响。 (1)记甲同学的试跑的次数为随机变量X,求X的分布列和数学期望： (2)在甲同学通过预赛的条件下，求甲是第三次试跑成功的概率， 16.(15分) 已知数列}的前n项和为5，且4=2,5=35+2，数列a}满足4=2，会-好。 其中neN. (1)分别求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为cn的等差数列，求数列 {bcn}的前n项和T,· 17.(15分) 如图，在三棱锥P-ABC中，侧面PAC⊥底面ABC,AC⊥BC,△PAC是边长为2的 正三角形，BC=4,E,F分别是PC,PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为l. (1)证明：直线1⊥平面PAC; (2)求EF与平面ECA的正弦值. 数学试题第3页（共4页） 18.(17分) 设抛物线T:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点H(-1,0)的直线I交Γ于A,B两点，A,B 在第一象限，点C(xo,yo),F为△ABC的重心，AC,BC与x轴的交点分别为M,N.当l的斜率 为兮时，F到1的距离为 5 (1)求Γ的方程： (2)若△MCN的面积与△ABC的面积之比为8：17，求1的方程. 19.(17分) 己知f(x)=xnx+1,g(x)=-x2+mx-1,x∈(0，+o）. (1)若2f(x)-g(x)≥0对于x∈(0，+o)恒成立，求实数m的取值范围： 2证明：对任意x∈(0，+)，r>。C 、12 数学试题第4页（共4页） 2026年普通高等学校招生全国统一考试信心卷 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上， 写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B B A D B D 0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BC ABD AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.-540 13. 305 14.6 2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 解：(1)由题意知X的所有可能取值为1,2,3， 1分 P(x=)= 1 2分 3分 4分 X的分布列为：6分 1 2 3 P 3 3 4 16 16 E(x）=1x2+2x3+3x1=2 4 16 1616 .7分 (2)记“第i次试跑成功”分别为事件A,i=1,2,3,“甲同学通过预赛”为事件B,…9分 数学试题答案第1页（共12页） P倒=1-Pnn可列=1--- ，10分 P4n-Pn4naP(国P(国P)--}-}。12分 P(41B)=P(4nB)31 P(B)63211 .13分 ∴在甲同学通过预赛的条件下，甲是第三次试跑成功的概率为 21 .13分 16.(15分) 解：(1)由S1=3Sn+2,得S41+1=3(Sn+1),而S+1=4+1=3,1分 则数列{Sn+号是以3为首项，3为公比的等比数列，.1分 所以Sn+1=33”-=3”,则Sn=3”-1,… 2分 当n≥2时，0n=S,-Sn1=3”-1-(3-1-1=2-3-1,3分 显然41=2满足上式，则a,=2·3 4分 -2得：-32=手么=-”么-n+ 由A=2,6=n 61'6263“n-26n,n22,5分 以上n-1个式子相乘，可得会=3×4×”×+l_n+ b123n-2n-12 ,即bn=n(n+1)(n≥2)， .7分 又b=2满足上式，所以bn=n(n+1) 8分 (2)若在an与an1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为cn的等差数列， 则a1-an=(n+1)Cn,即为2.3”-2.3”-=(n+1)Cn,9分 整理得c,-43” 会0，所以6c。=4n-3,10分 T=bc+bac2+b3c3++bCn+b.cm =413°+423+43.32+…+4(n-1)3-2+4n3-1 1l分 =413°+2.3+332++(n-1)3-2+n3m-, 12分 则37，=4[13+232++(n-1)3-1+n-3]， .13分 数学试题答案第2页（共12页) 两式相诚得：2汉=4(g4343+33到=仆3 .14分 所以7，=2n3”+1-3 =1+(2n-1)3” .15分 17.(15分) 解：(1)E,F分别是PC,PB的中点，.EF/BC;1分 EFC平面AEF,BC丈平面AEF,BC∥平面AEF;3分 平面AEF∩平面ABC=1,BCC平面ABC,.l/WBC..5分 :平面PAC⊥底面ABC,平面PAC∩底面ABC=AC,BC⊥AC,BCC平面ABC, 7分 .BC⊥平面PAC,.1L平面PAC.8分 (2)设EF与平面PAC的夹角为日.9分 E是PC的中点，平面ECA即平面PAC;.10分 由(1)可知，BC⊥平面PAC,EF/BC,.EF⊥平面PAC..12分 .EF与平面PAC的夹角0=90°，Sin0=1.14分 即EF与平面ECA的正弦值为L.… .15分 18.(17分) 解：(1)抛物线T:y2=2px(p>0)的焦点F 1分 直线/斜率为行时，方程为x-3y+1=0,2分 F到1的距离：d=2。 +1川0，结合p>0, 3分 105 解得p=2,故Γ的方程为y2=4x: 。。。。。。 .4分 (2)设直线：y=k(x+1)(k>0),联立y2=4x,5分 得：k2x2+(2K2-4）x+2=0,6分 4 4 设4(，)小，8（西少小，韦达定理：+元=京-2西=1，为+%=无5=4,8分 已知F(L,0)为△ABC的重心，由重心坐标公式： 5++=l,上+2+h=0代入x+xy+y2, 3 3 10分 数学试题答案第3页（共12页） 解得：=3-+=3-(-25%=0+为= 9…12分 13分 △MCV与△ABC面积比7，化简得： 16 k 48 ++++ 32k2+817’….15分 4 k 解得k=V② .16分 政直线的方程为yx+ .17分 19.(17分) 解：(I)若2f(x)-g(x)≥0，则2xlnx+2+x2-mx+1≥0，则m≤2x+x+3 .1分 设a()=2nx+x+3x>0,则h(-c+3x- x .2分 x∈(O,1),h(x)<0,h(x)单调递减， x∈(1，+∞)，(x)>0,h(x)单调递增，所以h(x)m=h()=4, .3分 因为对一切x∈(0，+0），2f(x)2g(x)恒成立，4分 所以m≤h(x）m=4;即实数m的取值范围是(-0,4].5分 （2)间题等价于证明nr>x-2（x∈(0，+x, ex e 6分 又f(x)=xnx+1(x∈(0，+o∞)），f'(x)=lnx+1,7分 令∫(T）=0,解得X三8分 当x∈0，。时，)<0，了国单调递减g… 数学试题答案第4页（共12页) 当x+时，f(>0,f)单调递增： 10分 所以()-/得-1 .11分 所以y=x血x的最小值为-」 .12分 设m(-是-子(xe@+o》,则m(- …13分 ex 当x∈(0,1)时，m(x)>0,m(x)单调递增；14分 当x∈(1，+o)时，m'(x)<0,m(x)单调递减： .15分 所以m（)=m()=,当且仅当x=1时取到，16分 从而对一切x∈(0，o,都有x>】-2成立。l7分 ex ex 数学试题答案第5页（共12页） 2026年普通高等学校招生全国统一考试信心卷 数学部分试题解析部分 1.C 解：由题可得：A⌒B={0,1,2} 2.B 解：已知ac0R,若na,则可得a或a3 2π 3 3 当a=时，c0sa=}:当a=2 1 时，cosa=2 1 2 2 3 因此由si血a=5无法推出cosa= 1 2 21 所以“sina= 5”是“0s以= ”的不充分条件： 2 已知a∈(0，π)，若cosa= 则a-胥此时na= 1 2 因此由cosa= 可以推出sina=5 2 所以“sina= 是“c0s以=)的必要条件， 2 2 综上，“sina= 5”是“c0su= 的必要不充分条件。 2 3.B 解：由题意，水深越深，水的体积越大，排除A,C, 水深由0到时，水深增大时，体积增加的速度越来越快 H时，水深增大时，体积增加的速度越来越； 4.A 解：因为f'(x)=1+e>0, 所以f(x)=lnx+e在(0，+oo)上为增函数， 由f(x-2)<f(I),得0<x-2<1,即2<x<3, 则不等式f(x-2)<f(I)的解集为{x2<x<3}. 5.D 解：由题意得，G=6-1gg= 2 数学试题答案第6页（共12页） 因为a1b,所以a:b=(3e+8)(me-8)=3me+(m-3)ge-g=0, 即3m+(m-3列x》1-0,解得m=号 6.B 解：设等比数列{an}的公比为， 当9=1时，可得S,=9a1,S3=3a1,S6=6a,则2S,=18a1,S3+S6=9a1. 因为a0,所以2≠5+5，所以g1,此时3-1-g, 1-9 又因为2，=3，+3，可得2a1-g）_a1-9)a1-g） 1-9 1-91-q 所以21-g)=(1-q）+(1-9）,即2g5-q23-1=0. 令1=，可得2-11=0，解得1=或1=1（合去所以g= 1+1=1 a8a,所以1+ 11 因为 38gm-3, 所以=1-2=-1，所以g=日g, 1 所以m-3=9,解得m=12. 7.D 解：如图，由5=20A,得∠F4=: 由AE=2FB,得A,F,B三点共线，连接BF,设BF=m(m>0), AF =2m,AF2 =2a-2m,BF2=2a-m, 在△AFF中，由勾股定理得(2m)+(2a-2m)'=4c2，即b2=2am-2m2, 在△ABF中，由勾股定理得(3m)2+(2a-2m)}=(2a-m),化简得a=3m, 所以b2=2am-2m2=4m2,即b=2m, 因为以C的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为12，所以2a26=2, .ab=6,即2m3m=6,得m=1, 所以a=3,b=2,即C的方程为+上=l. 94 数学试题答案第7页（共12页） 8.C 解：因为函数g(x)=(x-1)f(x)的图象关于点(1,0)对称， 则g(x)=-g(2-x),即(x-1)f(x)=(x-1)f(2-x), 当x≠1时，则f(x)=f(2-x), 且f()=f(2-I),可知f(x)=f(2-x)对任意xeR恒成立， 又因为f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)=0,f(x)=-f(-x), 可得f(2-x)=-f(-x),即f(2+x)=-f(x), 则f(4+x)=-f(2+x),得f(4+x)=f(x),可知4是f(x)的一个周期， f(2)=f(2+0)=-f(0)=0,f(x)+f(2+x)=0, 所以(1)+f(2)+f(3)+f(4)=f()+f(3)+f(2)+(4)=0+0=0, 所以2f0)=6f0)+f2)+f3)+f(4]+f0+f2)=f0, 又因为2/0=2，即0=2，可得f-)=-)=2, 所以g(-1)=(-1-1)f(-1)=-2×(-2)=4. 9.BC 解：A,若31+=22+1，不妨取1=-1+i,22=-1-i, 此时+=川=22+1=，但乙=乙2不成立，错误： B,由上3+z2=(a-bi)+(c-di)=(a+c)-(b+d)i, 由z,+z2=(a+c)+(b+d)i,得z+z2=(a+c)-(b+d)i, 所以+2=名+22成立，正确： C,设z,=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R), 数学试题答案第8页（共12页） zz2=(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+be)i, z=(ac-bd)'+(ad +be)'=Ja'c"+b'd2+a'd"+b'c2 z-Va+b.ve+d-Ma'+b)(c'+d)=Vac'+bdrad+be 所以32=2，正确： D,若>z2,不妨取21=2i,2=1,则z2=4<z=1,错误. 10.ABD 解：选项A.将已知数据从小到大排序10,12,14,18,20,24,30，插入m后，第4,5两数记为x4,x, 由中位数为17，得+5=17，即4+X,=34. 2 若m≤14，排序后第4、5个数为14和18，中位数为16，不符合题意； 当14<m<18,则m+18=34,解得m=16, 若m=18,排序后第4、5个数为18和18，中位数为18，不符， 若m>18,则中位数不小于18，不符合题意：综上m=16,正确. 选项B.所有数据总和为10+12+14+16+18+20+24+30=144，平均数为14=18，B正确. 8 选项C.i=n×p=8×60%=4.8,i不是整数，向上取整得第5个数据，排序后第5个数据为 18,故60%分位数为18，错误 选项D剔除m后，剩余7个数据总和为14-16=128，平均数为23=1829>18，平均数变 大，正确. 11.AD 解：对于A,如图，过点E,P的平面截正方体所得截面可能为五边形，故A正确： 对于B,由于DA=2√2，AE=DE=√5， 则cos∠DEA=DE+AE2-D4.5+5-81 2DE·AE 2×V5xV55, 数学试题答案第9页（共12页） 所以sin∠DEA=-cosDEA=2y6 5 则S.Au=DE~AE-sim∠D,EA=)x5x5x26=6, 设P到平面DEA的距离为h, 1 h=号则626 由VPE=TAE=3S4EhG 3 1 以D为原点，以DA,DC,DD所在直线建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2,0,0),E(0,1,0),D(0,0,2),设P(a,2,b),0≤a≤2,0≤b≤2， 则AE=(-2,1,0),AD=（-2,0,2),AP=(a-2,2,b), 设平面D,AE的一个法向量为m=(x,y,z), m·AE=-2x+y=0 m0-2x+22-0取x=1,得m=,2, 则 则h=」 P:m_a-2+4+0=a+b+2_26 m √6 =3，即a+b=2, 所以点P的轨迹线段BC1,而BC=2V2, 则动点P的轨迹长度为2√2，故B错误； 对于C,建立同B选项的空间直角坐标系， Di__ 则A(2,0,0),E(0,1,0),C(0,2,2),A(2,0,2),P(2,2,1), 数学试题答案第10页（共12页） 所以AP=(0,2,-1),AC=(-2,2,2),AE=(-2,1,0), 设平面ACE的一个法向量为n=(x,,名)， 则 nAE=-2x+乃=0 -AC=-2x+2y+2z=0取x=1,得n=02-1), 因为AP.n=4+1=5≠0，所以AP与n不垂直， 则AP与平面AC,E不平行，故C错误； 对于D,连接AE并延长交BC的延长线于点F,连接FB, 而E为DC的中点，P为CC,的中点，则P为FB,与CC的交点，E为AF的中点， 即ABPE,PE=方4=5， 0 D 所以平面AEP截正方体所得截面为梯形AEPB, 而AE=B,P=√5，则梯形AEPB,的高为 、 32 2 所以梯形AEPB的面积为)5+2)x35-9,故D正确 2 12解： 展开式的通项公式为1=C)(=C(-32- 令12-3r=3,解得r=3, 所以x的系数为(-3)}C=-540. 13.解：已知直线y=x+a与曲线y=ln(x+b)相切，设切点横坐标为t, 则t+a=n(t+b)①， 曲线求导得少-1 方四b三1②)，解得=1-力， 数学试题答案第11页（共12页） 代入①得，1-b+a=ln(1-b+b)=0,故a=b-1, g+分=6-+=2次-20*1=26-+5 当6=方时，心+心取得最小值，最小值为 14解：设双面线E方程为茶-10a>0>0叭，F(e0.5e0.P), 则重心G xo-c+c o+0+0xo yo 3 3 (33” 因为内心到FE的距离等于内切圆半径r,故M的纵坐标为”. 由于MG1/FE,所以r=→。=3r, 因为△PF5的面积S=)FE=0PE+PF+FEr, 代入=3r,EF=2c得PF+PF=4c, 不妨设PF≥PF, PF+PF =4c PF=2c+a 则有 IPRI-PFl=2aPFl=2c-a' 在△PFE,中，由余弦定理得EE=PE+|PF'-2 PFPF cos∠FPF, 即(4e2-a2)cos∠FPF=2c2+a2, 因为sm∠FPR号则eas∠RP5=±号， 当cos∠FP5=号时，代入(4e2-d)os∠EP5-2c2+a2得2c2-3a2→e= 2 当cos∠FP5=-号时，代入(4c2-a)eos∠RPR=2x2+d得-26c2=a(不成立，舍去) 数学试题答案第12页（共12页）