精品解析：福建省泉州市晋江市第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

晋江一中2024级高一下学期期中考试 一、单选题 1. 已知一个圆锥的底面半径为1，母线长为4，则圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求展开图中扇形的弧长，再由圆心角与弧长和扇形半径的关系求圆心角. 【详解】圆锥的侧面展开图为扇形， 扇形的弧长等于圆锥的底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长， 所以圆锥的侧面展开图的圆心角为. 故选：B. 2. 已知复数，为的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合复数的除法求出,即可得到，再用复数的模长公式求解. 【详解】因, 所以, 则. 故答案为：C. 3. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的周长为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将直观图复原为原图，求出相关线段的长，即可求得答案. 【详解】由题意知在直观图等腰梯形，，，， 则； 将直观图复原为原图，如图示： 则，，， 作于F，则， 故四边形的周长为. 故选：C 4. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图，已知在鳖臑中，满足平面，且，，，则此鳖臑外接球的表面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意画出图形，然后补形为长方体，求出长方体的对角线长，即可得到外接球的半径，代入球的表面积公式得答案． 【详解】由，，，∴，即有， 又平面，所以，，两两互相垂直，该瞥臑如图所示： 图形可以补形为长方体，该瞥臑的外接球即该长方体的外接球，是长方体的体对角线， 也是外接球的直径，设外接球半径为R，则， 所以瞥臑的外接球表面积为. 故选：B． 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法可得，结合诱导公式和二倍角的余弦公式计算即可. 【详解】令，故，， 故. 故选：B 6. 如图1的方斗杯古时候常作为盛酒的一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，，，现往该方斗杯里加某种酒，当酒的高度是方斗杯高度的一半时，用酒，则该方斗杯可盛该种酒的总容积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设线段、、、的中点分别为、、、，利用台体的体积公式计算出棱台与棱台的体积之比，即可得该方斗杯可盛该种酒的总容积. 【详解】设线段、、、的中点分别为、、、，如下图所示： 易知四边形为等腰梯形，因为线段、的中点分别为、， 则， 设棱台的高为，体积为， 则棱台的高为，设其体积为， 则，则， 所以，，所以，该方斗杯可盛该种酒的总容积为. 故选：C. 7. 已知A，B是球O的球面上两点，且，C是该球面上的动点，D是该球面与平面交线上的动点，若四面体体积的最大值为，则球O的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合图形分析点的位置，根据体积求出球的半径，然后由球的体积公式可得. 【详解】设球的半径为，记的中点为，则， 易知，当点在的延长线上，且棱锥的高等于求的半径时，棱锥体积最大. 因为，所以，. 当点在的延长线上时，的面积最大，为， 四面体体积的最大值为，解得， 从而球的体积为. 故选：D 8. 已知平面向量，且，向量满足，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设可得，又，易知，，将问题转化为平面点线距离关系：向量的终点为圆心，1为半径的圆上的点到向量所在射线的距离最短，即可求的最小值. 【详解】∵，而， ∴，又，即， 又，， ∴， 若，则， ∴在以为圆心，1为半径的圆上，若，则， ∴问题转化为求在圆上的哪一点时，使最小，又， ∴当且仅当三点共线且时，最小为. 故选：B. 二、多选题 9. 在长方体中，AB＝BC＝2，，点P为线段上的一动点，则（ ） A. 所在的直线与所在的直线为异面直线 B. 平行于平面内的任意一条直线 C. 的最小值为 D. 三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由异面直线的定义判断，对于B，举例判断，对于C，将矩形和沿展开为矩形，再判断，对于D，由于∥平面，从而可得结论 【详解】对于A，所在的直线与所在的直线为异面直线，A正确. 对于B，//平面，但不一定平行于平面内的任意一条直线，如与不平行，所以B错误. 对于C，将矩形和沿展开为矩形，则，C正确. 因为//平面，所以P到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，D正确. 故选：ACD 10. 在中，内角的对边分别为为内一点，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则的面积与的面积之比是 B. 若，则满足条件的三角形有两个 C. 若，则等腰三角形 D. 若点是的重心，且，则为直角三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】由奔驰定理及，即可判断A；由余弦定理即可判断B；由向量数量积的定义，诱导公式即可判断C；由三角形重心的性质和平面向量基本定理，即可判断D． 【详解】对于A，如图，点为内任意一点，延长交于点，则，则， 所以 所以， 所以，即， 又， 所以，故A正确； 对于B，由余弦定理得，即， 解得或（舍去）， 所以满足条件的三角形只有一个，故B错误； 对于C，由得，， 所以， 因为， 所以，即， 所以为等腰三角形，故C正确； 对于D，因为点是的重心， 所以，即， 所以，即， 所以，解得， 因为， 所以，所以为直角三角形，故D正确； 故选：ACD． 11. 设复数，且,其中为确定的复数，下列说法正确的是（ ）. A. 若，则是实数 B. 若，则存在唯一实数对使得 C. 若 ，则 在复平面内对应的点的轨迹是射线 D 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的概念及运算性质，以及共轭复数的性质和复数模的性质，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A中，若，因为，则，可得， 设，则，所以A正确； 对于B中，由A得，设，若， 则， 只要或，选项B就不正确； 例如：，此时， 可表示为或， 所以表示方法不唯一，所以B错误. 对于C中，若，则，可得， 则，所以且， 设，则，其中， 则复数对应的向量与复数对应的向量方向共线，且长度是倍， 故在复平面内对应的点的轨迹是射线（且与方向共线），所以C正确. 对于D中，若，可得，同理， 由，即，可得， 即， 即，即， 即， 因为，所以成立， 所以成立，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 已知向量的夹角为，且，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的数量积公式，直接求值即可得解. 【详解】 故答案为：. 13. 如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得，已知山高，则山高______． 【答案】 【解析】 【分析】通过直角可先求出的值，在由正弦定理可求的值，在中，由，，从而可求得的值． 【详解】在中，，，所以． 在中，，，从而， 由正弦定理得，，因此． 在中，，，得． 故答案为：． 14. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数和在上都恰好存在两个零点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由范围，判断两个零点的值，列不等式求的取值范围；再由的范围，判断两个零点的值，列不等式求的取值范围，取交集即可. 【详解】当时，， 函数在上的两个零点只能满足或， 所以，解得①． 由题意，得， 当时，． 由①知， 函数在上的两个零点只能满足或， 所以，解得②． 由①②，得的取值范围是． 故答案为： 【点睛】关键点点睛： 本题的解题关键是由角的范围，确定函数和在上两个零点的值，进而通过不等式求的取值范围. 四、解答题 15. 在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，设， . （1）若,其中λ、μ∈R，求λ＋μ的值； （2）若，，与的夹角为，求在上的投影向量(用和表示). 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量加法平行四边形法则即可求解； （2）根据平面向量基本定理得求解. 【小问1详解】 在平行四边形ABCD中， ,, 因为E和F分别是边CD和BC的中点，，， 所以，， 所以， 又∵，∴，又∵， ∴λ＝μ＝，∴λ＋μ＝. 【小问2详解】 记投影向量为， 则 因为若，，与的夹角为，所以， 所以. 所以投影向量为 16. 在中，内角所对的边分别为且 （1）求角B的大小； （2）若点D在边AC上，BD平分∠ABC，，，求线段BD长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理以及二倍角公式得整理为解得即可得结果； （2）由角平分线结合余弦定理可得出结果. 【小问1详解】 因为 由正弦定理得.两边除以 得 整理为即， 解得或（舍去）， 又因为可得 【小问2详解】 在△ABC中，根据余弦定理， 有，即， 解得，或（舍去）， 因为平分，所以, 设则 在中，由正弦定理得,即 在中，由正弦定理得,即， 所以 又因为，所以 在中， 在中， 所以 17. 如图，在直三棱柱中，为的中点.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若△ABC的面积为. （1）求； （2）求证： 平面； （3）求三棱锥的体积. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式、余弦定理即可求解； （2）连接，设，连接，利用中位线的性质可得出 ，利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （3）由（2）可知，则点到平面的距离等于点到平面的距离，则，利用锥体的体积公式可求得结果. 【小问1详解】 . 所以. 又由，可得，所以. 【小问2详解】 连接，设，连接，    在直三棱柱中，四边形为平行四边形，则为的中点， 又因为为的中点，则，因为平面平面， 因此平面. 【小问3详解】 因为平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以. 在中，为中点，， 所以. 因此. 18. 已知平面向量、满足，，. （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）在平面四边形ABCD中，如图所示： ①若锐角满足，，求线段AC长度的最大值； ②若，，求四边形ABCD面积S的最大值． 【答案】（1）；； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式和余弦定理即可求解； （2）①首先设，并求，设，结合余弦定理将表示为三角函数，并利用三角函数的恒等变换和性质求的最大值；②利用三角形面积公式和余弦定理的变形，将面积表示为三角函数，利用三角函数的性质求最值. 【小问1详解】 ． 的最小正周期为：； 当时， 即当时，函数单调递减， 所以函数单调递减区间为：； 【小问2详解】 ①设， 在中，根据余弦定理可知，， 满足，所以， 设，，     在和中， ， 得， 则 ，， ，当，即时，函数取得最大值. 所以的最大值为； ②在中，， 中，， 两式相加得，则， 两边平方后得，① 根据余弦定理可知，， 即，得， 两边平方后，，② 式两边乘以4后得， ③， ， 即， 当时，的最大值为， 所以四边形的面积取得最大值为. 19. 对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在使得，则称具有性质． （1）判断是否具有性质； （2）若，且具有性质，求的值； （3）若具有性质，求证：且当时，． 【答案】（1）具有性质 （2）4 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据集合新定义判断即可； （2）在中取，根据数量积的坐标表示，求出可能的，再根据求出符合条件的值即可； （3）取，，由，化简可得，所以异号，而是中的唯一的负数，所以中之一为，另一个为1，从而得到，最后通过反证法得出时，. 【小问1详解】 具有性质. 因为， 所以， 若对任意，存在使得， 所以具有性质. 【小问2详解】 因为，且具有性质， 所以可取， 又中与垂直的元素必有形式中的一个， 当时，由，可得，不符合题意； 当时，由，可得，符合题意； 当时，由，可得，不符合题意； 所以. 【小问3详解】 证明：取，设，满足， 所以，所以异号， 因为是中的唯一的负数， 所以中之一为，另一个为1， 所以， 假设，其中，则， 选取，并设，满足， 所以，则异号，从而之中恰有一个为， 若，则，显然矛盾； 若，则，矛盾， 所以当时，， 综上，得证. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于理解集合的新定义，并用向量的数量积为零时坐标表示出所求的参数值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 晋江一中2024级高一下学期期中考试 一、单选题 1. 已知一个圆锥的底面半径为1，母线长为4，则圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，为的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的周长为（    ） A. B. C D. 4. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图，已知在鳖臑中，满足平面，且，，，则此鳖臑外接球的表面积为（    ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图1方斗杯古时候常作为盛酒的一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，，，现往该方斗杯里加某种酒，当酒的高度是方斗杯高度的一半时，用酒，则该方斗杯可盛该种酒的总容积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知A，B是球O的球面上两点，且，C是该球面上的动点，D是该球面与平面交线上的动点，若四面体体积的最大值为，则球O的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知平面向量，且，向量满足，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 在长方体中，AB＝BC＝2，，点P为线段上的一动点，则（ ） A. 所在的直线与所在的直线为异面直线 B. 平行于平面内的任意一条直线 C. 的最小值为 D. 三棱锥体积为定值 10. 在中，内角的对边分别为为内一点，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则的面积与的面积之比是 B. 若，则满足条件的三角形有两个 C. 若，则为等腰三角形 D. 若点是的重心，且，则为直角三角形 11. 设复数，且,其中为确定复数，下列说法正确的是（ ）. A. 若，则是实数 B. 若，则存唯一实数对使得 C. 若 ，则 在复平面内对应的点的轨迹是射线 D. 若，则 三、填空题 12. 已知向量的夹角为，且，则____________． 13. 如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得，已知山高，则山高______． 14. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数和在上都恰好存在两个零点，则的取值范围是______． 四、解答题 15. 在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，设， . （1）若,其中λ、μ∈R，求λ＋μ的值； （2）若，，与的夹角为，求在上的投影向量(用和表示). 16. 在中，内角所对的边分别为且 （1）求角B的大小； （2）若点D在边AC上，BD平分∠ABC，，，求线段BD长． 17. 如图，在直三棱柱中，为的中点.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若△ABC的面积为. （1）求； （2）求证： 平面； （3）求三棱锥的体积. 18. 已知平面向量、满足，，. （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）在平面四边形ABCD中，如图所示： ①若锐角满足，，求线段AC长度的最大值； ②若，，求四边形ABCD面积S的最大值． 19. 对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在使得，则称具有性质． （1）判断是否具有性质； （2）若，且具有性质，求的值； （3）若具有性质，求证：且当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$