专题08：探索乐园（3种类型27道题）（期末专项训练）五年级数学下学期（冀教版）

**基本信息** 聚焦集合、组合、比赛三类问题，通过27道题构建从基础到综合的知识逻辑链，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合问题|10题（含三集合题10）|考查两/三集合容斥原理，结合图示与计算|从两项都参加到三项都参加，逐步深化集合交并关系| |组合问题|8题（含五人互发视频题14）|涉及不同元素两两组合，强调无序性|从具体物品组合到抽象人物互动，培养组合推理能力| |比赛问题|9题（含联赛增队题27）|单循环赛场次计算，部分结合容斥|以组合计数为基础，延伸至实际比赛情境的综合应用|

专题08：探索乐园 （3种类型27道题） 目录概览 题型1集合问题 题型2组合问题 题型3比赛问题 题型演练 题型1集合问题 1．图中的“？”处表示（    ）。 A．两项比赛都参加的学生 B．两项比赛都不参加的学生 C．参加踢毽或跳绳比赛的学生 2．五（3）班第二小组共有11人，每人至少订一种刊物，订《漫画大王》的有8人，订《红树林》的有7人，这个小组两种刊物都订的有（    ）人。 A．3 B．4 C．1 3．五（1）班有18名学生喜欢踢足球，22名学生喜欢乒乓球，其中有5人既喜欢踢足球又喜欢打乒乓球，有6人既不喜欢踢足球又不喜欢打乒乓球，五（1）班一共有（    ）名学生。 A．41 B．40 C．45 4．光明小学五年级一班有49名同学。学校组织同学报名参加活动，参加音乐活动的有36人，参加美术活动的有31人，两种活动都参加的有25人，也有同学两种活动都没有参加，都没有参加的同学有（    ）人。 A．42 B．5 C．7 5．三年级参加两个竞赛组的人数如图，参加书法组的有( )人，两个组都参加的有( )人。三年级一共有( )人参加了这两个组的竞赛。 6．五（1）班的25名同学参加了学校春季运动会，其中17名同学参加了田径比赛，11名同学参加了篮球比赛，每人至少参加了一项比赛，两项比赛都参加的有( )名。 7．老师在黑板上写了两道题，全班同学都做了这两道题，做对第1题的有35人，做对第2题的有32人，两道题都做对的有18人，这个班共有( )人。 8．三（1）班45位同学到马园村参加采摘体验活动，每人至少参加一种采摘，有27人参加了草莓采摘，有30人参加了小番茄采摘，两种水果采摘都参加的同学有( )人。 9．红红发现全班会打乒乓球的有18人，会打羽毛球的有20人，两种球都会打的有8人，都不会打的有10人。全班共有多少人？ 10．夕阳红旅行团组织老年人去旅行，选择去桂林的有30人，选择去苏州的有20人，选择去洛阳的有24人，同时选择去桂林和苏州的有12人，同时选择去桂林和洛阳的有16人，同时选择去苏州和洛阳的有7人，只有2人同时选择了这三个地方。这个旅行团一共有多少人？ 题型2组合问题 11．跳远比赛结束后，前三名同学每2人都要拍一张合照，一共要拍（    ）张合照。 A．6 B．3 C．5 12．蚂蚁之间有一种特殊的交流方式，它们通过触碰触角交流信息。有4只蚂蚁，每2只碰一次触角，它们一共需要触碰（    ）次触角。 A．6 B．10 C．12 13．3张相同的纸上分别标有字母Q、K、A，从中任取两张，有（    ）种可能的结果。 A．3 B．4 C．5 14．在春节来临之际，乐乐、吉吉、琪琪、林林与丁丁五名同学互发短视频拜年。如果每两人之间都互发一段拜年视频，一共需要发( )段拜年视频。 15．口袋里有2块酥糖、3块奶糖、5块巧克力糖，任意摸出两块，有( )种可能。 16．在三张纸片上分别画☆、△、○记号，然后做成纸团。试一试，从中任意抽出两个，有( )种可能，再画出来( )。 17．有A、B、C、D、E、F、G七名同学参加羽毛球比赛。如果每两名同学之间都要进行一场比赛，一共要进行多少场比赛？（用画图的方法表示出来） 18．小明、小红、小芳、小林、小亮和小乐六人进行象棋比赛。如果每两人都要比赛一盘，那么一共要比赛多少盘？（用画图或列表的方法表示出来） 题型3比赛问题 19．实验学校10个班进行篮球比赛，每两个班都要进行一场比赛，一共要进行（    ）场比赛。 A．45 B．40 C．54 20．4人进行跳棋单循环赛，一共安排（    ）局就能完成比赛。 A．3 B．4 C．6 21．A、B、C、D、E五支球队，在循环赛中，每两支球队比赛一场，一共需要比赛（    ）场。 A．10 B．15 C．25 22．运动会上，五（1）班共有21名学生参加了田径和篮球比赛。其中有19名学生参加了田径比赛，有8名学生既参加了田径比赛又参加了篮球比赛。五（1）班有（    ）名学生参加篮球比赛。 A．6 B．10 C．11 23．三年级一班有12人参加了数学竞赛，15人参加了语文竞赛，有3人两个竞赛都参加了。三年级一班参加竞赛的有( )人。 24．实验小学五（4）班的6名同学进行围棋比赛，如果每2名同学之间要进行一场比赛，那么一共要进行( )场比赛。 25．聪聪、红红、亮亮和丫丫4人进行跳棋比赛，每2人都要赛一局，4个人一共要比赛( )局。 26．甲、乙、丙、丁4个人进行羽毛球比赛，每两个人都要比赛一场。一共要比赛多少场？如果甲胜了丁，并且甲、乙、丙3人胜的场数相同，那么丁胜了多少场？ 27．某年的足球联赛一共有12支球队参加，如果每两支球队踢一场比赛，一共要比赛多少场？在新的一年里，为了提高联赛水平，想增加几支球队参加比赛，使比赛场次达到120场，可以增加几支球队？ 第4页，共4页 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08：探索乐园 （3种类型27道题） 目录概览 题型1集合问题 题型2组合问题 题型3比赛问题 题型演练 题型1集合问题 1．图中的“？”处表示（    ）。 A．两项比赛都参加的学生 B．两项比赛都不参加的学生 C．参加踢毽或跳绳比赛的学生 【答案】A 【分析】根据集合问题的特点可知，图中的“？”处表示既参加踢毽子比赛又参加跳绳比赛的学生，依此选择。 【详解】根据分析可知，图中的“？”处表示两项比赛都参加的学生。 故答案为：A 【点睛】解答此题的关键是要熟练掌握集合问题的特点。 2．五（3）班第二小组共有11人，每人至少订一种刊物，订《漫画大王》的有8人，订《红树林》的有7人，这个小组两种刊物都订的有（    ）人。 A．3 B．4 C．1 【答案】B 【分析】根据题意，先求出订两种刊物的人数之和，再通过与小组总人数对比，用和减去总人数得到两种刊物都订的人数，最后选择合适的选项即可。 【详解】订两种刊物的人数之和：8＋7＝15（人）。 由题可知，小组共有11人，每人至少订一种刊物，说明订两种刊物的人数之和比小组总人数多出来的部分就是两种刊物都订的人数。 因此，两种刊物都订的人数为：15－11＝4（人）。 3．五（1）班有18名学生喜欢踢足球，22名学生喜欢乒乓球，其中有5人既喜欢踢足球又喜欢打乒乓球，有6人既不喜欢踢足球又不喜欢打乒乓球，五（1）班一共有（    ）名学生。 A．41 B．40 C．45 【答案】A 【分析】用喜欢踢足球的人数加喜欢乒乓球的人数再减去既喜欢踢足球又喜欢打乒乓球的人数即可求出至少喜欢一种运动的人数，之后用这个人数加上既不喜欢踢足球又不喜欢打乒乓球的人数即可求解。 【详解】18＋22－5＋6 ＝40－5＋6 ＝35＋6 ＝41（名） 五（1）班一共有41名学生。 故答案为：A 【点睛】本题主要考查集合问题，关键是要求出至少喜欢一种运动的人数是解题的关键。 4．光明小学五年级一班有49名同学。学校组织同学报名参加活动，参加音乐活动的有36人，参加美术活动的有31人，两种活动都参加的有25人，也有同学两种活动都没有参加，都没有参加的同学有（    ）人。 A．42 B．5 C．7 【答案】C 【分析】参加音乐活动的人数＋参加美术活动的人数－两种活动都参加的人数＝只参加一项活动的人数，总人数－只参加一项活动的人数＝没有参加活动的人数。 【详解】36＋31－25＝42（人） 49－42＝7（人） 故答案为：C 【点睛】此题属于集合问题，注意掌握此类题目的解题方法。 5．三年级参加两个竞赛组的人数如图，参加书法组的有( )人，两个组都参加的有( )人。三年级一共有( )人参加了这两个组的竞赛。 【答案】 25 8 40 【分析】图中“8人”表示的是两组都参加的人数，然后加上17就是参加书法组的人数；然后把图中三部分的人数相加就是参加这两个组的总人数。 【详解】8＋17＝25（人） 8＋17＋15 ＝25＋15 ＝40（人） 参加书法组的有25人，两个组都参加的有8人。三年级一共有40人参加了这两个组的竞赛。 6．五（1）班的25名同学参加了学校春季运动会，其中17名同学参加了田径比赛，11名同学参加了篮球比赛，每人至少参加了一项比赛，两项比赛都参加的有( )名。 【答案】3 【分析】先计算参加两个项目的人数之和，大于总人数，因为每人至少参加一项比赛，两项都参加的同学被重复计算了1次，所以两项都参加的人数＝参加田径人数＋参加篮球人数－总人数。 【详解】17＋11－25 ＝28－25 ＝3（名） 两项比赛都参加的有3名。 7．老师在黑板上写了两道题，全班同学都做了这两道题，做对第1题的有35人，做对第2题的有32人，两道题都做对的有18人，这个班共有( )人。 【答案】49 【分析】根据题干及题干中的分析，做对第一题的35个人里，有18个人也做对第二题，那么做对第二题的32个人里这18个人就又重复数了一次，因此把做对第一题的人数和做对第二题的人数和起来，再减去重复数的这18个人；根据总人数＝（A＋B）－既A又B解答即可。 【详解】35＋32－18 ＝67－18 ＝49（人） 这个班共有49人。 【点睛】此题考查利用集合原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。先用35加32求出答对第二道题和答对第一道题的人数和，再减去两道题都做对的人数18（重复计算的人数），也就是全班总人数。 8．三（1）班45位同学到马园村参加采摘体验活动，每人至少参加一种采摘，有27人参加了草莓采摘，有30人参加了小番茄采摘，两种水果采摘都参加的同学有( )人。 【答案】12 【分析】根据容斥原理，两种水果采摘都参加的同学人数＝参加草莓采摘的同学人数＋参加小番茄采摘的同学人数－三（1）班的总人数。 【详解】27＋30－45 ＝57－45 ＝12（人） 三（1）班45位同学到马园村参加采摘体验活动，每人至少参加一种采摘，有27人参加了草莓采摘，有30人参加了小番茄采摘，两种水果采摘都参加的同学有12人。 9．红红发现全班会打乒乓球的有18人，会打羽毛球的有20人，两种球都会打的有8人，都不会打的有10人。全班共有多少人？ 【答案】40人 【分析】全班会打乒乓球的有18人，会打羽毛球的有20人，但是其中有8人两种球都会打，这8个人在计算会打乒乓球和会打羽毛球的人数时，被重复计算了，所以要减去一次，即会打乒乓球或者会打羽毛球的有（18＋20－8）人，再用会打乒乓球或者会打羽毛球的人数加上两种球都不会打的人数，求出全班的人数，据此解答。 【详解】18＋20－8＝30（人） 30＋10＝40（人） 答：全班共有40人。 10．夕阳红旅行团组织老年人去旅行，选择去桂林的有30人，选择去苏州的有20人，选择去洛阳的有24人，同时选择去桂林和苏州的有12人，同时选择去桂林和洛阳的有16人，同时选择去苏州和洛阳的有7人，只有2人同时选择了这三个地方。这个旅行团一共有多少人？ 【答案】41人 【分析】根据题意，画出如下的示意图，将选择去桂林、选择去苏州以及选择去洛阳的人数相加，也就是多加了一次同时选择两个地方的人，将其减去后，又多减了一次选择三个地方的，加上即可。 最后的数量关系式：选择去桂林＋选择去苏州＋选择去洛阳－同时选择去桂林和苏州－选择去桂林和洛阳－选择去苏州和洛阳＋同时选择了这三个地方。 【详解】30＋20＋24－12－16－7＋2 ＝74－12－16－7＋2 ＝39＋2 ＝41（人） 答：这个旅行团一共有41人。 题型2组合问题 11．跳远比赛结束后，前三名同学每2人都要拍一张合照，一共要拍（    ）张合照。 A．6 B．3 C．5 【答案】B 【分析】合照张数＝人数×每人需要拍的次数÷2。 【详解】3×2÷2 ＝6÷2 ＝3（张） 一共要拍3张合照。 12．蚂蚁之间有一种特殊的交流方式，它们通过触碰触角交流信息。有4只蚂蚁，每2只碰一次触角，它们一共需要触碰（    ）次触角。 A．6 B．10 C．12 【答案】A 【分析】通过枚举法推导结果，给4只蚂蚁编号为①、②、③、④。 ①需要和②、③、④触碰一次，共3次 ②还需要和③、④触碰，共2次 ③还需要和④触碰，共1次 ④已经和所有蚂蚁完成触碰。 【详解】3＋2＋1＝6（次） 即它们一共需要触碰6次触角。 13．3张相同的纸上分别标有字母Q、K、A，从中任取两张，有（    ）种可能的结果。 A．3 B．4 C．5 【答案】A 【分析】3张相同的纸上分别标有字母Q、K、A，从中任取两张，可能抽到的结果有Q和K；Q和A；K和A；一共3种可能，据此选择即可。 【详解】由分析可知：3张相同的纸上分别标有字母Q、K、A，从中任取两张，有3种可能的结果。 故答案为：A 14．在春节来临之际，乐乐、吉吉、琪琪、林林与丁丁五名同学互发短视频拜年。如果每两人之间都互发一段拜年视频，一共需要发( )段拜年视频。 【答案】20 【分析】共有五个同学，按要求每两人之间都互发一段拜年视频，则每个同学都需要发出4段视频，五个同学共发出4×5＝20段视频，据此解答。 【详解】 （段） 15．口袋里有2块酥糖、3块奶糖、5块巧克力糖，任意摸出两块，有( )种可能。 【答案】6 【分析】口袋里有3种糖，所以摸出的两块糖可能是同一种糖，也可能是不同种糖。据此列举出两块糖的所有组合，有几种组合即有几种可能。 【详解】摸出同一种糖的可能性：摸出的两块糖可能是2块酥糖、2块奶糖、2块巧克力糖，共3种可能。 摸出不同种糖的可能性：摸出的两块糖可能是1块酥糖和1块奶糖、1块酥糖和1块巧克力糖、1块奶糖和1块巧克力糖，共3种可能。 总的可能性：3＋3＝6（种） 因此，共有6种可能。 16．在三张纸片上分别画☆、△、○记号，然后做成纸团。试一试，从中任意抽出两个，有( )种可能，再画出来( )。 【答案】 3 ☆△、☆○、△○ 【分析】本题可以反向思考，从三个图形里面抽取两个，肯定要剩下一个，看剩下的这一个有几种情况，抽出两个就有几种可能。 【详解】剩下一个有3种可能的情况，分别是剩下☆，剩下△，剩下○，因此任意抽出两个有3种可能。 剩下☆时，抽出的是△○；剩下△时，抽出的是☆○；剩下○时，抽出的是☆△。 17．有A、B、C、D、E、F、G七名同学参加羽毛球比赛。如果每两名同学之间都要进行一场比赛，一共要进行多少场比赛？（用画图的方法表示出来） 【答案】画图见详解 21场 【分析】把字母A、B、C、D、E、F、G围成一圈，先画A与其他字母相连的线段，再画B的，依次类推，每两个字母连一条线。再数一数一共有几条线段就有几场比赛。 【详解】画图如下： （答案不唯一） 答：一共要进行21场比赛。 18．小明、小红、小芳、小林、小亮和小乐六人进行象棋比赛。如果每两人都要比赛一盘，那么一共要比赛多少盘？（用画图或列表的方法表示出来） 【答案】15盘 【分析】可用画图的方法表示出来，先把小明、小红、小芳、小林、小亮和小乐六人画成一圈，再把小明与其他人分别连线，接着把小红与其他人分别连线，依次类推，俩人之间已经连线的不可重复连。最后数一数一共有几条线就要比赛几盘。 【详解】据分析画图如下： （答案不唯一） 答：一共要比赛15盘。 题型3比赛问题 19．实验学校10个班进行篮球比赛，每两个班都要进行一场比赛，一共要进行（    ）场比赛。 A．45 B．40 C．54 【答案】A 【分析】单循环赛制，n个人比赛：n（n－1）÷2场，据此解答。 【详解】由分析可知： 10×（10－1）÷2 ＝10×9÷2 ＝45（场） 所以一共要进行45场比赛。 故答案为：A 【点睛】本题考查比赛场次，注意灵活运用比赛场次的公式。 20．4人进行跳棋单循环赛，一共安排（    ）局就能完成比赛。 A．3 B．4 C．6 【答案】C 【分析】4人进行挑起比赛，每两人比赛一局，即每一人都与其他三人各赛一局，共赛3局，则4人共赛4×3＝12局，由于比赛是在两人之间进行的，去掉重复的，共比赛12÷2＝6局，据此解答。 【详解】4×（4－1）÷2 ＝4×3÷2 ＝12÷2 ＝6（场） 4人进行跳棋单循环赛，一共安排6局就能完成比赛。 故答案为：C 【点睛】本题为单循环赛制，比赛场数＝参赛人数×（人数－1）÷2。 21．A、B、C、D、E五支球队，在循环赛中，每两支球队比赛一场，一共需要比赛（    ）场。 A．10 B．15 C．25 【答案】A 【分析】每两个球队都要比赛一场，即进行循环赛制，则每个球队都要和其他四个队各赛一场，所有球队共参赛：5×（5－1）＝20场，由于每场比赛是在两个队之间进行的，所以一共要赛：20÷2＝10场。 【详解】5×（5－1）÷2 ＝5×4÷2 ＝10（场） 故答案为：A 【点睛】在循环赛中，参赛人数与比赛场数的关系为：比赛场数＝人数×（人数－1）÷2。 22．运动会上，五（1）班共有21名学生参加了田径和篮球比赛。其中有19名学生参加了田径比赛，有8名学生既参加了田径比赛又参加了篮球比赛。五（1）班有（    ）名学生参加篮球比赛。 A．6 B．10 C．11 【答案】B 【分析】根据容斥原理可知，用参加总人数＋两项都参加的人数－田径比赛人数＝篮球比赛人数。 【详解】21＋8－19 ＝29－19 ＝10（名） 故答案为：B 【点睛】此题主要考查学生对容斥原理的理解与应用。 23．三年级一班有12人参加了数学竞赛，15人参加了语文竞赛，有3人两个竞赛都参加了。三年级一班参加竞赛的有( )人。 【答案】24 【分析】用参加了数学竞赛和语文竞赛的人数和，减去两项竞赛都参加的人数即为三年级一班参加竞赛的人数。 【详解】12＋15－3 ＝27－3 ＝24（人） 三年级一班参加竞赛的有24人。 24．实验小学五（4）班的6名同学进行围棋比赛，如果每2名同学之间要进行一场比赛，那么一共要进行( )场比赛。 【答案】15 【分析】由题意可知，每2名同学之间要进行一场比赛，也就是说每人要和其他（6－1）名同学进行一场比赛，则所有人的比赛场数为（6－1）×6，由于比赛是两人之间进行的，所以要去掉重复计算的情况，最后除以2即可，据此解答。 【详解】（6－1）×6÷2 ＝5×6÷2 ＝30÷2 ＝15（场） 所以，一共要进行15场比赛。 25．聪聪、红红、亮亮和丫丫4人进行跳棋比赛，每2人都要赛一局，4个人一共要比赛( )局。 【答案】6 【分析】由于每个选手都要和另外的3个人赛一局，一共要赛：3×4＝12（局）；又因为两个人只赛一场，去掉重复计算的情况，实际只赛：12÷2＝6（局），据此解答。 【详解】（4－1）×4÷2 ＝12÷2 ＝6（局） 【点睛】本题考查了握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果人数比较少可以用枚举法解答，如果人数比较多可以用公式：比赛场数＝n（n－1）÷2解答。 26．甲、乙、丙、丁4个人进行羽毛球比赛，每两个人都要比赛一场。一共要比赛多少场？如果甲胜了丁，并且甲、乙、丙3人胜的场数相同，那么丁胜了多少场？ 【答案】6场；0场 【分析】每一个人都和其他3个人比赛，一共4人，一共要比赛4×3＝12场，但是这样算就将比赛都重复计算一次，再除以2即可。 分别假设甲胜了1场，2场和3场，分析出对应情况下乙和丙的胜场情况，找出符合题意的情况，从而推出丁胜了几场。 【详解】4×（4－1）÷2 ＝4×3÷2 ＝12÷2 ＝6（场） 假设甲胜了1场，那么乙胜了甲，丙胜了甲，乙和丙双方比赛中必有一方胜，那么此时乙和丙其中有一人至少胜了2场，和甲的胜场次数不相等，不符合题意； 假设甲胜了2场，那么甲还胜了乙和丙其中的一人，乙和丙其中也有一人胜了甲。同时，乙和丙也需要胜2场的情况下，乙和丙都需要胜了丁，那么丁胜了0场； 假设甲胜了3场，那么乙丙不能也胜3场，不符合题意； 所以丁胜了0场。 答：一共要比6场，丁胜了0场。 27．某年的足球联赛一共有12支球队参加，如果每两支球队踢一场比赛，一共要比赛多少场？在新的一年里，为了提高联赛水平，想增加几支球队参加比赛，使比赛场次达到120场，可以增加几支球队？ 【答案】66场；4支 【分析】在循环赛制中，参赛人数和比赛场数的关系为：比赛场数＝参赛人数×（参赛人数－1）÷2，据此代入数据计算。 根据比赛场数＝参赛人数×（参赛人数－1）÷2的逆运算，用120乘2，再算出结果是哪两个相邻的数的积，求得参赛队数，再减去12即可。 【详解】 （场） （场） 所以有16支球队。 （支） 答：一共要比赛66场；可以增加4支球队。 第12页，共12页 第1页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $