福建泉州市晋江市季延中学2025-2026学年高一下学期期中质量监测数学试题

晋江市季延中学2026年春高一年期中质量监测数学科试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数（为虚数单位）的共轭复数为，则（ ） A． B． C． D． 2．在中，点在边上，．记，，则（ ） A． B． C． D． 3．如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为矩形，已知，是的中点，则的长为（ ） A． B． C． D． 4．某校高一年级的学生参加了主题为《追寻大儒足迹，传承董子文化》的实践活动．在参观董子文化馆时，为了测量董子雕像高度，在、处测得雕像最高点的仰角分别为和，且，，则该雕像的高度约为（ ）（参考数据：） A． B． C． D． 5．一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，该圆锥的母线长为（ ） A． B． C． D． 6．，，是空间不同的三条直线，若，与相交，则与的位置关系是（ ） A．平行 B．相交 C．异面 D．相交或异面 7．在中，内角、、所对的边分别为，，，若，角的角平分线交于点，且，，则的值为（ ） A． B． C．3 D． 8．已知四边形中，，，，点在四边形的四条边上运动，则的最小值是（ ） A．4 B．0 C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．则下列命题中正确的是（ ） A．若复数满足，则 B．若为复数，则必成立 C．若复数，则 D．若复数，，则 10．以下结论正确的是（ ） A．已知点，，则与向量共线的单位向量为 B．非零向量和满足，则与的夹角为 C．已知平面向量，，若向量与的夹角为锐角，则 D．向量，，则在上的投影向量的坐标为 11．如图，在棱长为1的正方体中，，，，下列结论正确的是（ ） A．若时，三棱锥的体积为定值 B．若时，周长的最小值为 C．若时，三棱锥外接球体积为 D．若为中点，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，的夹角为，，，则________． 13．已知，且，为虚数单位，则的最大值是________． 14．已知圆柱的下底面圆的内接正三角形的边长为3，为圆柱上底面圆上任意一点，若三棱锥的体积为，则圆柱的外接球的体积________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分） 已知复数，复数在复平面内对应的向量为． （1）若为纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 16．（本小题15分） 如图，圆台的上、下底面圆心分别为，，上底面半径，下底面半径，母线． （1）求此圆台的侧面积和体积； （2）把一根绳从线段的中点开始沿着侧面卷绕一圈到点，求这根绳的最短长度． 17．（本小题15分） 为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形．其中百米，百米，且是以为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路，（路的宽度忽略不计），设，． （1）当时，求小路的长度； （2）当草坪的面积最大时，求此时小路的长度． 18．（本小题17分） 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角A； （2）若，且边的中线的长为，求的面积； （3）若是锐角三角形，求的范围． 19．（本小题17分） 对任意两个非零向量，，定义新运算：，其中为与的夹角． （1）若非零向量，满足，且，求的取值范围； （2）若向量，，且，求正数t的值； （3）已知非零向量，满足（k是正整数），向量，的夹角，和都是有理数，且，求． 学科网（北京）股份有限公司 $晋江市季延中学2026年春高一年期中考质量监测数学科试卷 参考答案 5 6 8 9 10 11 C C B D B C ABD ABD BD 12.6V5 13.614. 32 π 15.(1)因为复数z2在复平面内对应的向量为0A=(-1,2),则22=-1+2i,1分 又a=a2+2ai,则z22=a2+2ai-1+2i1=-a2-4a+2a2-2aji,3分 -a2-4a=0 由题有 5分 2a2-2a≠0 解得a=一4，所以a的值为-4. 6分 (2)因为zi-22=a2+2ai)i-（-1+2i)=1-2a+a2-2i, 9分 [1-2a>0 由题有 11分 1a2-2<0 解得-V5<a<2, 所以a的取值范围为 13分 16.(1)OO为圆台的高，如图，在梯形0,0，AB中，作BC⊥O,A,垂足为C, 则BC=OO2,0,C=0B=1, 1分 CA=0,A-0,C=5-1=4, 2分 在Rt△ABC中，AB=12,CA=4, BC=√AB2-AC2=V122-42=8V2.圆台的高h=8V2, 3分 调的积为7食+Rr)-85+51+刊-2485. 5分 圆台的侧面积为S=π(R+r)1=π(5+1)×12=72π； 7分 (2)如图，延长圆台的两条母线交于一点P,将圆台沿母线AB侧面展开， 连接MA,则线段MA,的长度即为这根绳的最短长度， 8分 r PBPB △PBO,∽△PAO,’ ，即PB R PA PB+AB 5PB+12 解得PB=3,∴.PA=PB+AB=15, 10分 :圆台的下底面周长为2R=10m,∴弧AA的长度为10m,∠AP4=10r-2红 12分 153 在△MPA中，PM=PB+BM=PB+)AB=3+6=9,PA=15,∠MP4=2 3 由余弦定理得： MA2=PM2+PA2-2 PM x PA cos∠MPA=92+152-2×9x15× 1 -2 =441 14分 ∴.MA=21,故这根绳的最短长度为21. 15分 17.【详解】1)在△ABD中，AB=3,4D=V5,os0=-5 由余弦定理得，BD2=AB2+AD2-2AB·ADc0s0=14-6V5c0s0=14+6=20, 所以BD=2V5. 2分 25 因为0∈ 2π， 所以sin0=V1-cos20 、5 3分 BD AB 3 由正弦定理得 4分 sin∠BAD sin∠ADB' 2√5sin∠ADB 解得sin∠ADB=3 5 因为△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，所以∠CDB=T且CD=BD=2V5, 所以coS∠ADC=cos ∠ADB+ 5分 2 -sin∠ADB=-3 5 在△ACD中，由余弦定理得： 4C2=402+DC-240-Dcos∠ADC=5+(25-2x5x25x}=37. 解得AC=√37；7分 (2)由(1)得，BD2=14-6V5c0s0,8分 Sx5xsingB 7+36 2sin0-35cos6=7+35sin0-2cos0=7+im(0-9 10分 此时sinp=2v5 ,cosp=会·目P∈(02 当日-Q=二时，四边形ABCD的面积最大 12分 即0=9+分此时sn0 √5 ，C0s0= 2W5 13分 5 所以BD2=14-65cos0=14-65× 26,即BD=√26.15分 l8.【详解】(1)因为2c-b=2 a cos B,由正弦定理可得2sinC-sinB=2 sin Acos B,1分 2sin(A+B)-sin B=2sin Acos B+2cos Asin B-sin B=2sin Acos B, 得到2 cos Asin B-sinB=0,即sinB(2cosA-l)=0,2分 又B∈(0，，sinB≠0，所以cosA=2, 1 3分 又因为A∈(0，元，可得A=元 4分 (2)因为b2-a2+c2-3c=0,且A= 3 所以由b2+c2-a2=2 becos A,可得3c=2bcc0sA=bc,解得b=3, 分 山题意4D=AB+AC, 分 两边平方，可得AD=a6+AC+2AB.AC4a8+3A8+9 8分 因为D=9,所以+3+9=19，解符=2或=5（舍> 9分 则△48C的面积为S=besin A=×2×3x5_35 1 10分 2 22 (3)因为a+b_sinA+sinB sinC+π）5 32= 2 sin C+3 2 osC+3 2 2 sinC sinC sin C 、2 cosC+3 2cos: 2+1= 21-5、1,1 +22 2sin 一X sinC C 2c+22am -X- + 12分 2 2 .c °2 0<C<π 2 由题知， '解得C元 2124 13分 -c 0< 2 因为ta 14分 12 342-, 所-5小，可有C2+、15分 tan 5x1+51,2+5 可得2tan -× 2(2 2 17分 19,【样1>图为a©6-A阿=25.则a@6 2sine =2sin0, 1分 又a⊕b> 2 ,所以2sin0> 2， 得到sin0> 2分 4 sin0 sine 又b⊕a sin a 25 3 3分 sin0、3 31 所以b⊕ā的取值范围是 82 4分 2 2 8 (2)因为ā=(，4和万=(2,1)，则=P+16,=4+r,ā-6=2+4=61， 5分 ab 6t 则设向量ā和b的夹角为0，则cos0= 5 V2+16V2+4 6分 36t2 所以sin20=1-cos20=1 (2-8)2 7分 (+16)(t+4)(2+16)(r2+4) 则a⊕b= asin0 v+16 r-8 =1, 8分 V2+4 V+16(2+4 整理得到2-8=t2+4,解得t=√2或t=-√万（舍）， 9分 所以t=√2： 10分 3》因为=k个，则a⊕6=@sin0 =ksin0,万⊕a= sinsin a k ae矿+6@a-8, 68 则(ksin9)2+ sin 6 k2sin29+sin20_68 、k 5. 2 k2-25 又0后引则片<sm0<1,又k是正繁数： 12分 1.sinin-2sin20 不合题意， 13分 当k=2,4sin20+sin20-17 in2e1,17, 441 (16’4月 in'0=68 4 得到sn0=16 5 4 所以sin0=。∈ 满足题意，放sn0-行 4 14分 当k=3时，9sin29+sin'0_82sin2068 得到sin20=9×34 解得sin0=3V34_3V1394 9 9 25 25×41 5√41205 此时a⊕6=3simn0=9v1394 不是有理数，所以k=3不合题意， 15分 205 当k≥4时.sm0+00>16sin04>68. >25,所以k≥4时，不合题意， 16分 4 综上，sin9=5 17分