山西省大同市第二中学校强基班2025-2026学年下学期九年级五月阶段性测试 数学试卷

姓名 准考证号 大同二中5月阶段性测试-强基班 数 学 注意事项： 1.本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置 3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1.下列各数中，比-5小的数是 A.-8 B.-5 C.0 D.5 2.如图是由6块完金相同的小立方块搭成的几何体，则该几何体的俯视图为 D 3.2026年一季度，山西省经济平稳起步、稳中有进.旅游市场持续升温，全省重点监测景 区的接待人数为3051.5万人次，同比增长29.9%.将数据3051.5万用科学记数法表 示为 A.3051.5×104 B.30515×10 C.3.0515×108 D.3.0515×10 4.下列运算正确的是 A.（-a2)3=a6 B.a3+a2=a5 C.(a+2)2=a2+4a+4 D.(a5+a2)÷a2=a 5.如图，四边形ABCD内接于⊙0，点C为BD的中点，CE与⊙0相切于点C.若LA=80°，则 ∠DCE的度数为 A A.359 B.409 0 C.45° D.50° 数学第1页（共8页） 6.下列关于反比例函数y=-5的说法，正确的是 A.y随x的增大而增大 B.图象位于第二、四象限 C.点(1,5)在该函数的图象上 D.在每一象限内，y随x的增大而减小 7.为从甲、乙两名同学中选出一人参加学校的篮球比赛，体育老师让这两名同学进行了5 轮投篮比赛，每轮每人投10个.如图是这两名同学5轮投篮比赛投中数量的折线统计 图，则这两名同学投篮比赛投中数量的方差$品和s的大小关系为 A.= ↑投中数量个 10 B.s品>s2 9 C.<s吃 D.无法确定 012345轮次 8.如图，在△ABC中，∠B=75°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE,点B,C的 对应点分别为点D,E,当点D落在BC上时，AE∥BC,则∠C的度数为 A.25° A B.30° C.35 D.40° 9.随着环保意识的增强，新能源汽牵越来越受到大家的喜爱.某款新能源汽车充满电后 在保持同一车速行驶的情况下，可行驶里程y(单位：km)与行驶时间t(单位：)之间的 部分对应数据如下表所示： 行驶时间th 2 3 4 5 6 7 可行驶里程ykm 315 270 225 180 135 90 则y与t之间的函数关系式为 A.y=-45t+405 B.y=90t C.y=45t-405 D.y-630 10.实数a,b,c在数轴上对应的点分别为A,B,C,其相对位置如图所示.若a+c<c-a<b,且 AC>BC,则原点O的位置可能在 A A.线段CA的延长线上 B.线段CB的延长线上 C.线段BC上 D.线段AC上 数学第2页（共8页） 第Ⅱ卷 非选择题 (共0分) 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11.计算：√18-√50=▲ 12.如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点0，点E为BC上一点，且CE=C0,连接OE, 则∠BOE的度数为△ E 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图 13.如图是一个电路图，从S,S2,S,S4这四个开关中，随机闭合一个，再从剩余的3个开关 中随机闭合一个，则小灯泡能发光的概率是▲ 14.无人机巡检是新一代智慧运维技术，具有效率高、安全性强、适用范围广的特点.若巡 检一段240km的线路，无人机巡检比人工巡检少用2h,且无人机巡检的速度是人工 巡检的1.5倍，则无人机巡检的速度为▲km/h. 15.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=2AC,BC=5.以AC为边，在△ABC的外部作 △ACD,使得∠CAD=2∠ABC,AD=AC,连接BD.则BD的长为▲ 三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(本题共2个小题，每小题5分，共10分) (1)计算： (-2×刘引 (-4)0 (2)化简 x-5 1 3 x2-2x+11-x x2-1 17.(本题7分)如图，△ABC为等边三角形，点D为AC的中点，连接BD.过点C作CELBC 交BD的延长线于点E,点F为BE的中点，连接CF并延长，交AB于点G.判断CG与AB 的位置关系，并说明理由， 数学第3页（共8页） 18.(本题10分)沁州黄小米色泽金黄，圆润如珠，口感绵糯，具有“金珠不换沈州黄”的美 誉，某农业合作社生产沁州黄小米精美礼盒与特级礼盒.已知生产1盒精美礼盒和4 盒特级礼盒的总成本为660元，生产5盒精美礼盒和2盒特级礼盒的总成本为600元. (1)求生产1盒精美礼盒和1盒特级礼盒的成本分别为多少元， (2)某电商平台委托该合作社生产精美礼盒和特级礼盒共100盒， 要求总成本不高于10000元，则最多可生产多少盒特级礼盒？ 19.（本题7分)为了解某地区企业信息化发展水平，综合与实践小组在该地区随机抽取了 40家企业，分别对其“设备数字化率”“核心系统覆盖率”这两项指标进行了评分（每项 满分都是10分)，并将评分数据进行整理，如下是部分信息： a.40家企业“设备数字化率”评分频数分布直方图如下（数据分成5组：5≤x<6,6≤ x<7,7≤x<8,8≤x<9,9≤x≤10)： +频数 15 12 9 6 7 3 3 05678910评分 b.40家企业“设备数字化率”评分在7≤x<8的具体数据如下： 7.27.27.27.37.57.67.67.87.9 c.40家企业“设备数字化率”“核心系统覆盖率”这两项指标评分的平均数、中位数、众 数如下： 指标 平均数/分 中位数/分 众数/分 设备数字化率 7.5 m 8.5 核心系统覆盖率 7.3 7.3 8.2 请根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中，m的值为▲，并将频数分布直方图补充完整， (2)将这40家企业的“设备数字化率”“核心系统覆盖率”这两项指标的评分分别从高 到低排名，若某家企业这两项指标的评分都为7.5分，则该企业这两项指标中哪一项 指标的排名更靠前？并说明理由， (3)若该地区有500家企业，估计这500家企业中“设备数字化率”评分超过7.5分的有 多少家 数学第4页（共8页) 20.(本题8分)位于太原解放纪念馆的太原解放纪念碑造型像一把巨大的钥 匙，象征着打开太原城的“胜利钥匙”某综合与实践小组的同学以“测量太 原解放纪念碑的高度”为主题开展了实践活动，并形成如下活动报告 活动主题 测量太原解放纪念碑的高度 测量工具 测角仪、皮尺、无人机 E 2 B 底座 基台 测量示意 M C N 图及方案 说明：AB表示太原解放纪念碑的碑体，下方的矩形表示底座，最下方的梯形表示 基台，MN表示水平地面.小组同学在水平地面的点C处用测角仪CD测得纪念碑 顶部点A的仰角∠1为45°，测角仪CD的高为1.5m.从点C处将无人机竖直上升到 距离水平地面70m的点E处，测得纪念碑顶部点A的俯角∠2为16.7°，测得纪念碑 底部点B的俯角∠3为51°.点A,B,C,D,E,M,N在同一竖直平面内，ECLMN,AB与 底座上沿垂直 计算结果 请你根据综合与实践小组测得的数据，计算太原解放纪念碑碑体AB的高度（结果精 确到1m.参考数据：sin16.7°≈0.29，cos16.7°≈0.96，tan16.7°≈0.30，sin51°≈0.78， c0s51°≈0.63，tan51°≈1.23，√2≈1.41). 数学第5页（共8页） 21.（本题8分)阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应的任务 对余四边形 【定义理解】 有一组对角互余的四边形叫作“对余四边形”，这组互余的角叫作 “对余角”.如图1，在四边形ABCD中，∠B+∠D=90°，则四边形 ABCD为对余四边形，∠B和∠D为对余角. B 【问题解决】 图1 问题1：若四边形ABCD为对余四边形，∠B和∠D为对余角，则LA+∠C=▲ 问题2：如图2，四边形ABCD为对余四边形，∠ABC和∠ADC为对余角，且∠ABC=60°，AB=BC,连 接BD.试证明AD2+CD2=BD. ⊙ A C 图2 图3 证明：如图3，将线段BD绕点B逆时针旋转60°得到线段BE,连接AE,DE. ∠DBE=ABC=60°， ∴.∠DBE-∠ABD=∠ABC-∠ABD,即∠ABE=∠CBD. 又、BA=BC,BE=BD, .△ABE≌△CBD(SAS). ∴.AE=CD,LBAE=∠C 任务： (1)填空：问题1中，∠A+∠C=▲° (2)请补全问题2中的证明过程. (3)如图4，在△ABC中，∠A=90°，∠B=30°.作出以A,B,C,D为顶点的四边形，使得该 四边形为对余四边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母） 图4 数学第6页（共8页） 22.(本题12分)综合与实践 问题情境：某现代科技农业示范园自主设计的“自动升降式喷灌器”如图1所示，其截 面示意图如图2所示，OP为自动升降杆，喷头P喷出的水雾区域边缘为抛物线的一部 分，并且OP左右两侧的抛物线对称、左右两侧的抛物线与水平地面的交点分别为A, B,则AB的长为该喷灌器的灌溉距离.当喷头P的高度变化时，其喷出的水雾区域边 缘的形状不变 数据收集：当喷头P位于初始位置时，OP=1.2m,灌溉距离AB=8m,右侧水雾区域边 缘抛物线上的点C到水平地面的高度为1.5m,到喷头P的水平距离为1m.喷头P最 高可升至点P'处，0P'=1.8m. 水平地面 P B B'x 图1 图2 建立模型：以点0为原点，水平地面向右为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标 系（单位长度为1m) (1)当喷头P位于初始位置时，求右侧抛物线的函数表达式， (2)当喷头P升至最高点P'时，求该喷灌器的灌溉距离A'B'的长 问题解决：(3)该农业示范园在一块示范田中按正方形网格铺设了一批该“自动升降 式喷灌器”，相邻两个喷灌器之间的距离为6.为保证地面全部在其灌溉范围内，每 个喷灌器的灌溉距离需不低于相邻两个喷灌器之间的距离的√2倍.直接写出喷头P 的高度OP的取值范围. 数学第7页（共8页） 23.(本题13分)综合与探究 问题情境：如图1，在矩形ABCD中，连接BD,将△BCD沿直线BD折叠得到△BED,点 C的对应点为点E,过点E作EF∥DC交BD于点F 分析推理：(1)如图1，连接CF,判断四边形CDEF的形状，并说明理由. 深入探究：将△DEF绕点D逆时针旋转. (2)如图2，当EF⊥BD于点M,点M在线段BD上时，延长DF交BC于点N,试判断BN 与DN的数量关系，并说明理由 (3)连接AF,若AB=1,AD=2,当点A,E,F在同一条直线上时，直接写出线段AF的长. D M 图1 图2 备用图 数学第8页（共8页） 一、选择题 1-5ACDCB 6-10 BCBAD 二、填空题 11.-2√2 12.22.5 13.元 14.60 15.41 三、解答题 16.解：(1)原式=9-12×7+1…3分 1 =9-6+1…4分 =4…5分 (2)原式= x-5 ,(x+1)(x-1) x-3 …8分 =花-5+龙-1.(x+(x-1) （x-1)2 x-3 =2(x-3).x+1g-…9分 (x-1)2 x-3 =2x+2 x-1 10分 17.解：CGLAB..…1分 理由如下：，△ABC为等边三角形， ∴AB=BC,∠ABC=60°.…2分 点D为AC的中点，∠CBD=ABC=30, …3分 :CE⊥BC,点F为BE的中点， BF=CF=28那…4分 ∠FBC=∠FCB=30°.…5分 .∠BGC=180°-∠ABC-∠BCF=90°.·6分 CGLAB.…7分 18.解：(1)设生产1盒精美礼盒的成本为x元，生产 1盒特级礼盒的成本为y元.…1分 x+4y=660, 根据题意，得{ …3分 5x+2y=600. 解得七=60， y=150. …4分 答：生产1盒精美礼盒的成本为60元，生产1盒 特级礼盒的成本为150元.…5分 (2)设生产m盒特级礼盒，则生产(100-m)盒精 美礼盒.。6分 根据题意，得60(100-m)+150m≤10000. 007分 解得ms400 0…8分 ,m取最大值，且m为整数， ∴m=44.…9分 答：最多可生产44盒特级礼盒.…10分 19.解：(1)7.7…1分 补全频数分布直方图如答图， 频数 15 12 6 6 05678910评分 答图 …3分 (2)“核心系统覆盖率”这一项指标的排名更靠 前.…4分 理由如下：因为“设备数字化率”这一项指标评 分的中位数为7.7分，7.7>7.5，所以7.5分排在 后20名中.而“核心系统覆盖率”这一项指标评 分的中位数为7.3分，7.3<7.5，所以7.5分排在 前20名中，所以“核心系统覆盖率”这一项指标 的排名更靠前.…5分 (3)500×15+3+4 40 =275(家) 答：估计这500家企业中“设备数字化率”评分超 过7.5分的有275家.… …7分 20解：如答图，过点B作BF⊥CE于点F,过点A作 AGLCE于点G.…1分 Gb- F中 底座 基台 M C N 答图 则四边形ABFG为矩形，∠AGE=∠AGF=90°， ∠BFG=90°. .AG=BF,AB=GF.…2分 由题意可得，∠DAG=∠1=45°，∠GAE=∠2= 16.7°，∠EBF=∠3=51°. ∴.∠ADG=90°-∠DAG=45°. .∠ADG=∠DAG..AG=DG.…3分 设BF=AG=DG=xm, ∴EG=CE-CD-DG=70-1.5-x=68.5-x. …4分 在Rt△AGE中，∠AGE=90°，∠EAG=16.7°， tan∠EAG=BG 4G=030.BG=0.3AG=0.3x .68.5-x=0.3x.…5分 解得化≈52.7.…6分 在Rt△BFE中，∠BFE=90°，∠EBF=51°， tan/EBF= BF ≈1.23. .EF=1.23BF=1.23x.…7分 ..AB=GF =EF-EG =1.23x-0.3x=0.93x 49(m). 答：太原解放纪念碑碑体AB的高度约为49m …8分 21.解：(1)270… …1分 (2)BE=BD,∠DBE=60°， ·.△DBE为等边三角形， .DE=BD.…2分 ,∠ABC和LADC为对余角， .∠ABC+∠ADC=90°.…3分 ∴.∠BAD+∠C=270°. ∠BAD+∠BAE=270°.…4分 ∠DAE=90°.…5分 在Rt△ADE中，根据勾股定理，得AD2+AE必= DE2. .AD2+CD2=BD2.…6分 (3)答案不唯一.如答图，四边形ABCD即为所求， 答图 …8分 22.解：(1)根据题意，得点P的坐标为(0,1.2)， ∴.设右侧抛物线的函数表达式为 y=aa2+bx+1.2(a≠0).…1分 根据题意，得点B的坐标为(4,0)，点C的坐标 为(1,1.5).… …2分 将B(4,0),C(1,1.5)代入y=ax2+bx+1.2, 得16a+46+12二0，…3分 a+b+1.2=1.5. 解得a=-0.2,…三 …4分 b=0.5. .右侧抛物线的函数表达式为 y=-0.2x2+0.5x+1.2.…5分 （2).0P'=1.8, ∴.当喷头P升至最高点P'时，右侧抛物线的函 数表达式为y=-0.2x2+0.5x+1.8.…6分 当y=0时，-0.2x2+0.5x+1.8=0.…7分 解得%1=-2（舍去），2=4.5.…8分 .点B'的坐标为(4.5,0). .0B′=4.5.… 9分 :OP左右两侧的抛物线对称， A'B′=9. ·.该喷灌器的灌溉距离A'B'的长为9m. …10分 (33.6-3y5≤0P≤1L8.12分 2 23.解：(1)四边形CDEF为菱形.…1分 理由如下：由折叠可知，LCDF=∠EDF,CD=ED, CF=EF.…2分 CD∥EF,.∠CDF=∠EFD.…3分 ∠EDF=∠EFD. DE=EF.…4分 .CD=DE=EF=CE .四边形CDEF为菱形.…5分 (2)BW=DW…6分 理由如下：四边形ABCD为矩形， .∠C=90°.…7分 .∠CBD+∠CDB=90°.…8分 EF⊥BD,.∠DMF=90°. .∠MFD+∠MDF=90°.…9分 由(1)知LBDC=∠DFM, .∴.∠CBD=∠BDN .BW=DN…10分 （3)2Y2+2或22-2.…13分 5 5 【评分说明】写出一个答案得2分，写出两个答 案得3分.