精品解析：湖南长沙大学附属中学2026届高三五月月考数学试题

2026年上学期高三五月月考数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. 2 C. D. 3. 已知向量，设与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 设，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的右支上有一点与双曲线的左支交于点，线段的中点为，且满足，若，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 7. 已知函数在上有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 等差数列和等比数列都是各项为正实数的无穷数列，且，，的前n项和为，的前n项和为，下列判断正确的是（ ） A. 是递增数列 B. 是递增数列 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知样本数据的平均数为2，方差为1，则下列说法正确的是（ ） A. 数据，的平均数为6 B. 数据，的方差为9 C. 数据的方差为1 D. 数据的平均数为5 10. 如图，平面ABCD，，，，，，，则（ ） A. B. 平面ADE C. 平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为 D. 直线CE与平面BDE所成角的正弦值为 11. 已知函数的定义域为，，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 为奇函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若平面直角坐标系内两点满足: （1）点都在的图象上; （2）点关于原点对称，则称点对是函数的一个“姊妹点对”，且点对与记为一个“姊妹点对”. 已知函数，则的“姊妹点对”有__________个. 13. 已知函数的定义域为，对于任意实数均满足，若，，则________________. 14. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的左支于A，B两点，，，则双曲线的离心率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，平面为等边三角形，，点为棱上的动点． （1）证明：平面； （2）当二面角的大小为时，求线段的长度． 16. 已知等比数列和等差数列，满足，，，． （1）求数列，的通项公式； （2）记数列的前项和为，数列的前项和为．证明：． 17. 已知，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过点且斜率为的直线交曲线位于轴右侧的部分于不同的A，B两点，为轴上一点且满足，试探究是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，请说明理由. 18. 已知函数. （1）求的最小值； （2）设函数，讨论零点的个数. 19. 泊松分布是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况.如果随机变量的所有可能取值为0，1，2…，且，其中，则称服从泊松分布，记作. （1）设，且，求； （2）已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，当不太大时，有. （ⅰ）已知甲地区共有100000户居民，每户居民每天有0.00010的概率需要一名水电工.试估计某天需要至少2名水电工的概率； （ⅱ）在（ⅰ）的基础上，已知乙地区共有200000户居民，每户居民每天有0.00004的概率需要一名水电工.试估计某天两个地区一起至少需要3名水电工的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期高三五月月考数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得集合，可求得. 【详解】依题得，则． 故选：C. 2. 已知复数，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数乘法法则得到，利用模长公式求出答案. 【详解】， 故. 故选：D 3. 已知向量，设与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用夹角公式计算出余弦值后，再根据同角三角函数平方关系即可算出正弦值. 【详解】因为， 所以，， 所以， 因为为与的夹角，所以. 故选：D 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先对进行化简整理，得到，求得结果. 【详解】 ， 所以. 故选：A. 5. 设，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由指数函数的单调性比较与的大小，再作商比较的大小即可得解. 【详解】， ， 而，因为，所以， 所以，故， 所以. 故选：B 6. 已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的右支上有一点与双曲线的左支交于点，线段的中点为，且满足，若，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件得是等边三角形，设的边长为，结合双曲线定义得，在中，由余弦定理求得离心率. 【详解】 因为是线段的中点，且，所以， 又，所以是等边三角形， 设的边长为，由双曲线的定义知，，， 所以， 又，所以，即， 所以， 在中，由余弦定理知，， 所以 即，所以离心率. 故选：C 7. 已知函数在上有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用降幂公式降幂，结合余弦函数的图象特征，可得关于的不等式，即可求得实数得取值范围. 【详解】函数， 由，得， 要使函数在上有且仅有两个零点， 所以，则，得， 即的取值范围是. 故选：B. 8. 等差数列和等比数列都是各项为正实数的无穷数列，且，，的前n项和为，的前n项和为，下列判断正确的是（ ） A. 是递增数列 B. 是递增数列 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】特例法排除A，B，C，对于D，根据题意，可得，，且，故，从而可证. 【详解】设数列和数列均为常数列，所以排除A，B，C，选D， 对于D，设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，可知，故， 由，可知，又由，，有，故， 且， 故，即， 所以，故， 所以. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知样本数据的平均数为2，方差为1，则下列说法正确的是（ ） A. 数据，的平均数为6 B. 数据，的方差为9 C. 数据的方差为1 D. 数据的平均数为5 【答案】BD 【解析】 【分析】对于AB：根据平均数、方差的性质分析求解；对于CD：根据平均数、方差公式运算求解. 【详解】因为样本数据的平均数为2，方差为1， 对于选项A：所以数据，的平均数为，故A错误； 对于选项B：数据，的方差为，故B正确； 对于选项C：因为，， 则数据的平均数为， 所以方差为，故C错误； 对于选项D：由，， 得，可得， 所以数据的平均数为，故D正确； 故选：BD. 10. 如图，平面ABCD，，，，，，，则（ ） A. B. 平面ADE C. 平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为 D. 直线CE与平面BDE所成角的正弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究位置关系与线面夹角，面面夹角即可. 【详解】对于A，根据题意可知，平面ABCD， 不妨以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示， 可得， 则，， 所以，所以，不垂直，故A错误； 对于B，依题意，是平面的一个法向量， 又，可得，则， 又因为直线平面，所以平面，故B正确； 对于C，设为平面的一个法向量， 则，令，可得， 设为平面的一个法向量， 则，令，可得， 所以平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为，故C正确； 对于D，设直线与平面所成角为，而， 则，故D错误. 11. 已知函数的定义域为，，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 为奇函数 【答案】D 【解析】 【分析】令，或，分类讨论可求，判断A；令，可得，进而可求，判断B；由B可得，可判断CD； 【详解】对于A：令，得，即，所以或． 当时，不恒成立，故，故A错误． 对于B：解法一：令，得，又， 所以，故，故B错误． 解法二 ：令，得，又，所以，故B错误． 对于C、D：由B选项可知，则，所以为奇函数，故C错误，D正确． 故选：D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若平面直角坐标系内两点满足: （1）点都在的图象上; （2）点关于原点对称，则称点对是函数的一个“姊妹点对”，且点对与记为一个“姊妹点对”. 已知函数，则的“姊妹点对”有__________个. 【答案】2 【解析】 【分析】问题转化为关于原点对称的函数与在交点的个数，先求出关于原点对称的函数，利用导数方法求出在解的个数，即可得出结论. 【详解】设是关于原点对称函数图象上的点， 则点P关于原点的对称点为在上， ，设，“姊妹点对”的个数即为与在交点的个数， 于是，即，令， 由，得，即，于是只考虑即可， 求导得，显然函数在区间上单调递增， 而，，则存在使得， 当单调递减，单调递增， 而，，， 因此函数在区间，分别各有一个零点， 所以函数的“姊妹点对”有2个. 故答案为：2 【点睛】思路点睛：函数的新定义，等价转化为函数图象的交点，利用函数导数研究单调性，结合零点存在性定理是解题的关键. 13. 已知函数的定义域为，对于任意实数均满足，若，，则________________. 【答案】 【解析】 【分析】通过赋值得到的值，之后猜想的表达式，利用数学归纳法证明，之后代入表达式即可求得答案. 【详解】令即可求出， 令即可求出， ，， 结合，，，，可猜想. 下面用数学归纳法证明： 当时，由上述知成立. 假设当时有， 则当时，不妨设， . 所以成立，所以. 故答案为：. 14. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的左支于A，B两点，，，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，，在中，利用余弦定理求出，再根据双曲线的定义即可求出，再在中，利用余弦定理即可得解. 【详解】由题可设，， 由余弦定理可得， 即，解得， 因为，所以，即， 在中，，，， 所以， 即，解得， 则所求双曲线的离心率为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，平面为等边三角形，，点为棱上的动点． （1）证明：平面； （2）当二面角的大小为时，求线段的长度． 【答案】（1）证明详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先求得，再根据线面垂直的判定定理证得平面. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法列方程来求得点的坐标，进而求得的长度. 【小问1详解】 依题意，所以， 所以，所以，则， 由于平面，平面，所以， 由于平面，所以平面. 【小问2详解】 由（1）可知两两相互垂直，由此以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， ，设， 平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则， 故可设， 依题意，二面角的大小为， 所以， 整理得， 解得或（舍去），所以， 所以. 16. 已知等比数列和等差数列，满足，，，． （1）求数列，的通项公式； （2）记数列的前项和为，数列的前项和为．证明：． 【答案】（1），． （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设的公比为，等差数列的公差为，依题意得到方程组，解得、，即可得解； （2）由（1）可得，利用错位相减法求出，即可得到，再由分组求和及裂项相消法计算可得. 【小问1详解】 等比数列满足，，所以单调递增， 设的公比为，等差数列的公差为，依题意可得， 解得或（舍去）， 所以，． 【小问2详解】 由（1）可得， 所以 所以， 故， 又，， 即， 所以 ． 17. 已知，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过点且斜率为的直线交曲线位于轴右侧的部分于不同的A，B两点，为轴上一点且满足，试探究是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）为定值，定值为 【解析】 【分析】（1）由中位线定理和垂直平分线的性质，结合双曲线的定义，即可得解； （2）由题意得直线方程为，与双曲线的方程联立，得到两根之和，两根之积，求出的中点坐标，进而求出的垂直平分线的方程，求出的坐标，结合双曲线的定义及弦长公式化简即可得出结论. 【小问1详解】 由题意可得，且为的中点， 又为的中点，所以且， 因为点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点， 由垂直平分线的性质可得， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点的双曲线， ，所以， 所以曲线的方程为； 【小问2详解】 直线方程为，设， 联立，可得， 由于直线交双曲线的右支于两点， 可得，， 所以，解得或， 则， 即的中点坐标为， 因为为轴上一点，满足，故为的垂直平分线与轴的交点， 的垂直平分线的方程为：， 令，则得，即， 所以， 又， 又因为在双曲线的右支上，故， 故，即， 故， 即为定值，定值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定值问题常见方法： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 18. 已知函数. （1）求的最小值； （2）设函数，讨论零点的个数. 【答案】（1）最小值 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）先利用导数求出函数的单调区间，进而可求出函数的最小值； （2）令，得，令，则与有相同的零点，利用导数求出函数的极值点，再分类讨论即可得出结论. 【小问1详解】 的定义域为， 则当时，；当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因此的最小值为； 【小问2详解】 ，且， 令，得， 令，则与有相同的零点， 且， 令，则， 因为当时，则，所以在区间上单调递增， 又，所以，使， 且当时，，即；当时，，即， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因此的最小值为， 由，得，即， 令，则在区间上单调递增， 因为，所以，则， 所以，从而，即 所以的最小值， 所以当时，没有零点； 当时，有一个零点； 当时，因为， 当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于， 所以有两个零点. 综上，当时，的零点个数为0； 当时，的零点个数为1； 当时，的零点个数为2. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 19. 泊松分布是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况.如果随机变量的所有可能取值为0，1，2…，且，其中，则称服从泊松分布，记作. （1）设，且，求； （2）已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，当不太大时，有. （ⅰ）已知甲地区共有100000户居民，每户居民每天有0.00010的概率需要一名水电工.试估计某天需要至少2名水电工的概率； （ⅱ）在（ⅰ）的基础上，已知乙地区共有200000户居民，每户居民每天有0.00004的概率需要一名水电工.试估计某天两个地区一起至少需要3名水电工的概率. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）理解概率公式，就能用待定系数法先求出，再求出指定概率； （2）（ⅰ）理解泊松分布中的，从而再运用公式计算对应事件概率，转化为对立事件来研究即可； （ⅱ）先了解两个独立事件，同时发生总共需要水电工人数，运用积事件求和：即，这里运用到二项式展开式定理，最后再用对立事件即可解得. 【小问1详解】 由得， 且，解得. 故. 【小问2详解】 （ⅰ）设为甲地区某天需要的水电工数目，则，且. 因为，，， 所以. 那么，某天至少需要2名水电工的概率约为 （ⅱ）设为乙地区某天需要的水电工数目，则，且. 因为，，， 所以. 于是 . 那么，某天两个地区一起至少需要3名水电工的概率约为 . 【点睛】关键点点睛：从特殊入手，简单的问题搞懂，复杂的问题就有了思路，关键是理解这个概率公式及它表达的事件，然后再研究两个事件发生共同需要名水电工的概率计算，这里面再用到二项式展开式定理，即可得到化简求值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $