球的切、接问题 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“球的切、接问题”核心考点，依据高考评价体系梳理了正方体、圆柱、棱锥、四面体等几何体的外接球、内切球及与棱相切球的考查要求，通过单选、多选、填空题型覆盖，明确体积、表面积计算等高频考点权重，构建了完整的解题思路体系。 课件亮点在于“真题模拟+方法归纳+素养提升”的备考策略，如以2026年亳州模拟题为例，用轴截面法分析圆柱与球的几何关系，结合补形法解决四面体外接球问题，培养学生空间观念和几何直观素养。特设“解题方法库”和“易错关系警示”，助力学生掌握方程求解技巧，教师可据此系统开展专题复习，提升高考备考效率。

球的切、接问题 设正方体的棱长为a,则a3=8,解得a=2.设球的半径为R,则2R=2,即R=.所以球的表面积S=4πR2=12π.故选A. 解析 一、单项选择题 1.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(　　) A.12π B.π C.8π D.4π 2.(2026·亳州模拟)已知圆柱的底面直径为2,它的两个底面的圆周在一个体积为π的球面上,则该圆柱的侧面积为(　　) A.8π B.6π C.5π D.4π 设球的半径为R,则球的体积为πR3=π,可得R=.圆柱的底面直径为2,半径r=1.在轴截面中,可知圆柱的高h=2=4,所以圆柱的侧面积为2πrh=8π. 解析 3.一个正四棱锥形骨架的底边边长为2,高为,有一个球的表面与这个正四棱锥的每条棱都相切,则该球的表面积为(　　) A.4π B.4π C.4π D.3π 如图所示,因为正四棱锥底边边长为2,高为,所以 OB=,SB=2,O到SB的距离为d==1,同理O到 SC,SD,SA的距离为1,易知O到AB,BC,CD,DA的距离 也为1,所以O为球的球心,所以球的半径为1,所以球的表面积为4π. 解析 4.在四面体ABCD中,若AB=CD=,AC=BD=2,AD=BC=,则四面体ABCD的外接球的表面积为(　　) A.2π B.4π C.6π D.8π 由题意可采用补形法,考虑到四面体ABCD的对棱相等,所以将四面体放入如图所示的长、宽、高分别为x,y,z的长方体中,并且x2+y2=3,x2+z2=5,y2+z2=4,则有(2R)2=x2+y2+z2=6(R为外接球的半径),所以外接球的表面积为S=4πR2=6π.故选C. 解析 5.正三棱锥P-ABC的底面边长为2,侧棱长为2,若球H与正三棱锥所有的棱都相切,则这个球的表面积为(　　) A.π B.(44-16)π C.π D.32π 设底面ABC的外接圆的圆心为O,连接PO,AO,延长AO交BC于点N,球H与棱PA,BC分别切于点M,N,设球H的半径为r,则AO=×2=2,ON=×2-2=1,而PO 解析 ⊥底面ABC,所以PO⊥AO,可得PO==2,在Rt△ONH中,OH= ,1<r<2,在Rt△PMH中,PM=MH=r,PH=r,所以PO=PH+ OH,即有2=r+,解得r=2,则这个球的表面积为4πr2=4π×(2)2=(44-16)π. 解析 6.已知一个圆台母线长为3,侧面展开图是一个面积为的半圆形扇环(如图所示),在该圆台内能放入一个可以自由转动的正方体(圆台表面厚度忽略不计),则该正方体体积的最大值为(　　) A.1 B. C.2 D. 要使圆台内能放入自由转动的正方体的体积最大,则该正方体的外接球恰好为该圆台内能放入的最大的球.设圆台的侧面展开图半圆形扇环的内圆半径为r1,外圆半径为r2(r2>r1),则ππ=π,化简得=15,又圆台母线长为3=r2-r1,联立设圆台上、下底面圆半径分别为r3、r4(r3<r4),则 解析 如图①,还台为锥,设上、下底面圆心为 O1、O2,在Rt△AO1D中,cos∠ADO1==,又∠ADO1为锐角,则∠ADO1=.由相似性可知,圆台的轴截面等腰梯形的底角为,故圆台的高h=O1O2=CDsin=3×=. 解析 如图②,圆锥轴截面△ABC为正三角形,则正三角形内切圆即圆锥内切球,半径长为OO2=AO2===,因为正三角 解析 形内切圆直径O2E=×2<O1O2=,故圆锥内切球即圆台内能放入的最大的球,直径为.设正方体的棱长为a,由正方体外接球直径即为体对角线可得a=,解得a=,此时正方体的体积最大,最大为a3=.故选B. 解析 二、多项选择题 7.已知球O1的表面积为4π,一个正四面体的四个面都与球O1相切,且该正四面体的四个顶点都在球O2的球面上,则(　　) A.该正四面体的表面积为24 B.该正四面体的体积是24 C.球O2的表面积是36π D.球O1与球O2的体积比是1∶27 设正四面体的棱长为a,如图所示正四面体P-ABC, 点P在底面ABC的投影为点O且为底面重心,O1为 内切球球心,分别连接O1A,O1B,O1C,设内切球的半 径为r,则4πr2=4π,则得r=1,因AO=asin×=a,PO== =a,又S△PAB=S△PAC=S△PBC=S△ABC=a2sin=a2,由VP-ABC=+++,即S△ABC×a=S△ABC 解析 ·r+S△PBC·r+S△PAB·r+S△PAC·r,解得r=a,则a=2,所以该正四面体的表面积为4S△ABC=4×a2=×24=24,故A正确;由A可得VP-ABC=S△ABC×a=×a2×a=8,故B错误;将正四面体P-ABC放到一个正方体内,则正方体的外接球就是正四面体P-ABC的外接球,设外接球半径为R,则(2R)2=++,解得 解析 R=a,由A得a=2,则R=a=×2=3,所以球O2的表面积是4π×32=36π,故C正确;由r=1,R=3,则r∶R=1∶3,所以球O1与球O2的体积比是1∶27,故D正确.故选ACD. 解析 8.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=6,BC=8,AB⊥BC,侧棱AA1=3,E是棱AA1上任意一点,则(　　) A.三棱柱ABC-A1B1C1的表面积为120 B.△BC1E周长的最小值为+ C.三棱柱ABC-A1B1C1的最大内切球的体积为 D.三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的表面积为109π 因为AB=6,BC=8,AB⊥BC,所以AC=10,又AA1 =3,所以三棱柱ABC-A1B1C1的表面积为(6+8+ 10)×3+2××6×8=120,故A正确;△BC1E周长为BC1+BE+EC1,将平面BAA1B1沿A1A展开到平面ACC1A1中,展开图为矩形MCC1N,如 图,则BE+EC1≥MC1==(当M,E,C1三点共线时取等),又BC1==,所以△BC1E周长的最小值为+,故B正确;因为AB=6,BC=8,AB⊥BC,AC=10,所以△ABC的内切圆半径 解析 r===2,因为AA1=3<2r=4,所以三棱柱ABC-A1B1C1的最大内切球的半径为=,其体积为π×=,故C错误;该直三棱柱的外接球的表面积等于将该直棱柱补充为长方体后长方体外接球的表面积,其体对角线为外接球直径,设外接球半径为R,则2R==,所以外接球的表面积为4πR2=π()2= 109π,故D正确.故选ABD. 解析 三、填空题 9.(2026·白银模拟)在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC,PA,PB,PC两两垂直, 且该三棱锥外接球的表面积为9π,则该三棱锥的体积为　　　　.  由于PA=PB=PC,PA,PB,PC两两垂直,将该三棱锥放入正方体中,如图.则该三棱锥的外接球与正方体的外接球相同,故该三棱锥的外接球的 解析 半径为=PA.由4π×=9π,得PA=.由于PA⊥平面PBC,所以该三棱锥的体积为×PA3=. 解析 10.半球内有一个内接正方体,若正方体的棱长为,则这个半球的体积为　　　　.  18π 解法一:记正方体为ABCD-A1B1C1D1,过正方体的 对角面AA1C1C作截面如图所示,设半球的半径为 R,半球球心为O,因为正方体的棱长为,所以 CC1=,OC=×=.连接OC1,在Rt△C1CO中,由勾股定理,得 解析 C+OC2=O,即()2+()2=R2,所以R=3,故V半球=πR3=18π. 解法二:将其补成球和内接长方体,原正方体的棱长为,则(2R)2=6+6+(2)2,所以R=3.故V半球=πR3=18π. 解析 11.已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和3,高为2.若圆台内有一个球,则该球体积的最大值为　　　　.(球的厚度可忽略不计)  当球与下底面和侧面均相切时,圆台及球的轴截面如图所示,设E,F分别为梯形上、下底的中点,连接EF,则CE=1,DF=3.过点C作CH⊥AD,交AD于点H,记点G为侧面的切点,O为球心,连接OG,OC,则FD=DG=3,CH=EF=2,FH=EC,所以CD== 解析 4π =4,所以CG=CD-DG=1,所以CE=CG,所以Rt△OEC≌Rt△OGC,所以OE=OG,即球与上底面也相切,故此时球的半径R==,所以该球体积的最大值为πR3=π·()3=4π. 解析 12.已知菱形ABCD的边长为2,∠B=60°.将△ABC沿AC折起,折起后记点B为P,连接PD,得到三棱锥P-ACD如图所示,当三棱锥P-ACD的表面积最大时,三棱锥P- ACD的外接球体积为　　　　.  π 由题意可得△ACD,△ACP均为边长为2的等边三角形,△PAD, △PCD为两个全等的等腰三角形,则三棱锥P-ACD的表面积S= 解析 2S△ACD+2S△PCD=2××2×2×+2××2×2×sin∠PCD=2+ 4sin∠PCD≤2+4,当且仅当sin∠PCD=1,即PC⊥CD时,三棱锥P-ACD的表面积取最大值,此时△PAD,△PCD为直角三角形,PD= =2.如图,取PD的中点O,连接OA,OC,由直角三角形 的性质可得OA=OC=OD=OP=,即三棱锥P-ACD的 外接球的球心为O,半径R=,故外接球的体积为V=π()3=π. 解析 $