2026年山东省枣庄市市中区中考数学模拟试卷（二）

**基本信息** 2026年枣庄市中中考数学模拟卷，以氮化镓芯片、甲骨文、无人机测高等真实情境为载体，覆盖数与式、图形与几何、统计与概率，突出数学眼光、思维与语言的核心素养考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|有理数、科学记数法、三视图等|科技情境（第2题芯片）、文化素材（第6题甲骨文概率），基础巩固| |填空题|5/15|黄金分割、动态几何最值等|数学文化（第12题黄金分割）、规律探究（第15题旋转），能力提升| |解答题|8/75|函数建模、解直角三角形、新定义等|函数应用（第18题净化因子）、跨学科（第20题无人机测高）、创新探究（第23题筝形），梯度分明|

2026年山东省枣庄市市中区中考数学模拟试卷（二） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列实数中，是有理数的为（　　） A． B．π C．0 D． 2．在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长最大值从0.0000000256m扩展至原来的4倍左右．将0.0000000256用科学记数法表示应为（　　） A．2.56×10﹣9 B．2.56×10﹣8 C．0.256×10﹣9 D．0.256×10﹣8 3．蹄形磁铁是磁铁的一种，其形状类似于马蹄形，因而称之为蹄形磁铁，它的形状也像英文字母U，又叫U形磁铁．如图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其俯视图是（　　） A． B． C． D． 4．下面四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“小暑”“立秋”，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（　　） A． B．a3+a2＝a5 C．（﹣ab）4+（﹣ab）2＝a2b2 D．3a2•a3＝3a5 6．甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（　　） A． B． C． D． 7．我国古代数学典籍中记载了这样一道数学题：“今有绢一匹买紫草三十斤，染绢二丈五尺．今有绢七匹，欲减买紫草，还自染余绢．问减绢、买紫草各几何．”（匹：布料长度的计量单位，1匹＝4丈，1丈＝10尺）译文：现在1匹绢可以换30斤紫草，这些紫草用来染绢可染2丈5尺．现有7匹绢，想要卖掉一部分来买紫草，并用买来的紫草染剩余的绢．问卖掉多少匹绢，买多少斤紫草．若设卖掉x匹绢，剩余y匹绢，根据题意，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 8．如图，菱形ABCD和菱形AEFG中，AB＝8，∠ABC＝60°，点E是AD的中点，点G在BA的延长线上，连接AC，AG，CF，则CF的长为（　　） A． B． C． D． 9．如图，在矩形ABCD中，，BC＝8．以BC的中点O为圆心，OB长为半径作，则阴影部分的面积为（　　） A．4π﹣8 B． C．4π﹣4 D．2π﹣4 第8题 第9题 10．近视眼镜是一种为了矫正视力，让人们可以清晰看到远距离物体的凹透镜片．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．镜片焦距x的值越大，近视眼镜的度数y的值越小 B．图中曲线是反比例函数的图象（其中一支） C．当焦距x为0.3m时，近视眼镜的度数y约为300度 D．对于每一个镜片焦距x，都有唯一的近视度数y与它对应 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分。） 11．若代数式有意义，则x的取值范围为 　 　 ． 12．黄金分割，又称黄金比、中外比，是一个数学常数，它描述了一种特殊的比例关系：将一条线段分割为两部分，使得较长部分与较短部分的比值，等于全长与较长部分的比值，这个比值就是黄金分割比．自然界中就充满着黄金比，如图，校园里一片小小的树叶，叶筋上一点P恰好为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为　 　 cm．（用含的代数式表示） 13．如图，在平面直角坐标系中，等边△AOB和菱形OBCD的边AO、OD都在x轴上，反比例函数的图象经过点C．已知△ABC的面积为，则k的值为 　 　 ． 14．如图，已知P是线段AB上的动点（P不与点A，B重合），AB＝6，分别以AP，PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；连接PG，当动点P从点A运动到点B时，则PG的最小值是　 　 ． 15．在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，点A的坐标为（1，0）．把△AOB按如图所示的方式放置，并将△AOB进行变换：第一次变换将△AOB绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△AOB边长的2倍，得到△A1OB1，第二次变换将△A1OB1绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△A1OB1边长的2倍，得到△A2OB2，…依此类推，得到△A2026OB2026，则点A2026的坐标为　 　 ． 第13题 第14题 第15题 三、解答题（本大题共8个小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 16．（8分）计算、化简求值： （1）； （2），请从﹣2，﹣1，0，1，2中选择一个合适的数，求此分式的值． 17．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，一同学利用直尺和圆规完成如下操作： ①以点C为圆心，以CB为半径画弧，交AB于点G；分别以点G，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交点K，作射线CK； ②以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N；分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC的延长线于点D，交射线CK于点E． 请你观察图形，根据操作结果解答下列问题； （1）求证：CD＝CE； （2）过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，若AC＝12，BC＝5，求CE的长． 18．（10分）为了解智能家居空气净化器的净化效果，某数学实践小组搭建模拟实验空间（体积固定），开展“探究净化因子浓度变化规律”实验：启动空气净化器的“净化因子释放”模式，每隔一段时间记录一次室内每立方米空气中的净化因子浓度y（单位：μg），部分数据如表，通过实验发现净化因子浓度变化分为两个阶段： ①主动释放阶段（0≤x≤1）：y与x成一次函数关系； ②自然消散阶段（x＞1）：y与x成反比例关系． （1）根据实验数据，分别求出主动释放阶段（0≤x≤1）和自然消散阶段（x＞1）中，y关于x的函数表达式（需注明自变量取值范围）． （2）结合函数表达式，计算当净化因子浓度y＝6.25μg时，对应的释放时间x的值． （3）若“有效净化”的标准为室内每立方米净化因子浓度不低于6.25μg，且持续时间不低于lh．请通过计算判断本次实验中“净化因子释放”模式是否达到有效净化标准． 释放时间x/h 0 0.5 1 1.2 1.5 … 浓度y/μg 2 6 10 … 19．（9分）2026年5月5日是中国共产主义青年团成立104周年，某校组织八年级学生观看庆祝大会实况并进行团史学习知识竞赛（百分制）．为了解学生答题情况，从中随机抽取了部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，单位：分），并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组： A：50≤x＜60； B：60≤x＜70； C：70≤x＜80； D：80≤x＜90； E：90≤x≤100． 下面给出了部分信息： a：C组的数据： 70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，76，76，78，78，79，79． b：不完整的学生竞赛成绩频数分布直方图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： （1）求随机抽取的八年级学生人数； （2）扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为　 　 度； （3）请补全频数分布直方图； （4）抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是　 　 分； （5）该校八年级共900人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数． 20．（8分）如图所示，无人机在生活中的使用越来越广泛，小海用无人机测量大楼的高度．无人机悬停在空中E处，测得楼AB楼顶A的俯角是60°，楼CD的楼顶C的俯角是45°，已知两楼间的距离米，楼AB的高为10米，从楼AB的A处测得楼CD的C处的仰角是30°（A、B、C、D、E在同一平面内）． （1）求楼CD的高； （2）小海发现无人机电量不足，仅能维持40秒的飞行时间，为了避免无人机掉落砸伤人，站在A点的小海马上控制无人机从E处匀速以5米/秒的速度沿EA方向返航，无人机能安全返航吗？ 21．（10分）如图，AB是⊙O的弦，过点B作直线EF，以O为顶点作∠AOC＝90°，分别交EF，AB于点C，D，若CB＝CD． （1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由． （2）若⊙O的半径为3，，求BC的长． 22．（11分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2mx． （1）写出抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； （2）若点A（﹣1，0），B（4，0），抛物线y＝x2﹣2mx与线段AB只有一个交点，求m的取值范围； （3）M（1﹣m，y1），N（m，y2）是抛物线y＝x2﹣2mx上两点，若|y1﹣y2|≤4，直接写出m取值范围． 23．（11分）【问题背景】小明同学是个善于思考、善于总结的孩子，他总能把一些相关联的数学现象放在一起进行对比分析，总结提炼，他将学过的角平分线定理、线段垂直平分线定理、垂径定理、切线长定理的基础图形进行了汇总，如表： 角平分线定理 线段垂直平分线定理 垂径定理 切线长定理 A＝OB，PA＝PB CA＝CB，DA＝DB CA＝CB，AD＝BD PC＝PD，OC＝OD 【归纳总结】 （1）小明发现这四个图中都有一个非常类似的四边形，经过查找资料，知道了它们都可叫作筝形．我们规定：如图1，四边形ABCD中，若AB＝AD，CB＝CD，则称四边形ABCD为筝形． 他类比研究特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的方法，进一步得到了筝形的相关性质，请聪明的你也总结两条筝形的性质（可从边、角、对角线、对称性、面积等方面考虑，不用说理）： ①　 　 ； ②　 　 ； 【知识迁移】 （2）李老师引导小明深入思考，如图2，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，得到正方形AB'C'D'，两个正方形的边B'C'与CD交于点E，求证：四边形AB'ED是筝形； （3）将（2）中的条件“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”，其他条件不变，如图3，（2）中的结论是否仍成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出关于四边形AB′ED的正确结论； 【拓展延伸】 （4）在图3中，连接AE，B′D交于点O，如图4，若正方形ABCD的边长为6，直接写出CO的最小值为　 　 ． 参考答案： 1．【分析】根据有理数和无理数的定义逐个判断即可． 【解答】解：A、是无理数，故此选项不符合题意； B、π是无限不循环小数，属于无理数，故此选项不符合题意； C、0是整数，属于有理数，故此选项符合题意； D、是无理数，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查了实数的分类，掌握有理数和无理数的定义是解题关键．整数和分数统称有理数，初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：0.0000000256＝2.56×10﹣8． 故选：B． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．【分析】根据简单几何体的三视图的画法画出它的俯视图即可． 【解答】解：这个几何体的俯视图为： 故选：D． 【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法是正确解答的关键． 4．【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 【解答】解：根据轴对称图形的概念逐项分析判断如下： A、原图不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、原图是轴对称图形，故本选项符合题意； C、原图不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、原图不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了轴对称图形，熟练掌握该知识点是关键． 5．【分析】分别根据二次根式的加减法法则，幂的乘方与积的乘方法则，同底数幂的除法法则逐一判断各选项即可． 【解答】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、a3与a2不是同类项，原计算错误，不符合题意； C、（﹣ab）4+（﹣ab）2＝a4b4+a2b2≠a2b2，原计算错误，不符合题意； D、3a2•a3＝3a5，正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查的是二次根式的加减法法则，幂的乘方与积的乘方法则，同底数幂的除法法则，熟知以上知识是解题的关键． 6．【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：列表如下： 美 丽 山 河 美 （美，丽） （美，山） （美，河） 丽 （丽，美） （丽，山） （丽，河） 山 （山，美） （山，丽） （山，河） 河 （河，美） （河，丽） （河，山） 共有12种等可能的结果，其中这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的结果有：（丽，山），（山，丽），共2种， ∴这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率为． 故选：B． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 7．【分析】根据“现有7 匹绢”可得x+y＝7；根据“1匹绢可以换30斤紫草，这些紫草用来染绢可染2丈5尺”以及“1匹＝4丈，1丈＝10尺”可得25x＝40y，即可列出方程组． 【解答】解：根据题意，可列方程组为： ． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，理解题意是关键． 8．【分析】连接EG交AF于点O，根据菱形的性质以及等边三角形的性质证明∠CAF＝90°，再由勾股定理解答即可． 【解答】解：如图，连接EG交AF于点O， ∵四边形ABCD和AEFG都是菱形，AB＝8， ∴AF＝2OA，，AD＝CD＝AB＝8，AD∥BC，AE＝AG，AF⊥EG， ∵∠ABC＝60°， ∴∠EAG＝∠ABC＝60°，△ACD为等边三角形， ∴△EAG为等边三角形，∠CAD＝60°，AC＝AD＝8， ∴∠EAF＝30°，EG＝AE， ∴∠CAF＝∠CAD+∠EAF＝90°， ∵点E是AD的中点， ∴EG＝AE＝4， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查等边三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 9．【分析】过O作OH⊥AD于H，连接OM，ON，判定四边形ABOH是矩形，推出OH＝AB＝2，由cos∠MOH，求出∠MOH＝45°，由等腰三角形的性质推出∠MON＝2∠MOH＝90°，求出扇形OMN的面积4π，△OMN的面积OM•ON＝8，即可得到阴影部分的面积． 【解答】解：过O作OH⊥AD于H，连接OM，ON， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝∠AHO＝90°， ∴四边形ABOH是矩形， ∴OH＝AB＝2， ∵BC＝8． ∴OM＝OBBC＝4， ∵cos∠MOH， ∴∠MOH＝45°， ∵OM＝ON，OH⊥MN， ∴∠MON＝2∠MOH＝90°， ∴扇形OMN的面积4π，△OMN的面积OM•ON4×4＝8， ∴阴影部分的面积＝扇形OMN的面积﹣△OMN的面积＝4π﹣8． 故选：A． 【点评】本题考查扇形面积的计算，矩形的性质，关键是掌握扇形的面积公式． 10．【分析】根据反比例函数的性质进行判断即可． 【解答】解：∵近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）的关系式为y， ∴当x的值增大时，y的值随之减小，故A正确，不符合题意； 图中曲线是反比例函数的图象的其中一支，故B正确，不符合题意； 将x＝0.3．代入，y值约为333，故C不正确，符合题意； 对于每一个镜片焦距x，都有唯一的近视度数y与它对应，故D正确，不符合题意． 故选：C． 二：填空题 11．【分析】根据二次根式的被开方数为非负数以及分式的分母不等于零，列式计算即可得出答案． 【解答】解：∵代数式有意义， ∴x+2≥0且x≠0， 解得：x≥﹣2且x≠0． 故答案为：x≥﹣2且x≠0． 【点评】此题主要考查了分式、二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：（1）分式有意义的条件是分母不等于零；（2）二次根式中的被开方数是非负数． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确利用反比例函数的性质是解题关键． 12．【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：∵点P恰好为AB的黄金分割点（AP＞PB），AB的长度为10cm， ∴APAB10＝（55）cm， 故答案为：（55）． 【点评】本题考查了黄金分割，准确熟练地进行计算是解题的关键． 13．【分析】连接OC，根据等边三角形及菱形得到ABCO是菱形，结合反比例函数k的几何意义列式求解即可得到答案． 【解答】解：连接OC， ∵等边△AOB和菱形OBCD的边AO、OD都在x轴上， ∴AB＝BC＝BO＝AO＝CO＝DO，∠BOA＝∠CBO＝60°，BC⊥y轴， ∴OC＝BO＝BC， ∴四边形ABCO是菱形， ∵△ABC的面积为， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查反比例函数k的几何意义、菱形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 14．【分析】分别延长AE、BF交于点H，易证四边形EPFH为平行四边形，得出G为PH中点，则G的运行轨迹△HAB的中位线MN，得出MN∥AB，从而求得PG＜AM且PG大于等于MN与AB间垂线段的长，进而可以解决问题． 【解答】解：如图，分别延长AE、BF交于点H， ∵∠A＝∠FPB＝60°， ∴AH∥PF， ∵∠B＝∠EPA＝60°， ∴BH∥PE， ∴四边形EPFH为平行四边形， ∴EF与HP互相平分， ∵G为EF的中点， ∴G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为△HAB的中位线MN， ∴MN∥AB，PG＜AM， ∵当P在AB中点时，PH⊥AB， ∴当P在AB中点时，PG的值最小， ∵△AEP和△PFB是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝60°， ∴△AHB是等边三角形， ∴AH＝AB＝6， ∴当P在AB中点时，PH＝3， ∴PGPH， ∴PG的最小值是， 故答案为：． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作辅助线，找到点G移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强． 15．【分析】根据△AOB的变换方式，可得出每变换六次，点A的对应点所在方向线循环出现，再根据△AOB的边长变化规律即可解决问题． 【解答】解：由题意OA＝1＝20，OA1＝2＝21，OA2＝22，OA3＝23，⋯，OAn＝2n， ∴△A2026OB2026的边长为22026， ∵360°÷60°＝6， ∴每变换六次，点A的对应点所在方向线循环出现． 又∵2026÷6＝337余4， ∴A2026与A4都在第二象限， ∴A2026（﹣22025，22025）， 故答案为：（﹣22025，22025）． 【点评】本题考查点的坐标变化规律，能通过变换方式发现点Ai位置及△AiOBi边长的变化规律是解题的关键． 三：解答题 16.【分析】（1）先计算算术平方根和立方根，再计算绝对值和乘方，接着计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先把除法变成乘法后约分，再通分化简，最后根据分式有意义的条件确定a的值，并代入求值即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ， ∵分式要有意义， ∴， ∴a≠0且a≠﹣1且a≠±2， ∴当a＝1时，原式． 【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握 运算法则是关键． 17.【分析】（1）由作图知CE⊥AB，BD平分∠CBF，即可证明∠CEB＝∠CDE，则有CD＝CE； （2）由题意得△BDC≌△BDF，则有CD＝DF，BC＝BF，利用勾股定理求得AB，设EC＝CD＝DF＝x，在Rt△ADF中列出方程（12+x）2＝x2+182，解得CE即可． 【解答】（1）证明：由作图知CE⊥AB，BD平分∠CBF， ∴∠1＝∠2＝∠3， ∵∠CEB+∠1＝∠CEB+∠3＝∠2+∠CDE＝90°， ∴∠CEB＝∠CDE， ∴CD＝CE； （2）解：∵DF⊥AB， ∴∠DFB＝∠DCB＝90°， ∵BD＝BD， ∴△BDC≌△BDF（AAS）， ∴CD＝DF，BC＝BF＝5， ∵∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5， ∴AB13， ∴AF＝13+5＝18， 设EC＝CD＝DF＝x，则AD＝x+12， 在Rt△ADF中，根据勾股定理得：AD2＝AF2+DF2， 则（12+x）2＝x2+182， ∴x， ∴CE． 【点评】本题主要考查作图——过点作垂线和作角平分线，等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟悉常见作图和利用参数构建方程解决问题． 18.【分析】（1）先设出一次函数和反比例函数的表达式，利用给定的数据点来确定函数表达式； （2）将给定的浓度代入相应的函数表达式，求解即可； （3）根据有效净化的标准，计算净化因子浓度不低于6.25μg的持续时间，然后判断是否达标即可． 【解答】解：（1）设主动释放阶段的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）， 当x＝0时，y＝2，当x＝1时，y＝10，将其代入y＝kx+b， 得， 解得， ∴主动释放阶段的函数表达式为y＝8x+2（0≤x≤1）； 设自然消散阶段的函数表达式为y（m≠0）， 当x＝1.2时，y，将其代入y，得，解得m＝10， ∴自然消散阶段的函数表达式为y（x＞1）； （2）当0≤x≤1时，将y＝6.25代入y＝8x+2，得6.25＝8x+2， 解得x＝0.53125； 当x＞1时，将y＝6.25代入y，得6.25， 解得x＝1.6； ∴当净化因子浓度y＝6.25μg时，对应的释放时间x的值为0.53125h或1.6h； （3）令8x+2≥6.25，解得x≥0.53125， 主动释放阶段净化因子浓度不低于6.25μg的持续时间为1﹣0.53125＝0.46875h， 令，解得x≤1.6， 自然消散阶段净化因子浓度不低于6.25μg的持续时间为1.6﹣1＝0.6h， 净化因子浓度不低于6.25μg的总持续时间为0.46875+0.6＝1.06875h， ∵1.06875＞1， ∴本次实验中“净化因子释放”模式达到有效净化标准． 【点评】本题考查一次函数和反比例函数的应用，通过代入已知点求解函数解析式，是解决后续问题的基础，过程中注意分类讨论思想的应用；将净化因子浓度的变化转化为函数问题，通过函数计算验证实际“有效净化”标准，体现了数学建模解决实际问题的应用价值． 19.【分析】（1）用频数分布直方图中A的频数除以扇形统计图中A的百分比可得抽取的人数； （2）用B组的频数除以总人数，再乘360°，求出B组对应扇形的圆心角度数； （3）可求出成绩为D：80≤x＜90的人数，补全频数分布直方图即可； （4）根据中位数的定义可得答案； （5）根据用样本估计总体，用900乘样本中D组和E组的人数所占的百分比，即可得出答案． 【解答】解：（1）3÷6% ＝50（人）， 答：随机抽取的八年级学生人数为50人； （2）扇形统计图中B组所对应扇形的圆心角为72°， 故答案为：72； （3）D组频数＝50﹣3﹣10﹣16﹣9＝12，补全频数分布直方图如图所示： （4）从小到大排列，第25、26个数据分别为76分，78分， ∴中位数为77（分）， 故答案为：77； （5）900378（人）， 答：估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数约378人． 【点评】本题考查频数（率）分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体、中位数的定义是解答本题的关键． 20.【分析】（1）根据题意，结合图形，在Rt△AFC中求出CF长，结合AB的长，得到结果； （2）根据题意，在Rt△AFC中求出AC长，结合图形，得到AE＝AC，得到结果． 【解答】解：（1）如图，过A点作AF⊥CD于点F， ∵在Rt△AFC中，AF＝BD＝60米，∠AFC＝90°，∠CAF＝30°， ∴CF＝AF•tan∠CAF＝60tan30°＝60（米）， ∵FD＝AB＝10（米）， ∴CD＝CF+FD＝70（米）， 答：楼CD的高为70米； （2）能安全返航，理由如下： ∵在Rt△AFC中，∠AFC＝90°，∠CAF＝30°，AF＝60米， ∴AC120（米）， ∵如图，MN∥AF，∠MEA＝30°，∠NEC＝45°， ∴∠EAF＝60°，∠AEC＝75°， ∵∠CAF＝30°， ∴∠EAC＝30°， ∴∠ECA＝180°﹣∠EAC﹣∠AEC＝75°， ∴∠ECA＝∠AEC， ∴AE＝AC＝120（米）， ∵无人机从E处匀速以5米/秒的速度沿EA方向返航， ∴返航所需时间为120÷5＝24（秒）， ∵无人机能维持40秒的飞行时间， ∴无人机能安全返航． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 21.【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠OBA，∠CBD＝∠CDB，求得∠CBD＝∠ADO，得到∠CBO＝90°，根据切线的判定定理得到直线EF与⊙O相切； （2）根据三角函数的定义得到OD＝1，设CB＝CD＝x，求得OC＝x+1，根据勾股定理得到结论． 【解答】解：（1）直线EF与⊙O相切， 理由：∵OA＝OB， ∴∠A＝∠OBA， ∵CB＝CD， ∴∠CBD＝∠CDB， ∵∠ADO＝∠CDB， ∴∠CBD＝∠ADO， ∵∠AOC＝90°， ∴∠A+∠ADO＝90°， ∴∠OBD+∠CBD＝90°， ∴∠CBO＝90°， ∴OB⊥EF， ∵OB是⊙O的直径， ∴直线EF与⊙O相切； （2）∵∠AOC＝90°，， ∴， ∵⊙O的半径为3， ∴OA＝3， ∴OD＝1， 设CB＝CD＝x， ∴OC＝x+1， ∵∠OBC＝90°， ∴CB2+OB2＝OC2， ∴x2+32＝（x+1）2， ∴x＝4， ∴BC＝4． 【点评】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，等腰三角形的性质，各过各的了，解直角三角形，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 22.【分析】（1）利用对称轴公式进行求解； （2）求出抛物线与x轴的交点坐标，然后根据交点情况进行分析即可； （3）根据函数解析式判定出y2的值最小，得出4m2﹣4m﹣3≤0，然后利用二次函数的性质以及图象得出m的取值范围即可． 【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线； （2）∵y＝x2﹣2mx＝x（x﹣2m）， ∴抛物线y＝x2﹣2mx与x轴的交点坐标为（0，0）和（2m，0）， 抛物线与x轴的交点为（0，0）和（2m，0），点（0，0）在线段AB上，要使抛物线与线段AB只有一个交点， 则另一个交点（2m，0）需要在线段AB之外，或与（0，0）重合， 当交点（2m，0）在线段AB之外时，2m＜﹣1或2m＞4， 解得或m＞2； 当交点（2m，0）与（0，0）重合时，2m＝0， 解得m＝0； ∴若点A（﹣1，0），B（4，0），抛物线y＝x2﹣2mx与线段AB只有一个交点，则或m＞2或m＝0； （3）由（1）得，抛物线的对称轴为直线x＝m，且解析式a＝1＞0，抛物线开口向上， ∴M（1﹣m，y1），N（m，y2）为抛物线的顶点坐标， ∴y2的值最小， ∵M（1﹣m，y1），M（1﹣m，y1），N（m，y2）， ∴， ∴由|y1﹣y2|≤4得， （1﹣m）2﹣2m（1﹣m）+m2≤4， 整理得4m2﹣4m﹣3≤0， 令w＝4m2﹣4m﹣3， 当4m2﹣4m﹣3＝0时， 解得或， ∴． 【点评】本题考查二次函数综合，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 23.【分析】（1）利用筝形的定义解答即可； （2）连接AE，利用正方形的性质得到AD＝AB′，∠D＝∠D′＝90°，利用全等三角形的判定与性质得到ED＝EB′，依据筝形的定义解答即可； （3）连接B′D，由旋转知AB′＝AD，∠AB′E＝∠ADE，得∠AB′D＝∠ADB′，∠EDB′＝∠EB′D，进而得ED＝EB′，故可得结论； （4）利用筝形的性质和圆的有关性质得到点O在以AD为直径的半圆上运动，AD的中点M为该半圆的圆心，连接MO，结合图形得到当点M，O，C三点在一条直线上时，OC取得最小值，最小值为CM﹣OM，利用正方形的性质和勾股定理解答即可得出结论． 【解答】（1）解：由筝形的定义可得：本题答案不唯一，只要正确即可，如：①筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线；②筝形的面积等于对角线乘积的一半；③筝形是轴对称图形等； 故答案为：筝形的面积等于对角线乘积的一半，筝形是轴对称图形等； （2）证明：如图，连接AE， 由旋转知四边形ABCD和四边形AB′C′D′为全等的正方形， ∴∠B′＝∠D＝90°，AB′＝AD， ∵AE＝AE， ∴Rt△AB′E≌Rt△ADE（HL）， ∴ED＝EB′， ∴四边形AB′ED是筝形； （3）解：四边形AB′ED是筝形； 理由：如图，连接B′D， 由旋转知四边形ABCD和四边形AB′C′D′为全等的菱形， ∴AB′＝AD，∠AB′E＝∠ADE， ∴∠AB′D＝∠ADB′， ∴∠AB′E﹣∠AB′D＝∠ADE﹣∠ADB′， ∴∠EDB′＝∠EB′D， ∴ED＝EB′， ∴四边形AB′ED是筝形； （4）解：如图， 由（2）知四边形AB′ED是筝形， ∴AD＝AB'，ED＝EB′， ∴点A，E在线段B′D的垂直平分线上， ∴AE⊥B′D， ∴∠AOD＝90°， ∴点O在以AD为直径的半圆上运动， 取AD的中点M，则点M为该半圆的圆心，连接MO，MC， ∵MC≤OM+OC， ∴当点M，O，C三点在一条直线上时，OC取得最小值，最小值为CM﹣OM． ∵AB＝AD＝CD＝6，正方形ABCD的边长为6， ∵M为AD的中点，∠AOD＝90°， ∴，AM＝DM＝OM＝3， ∴CO的最小值． 【点评】本题主要考查四边形综合题，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，本题是新定义型，正确理解相对应的规定并熟练应用是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $