专题02 解三角形12大考点（期末真题汇编，北京专用）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 专题聚焦解三角形，汇编北京多区期末真题，覆盖12个核心考点，从基础应用到综合探究，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空/解答|题量丰富|正弦定理应用、三角形解的个数、面积周长计算、几何图形中的角平分线/中线问题、最值问题、航海测量实际应用|真题汇编，分层设计，综合题融合边角互化与面积最值，实际应用题联系航海测量情境|

专题02 解三角形 高频考点概览 考点 01 利用正弦定理解三角形 考点 02 三角形解的个数问题 考点 03 正弦定理求外接圆半径 考点 04 利用余弦定理解三角形 考点 05 判断三角形形状 考点 06 正余弦定理边角互化的应用 考点 07 三角形的面积问题 考点 08 三角形的周长问题 考点 09 几何图形中的计算 考点 10 角平分线、中线、高线问题 考点 11 解三角形的最值问题 考点 12 解三角形的实际应用 ( 考点01 利用 正弦定理解三角形 ) 1．（2025春•朝阳区期末）在△中，，，，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为，，所以，可得， 根据正弦定理，可得， 结合，且，可得． 故选：． 2．（2024春•通州区期末）在△中，角，，所对的边分别为，，，已知，则（　　） A． B． C．或 D．或 【解答】解：因为， 所以由正弦定理，可得，可得， 又，可得，， 则或． 故选：． 3．（2025春•西城区期末）在△中，若，，，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：△中，若，，， 根据正弦定理得，， 因为，所以， 解得，因为，所以， 所以． 故选：． 4．（2025春•昌平区期末）在△中，，则（　　） A． B． C．或 D．或 【解答】解：△中，， 则，即， 由正弦定理得，， 即， 所以， 因为， 所以， 则． 故选：． 5．（2024春•昌平区期末）在△中，，，，则（　　） A． B． C．或 D．或 【解答】解：△中，，，， 则，且为锐角， 由正弦定理得，， 所以， 因为， 所以， 故． 故选：． 6．（2023春•朝阳区校级期末）在△中，已知，，，则角（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由已知得， 即，解得，又因为， 故． 故选：． 7．（2025秋•延庆区期末）已知△中，，，，则 ，　　 ． 【解答】解：因为，，， 所以由正弦定理得：， 所以， 因为，所以，所以， 所以， 所以， 所以由正弦定理得：，即． 故答案为：；． 8．（2024春•海淀区期末）在锐角△中，，，则（　　） A．2 B． C． D． 【解答】解：在锐角△中，，， 正弦定理得：． 故选：． ( 考点02 三角形解的个数 问题 ) 9．（2025春•石景山区期末）在△中，，，请写出一个的值是 　　 ，使得满足条件的三角形恰有两个． 【解答】解：在△中，，， 当三角形恰有两个时， 有， 即， 故答案为：3（答案不唯一）． 10．（2023春•大兴区校级期末）在中，，，，则的解的个数是 　　个． 【解答】解：由正弦定理知，， 所以， 因为，所以，即， 又，所以有两解． 故答案为：2． 11．（2023春•海淀区期末）在中，，，请给出一个的值，使得满足条件的三角形恰有两个，则的一个值是 　　． 【解答】解：由余弦定理可得， 即有两解，所以有两解， 所以，所以，解得， 又由， 所以实数的范围是， 则的一个值是5． 故答案为：均可）． 12．（2021春•丰台区校级期末）若△的内角，，所对的边分别为，，，，，，则的解的个数是（　　） A．2 B．1 C．0 D．不确定 【解答】解：因为，，， 由正弦定理得，可得， 因为， 所以， 故有两解． 故选：． 13．（2020春•海淀区校级期末）在△中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【解答】解：对于选项，，，所以，直接利用正弦定理的应用：，解得和的值是唯一的，故该三角形有唯一解，故错误． 对于选项，，，利用余弦定理的应用：，解得是唯一的，所以该三角形有唯一解，故错误． 对于选项：由于，，，利用正弦定理的应用：，由于，解得唯一，故三角形有唯一解，故错误． 对于选项：由于：，，，满足，故三角形有两解， 故选：． 14．（2024春•朝阳区期末）在中，，，若存在且唯一，则的一个取值为 　　． 【解答】解：，，因为存在且唯一， 则或， 即或， 即或， 则的一个取值为5，1，2之一． 故答案为：5（答案不唯一）． ( 考点0 3 正弦定理求外接圆半径 ) 15．（2024春•北京期末）在△中，，，则△的外接圆的半径为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：△中，，， 由正弦定理得△的外接圆的半径． 故选：． 16．（2024春•石景山区期末）在中，，，，则的外接圆半径为 　　 【解答】解：在中，，，， ，设的外接圆半径为， 由正弦定理得：， ． 故答案为：1． 17．（2017秋•东城区校级期末）中，，则　　，外接圆半径为　　． 【解答】解：， 由，可得：，可得：， 解得：或（舍去）， ， 设外接圆半径为，则由正弦定理． 故答案为：3，． ( 考点0 4 利用余弦定理解三角形 ) 18．（2023春•房山区期末）在△中，已知，，，则等于（　　） A． B．7 C． D．19 【解答】解：在△中，，，， 由余弦定理得：， 则． 故选：． 19．（2025春•北京期末）在△中，，则（　　） A．2 B．3 C．4 D． 【解答】解：△中，， 由题可知：， 所以． 故选：． 20．（2025秋•东城区校级期末）在△中，已知，，，则为（　　） A．4 B．5 C．3 D．6 【解答】解：，， 则，，， 故，即，解得（负值舍去）， 故． 故选：． 21．（2024春•怀柔区期末）在△中，角，，所对的边分别为，，，若，则角为（　　） A． B． C．和 D．和 【解答】解：因为， 所以， 由正弦定理得，， 因为， 所以，即为锐角， 所以． 故选：． 22．（2023春•大兴区校级期末）在△中，若，，，则（　　） A．25 B．5 C．4 D． 【解答】解：由余弦定理知，， 所以． 故选：． 23．（2023春•大兴区期末）在△中，，，，则（　　） A． B． C．5 D．7 【解答】解：因为，，， 所以， 由余弦定理可得 ， 解得． 故选：． 24．（2025春•北京期末）已知在△中，，，，则 　　 ； 　　 ． 【解答】解：△中，，，， 则，即， 所以， 又，所以． 故答案为：；． 25．（2024春•延庆区期末）在△中，若，，，则（　　） A．3 B． C．4 D．5 【解答】解：因为，，， 所以由余弦定理，可得，整理可得， 解得（负值舍去）． 故选：． 26．（2022秋•通州区期末）在△中，若，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在△中，若，，， 利用余弦定理：，整理得， 解得，（负值舍去）． 故． 故选：． ( 考点0 5 判断三角形形状 ) 27．（2025春•北京期末）在△中，“”是“△是直角三角形”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：在△中，若，结合正弦定理可得， 所以△是以为斜边的直角三角形，充分性成立； 若△是直角三角形，、、都有可能是直角， 不一定有成立，所以不一定能推出，必要性不成立． 综上所述，“”是“△是直角三角形”的充分而不必要条件． 故选：． 28．（2021春•海淀区校级期末）△中，角、、的对边分别为，，，则“”是“△是等腰三角形”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：由正弦定理可得：，若，则，，为三角形的内角，． ，即△是等腰三角形． 反之不成立，可能或． “”是“△是等腰三角形”充分不必要条件． 故选：． 29．（2025秋•海淀区校级期末）在△中的角，，的对应边分别为，，，且，则三角形的形状为（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或等腰三角形 【解答】解：因为，由正弦定理可得， 即， 在△中，可得， 可得，由正弦定理可得，所以该三角形为等腰三角形． 故选：． 30．（2024春•怀柔区期末）已知在△中，，则判断△的形状（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【解答】解：，， 由正弦定理可得， ，，，故，， ． 故选：． 31．（2024春•海淀区期末）在△中，已知，，则下列说法正确的是（　　） A．当时，△是锐角三角形 B．当时，△是直角三角形 C．当时，△是钝角三角形 D．当时，△是等腰三角形 【解答】解：因为，， 由正弦定理得，， ，当时，， 由且可知，可得，错误； ，当时，，即为直角，正确； ，当时，， 由且可知，， 所以，△是锐角三角形，错误； ，当时，，时，若△是等腰三角形， 则△一定为等边三角形，但，显然不可能，错误． 故选：． 32．（2023春•大兴区校级期末）设△的内角，，所对的边分别为，，，若，则△的形状为（　　） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形 【解答】解：已知等式利用正弦定理，化简得：， 整理得：，即， ，即， 或，即或， 则△为等腰三角形或直角三角形． 故选：． ( 考点0 6 正余弦定理边角互化的应用 ) 33．（2024秋•海淀区期末）已知△为等腰三角形，且，则 　　． 【解答】解：设△三个内角，，所对的边分别为，，， 因为，则由正弦定理得， 因为△是等腰三角形，所以， 由余弦定理得：． 故答案为：． 34．（2024春•西城区校级期末）在△中，，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为在△中，， 由正弦定理可得， 又， 所以， 又，可得， 所以， 因为，可得，， 可得， 则． 故选：． 35．（2021秋•密云区期末）在△中，，，分别是角，，的对边，若，且，，则的值为（　　） A． B．2 C． D．1 【解答】解：由正弦定理及，知， 因为，所以， 因为，所以， 由余弦定理知，， 所以． 故选：． 36．（2021秋•石景山区期末）在△中，若，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在△中，若， 利用正弦定理：； 由于、， 所以， 解得． 故选：． 37．（2023秋•房山区期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且，则　　． 【解答】解：在中，， 由正弦定理得：，又， ， 即， ， ， ，又为的内角， ． 故答案为：． 38．（2022春•昌平区期末）在中，若，则　　． 【解答】解：在中，若， 所以； 由于； 所以． 故答案为：． 39．（2021春•朝阳区期末）在△中，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，，求的值． 【解答】解：（Ⅰ）在△中，， 又由余弦定理，可得， ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，， ． ， 又， ． 40．（2022春•丰台区期末）在中，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，，求． 【解答】解：（Ⅰ）由余弦定理得，， ， ； （Ⅱ）由正弦定理得，， ， ． 41．（2023春•大兴区校级期末）在中，，，分别为内角，，的对边，且满足，则　　． 【解答】解：由题意结合正弦定理可得：， 即， 结合余弦定理可得，则． 故答案为：． ( 考点0 7 三角形的面积问题 ) 42．（2025秋•丰台区期末）在△中，，，，则△的面积为 ． 【解答】解：在△中，，，， 由正弦定理可得， 因为，可得，即， 可得，即， 再由，可得，可得， 所以． 故答案为：． 43．（2025秋•东城区校级期末）在△中，． （1）求； （2）若，且△的面积为，求△的周长． 【解答】解：（1），得， ，，，， ，，； （2）由，解得； 由余弦定理可得，， ，△的周长为． 44．（2025春•丰台区期末）在△中，，，． （1）求的值； （2）求△的面积． 【解答】解：（1）在△中， 因为，，， 由正弦定理得， 得． （2）由余弦定理得， 则， 化简得， 解得或（舍去）． 故△的面积为． 45．（2025秋•通州区期末）在△中，角，，所对的边分别为，，，已知． （Ⅰ）求角； （Ⅱ）若，，求△的面积． 【解答】解：（Ⅰ）因为， 所以由正弦定理得：， 所以， 因为、，所以，所以， 所以，所以； （Ⅱ）因为，，由余弦定理得：， 即，即，解得或（舍去）， 故△的面积为． 46．（2024秋•通州区期末）在△中，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，边上中线的长为2，求△的面积． 【解答】解：（Ⅰ）因为，所以． 由正弦定理得： ． 因为，，所以， 又，所以； （Ⅱ）因为，边上中线的长为2， 设边中点为，连接，则，． 在△中，由余弦定理得：， 即，整理得，解得， 所以△的面积为． 47．（2025春•北京期末）已知△中，． （1）求的大小； （2）若，求△面积的最大值． 【解答】解：（1）根据题意可知，， 根据正弦定理可得， 又， 故， 因此，由于，故，即， 由于，故； （2）根据余弦定理可得， 根据基本不等式可知，，故，当且仅当时取到等号， 故面积为， 故△面积的最大值为． 48．（2024春•丰台区期末）在中，三个内角，，的对边分别为，，．已知． （Ⅰ）求角； （Ⅱ）将射线绕点旋转交线段于点，已知． 若，求； 求面积的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）根据，由余弦定理得， 因为，所以； （Ⅱ）由且，可知． 在中，，由余弦定理得， 所以，可得， 又因为，所以，可得； 由且，可知， 因为，所以， 结合，可得，整理得，解得． 当且仅当，即， 时，等号成立， 因此，，即面积的最小值为． ( 考点0 8 三角形的周长问题 ) 49．（2025秋•朝阳区期末）在△中，，，则 ；若△的内切圆的半径为，则△的周长为 　　 ． 【解答】解：由正弦定理得； 设△的面积为，周长为，内切圆的半径为， 所以，则， 则，即， 由余弦定理得， 联立，解得， 所以△的周长为． 故答案为：． 50．（2023秋•昌平区期末）“三斜求积术”是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长，，求三角形面积，即．现有面积为的△满足，则△的周长是（　　） A．9 B．12 C．18 D．36 【解答】解：由正弦定理可得，， 故可设，，， ， 解得，， 故△的周长为． 故选：． 51．（2024春•北京期末）已知△的内角，，的对边分别是，，，△的面积为，且满足． （1）求角的大小； （2）若，求△周长的最大值． 【解答】解：（1）由，可得， ，又，， 又，； （2），，由余弦定理得， ，，（当且仅当时取“” ， ，， 的最大值为8，的最大值为12，△周长的最大值为12． 52．（2023秋•海淀区校级期末）在锐角△中，，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求△周长的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）由已知，可得， ，，， 故； （Ⅱ），， ， ，， ，当时等号成立， ， 故当△是等边三角形时， 周长有最大值3． 53．（2024春•延庆区期末）在中，，． （Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件使不存在，第（Ⅱ）问得0分． （Ⅲ）若，求周长的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由，可得， 在中，由正弦定理得：， 因为，，所以， 又， 所以； （Ⅱ）选条件①：， 所以， 由，可得， 当时， 由， 当时，， 即或， 由正弦定理，解得或， 当时，的面积为， 当时，的面积为； 选条件②：由，则在中，可得， 则角，显然不成立； 选条件③：， 在中，由余弦定理得， 即， 整理得．解得或， 当时，的面积为， 当时，的面积为， （Ⅲ）由正弦定理， 可得，， 所以周长为， 因为， 因为，所以， 则，， 所以周长取值范围为，． 54．（2024春•大兴区期末）记的内角，，的对边分别为，，，已知． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若． 再从条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 求周长的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）因为，由正弦定理可得， 在中，， 可得，， 所以； （Ⅱ），， 若选①：，由（Ⅰ）即正弦定理可得， 即， 可得，不符合条件； 若选②：，由余弦定理可得， 即，解得， 即，， 可得， 即存在唯一的三角形，此时； 若选③：，由正弦定理可得，，可得， 由余弦定理可得， 即， 即， 解得（负值已舍）， 所以． 由余弦定理可得，而， 即，当且仅当时取等号， 可得， 再由中，， 所以该三角形的周长范围为，． ( 考点0 9 几何图形中的计算 ) 55．（2025春•北京期末）已知△中，是上的点，平分，且△面积是△面积的2倍，，，则的长度为（　　） A． B．2 C． D．3 【解答】解：平分，所以，即， 又△面积是△面积的2倍，所以， 由，所以，， 又，则，又， 所以， 故选：． 56．（2023春•海淀区期末）如图所示，已知△中，为上一点，，，，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，求的长． 【解答】解：（Ⅰ）在△中，，，， 由正弦定理可得，可得， 即； 在△中，由正弦定理可得：，又因为， 所以，而，所以， 因为，则为锐角，所以为钝角，即， 在△中，由余弦定理可得：， 即， 解得． 57．（2024春•石景山区期末）如图，在中，，，平分交于点，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的面积． 【解答】解：（Ⅰ）在中，由正弦定理可得，， 则， ， ； （Ⅱ）由可知，， 平分交于点， ， ， 为等腰三角形， ， ， 的面积为． 58．（2023春•石景山区期末）如图，在四边形中，，，． 再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下列问题． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的大小． ①面积； ②． 【解答】解：（Ⅰ）选①： 由，得， 又由余弦定理可得，得， ， 所以； 选②：在中，所以， ， （Ⅱ）选①： 因为，所以， 在中，由正弦定理可得，解得， 又因为， 所以满足这样的三角形有两解， 所以或． 选②： 在中，由正弦定理可得，解得， ，， 在中解得， 又因为， 故满足这样的三角形有两解， 故或． 59．（2022秋•东城区期末）如图，在锐角中，，，，点在边的延长线上，且． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求的周长． 【解答】解：在中，由正弦定理可得， 化为，为锐角， ． 由可得， ， ， 的周长． 60．（2021春•石景山区期末）如图，在中，为边上一点，，，． （Ⅰ）若，求的大小； （Ⅱ）若，求的面积． 【解答】解：（Ⅰ）设，， 则，， 所以， 因为， 所以， 即． （Ⅱ）过点作交的延长线于点， 因为， 所以， 所以； 所以． ( 考点 10 角平分线、中线、高线问题 ) 61．（2022春•通州区期末）在△中，角，，所对的边分别为，，，，的角平分线交于点，，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意可知，， 由角平分线性质和三角形面积公式得， 化简得， 故选：． 62．（2021春•海淀区校级期末）在中，角，，的对边分别为，，，的面积为，且满足． （1）求角的大小； （2）设的角平分线交于，且，求线段的长． 【解答】解：（1）在中，根据余弦定理，，且， 由得，， ，且， ； （2）如图，在中，，且， 根据正弦定理得，，解得， 又，，且，， 在中，根据正弦定理得，，解得． 63．（2020春•海淀区校级期末）已知在中，，，． （Ⅰ）求边的长； （Ⅱ）已知点在线段上，且，求证：为的角平分线． 【解答】解：（Ⅰ）在中，，，． 所以． 边的长为6； （Ⅱ）证明：点在线段上，且，因为，所以， ， 所以，为的角平分线． 64．（2025秋•海淀区期末）在△中，是边上的中线，且，，△的面积为，则　 ，　　 ． 【解答】解：因为是边上的中线，所以， 又，所以， 所以， 所以，所以， 所以， 即，所以． 故答案为：． 65．（2025秋•房山区期末）在△中，，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△存在且唯一，求边上中线的长． 条件①：边上的高为； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【解答】解：（Ⅰ）由可得， ，即， 由正弦定理可得，， 所以， 又，所以； （Ⅱ）已知， 所以为锐角，且； 条件①：边上的高为，则， 即，所以， 又， 所以，所以， 综上，，所以△存在且唯一， 在△中，， 所以， 故边上中线的长为； 条件②：，由可得，， 又，所以可以为钝角，也可以为锐角，△不唯一； 条件③：，则为钝角，此时△存在且唯一， ， 由可得，， 在△中，， 所以， 整理得，，解得或（舍去）， 在△中，， 所以， 故边上中线的长为． 66．（2025春•东城区期末）已知△的面积为，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 【解答】解：（Ⅰ）由已知得△的面积，所以； （Ⅱ）若选①，，则可能为锐角也可能为钝角，故△存在但不唯一确定； 若选②，，则由（Ⅰ），得，或，故△存在但不唯一确定； 若选③，，得， 所以，则，由（Ⅰ），得， 故此时、、均确定，△存在且唯一确定，符合题意， 如图，为边上中线， 在△中，由余弦定理得， 故． 67．（2023秋•丰台区期末）在△中，，． （Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）在下列三个条件中选择一个作为已知，使△存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度． 条件①：；条件②：△的周长为；条件③：△的面积为． 【解答】解：（Ⅰ）在△中，由正弦定理有，， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以； （Ⅱ）选择条件①：因为△中，，，， 所以，即△为等腰三角形，其中， 所以，所以选择条件①不符合要求； 选择条件②：因为△中，，，， 所以，即△为等腰三角形，其中， 因为，所以，所以， 设点为线段的中点，在△中，． 因为△中，， 所以，即边上的中线的长度为． 选择条件③：因为△中，，，， 所以，即△为等腰三角形，其中． 因为△的面积为，即， 设点为线段的中点，在△中，． 因为△中，， 所以，即边上的中线的长度为． 68．（2023秋•海淀区期末）在△中，． （Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△存在，求边上中线的长． 条件①：△的面积为； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【解答】解：（Ⅰ）因为，由正弦定理， 在三角形中，， 所以，即， 而， 可得，， 所以， （Ⅱ）若选条件①：△的面积为，，， 设边的中点，连接， ，可得， 由余弦定理可得， 解得，， 即以，为根的方程为，可得△， 即条件①不成立； 若选条件②，设三角形的外接圆半径为，由正弦定理可得，所以， ，可得，可得， 由余弦定理可得，解得， 解得，， 可得，即，所以； 若选③，，， 由余弦定理可得：， 整理可得， 两边平方整理可得：，且，解得或（舍， 即，，此时，即， 所以． 69．（2021春•海淀区校级期末）已知在中，，． （1）求的大小； （2）若，求边上的中线长度． 【解答】解：（1）， 由正弦定理可得，即， 当时，，即，不符合题意，舍去， ， ，即． （2）面积为， ， ， ，解得， 由题意，如图，设边上的中线为，则由余弦定理可得，可得． 70．（2024春•西城区校级期末）在中，． （Ⅰ）求和； （Ⅱ）求边上的中线的长． 【解答】解：由余弦定理可得，即，解得， 由正弦定理可得，； 由题意可得， ，即， ． 71．（2022春•朝阳区校级期末）在中，设内角，，所对的边分别为，，，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，边上的中线长为，求边． 【解答】解：（Ⅰ）．由正弦定理可得， ， ， ， ， ， 即， ． （Ⅱ）在中，， 即， 整理可得，① 在中，， 即， 整理可得，②， 由①②，可得， 在中，， 即， ， 整理可得，解得（舍去）或， 故． 72．（2024春•海淀区期末）在中，． （Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求最长边上高线的长． 条件①：； 条件②：的面积为； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【解答】解：（Ⅰ）因为中，， 即， 解得或， 因为， 可得； （Ⅱ）， 若选条件①：，由正弦定理可得， 即，解得， 所以为锐角，可得， 由余弦定理可得， 即， 即，解得或（舍， 所以为最大边，设边上的高为， 在中，可得； 条件②：的面积为，可得，而， 可得，① 由余弦定理可得， 可得， 解得，② 由①②可得，或，， 当得，时，边为最大边，由①可得边上的高为； 当，，边为最大边，由①可得边上的高为； 条件③：，，， 由余弦定理可得， 即，即，此时△， 即此时不存在． 综上所述：最长边上高线的长为． 73．（2024春•东城区校级期末）在中，，，分别是角，，的对边，且． （1）求的大小； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上高线的长． 条件①：，； 条件②：，； 条件③：，． 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分． 【解答】解：（1）在中，因为， 由正弦定理可得， 因为，则， 即， 可得，即， 且，则，可得， 又因为，所以； （2）选条件①：因为在中，， 且，则， 可得， 设边上高线的长为，所以； 选条件②：由正弦定理可得， 且，，可得或， 检验可知均符合题意，即不唯一，不合题意； 选条件③：由余弦定理得， 即，可知为等腰三角形，则， 设上高线的长为，所以． 74．（2023春•西城区期末）已知在中，． （1）求的大小； （2）若，在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的周长． ①的面积为； ②； ③边上的高线长为． 【解答】解：（1）由正弦定理，得， 所以， 因为，所以，所以， 因为，，所以，即， 又因为，所以； （2）选择①： 因为，即， 即，所以， 又因为，即， 所以，所以的周长为； 选择②： 因为， 又因为，即， 所以或3， 因为存在且唯一，所以舍去； 选择③： 因为边上的高线长为，即，所以， 又因为，即， 所以，所以的周长为． ( 考点 11 解三角形的最值问题 ) 75．（2025春•海淀区校级期末）在△中，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由，可得，所以， 根据余弦定理，可得的取值范围是． 故选：． 76．（2023春•房山区期末）在△中，若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由正弦定理可得 ； 因为， 所以，所以，则， 则，即． 故选：． 77．（2023春•和平区校级期末）在△中，，，则的取值范围（　　） A．， B．， C．， D．， 【解答】解：， ， ，，根据正弦定理，， ， ， 的取值范围为，． 故选：． 78．（2022春•西城区期末）在△中，若，则实数的取值范围是（　　） A． B． C．， D． 【解答】解：， ． ，，解得． 故实数的取值范围是． 故选：． 79．（2025春•东城区期末）在锐角△中，若，则 　　 ；的取值范围是 　　 ． 【解答】解：因为，由正弦定理可得， 在锐角三角形中，可得， 所以，可得， 由正弦定理可得， 因为，可得， 所以，可得， 所以范围为，． 故答案为：；，． 80．（2023春•密云区期末）若的面积为，且为钝角，则　　；的取值范围是 　　． 【解答】解：的面积为，即， 由余弦定理可得：，整理得， 且， 所以； 因为为钝角，则，可得， 由正弦定理可得， 因为，则，可得， 所以， 即的取值范围是． 故答案为：；． 81．（2025春•大兴区期末）在锐角△中，为△的面积，，且，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意可知，，且， ，即， 由余弦定理得：，， 又，，解得：或， △为锐角三角形，，， ，， 由正弦定理得：，故， △为锐角三角形，，即，， ， 因此，即． 故选：． 82．（2024春•海淀区校级期末）已知中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求的大小； （2）若是边的中点，且，求的取值范围． 【解答】解：（1），， 又由余弦定理可得，， ，； （2）在中，设，则，， 由正弦定理可得， ，， ， 又，所以，， 即的取值范围是，． 83．（2017秋•朝阳区期末）已知函数． （Ⅰ）求的单调递增区间； （Ⅱ）在中，，，为角，，的对边，且满足，且，求（B）的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由题知， ， ． 由， 解得． 所以单调递增区间为． （Ⅱ）依题意，由正弦定理，． 因为在三角形中， 所以． 即 当时， ； 当时， ． 由于， 所以． 则． 则． 又， 所以． 由， 则（B）的取值范围是． 84．（2023春•通州区期末）已知中，． （Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）若是边的中点，且，求 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理及得，， 整理得， 由余弦定理知，， 所以，即， 由正弦定理知，， 所以，即， 因为，所以． （Ⅱ）设，则，其中， 在中，由正弦定理知，， 所以， 所以，， 所以， 因为，所以，，所以，， 所以，，即 的取值范围为，． 85．（2021春•海淀区校级期末）设，，为的三个内角，向量，，且． （1）求角的大小； （2）求的取值范围． 【解答】解：（1），，且， ， 由正弦定理可得， ， ， ； （2）由（1）知，， ， ， ， ， 的取值范围是，． ( 考点 12 解三角形的实际应用 ) 86．（2025春•顺义区期末）一艘海轮从港口出发，沿着正东方向航行后到达海岛，然后从海岛出发，沿着北偏东方向航行后到达海岛．如果下次航行直接从出发到达，那么这艘海轮需要航行的距离大约是（　　） A． B． C． D． 【解答】解： 因为，且． 在△中，由余弦定理得 ， 即，所以． 故选：． 87．（2024春•大兴区期末）如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（　　） A． B． C． D． 【解答】解：△中，，，则， 由正弦定理可得：，而， 即，解得， 由题意平面，可得，， 可得． 故选：． 88．（2024春•北京期末）如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高，小胡同学先在塔的正西方点处测得塔顶的仰角为，然后从点处沿南偏东方向前进140米到达点处，在处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度是（　　） A．70米 B．80米 C．90米 D．100米 【解答】解：设，在△中，，所以米， 在△中，，可得米． 在△中，，米，米， 根据余弦定理，可得， 即，解得米或米（舍负）． 综上所述，铁塔的高度70米． 故选：． 89．（2023春•大兴区校级期末）为了测量河对岸两点，间的距离，现在沿岸相距的两点，处分别测得，，，，则，间的距离为　　 A． B．2 C． D．4 【解答】解：因为，， 所以是正三角形， 所以， 因为中，，， 所以， 利用正弦定理得， ， 中，， 所以， 所以，即、间的距离为． 故选：． 90．（2024春•海淀区期末）一名学生想测算某风景区山顶上古塔的塔尖距离地面的高度，由于山崖下河流的阻碍，他只能在河岸边制定如下测算方案：他在河岸边设置了共线的三个观测点，，（如图），相邻两观测点之间的距离为，并用测角仪器测得各观测点与塔尖的仰角分别为，，，根据以上数据，该学生得到塔尖距离地面的高度为 　　． 【解答】解：如图所示，设塔尖到地面的距离为， 在中，设，，， 在中，，． 在中，，， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 又，即， 整理得，解得或（舍， ． 故答案为：． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 解三角形 高频考点概览 考点 01 利用正弦定理解三角形 考点 02 三角形解的个数问题 考点 03 正弦定理求外接圆半径 考点 04 利用余弦定理解三角形 考点 05 判断三角形形状 考点 06 正余弦定理边角互化的应用 考点 07 三角形的面积问题 考点 08 三角形的周长问题 考点 09 几何图形中的计算 考点 10 角平分线、中线、高线问题 考点 11 解三角形的最值问题 考点 12 解三角形的实际应用 考点01 利用正弦定理解三角形 1．（2025春•朝阳区期末）在△中，，，，则（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•通州区期末）在△中，角，，所对的边分别为，，，已知，则（　　） A． B． C．或 D．或 3．（2025春•西城区期末）在△中，若，，，则（　　） A． B． C． D． 4．（2025春•昌平区期末）在△中，，则（　　） A． B． C．或 D．或 5．（2024春•昌平区期末）在△中，，，，则（　　） A． B． C．或 D．或 6．（2023春•朝阳区校级期末）在△中，已知，，，则角（　　） A． B． C． D． 7．（2025秋•延庆区期末）已知△中，，，，则 ，　　 ． 8．（2024春•海淀区期末）在锐角△中，，，则（　　） A．2 B． C． D． 9．（2025春•石景山区期末）在△中，，，请写出一个的值是 　　 ，使得满足条件的三角形恰有两个． 考点02 三角形解的个数问题 10．（2023春•大兴区校级期末）在中，，，，则的解的个数是 　　个． 11．（2023春•海淀区期末）在中，，，请给出一个的值，使得满足条件的三角形恰有两个，则的一个值是 　　． 故答案为：均可）． 12．（2021春•丰台区校级期末）若△的内角，，所对的边分别为，，，，，，则的解的个数是（　　） A．2 B．1 C．0 D．不确定 13．（2020春•海淀区校级期末）在△中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 14．（2024春•朝阳区期末）在中，，，若存在且唯一，则的一个取值为 　　． 考点03 正弦定理求外接圆半径 15．（2024春•北京期末）在△中，，，则△的外接圆的半径为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 16．（2024春•石景山区期末）在中，，，，则的外接圆半径为 　　 17．（2017秋•东城区校级期末）中，，则　　，外接圆半径为　　． 考点04 利用余弦定理解三角形 18．（2023春•房山区期末）在△中，已知，，，则等于（　　） A． B．7 C． D．19 19．（2025春•北京期末）在△中，，则（　　） A．2 B．3 C．4 D． 20．（2025秋•东城区校级期末）在△中，已知，，，则为（　　） A．4 B．5 C．3 D．6 21．（2024春•怀柔区期末）在△中，角，，所对的边分别为，，，若，则角为（　　） A． B． C．和 D．和 22．（2023春•大兴区校级期末）在△中，若，，，则（　　） A．25 B．5 C．4 D． 23．（2023春•大兴区期末）在△中，，，，则（　　） A． B． C．5 D．7 24．（2025春•北京期末）已知在△中，，，，则 　　 ； 　　 ． 25．（2024春•延庆区期末）在△中，若，，，则（　　） A．3 B． C．4 D．5 26．（2022秋•通州区期末）在△中，若，，，则等于（　　） A． B． C． D． 考点05 判断三角形形状 27．（2025春•北京期末）在△中，“”是“△是直角三角形”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 28．（2021春•海淀区校级期末）△中，角、、的对边分别为，，，则“”是“△是等腰三角形”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 29．（2025秋•海淀区校级期末）在△中的角，，的对应边分别为，，，且，则三角形的形状为（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或等腰三角形 30．（2024春•怀柔区期末）已知在△中，，则判断△的形状（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 31．（2024春•海淀区期末）在△中，已知，，则下列说法正确的是（　　） A．当时，△是锐角三角形 B．当时，△是直角三角形 C．当时，△是钝角三角形 D．当时，△是等腰三角形 32．（2023春•大兴区校级期末）设△的内角，，所对的边分别为，，，若，则△的形状为（　　） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形 考点06 正余弦定理边角互化的应用 33．（2024秋•海淀区期末）已知△为等腰三角形，且，则 　　． 34．（2024春•西城区校级期末）在△中，，则（　　） A． B． C． D． 35．（2021秋•密云区期末）在△中，，，分别是角，，的对边，若，且，，则的值为（　　） A． B．2 C． D．1 36．（2021秋•石景山区期末）在△中，若，则（　　） A． B． C． D． 37．（2023秋•房山区期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且，则　　． 38．（2022春•昌平区期末）在中，若，则　　． 39．（2021春•朝阳区期末）在△中，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，，求的值． 40．（2022春•丰台区期末）在中，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，，求． 41．（2023春•大兴区校级期末）在中，，，分别为内角，，的对边，且满足，则　　． 考点07 三角形的面积问题 42．（2025秋•丰台区期末）在△中，，，，则△的面积为 ． 43．（2025秋•东城区校级期末）在△中，． （1）求； （2）若，且△的面积为，求△的周长． 44．（2025春•丰台区期末）在△中，，，． （1）求的值； （2）求△的面积． 45．（2025秋•通州区期末）在△中，角，，所对的边分别为，，，已知． （Ⅰ）求角； （Ⅱ）若，，求△的面积． 46．（2024秋•通州区期末）在△中，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，边上中线的长为2，求△的面积． 47．（2025春•北京期末）已知△中，． （1）求的大小； （2）若，求△面积的最大值． 48．（2024春•丰台区期末）在中，三个内角，，的对边分别为，，．已知． （Ⅰ）求角； （Ⅱ）将射线绕点旋转交线段于点，已知． 若，求； 求面积的最小值． 考点08 三角形的周长问题 49．（2025秋•朝阳区期末）在△中，，，则 ；若△的内切圆的半径为，则△的周长为 　　 ． 50．（2023秋•昌平区期末）“三斜求积术”是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长，，求三角形面积，即．现有面积为的△满足，则△的周长是（　　） A．9 B．12 C．18 D．36 51．（2024春•北京期末）已知△的内角，，的对边分别是，，，△的面积为，且满足． （1）求角的大小； （2）若，求△周长的最大值． 52．（2023秋•海淀区校级期末）在锐角△中，，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求△周长的最大值． 53．（2024春•延庆区期末）在中，，． （Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件使不存在，第（Ⅱ）问得0分． （Ⅲ）若，求周长的取值范围． 54．（2024春•大兴区期末）记的内角，，的对边分别为，，，已知． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若． 再从条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 求周长的取值范围． 考点09 几何图形中的计算 55．（2025春•北京期末）已知△中，是上的点，平分，且△面积是△面积的2倍，，，则的长度为（　　） A． B．2 C． D．3 56．（2023春•海淀区期末）如图所示，已知△中，为上一点，，，，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，求的长． 57．（2024春•石景山区期末）如图，在中，，，平分交于点，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的面积． 58．（2023春•石景山区期末）如图，在四边形中，，，． 再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下列问题． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的大小． ①面积； ②． 59．（2022秋•东城区期末）如图，在锐角中，，，，点在边的延长线上，且． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求的周长． 60．（2021春•石景山区期末）如图，在中，为边上一点，，，． （Ⅰ）若，求的大小； （Ⅱ）若，求的面积． 考点10 角平分线、中线、高线问题 61．（2022春•通州区期末）在△中，角，，所对的边分别为，，，，的角平分线交于点，，则（　　） A． B． C． D． 62．（2021春•海淀区校级期末）在中，角，，的对边分别为，，，的面积为，且满足． （1）求角的大小； （2）设的角平分线交于，且，求线段的长． 63．（2020春•海淀区校级期末）已知在中，，，． （Ⅰ）求边的长； （Ⅱ）已知点在线段上，且，求证：为的角平分线． 64．（2025秋•海淀区期末）在△中，是边上的中线，且，，△的面积为，则　 ，　　 ． 65．（2025秋•房山区期末）在△中，，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△存在且唯一，求边上中线的长． 条件①：边上的高为； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 66．（2025春•东城区期末）已知△的面积为，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 67．（2023秋•丰台区期末）在△中，，． （Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）在下列三个条件中选择一个作为已知，使△存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度． 条件①：；条件②：△的周长为；条件③：△的面积为． 68．（2023秋•海淀区期末）在△中，． （Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△存在，求边上中线的长． 条件①：△的面积为； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 69．（2021春•海淀区校级期末）已知在中，，． （1）求的大小； （2）若，求边上的中线长度． 70．（2024春•西城区校级期末）在中，． （Ⅰ）求和； （Ⅱ）求边上的中线的长． 71．（2022春•朝阳区校级期末）在中，设内角，，所对的边分别为，，，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，边上的中线长为，求边． 72．（2024春•海淀区期末）在中，． （Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求最长边上高线的长． 条件①：； 条件②：的面积为； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 73．（2024春•东城区校级期末）在中，，，分别是角，，的对边，且． （1）求的大小； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上高线的长． 条件①：，； 条件②：，； 条件③：，． 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分． 74．（2023春•西城区期末）已知在中，． （1）求的大小； （2）若，在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的周长． ①的面积为； ②； ③边上的高线长为． 考点11 解三角形的最值问题 75．（2025春•海淀区校级期末）在△中，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 76．（2023春•房山区期末）在△中，若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 77．（2023春•和平区校级期末）在△中，，，则的取值范围（　　） A．， B．， C．， D．， 78．（2022春•西城区期末）在△中，若，则实数的取值范围是（　　） A． B． C．， D． 79．（2025春•东城区期末）在锐角△中，若，则 　　 ；的取值范围是 　　 ． 80．（2023春•密云区期末）若的面积为，且为钝角，则　　；的取值范围是 　　． 81．（2025春•大兴区期末）在锐角△中，为△的面积，，且，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 82．（2024春•海淀区校级期末）已知中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求的大小； （2）若是边的中点，且，求的取值范围． 83．（2017秋•朝阳区期末）已知函数． （Ⅰ）求的单调递增区间； （Ⅱ）在中，，，为角，，的对边，且满足，且，求（B）的取值范围． 84．（2023春•通州区期末）已知中，． （Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）若是边的中点，且，求 的取值范围． 85．（2021春•海淀区校级期末）设，，为的三个内角，向量，，且． （1）求角的大小； （2）求的取值范围． 考点12 解三角形的实际应用 86．（2025春•顺义区期末）一艘海轮从港口出发，沿着正东方向航行后到达海岛，然后从海岛出发，沿着北偏东方向航行后到达海岛．如果下次航行直接从出发到达，那么这艘海轮需要航行的距离大约是（　　） A． B． C． D． 87．（2024春•大兴区期末）如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（　　） A． B． C． D． 88．（2024春•北京期末）如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高，小胡同学先在塔的正西方点处测得塔顶的仰角为，然后从点处沿南偏东方向前进140米到达点处，在处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度是（　　） A．70米 B．80米 C．90米 D．100米 89．（2023春•大兴区校级期末）为了测量河对岸两点，间的距离，现在沿岸相距的两点，处分别测得，，，，则，间的距离为　　 A． B．2 C． D．4 90．（2024春•海淀区期末）一名学生想测算某风景区山顶上古塔的塔尖距离地面的高度，由于山崖下河流的阻碍，他只能在河岸边制定如下测算方案：他在河岸边设置了共线的三个观测点，，（如图），相邻两观测点之间的距离为，并用测角仪器测得各观测点与塔尖的仰角分别为，，，根据以上数据，该学生得到塔尖距离地面的高度为 　　． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $