2026年中考数学考前复习高频考点专题练习一遍过：《反比例函数》（四）

**基本信息** 聚焦反比例函数与一次函数综合应用，通过17道阶梯式题组覆盖解析式求解、面积计算、几何图形结合及动点存在性问题，强化数形结合与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|1-3题|待定系数法求解析式、交点坐标计算|从概念生成到基本应用，建立"点-线-式"关联| |综合计算|4-8题|面积最值、方程与函数结合|通过方程思想深化函数性质理解，培养运算能力| |几何综合|9-14题|矩形、平行四边形与函数图像结合|以几何直观构建数学模型，强化空间观念| |动点与存在性|15-17题|动点轨迹、特殊图形存在性判断|发展推理意识，提升复杂问题解决能力|

2026年中考考前复习高频考点专题练习一遍过： 《反比例函数》（四） 1．如图，反比例函数y＝（x＞0）与直线AB：交于点C（，m），点P是反比例函数图象上一点，过点P作x轴的垂线交直线AB于点Q，连接OP，OQ． （1）求反比例函数的解析式； （2）点P在反比例函数图象上运动，且点P在Q的上方，当△POQ面积最大时，求P点坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为矩形，已知点A（﹣2，0）、B（﹣1，1），＝，点C、D在第二象限内． （1）点C的坐标　 　；点D的坐标　 　； （2）将矩形ABCD向右平移m个单位，得到矩形A′B′C′D′，若B′、D′恰好落在反比例函数y＝的图象上，求出此时m的值和反比例函数的解析式； （3）在（2）的情况下，问是否存在y轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B、D四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，直线AB与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A，B两点，已知点A的坐标为（6，1），△AOB的面积为8． （1）填空：反比例函数的关系式为　 　； （2）求直线AB的函数关系式； （3）动点P在y轴上运动，当线段PA与PB之差最大时，求点P的坐标． 4．如图，已知直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，线段OA的长是方程x2﹣7x﹣18＝0的一个根，OB＝OA．请解答下列问题： （1）求点A，B的坐标； （2）直线EF交x轴负半轴于点E，交y轴正半轴于点F，交直线AB于点C．若C是EF的中点，OE＝6，反比例函数y＝图象的一支经过点C，求k的值； （3）在（2）的条件下，过点C作CD⊥OE，垂足为D，点M在直线AB上，点N在直线CD上．坐标平面内是否存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点P的个数，并直接写出其中两个点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标． 6．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC＝BC． （1）求一次函数、反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出kx+b＜的x的取值范围； （3）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过AO的中点C，交AB于点D．若点D的坐标为（﹣4，n），且AD＝3． （1）求反比例函数y＝的表达式； （2）求经过C、D两点的直线所对应的函数解析式； （3）设点E是线段CD上的动点（不与点C、D重合），过点E且平行y轴的直线l与反比例函数的图象交于点F，求△OEF面积的最大值． 8．如图，已知反比例函数y1＝和一次函数y2＝ax+b的图象相交于点A和点D，且点A的横坐标为1，点D的纵坐标为﹣1．过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1． （1）求反比例函数和一次函数的解析式． （2）若一次函数y2＝ax+b的图象与x轴相交于点C，求∠ACO的度数． （3）结合图象直接写出：当y1＞y2时，x的取值范围． 9．已知直线y＝x上点C，过点C作CD∥y轴交x轴于点D，交双曲线y＝于点B，过点C作NC∥x轴交y轴于点N，交双曲线y＝于点E，若B是CD的中点，且四边形OBCE的面积为． （1）求k的值； （2）若A（3，3），M是双曲线y＝第一象限上的任一点，求证：|MC|﹣|MA|为常数（3）现在双曲线y＝上选一处M建一座码头，向A（3，3），P（9，6）两地转运货物，经测算，从M到A，从M到P修建公路的费用都是每单位长度a万元，则码头M应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低？（提示：利用（2）的结论转化） 10．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（1，6），B（3，n）两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象写出不等式kx+b﹣＞0的解集； （3）若点M在x轴上、点N在y轴上，且以M、N、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M、N的坐标． 11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，2），B（m，﹣1）两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）过点B作直线l∥y轴，过点A作AD⊥l于点D，点C是直线l上一动点，若DC＝2DA，求点C的坐标． 12．已知双曲线与直线y＝x+2相交于A（﹣3，m）、B两点． （1）直接写出此双曲线的解析式； （2）若点M（a，b），且a，b都是不大于3的正整数，用画树状图法或列表法求点M在双曲线上的概率． 13．如图，已知反比例函数y＝的图象与直线y＝ax+b相交于点A（m+4，3），B（1，m）． （1）求出y＝及y＝ax+b的表达式； （2）在x轴上有一点P使得△PAB的面积为18，求出点P的坐标． 14．如图，反比例函数y＝的图象与过两点A（0，一2），B（﹣1，0）的一次函数的图象在第二象限内相交于点M（m，4）． （1）一次函数的解析式为 　 　，反比例函数的解析式为 　 　； （2）点N是双曲线y＝（x＜0）上一点，且MN⊥MB，请求出N点坐标． 15．如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于A，B，与双曲线y＝交于C（2，m），D（n，﹣2）． （1）求直线AB的表达式； （2）将点B向右平移到点M，点M恰好在双曲线y＝上．如果N（4，a）是第四象限内的点，且满足DN＝DM，求点N的坐标． 16．如图，一次函数y＝x﹣6的图象与反比例函数（m为常数，且m≠0）的图象交于M（a，﹣5），N点． （1）求反比例函数解析式及N点坐标． （2）求线段MN的长度． 17．如图，已知反比例函数的图象经过点A（4，2），过A作AC⊥y轴于点C．点B为反比例函数图象上的一动点，过点B作BD⊥x轴于点D，直线BC与x轴的负半轴交于点E． （1）求反比例函数的表达式； （2）若BD＝3OC，求△BDE的面积． 参考答案 1．解：（1）将点C的坐标代入一次函数表达式得：m＝（22）﹣2＝﹣1， 故点C（2+2，﹣1）， 将点C的坐标代入反比例函数表达式得：﹣1＝，解得k＝4， 故反比例函数表达式为y＝； （2）设点P（m，），则点Q（m， m﹣2）， 则△POQ面积＝PQ×xP＝（﹣m+2）m＝﹣m2+m+2， ∵﹣＜0，故△POQ面积有最大值，此时m＝﹣＝2， 故点P（2，2）． 2．解：（1）过点D、B分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N， ∵点A（﹣2，0），点B（﹣1，1），则AN＝BN＝1， 故△ABN为等腰直角三角形，则AB＝AN＝， ∵＝，则AD＝3， ∵∠BAN＝45°，∠DAB＝90°， ∴∠DAM＝45°，故MD＝MA＝AD＝3， 故点D（﹣5，3）， 同理可得，点C（﹣4，4）， 故答案为（﹣4，4），（﹣5，3）； （2）矩形ABCD向右平移m个单位，则点D′、B′的坐标分别为（m﹣5，3）、（m﹣1，1）， 将点B′、D′的坐标代入反比例函数表达式得：k＝3（m﹣5）＝1×（m﹣1），解得， 故反比例函数表达式为y＝，m＝7； （3）存在，理由： 设点Q（s，），点P（0，t）， ①当DB是边时， 点D向右平移4个单位得到B，则点P（Q）向右平移4个单位得到Q（P）， 故0±4＝s，即s＝±4， 故点Q的坐标为（4，）或（﹣4，﹣）； ②当BD是对角线时， 由中点公式得：（﹣5﹣1）＝（s+0），解得s＝﹣6， 故点Q的坐标为（﹣6，﹣1）； 综上，点Q的坐标为（4，）或（﹣4，﹣）或（﹣6，﹣1）． 3．解：（1）将点A坐标（6，1）代入反比例函数解析式y＝， 得k＝1×6＝6， 则y＝， 故答案为：y＝； （2）过点A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥y轴于D，延长CA，DB交于点E，则四边形ODEC是矩形， 设B（m，n）， ∴mn＝6， ∴BE＝DE﹣BD＝6﹣m，AE＝CE﹣AC＝n﹣1， ∴S△ABE＝＝， ∵A、B两点均在反比例函数y＝（x＞0）的图象上， ∴S△BOD＝S△AOC＝＝3， ∴S△AOB＝S矩形ODEC﹣S△AOC﹣S△BOD﹣S△ABE＝6n﹣3﹣3﹣＝3n﹣m， ∵△AOB的面积为8， ∴3n﹣m＝8， ∴m＝6n﹣16， ∵mn＝6， ∴3n2﹣8n﹣3＝0， 解得：n＝3或﹣（舍）， ∴m＝2， ∴B（2，3）， 设直线AB的解析式为：y＝kx+b， 则，解得：， ∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+4； （3）如图，根据“三角形两边之差小于第三边可知： 当点P为直线AB与y轴的交点时，PA﹣PB有最大值是AB， 把x＝0代入y＝﹣x+4中，得：y＝4， ∴P（0，4）． 4．解：（1）∵线段OA的长是方程x2﹣7x﹣18＝0的一个根， 解得：x＝9或﹣2（舍），而点A在x轴正半轴上， ∴A（9，0）， ∵OB＝OA， ∴B（0，）， （2）∵OE＝6， ∴E（﹣6，0）， 设直线AB的表达式为y＝kx+b，将点A和B的坐标代入， 得：，解得：， ∴AB的表达式为：， ∵点C是EF的中点， ∴点C的横坐标为﹣3，代入AB中，y＝6， 则C（﹣3，6）， ∵反比例函数经过点C， 则k＝﹣3×6＝﹣18； （3）存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形， 如图，共有5种情况， 在四边形DM1P1N1中， M1和点A重合， ∴M1（9，0）， 此时P1（9，12）； 在四边形DP3M3N3中，可知M在直线y＝x+3上， 联立：， 解得：， ∴M（1，4）， ∴P3（1，0）， 同理可得：P2（9，﹣12），P4（﹣7，4），P5（﹣15，0）． 故存在点P使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形， 点P的坐标为P1（9，12），P2（9，﹣12），P3（1，0），P4（﹣7，4），P5（﹣15，0）． 5．解：（1）如图1，过点A作AD⊥x轴于D， ∵B（5，0）， ∴OB＝5， ∵S△OAB＝， ∴×5×AD＝， ∴AD＝3， ∵OB＝AB， ∴AB＝5， 在Rt△ADB中，BD＝＝4， ∴OD＝OB+BD＝9， ∴A（9，3）， 将点A坐标代入反比例函数y＝中得，m＝9×3＝27， ∴反比例函数的解析式为y＝， 将点A（9，3），B（5，0）代入直线y＝kx+b中，， ∴， ∴直线AB的解析式为y＝x﹣； （2）由（1）知，AB＝5， ∵△ABP是等腰三角形， ∴①当AB＝PB时， ∴PB＝5， ∴P（0，0）或（10，0）， ②当AB＝AP时，如图2， 由（1）知，BD＝4， 易知，点P与点B关于AD对称， ∴DP＝BD＝4， ∴OP＝5+4+4＝13，∴P（13，0）， ③当PB＝AP时，设P（a，0）， ∵A（9，3），B（5，0）， ∴AP2＝（9﹣a）2+9，BP2＝（5﹣a）2， ∴（9﹣a）2+9＝（5﹣a）2 ∴a＝， ∴P（，0）， 即：满足条件的点P的坐标为（0，0）或（10，0）或（13，0）或（，0）． 6．解：（1）∵AC＝BC，CO⊥AB，A（﹣4，0）， ∴O为AB的中点，即OA＝OB＝4， ∴P（4，2），B（4，0）， 将A（﹣4，0）与P（4，2）代入y＝kx+b得： ， 解得：， ∴一次函数解析式为y＝x+1， 将P（4，2）代入反比例解析式得：m＝8，即反比例解析式为y＝． （2）观察图象可知，kx+b＜时，x的取值范围0＜x＜4． （3）如图所示， ∵点C（0，1），B（4，0） ∴BC＝＝，PC＝， ∴以BC、PC为边构造菱形， ∵四边形BCPD为菱形， ∴PB垂直且平分CD， ∵PB⊥x轴，P（4，2）， ∴点D（8，1）． 7．解：（1）∵AD＝3，D（﹣4，n）， ∴A（﹣4，n+3）， ∵点C是OA的中点， ∴C（﹣2，）， ∵点C，D（﹣4，n）在双曲线y＝上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为y＝﹣； （2）由①知，n＝1， ∴C（﹣2，2），D（﹣4，1）， 设直线CD的解析式为y＝ax+b， ∴， ∴， ∴直线CD的解析式为y＝x+3； （3）如图，由（2）知，直线CD的解析式为y＝x+3， 设点E（m，m+3）， 由（2）知，C（﹣2，2），D（﹣4，1）， ∴﹣4＜m＜﹣2， ∵EF∥y轴交双曲线y＝﹣于F， ∴F（m，﹣）， ∴EF＝m+3+， ∴S△OEF＝（m+3+）×（﹣m）＝﹣（m2+3m+4）＝﹣（m+3）2+， ∵﹣4＜m＜﹣2， ∴m＝﹣3时，S△OEF最大，最大值为． 8．解（1）∵S△AOB＝1， ∴OA•OB＝1， 又∵OB＝1， ∴AB＝2，即A（1，2）， 把A点坐标代入y1＝中，得k＝2， ∴y＝， 把y＝﹣1代入y＝中，得x＝﹣2， ∴D（﹣2，﹣1）， 设直线AD解析式为y＝ax+b， 将A、D两点坐标代入，得， 解得， ∴y＝x+1； （2）由直线y＝x+1可知，C（﹣1，0）， 则BC＝OB+OC＝2，AB＝2， 所以，在Rt△ABC中，tan∠ACO＝＝1， 故∠ACO＝45°； （3）由图象可知，当y1＞y2时，x＜﹣2或0＜x＜1． 9．解：（1）设C（a，a），则B（a，），E（，a）， ∴S四边形OBCE＝a2﹣•a•﹣••a＝a2＝， ∴k＝a•＝＝； （2）由（1）得a＝±3， ∴C（﹣3，﹣3）， 设|MC|﹣|MA|＝t，M（x，）（x＞0）， 则﹣＝t， （x+3）2+（+3）2＝（x﹣3）2+（﹣3）2+t2+2t， 6（2x+）﹣t2＝t＝（2x+﹣6）t， ∴t2+（2x+﹣6）t﹣6（2x+）＝0， （t+2x+）（t﹣6）＝0， ∵t+2x+＞0， ∴t﹣6＝0，t＝6， 即|MC|﹣|MA|为常数6； （3）由（2）知MC﹣MA＝6， ∴MA＝MC﹣6， ∴MA+MP＝MC+MP﹣6， 则当点M在PC连线与双曲线的交点上时，MC+MP取得最小值， ∴MC+MP＝PC＝＝15， ∴MA+MP＝15﹣6＝9， ∴最低总费用为9a万元． 10．解： （1）反比例函数y＝的图象过A（1，6）， ∴m＝1×6＝6， ∴反比例函数解析为y＝， 把x＝3代入可得n＝2， ∴B（3，2）， 设直线AB解析式为y＝kx+b， 把A、B坐标代入可得，解得， ∴一次函数解析式为y＝﹣2x+8； （2）不等式kx+b﹣＞0可化为不等式kx+b＞， 即直线在反比例函数图象上方时所对应的自变量x的取值范围， ∵A（1，6），B（3，2）， ∴不等式kx+b﹣＞0的解集为1＜x＜3或x＜0； （3）当AB为平行四边形的边时， ①当M在x轴正半轴，N在y轴正半轴时，如图1，过A作AC∥y轴，过B作BC∥x轴， ∵A（1，6），B（3，2）， ∴BC＝3﹣1＝2，AC＝6﹣2＝4， ∵MN∥AB，且MN＝AB， ∴∠ONM＝∠CAB， 在△NOM和△ACB中 ∴△NOM≌△ACB（AAS）， ∴OM＝BC＝2，ON＝AC＝4， ∴M（2，0），N（0，4）； ②当M在x轴的负半轴、N在y轴的负半轴时，同理可求得M（﹣2，0），N（0，﹣4）； 当AB为对角线时，设M（x，0），N（0，y）， ∵A（1，6），B（3，2）， ∴平行四边形的对称中心为（2，4）， ∴x+0＝4，y+0＝8，解得x＝4，y＝8，此时M（4，0），N（0，8）， 在y＝﹣2x+8中，令y＝0可得x＝4，令x＝0可得y＝8， ∴A、B、M、N四点共线，不合题意，舍去； 综上可知以M、N、A、B为顶点的四边形是平行四边形时，M（﹣2，0），N（0，﹣4）或（2，0），N（0，4）． 11．解：（1）∵A（﹣1，2）在反比例函数y＝的图象上， ∴n＝2×（﹣1）＝﹣2， ∴其函数解析式为y＝﹣； ∵B（m，﹣1）在反比例函数的图象上， ∴﹣m＝﹣2， ∴m＝2， ∴B（2，﹣1）． ∵A（﹣1，2），B（2，﹣1）两点在一次函数y＝kx+b的图象上， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+1； （2）∵直线l∥y轴，AD⊥l， ∴AD＝3，D（2，2）， ∵DC＝2DA， ∴DC＝6， ∵点C是直线l上一动点， ∴C（2，8）或（2，﹣4）． 12．解：（1）∵直线y＝x+2过点A（﹣3，m）， ∴m＝﹣3+2，解得m＝﹣1， ∴A点坐标为（﹣3，﹣1）， 又∵反比例函数图象过A点， ∴k＝﹣3×（﹣1）＝3， ∴双曲线的解析式为y＝； （2）∵点M的横、纵坐标都是不大于3的正整数， ∴点M的横纵坐标为1，2，3， 画树状图为： ∴点M的坐标可能为：（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，1）、（3，2）、（3，3）， ∵在反比例函数的图象上的有（1，3）和（3，1）两个点， ∴点M在反比例函数图象上的概率为． 13．解：（1）∵点A（m+4，3），B（1，m）在反比例函数y＝的图象上， ∴k＝3（m+4）＝1•m， 解得m＝﹣6， ∴k＝﹣6． ∴反比例函数表达式为：y＝﹣， ∴A（﹣2，3），B（1，﹣6）， 将点A、B的坐标代入一次函数表达式得， 解得， ∴直线的表达式为：y＝﹣3x﹣3； （2）连接AP、BP， 设直线与x轴的交点为E，当y＝0时，x＝﹣1，故点E（﹣1，0）， 分别过点A、B作x轴的垂线AC、BD，垂足分别为C、D， 则S△PAB＝PE•CA+PE•BD＝PE+3PE＝PE＝18， 解得：PE＝4， 故点P的坐标为（3，0）或（﹣5，0）． 14．解：（1）设直线AB的表达式为y＝ax+b（a≠0）， 将点A（0，﹣2）、B（﹣1，0）代入y＝ax+b，得， 解得：， ∴一次函数的表达式为y＝﹣2x﹣2． 当y＝﹣2x﹣2＝4时，x＝﹣3， ∴点M的坐标为（﹣3，4）， 将点M（﹣3，4）代入y＝得，4＝， 解得：k＝﹣12， ∴反比例函数的表达式为y＝﹣． 故答案为：y＝﹣2x﹣2；y＝﹣． （2）过点M作MC⊥x轴于C，过点N作ND⊥MC于D，如图所示． ∵∠MND+∠NMD＝90°，∠BMC+∠NMD＝90°， ∴∠MND＝∠BMC， 又∵∠MDN＝∠BCM＝90°， ∴△MDN∽△BCM， ∴＝． 设N（n，﹣），则有＝， 解得：n＝﹣8或n＝﹣3（不合题意，舍去）， 经检验，n＝﹣8是原分式方程的解， ∴点N的坐标为（﹣8，）． 15．解：（1）由题意，m＝＝4，n＝＝﹣4， ∴C（2，4），D（﹣4，﹣2）， ∴ ∴解得， ∴直线解析为y＝x+2； （2）由y＝x+2可知B（0，2）， 由 ＝2，得x＝4， ∴M（4，2）， ∵N（4，a）， ∴MN∥y轴， ∵DN＝DM， ∴点D在MN的垂直平分线上， 设DH垂直MN于H，则DH∥x轴， ∴点H的纵坐标为为﹣2， 则H（4，﹣2）， ∴点N的坐标为（4，﹣6）． 16．解：（1）∵一次函数y＝x﹣6的图象经过点M（a，﹣5）， ∴﹣5＝a﹣6， 解得a＝1， ∴M（1，﹣5）． ∵反比例函数（m为常数，且m≠0）的图象过点M（1，﹣5）， ∴m＝1×（﹣5）＝﹣5， ∴反比例函数的解析式为． 由，解得或， ∴点N坐标为（5，﹣1）． （2）如图，过点M作PM∥y轴，交x轴平行线NP于点P． ∵点M（1，﹣5），N（5，﹣1）， ∴PM＝4，PN＝4． 在Rt△PMN中，． 17．解：（1）∵反比例函数的图象经过点A（4，2）， ∴m＝8， ∴反比例函数y＝（x＞0）； （2）∵AC⊥y轴，A（4，2）， ∴OC＝2， ∵BD＝3OC， ∴BD＝6， ∵BD⊥x轴， ∴B（，6）， ∵C（0，2）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝3x+2， ∴E（﹣，0）， ∴DE＝+＝2， ∴S△BED＝×DE×BD＝6． 第9页（共26页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $