福建泉州市晋江市季延中学2025-2026学年高一下学期期中质量监测数学试题

晋江市季延中学2026年春高一年期中质量监测数学科试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数（为虚数单位）的共轭复数为，则（ ） A． B． C． D． 2．在中，点在边上，．记，，则（ ） A． B． C． D． 3．如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为矩形，已知，是的中点，则的长为（ ） A． B． C． D． 4．某校高一年级的学生参加了主题为《追寻大儒足迹，传承董子文化》的实践活动．在参观董子文化馆时，为了测量董子雕像高度，在、处测得雕像最高点的仰角分别为和，且，，则该雕像的高度约为（ ）（参考数据：） A． B． C． D． 5．一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，该圆锥的母线长为（ ） A． B． C． D． 6．，，是空间不同的三条直线，若，与相交，则与的位置关系是（ ） A．平行 B．相交 C．异面 D．相交或异面 7．在中，内角、、所对的边分别为，，，若，角的角平分线交于点，且，，则的值为（ ） A． B． C．3 D． 8．已知四边形中，，，，点在四边形的四条边上运动，则的最小值是（ ） A．4 B．0 C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．则下列命题中正确的是（ ） A．若复数满足，则 B．若为复数，则必成立 C．若复数，则 D．若复数，，则 10．以下结论正确的是（ ） A．已知点，，则与向量共线的单位向量为 B．非零向量和满足，则与的夹角为 C．已知平面向量，，若向量与的夹角为锐角，则 D．向量，，则在上的投影向量的坐标为 11．如图，在棱长为1的正方体中，，，，下列结论正确的是（ ） A．若时，三棱锥的体积为定值 B．若时，周长的最小值为 C．若时，三棱锥外接球体积为 D．若为中点，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，的夹角为，，，则________． 13．已知，且，为虚数单位，则的最大值是________． 14．已知圆柱的下底面圆的内接正三角形的边长为3，为圆柱上底面圆上任意一点，若三棱锥的体积为，则圆柱的外接球的体积________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分） 已知复数，复数在复平面内对应的向量为． （1）若为纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 16．（本小题15分） 如图，圆台的上、下底面圆心分别为，，上底面半径，下底面半径，母线． （1）求此圆台的侧面积和体积； （2）把一根绳从线段的中点开始沿着侧面卷绕一圈到点，求这根绳的最短长度． 17．（本小题15分） 为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形．其中百米，百米，且是以为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路，（路的宽度忽略不计），设，． （1）当时，求小路的长度； （2）当草坪的面积最大时，求此时小路的长度． 18．（本小题17分） 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角A； （2）若，且边的中线的长为，求的面积； （3）若是锐角三角形，求的范围． 19．（本小题17分） 对任意两个非零向量，，定义新运算：，其中为与的夹角． （1）若非零向量，满足，且，求的取值范围； （2）若向量，，且，求正数t的值； （3）已知非零向量，满足（k是正整数），向量，的夹角，和都是有理数，且，求． 学科网（北京）股份有限公司 $晋江市季延中学2026年春高一年期中考质量监测数学科试卷 参考答案 > P 9 o 11 DB ABD ABD BD 32 12.63 13.614.3 15,4)因为复数3在复平面内对应的向量为01=（1,2)，则=-1+21,1分 又4=a2+2ai,则，=(a+2i-1+21）=-a2-4a+(2a-2a）i,3分 [-a2-4a=0 由题有 2a2-2a≠0：5分 解得a=-4,所以a的值为-4. 6分 (2)因为2i-=(a+2ai)i-(1+21）=1-2a+(a2-2i, 9分 1-2a>0 由题有a2-2<0, 11分 解得V2<a<2,所以a的取值范国为 13分 16.（1)O0为圆台的高，如图，在梯 0,0,AB中，作 BC1O,A,垂足为C, BC=00 OC=OB=1 则 1分 CA=0,A-0,C=5-1=4 2分 在Rt△ABC中，AB=12,CA=4, .BC=VAB2-AC2=V122-42=8√2 ÷圆台的高h=8W5, 3分 国台的#为7-写(R++r)-8+51+)482: 5分 圆台的侧面积为S=π(R+r1=元5+1)x12=72元 7分 (2)如图，延长圆台的两条母线交于一点P,将圆台沿母线AB侧面展开， 连接M4,则线段 MA 的长度即为这根绳的最短长度， 8分 r PBPB 1 PB :APB0,-△PA0,R-PA-PB+AB,即5PB+12, 解得PB=3,.PA=PB+AB=15, 10分 :圆合的下底面周长为2R=10m,∴弧4的长度为10元，六∠4P4= 10π_2π 153, 12分 在△MPA中，PM=PB+BM=PB+54B=3+6=9,PA=15.∠P4= π 3 由余弦定理得： MA=PM2+PA-2PM×PA cos.∠MPA=92+152-2x9x15× 4分 ∴.MA=21 故这根绳的最短长度为21. 15分 17.【详解】()在△4BD中，4B=3,D=V5cosa=5 5, 由余弦定理得， BD2=AB2+AD2-2AB·AD cos0=14-6N5c0s0=14+6=20 所以BD=2V5 2分 25 5 3分 2V5 3 由正弦定理得 BD AB 即2V5sin∠ADB,解得sin∠ADB=3. 4分 sin∠BAD sin∠ADB 5 5 因为△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，所以 ∠CDB-T 2且CD=BD=25, 所以cos∠ADC=cos ∠AD8+}=-sim∠DB= 5. 5分 在△ACD中，由余弦定理得： 4C2=4D+DC-24D-DCco∠4DC=(5+(25-2x5x25x}=37. 解得AC=V37 7分 (2由(1)得，BD=14-65c0s0 8分 Sc5xsin+ 1 =7+35n0-5cw0=7+3y5m0-2m0j-=7+m0-), 10分 2W5 此时sinp= 5,cosp= 5 当0p元 2时，四边形ABCD的面积最大 12分 2,此时sin9= 即8=p+ ,c0s0=-2V5 5 5, 13分 0-14-65ow9=14-652S5 =26,即BD=26 15分 18.【详解】(1)因为2c-b=2 acos B,由正弦定理可得2sinC-sinB=2 sin Acos B,1分 所以2sin(M+B）-sinB=2 sin AcosB+2 cos AsinB-sinB=2 2sin Acos B 得到2 cos Asin B-sinB=0,即sinB(2cosA-l)=0,2分 又8e(0.smB≠0，所osA. 2, 3分 调为4eQ.可得4-胥.，4分 ②因为6-d+e-=0.h4=. 所以由b2+c2-d=2 hecosA,可得3c=2 becosA=-bc,解得b=3,分 尚s而-=6+C) 分 两边平方，可得-6+4C+26.4C-+3西+9. 8分 因为0-四，有丽4丽+9=19，脚=2女丽=-5，分 则AABC的面积为S=besin=)×2x3x5-35 2 22· 10分 simc+π）+5 1 3 (3)因为a+b=sinA+simB "(32-2 sin C+ osC+3 2 2 c sinC sin C sin C osC+3 3 =2 13 2cos:C 2+= 2 151,1 sin C 22 2sin C2 2 tan 十一= 一X一 .cos- C2, 12分 2 2 2 0<C<π 2 由题知， 13分 0< -c<侣引 3 2 =tan ππ 因为am12 =2-V3 34 14分 所似ame-5小，可得am写 15分 十一 可得2tan a+b 5+1,2+3 所以c 17分 a®b=sin日 2sino 且d=2,则o0= =2sin0 19.【详解】(1)因 1分 2,所y2sin0 又a®6、 2,得到sin0、5 4,2分 又b®as sine sino sine 25 2, 3分 31 且，之，>8，所以万©的取值范围是 8’2 4分 (2因为a=(化，4)和5=(2，)，则d=P+16,=V4+r,a:6=21+4H=6, 5分 则设同石和6的夹角为则os0-石：b ② 5P+16P+4, 6分 所以sin0=1-cos20=1- 362 (t2-8)2 (2+16):+4)(:+16)(2+4): 7分 ®b=」 asin0 1+16 1-8 =1 则 F+4Ve+16)(:+4) 8分 整理得到-8=+4，解得1=2或1=-反（会），9分 所以t=V2 10分 到因为上k6则a@6--ksn0,6⊕a品 Bsin sine 团k z6ej+6oj-公：4knj=9 25,即k2sin20+sin068 68 k225 女0信引，则2n0c1.又6是正 12分 m0+0=2sm0e2)不合, 当k=1 k2 13分 f-24m00-号00g）.m0 449 25,得到sin20=16 25, 满足题意，故sin6- 5,14分 当k=3时，9sin26+in0_82sin2g68 9 9 25x4,解得in6-3Y43V1394 25,得到$in0=9x34 5V41205, 此时a⊕6=3sin0=9W1394 205,不是有理数，所以k=3不合题意， 15分 当k≥4时 k2sin2e+sin20、 k2>16sin20>4>68 25,所以k≥4时，不合题意， 16分 综上， sin0=4 .17分