平面向量基本定理及坐标表示 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“平面向量基本定理及坐标表示”专题，依据高考评价体系梳理了向量线性表示、基底判定、共线条件、坐标运算等核心考点，通过2026年长沙、宜昌等多地模拟题分析，明确线性表示（占比30%）、共线与垂直（占比25%）等高频考点分布，归纳出单选、多选、填空等典型题型。 课件亮点在于“真题情境+素养导向”的备考设计，如第1题通过设c=xa+yb建立方程组突破线性表示，第15题结合奔驰定理培养数学思维与几何直观，特设易错点分析（如基底需非共线向量）。助力学生掌握坐标法等解题技巧，教师可据此精准定位考点，提升复习效率。

平面向量基本定理及坐标表示 一、单项选择题 1.若向量a=(2,1),b=(-1,2),c=,则c可用向量a,b表示为(　　) A.c=a+b B.c=-a-b C.c=a+b D.c=a-b 基础过关 设c=xa+yb,易知所以c=a+b.故选A. 解析 2.(2026·长沙质检)设k∈R,下列向量中可与向量q=(1,-1)构成一个基底的是(　　) A.b=(k,k) B.c=(-k,-k) C.d=(k2+1,k2+1) D.e=(k2-1,k2-1) 对于A,B,若k=0,则b=(0,0),c=(0,0),均不满足构成基底的条件,所以A,B不符合题意;对于C,因为∀k∈R,k2+1≠0,且(k2+1)×(-1)-(k2+1)×1=-2(k2+1)≠0恒成立,所以d与q不共线,满足构成基底的条 件,所以C符合题意;对于D,若k=±1,则e=(0,0),不满足构成基底的条件,所以D不符合题意. 解析 3.已知向量a=(m,2)与b=(-2,-4)共线,则2a-b=(　　) A.(10,8) B.(4,8) C.(0,0) D.(1,2) 因为a=(m,2),b=(-2,-4)共线,所以-4m=-4,解得m=1,所以a=(1,2)⇒2a= (2,4),所以2a-b=(4,8).故选B. 解析 4.(2026·宜昌模拟)在△ABC中,G为△ABC的重心,设=a,=b,则=(　　) A.a-b B.-a+b C.-a+b D.a-b 如图,设F为AB的中点,由于G是△ABC的重心,所以CG=2GF,则===(+).因为=a,=b,所以=-=a-b,=-b,所以=(a-2b)=a-b. 解析 5.(2026·海口模拟)已知向量a=(1,2),b=(k,-1),则“k=-”是“a∥b”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 当k=-时,b=,a=-2b,充分性成立;由a=(1,2),b=(k,-1),若a∥b,则2k=-1,解得k=-,必要性成立,故“k=-”是“a∥b”的充要条件. 解析 6.已知点A(3,2),B(5,1),则与方向相反的单位向量为(　　) A. B. C. D. 因为A(3,2),B(5,1),所以=(2,-1),则||==,所以与方向相反的单位向量为-=.故选B. 解析 7.设点A(2,0),B(4,2),若点P在直线AB上,且||=2||,则点P的坐标为(　　) A.(3,1) B.(1,-1) C.(3,1)或(1,-1) D.(3,1)或(1,1) 因为A(2,0),B(4,2),所以=(2,2).因为点P在直线AB上,且||=2||,所以=2=-2,故=(1,1)或=(-1,-1),故P点坐标为(3,1)或(1,-1). 解析 8.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=1,以AC为直径的半圆上有一点M,=λ+λ,则实数λ等于(　　) A. B. C. D. 以B为原点,BC,BA所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系.则A(0,1),C(1,0),AC=,则以AC为直径的圆的圆心为AC的中点D.则以AC为直径的圆的方程为+=,设M(x,y),则=(x,y),=(1,0),=(0,1),=λ+λ=(λ,λ),所以由点M在圆+=上,可得+ 解析 =,即4λ2-(1+)λ=0,解得λ=或λ=0(舍去). 解析 二、多项选择题 9.已知向量a=(2,-1),b=(-1,3),则下列向量与2a+b平行的是(　　) A. B.(1,-3) C.(1,-2) D. 因为a=(2,-1),b=(-1,3),所以2a+b=(3,1),故若向量(x,y)满足3y-x=0,则该向量与2a+b平行.检验易知A,D符合题意. 解析 10.已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(m+1,m-2),若点A,B,C能构成三角形,则实数m可以是(　　) A.-2 B. C.1 D.-1 若A,B,C三点不共线即可构成三角形.因为=-=(2,-1)-(1,-3)= (1,2),=-=(m+1,m-2)-(1,-3)=(m,m+1).假设A,B,C三点共线,则1× (m+1)-2m=0,即m=1.所以只要m≠1,A,B,C三点就可构成三角形.故选ABD. 解析 11.如图,在▱OACB中,E是AC的中点,F是BC上的一点,且=4,若=m+n,其中m,n∈R,则(　　) A.m+n= B.m-n= C.2m=3n D.3m=2n 在▱OACB中,=,=,=+,因为E是AC的中点,所以= =,所以=+=+,因为=4,所以== 解析 ,所以=+=+,因为=m+n,所以=+,所以所以m+n=,m-n=,2m=3n. 解析 三、填空题 12.已知向量=(m,2),=(1,3),=(-4,-2).若B,C,D三点共线,则m= 　　　　.  因为向量=(m,2),=(1,3),则=-=(1-m,1),而=(-4,-2),又B,C,D三点共线,则有∥,因此-2(1-m)+4=0,解得m=-1. 解析 -1 13.已知点A(-1,1),B(3,2),D(0,5),若=3,AC与BD交于点M,则点M的坐标为　　　　.  结合题意,设C(x,y),M(x1,y1),易得=(x-3,y-2),=(1,4),由=3,可得(x-3,y-2)=3(1,4),解得即C(6,14).因为=3,所以△DMA∽△BMC,所以==,所以=,即(x1+1,y1-1)=(7, 解析 13)=,解得即点M的坐标为. 解析 14.(2026·济南模拟)在正六边形ABCDEF中,BD,CF相交于点P,若=x+y,则x+y=　　　　.  以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AE所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设正六边形ABCDEF边长为1,则A(0,0),B(1,0), F, 解析 P,=(1,0),=,=,由=x+y,则=x(1,0)+y,所以则x+y=. 解析 15.奔驰定理:如图,已知O是△ABC内的一点,△BOC,△AOC,△AOB的面积分别为SA,SB,SC,则SA·+SB·+SC·=0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论,因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo(如图)很相似,故形象地称其为“奔驰定理”.设O为三角形ABC内一点,且满足:+2+3=3+2+ ,则=　　　.  素养提升 因为O为三角形ABC内一点,且满足+2+3=3+2+,所以+2+3=3(-)+2(-)+(-)⇒3+ +2=0,因为SA·+SB·+SC·=0,所以= ==. 解析 16.根据毕达哥拉斯定理,以直角三角形的三条边为边长作正方形,从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和.现在对Rt△CDE按上述操作作图后,得到如图所示的图形,若=x+y,则x-y=　　　　.  - 建立如图所示的平面直角坐标系.设DC=2a,则EC=a,DE=a,A(0, 0),B(2a,0),D(0,2a),DF=(+1)a,所以xF=(+1)a·cos 30°,yF=2a+ (+1)a·sin 30°,即F,所以=, =(2a,0),=(0,2a),因为=x+y,所以=x(2a,0)+ 解析 y(0,2a),则则2ax-2ay=a-a,化简得x-y=-. 解析 $