2026年贵州黔西南中考数学押题（优质36题）

**基本信息** 聚焦中考三轮冲刺，36题覆盖代数几何核心知识，融合无人机、《张邱建算经》等科技文化情境，突出数学建模与综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|17/51|正多边形、全等、函数、概率|正六边形与正方形相交角度计算（空间观念）| |填空题|4/12|圆、阴影面积、反比例函数|内接四边形弧长计算（推理能力）| |解答题|15/150|二次函数应用、解直角三角形、几何综合|无人机高度二次函数模型（数学建模）、项目式测量“大蘑菇”高度（应用意识）|

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 绝密★启用前 2025年-2026年贵州黔西南中考数学押题（优质36题） 学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上; 卷I（选择题） 一、 单选题（本题共计 17 小题 ，每题 3 分 ，共计51分 ，）   1.（25-26·江苏月考）如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（       ） A. B. C. D.   2.（2026·安徽模拟）如图，在中，是边上的中线，是的中点，连接并延长交于点，已知，则的长为（       ） A.6 B.8 C.10 D.12   3.（2026·安徽模拟）如图，在中，点为的中点，将绕点顺时针旋转得到线段连接，交于点，分别连接则下列结论中：的最小值为； 的最小值为；面积的最大值为；面积的最大值为． 正确结论的个数为（       ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个   4.（2026·河北模拟）如图，已知，，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A. B. C. D.   5.（2026·河北模拟） 如图，是某益智小游戏的界面示意图，游戏规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向上或向下随机移动到相邻的一个格子．当“”位于格子M时，小红连续点击两次按钮，“”到达格子K的概率是（     ） A. B. C. D.   6.（2026·河北模拟）如图，在中，，，，为中点，过作于，连接交于点，则的面积为（     ） A. B. C. D.   7.（2026·河北模拟）如图，边长为8的正六边形中，一束激光从的中点P出发，照射到边上的点Q处，经镜面反射后恰好经过顶点C，则的长为（     ） A. B. C. D.   8.（13-14·江苏期中）下列图案中是中心对称图形的是（       ） A. B. C. D.   9.（25-26·甘肃模拟）如图所示的两个五角星是位似图形，是位似中心，位似比为．点，的对应点分别为点，，若，则的长为（ ） A. B. C. D.   10.（25-26·甘肃模拟）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，则该函数的表达式为（     ） A. B. C. D.   11.（25-26·甘肃模拟）如图，某小区有一块菱形绿地，其中．计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，使点，，，分别在边，，，上．记，，图中阴影部分的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是（       ） A.一次函数关系，反比例函数关系 B.二次函数关系，一次函数关系 C.一次函数关系，二次函数关系 D.反比例函数关系，二次函数关系   12.（25-26·陕西模拟）桥洞是拱桥桥梁下方的孔洞结构，是桥梁工程的重要组成部分，如图所示，桥洞可看作是一段圆弧，桥洞下方水面为6米，拱顶到水面的距离为9米，则桥洞的半径为（     ） A.米 B.米 C.米 D.5米   13.（25-26·陕西模拟）已知抛物线与轴交于点，，在的抛物线上有一点，其纵坐标为．若，则的取值范围是（     ） A. B.或 C. D.或   14.（25-26·山东模拟）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在1斗清酒价值10斗谷子，1斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D.   15.（25-26·山东模拟）如图，是的直径，点D是的中点，过点D作于点E，交于另一点F．若，，则的半径是（     ） A. B. C.6 D.10   16.（25-26·山东模拟）在平面直角坐标系xOy中，y与x的函数关系如图所示，图象与x轴有三个交点，分别为，，．给出下面四个结论： ①当时，； ②当时，y随x的增大而增大； ③点在此函数图象上，则符合要求的点只有一个； ④将函数图象向右平移2个或4个单位长度，经过原点． 上述结论中，所有正确结论的序号是（       ） A.①② B.②③ C.②④ D.③④   17.（25-26·山东模拟）如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点为原点，点，对角线的交点为，作以下操作：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线，交 于点，交于点．则点的坐标为（        ） A. B. C. D. 二、 填空题（本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ，）   18.（2026·安徽模拟）如图，四边形是的内接四边形，．若的半径为，则弧的长为_____________．   19.（2026·河北模拟）如图，在中，，，分别以点、为圆心、的长为半径画弧，交、的延长线于点、．则图中阴影部分的面积为________．   20.（25-26·陕西模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，若为反比例函数图象上的一点，连接．若，则的值为________．   21.（25-26·陕西模拟）如图，在菱形中，，，为上一动点，为上一动点，且，连接，，，是的中点，则点从点到点的运动过程中，点运动轨迹的长为________． 三、 解答题（本题共计 15 小题 ，每题 10 分 ，共计150分 ，）   22.（2026·安徽模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）已知点，过点作轴的垂线，交反比例函数的图象于点，交直线于点．若，求的值．   23.（2026·安徽模拟）如图，过外一点作的切线，切点为点，为的直径，点为上一点，且，连接，，线段交直径于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求半径的长．   24.（2026·河北模拟）如图，在中，，是边上的高线，延长到E，使得，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积．   25.（2026·河北模拟）如图，中，，以上一点O为圆心过点A作，交于点D． （1）尺规作图：作的垂直平分线，分别交、于点E、F；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接，求证：是的切线； （3）若，，求弧的长．   26.（2026·河北模拟）保定高新区某新能源材料公司生产锂电池电解液，需将甲、乙两种原料液按一定比例混合配制．已知每毫升甲、乙两种原料液的生产成本之比为．若使用20毫升甲原料液和30毫升乙原料液进行配制，总成本为360元． （1）设每毫升甲原料液的成本为a元，用含a的代数式表示：①每毫升乙原料液的成本为________；②取用x毫升甲原料液、y毫升乙原料液时的总生产成本为________． （2）求甲、乙两种原料液每毫升的成本各是多少元． （3）按照生产标准配制电解液150毫升时，要求甲原料液用量不少于40毫升，且乙原料液用量y满足．设甲原料液用量为x毫升，总成本为w元． ①求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； ②当甲、乙两种原料液各取用多少毫升时，总成本最低？最低总成本是多少元？   27.（2026·河北模拟）在科技节无人机编队表演中，其中两架无人机同时从地面起飞．设飞行时间为x（单位：秒），飞行高度为y（单位：米）．如图，无人机甲的飞行高度是x的二次函数，其图像经过点和点，且最高点M的坐标为；无人机乙起飞秒后上升至最高点A，此时高度为米，然后开始下降，最后与无人机甲同时落地． （1）求无人机甲高度关于飞行时间x的函数解析式； （2）在无人机乙下降过程中，两架无人机何时达到相同高度（不含落地时）？并求出此时飞行的高度． （3）在飞机整个飞行过程中，求两架无人机的最大垂直距离（垂直距离为同一时刻两机纵坐标之差的绝对值）； （4）在无人机乙下降的过程中，我们定义：最优垂直距离为“使得两架无人机的最大垂直距离尽可能小的那个距离值”．调整抛物线参数，使其经过点和，且最高点纵坐标不变，t满足，在两无人机首次与第二次处于同一高度的时段内，直接写出t为何值时，两架无人机达到最优垂直距离，并写出该最优垂直距离的值．   28.（25-26·甘肃模拟）如图，反比例函数（）的图象经过点和点，直线经过点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）连接，，求的面积．   29.（2026·安徽模拟）项目式学习：某数学实践小组观测太阳高度角（太阳光线与地平面的夹角）与物体影长的关系，并借助相关知识探究合肥骆岗公园“大蘑菇”的高度．下面是小组成员进行交流展示时的部分资料及实践结果，请同学们分析成果展示并完成任务： 项目主题：                                     测量骆岗公园“大蘑菇”建筑的高度 项目素材 合肥市某天下午不同时刻太阳光线与地面的夹角α参照表： 时刻 太阳高度角（度） 47 35 22 参考数据：，， 示意图 项目成果 “自律”小组 “自强”小组 下午时，在观测点C处测“大蘑菇”的影子．但因为“大蘑菇”周围有一圈栅栏，所以无法直接测量影子的长度． 下午时，从C向“大蘑菇”方向前进27米到达点D，在点D处用高1米的测角仪测得塔顶A的仰角为． 项目任务 请你求出“大蘑菇”的高度（注意：计算结果保留整数）． 项目任务：请你求出“大蘑菇”的高度（注意：计算结果保留整数）．   30.（25-26·陕西模拟）如图，一棵大树由于风力所致，在处断裂，断裂后大树的顶端落在地面上的处，大树段在地面上的影长为2.8米，此时站在地面上的彤彤身高为1.7米，同一时刻落在地面上的影长为0.85米，彤彤用测倾仪测得，已知，，，，，，在同一直线上，请根据以上数据估算大树的高度．（结果保留一位小数，参考数据：，，）   31.（25-26·陕西模拟）如图，为的外接圆，为的直径，与相切于点，交的延长线于点，是上一点，，连接，，． （1）求证：； （2）若，求的长．   32.（25-26·陕西模拟）如图，某市在公园设计了一块花卉展览区域，该花卉区域由抛物线与抛物线围成，为隔离带，与所围区域为花卉区，在与所围区域内修建一个矩形，作为赏花打卡点，用于游客赏花，摄影等，其他区域为草坪，点，在上（点在点左侧），点，在抛物线上，以点为坐标原点，所在直线为轴，过点垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，其中米，抛物线的最高点到的距离为12米，与关于轴对称． （1）求抛物线的表达式； （2）若修建矩形时，要求，请问是否存在这样的矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．   33.（25-26·山东模拟）计算及化简求值： （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中．   34.（25-26·山东模拟）如图，在中，，分别为的中点，，垂足为，点在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求和的长．   35.（25-26·山东模拟）如图，是的切线，点为切点，以为边作平行四边形，点，均在上，连接，圆心在上． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积．   36.（25-26·山东月考）在平面直角坐标系中，二次函数 的图象经过点（1，3） （1）求二次函数的的表达式； （2）将抛物线 向下平移 t个单位后与 x轴交于 P、Q两点，若线段 PQ > 6，求 t的取值范围； （3）若定义：当 m≤x≤n在抛物线的对称轴同一侧，且满足 m≤y≤n时，称 m≤x≤n为二次函数的黄金区间.请问该二次函数是否存在黄金区间？若存在，请求出黄金区间，若不存在，请说明理由. 参考答案与试题解析 2025年-2026年贵州黔西南中考数学押题（优质36题） 一、 单选题（本题共计 17 小题 ，每题 3 分 ，共计51分 ） 1. 【答案】 B 【考点】 对顶角相等 多边形内角和问题 正多边形的内角问题 【解析】 本题考查的是对顶角的性质，多边形和正多边形的内角和，熟练掌握正多边形每个内角的求解公式是解题的关键．先根据正多边形每个内角为，得到正六边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案． 【解答】 解：如图， 正六边形与正方形的两邻边相交， ，， ，，， ， ， 故选：． 【点评】 此题暂无点评 2. 【答案】 D 【考点】 两直线平行内错角相等 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 根据三角形中线求长度 【解析】 取 AF的中点 G，连接 DG，利用三角形中位线定理得到 DG BC且 ，再证明 （ASA），得到 从而求出BF的长，即可得到BC的长. 解：如图，取 AF的中点 G，连接 DG， 是AB边上的中线， 为AB中点， 为AF中点， 是 的中位线， ， 是CD的中点， 在 和 中， （ASA）， AB ①以上部分内容由AI生成 【解答】 此题暂无解答 【点评】 此题暂无点评 3. 【答案】 C 【考点】 直角三角形斜边上的中线 根据旋转的性质求解 线段问题(轴对称综合题) 特殊角的三角函数值的相关计算 【解析】 由勾股定理可得AC=2，由锐角三角函数可得 ，由直角三角形的性质得OB=OA=OC=1，当OP BC时，OP最小，过O作OD BC于D，可得 OD=OC ，即得OP+OB的最小值，可判断 ① ；作点A关于直线BC的对称点A，连接AO交BC于P，此时AP+OP最小，以点B为原点建立平面直角坐标系，则 ，可得 利用勾股定理求出 AO，可判断 ② ；过点E作 EH BC的延长线于点H 可得 ，当 时， 取最大值1，可判断 ③；过点C作 CG BO的延长线于点G，利用三角形的面积可得 CG 由 h≤CG+CE=2+ 可得 的最大值，可判断 【解答】 解：在 中， ，AB=1，BC ：O为AC中点， . 为定值， 当OP BC时，OP最小， 如图，过O作 OD BC于D， OC 如图，作点A关于直线BC的对称点 ，连接 交BC于P，此时 最小， ①正确； 以点B为原点建立平面直角坐标系，则 ， ，A（0，1），A（0,-1） 点O为AC的中点， ②正确； 过点E作 的延长线于点H 则 当 时， 取最大值1, 面积最大值为 ③正确； 设h为点E到直线OB的距离，则 过点C作CG BO，交BO的延长线于点G， ④错误. 正确的结论有3个 ①以上部分内容由AI生成 【点评】 此题暂无点评 4. 【答案】 D 【考点】 添加条件使三角形全等 【解析】 根据全等三角形的判定方法进行判断即可. 【解答】 解：， ， ， 当 时，AAS可以判定 ； 当 时，则 ，ASA可以判定 ； 当 时，SAS可以判定 ； 当 时，SSA无法判定 . 【点评】 此题暂无点评 5. 【答案】 C 【考点】 列举法求概率 【解析】 利用列举法求概率即可. 【解答】 解：由题意，小红连续点击两次按钮，共有4种等可能的结果，其中到达格子K的结果只有1种，故. 【点评】 此题暂无点评 6. 【答案】 B 【考点】 与三角形中位线有关的求解问题 由平行截线求相关线段的长或比值 相似三角形的性质与判定 勾股定理的应用 【解析】 由勾股定理得 ，由平行线等分线段定理得 ，即得 为 的中位线，得到 ，即得到 ，又由 得 ，进而由 解答即可求解. 【解答】 解： , , , , , 为 中点， ，即点 是的中点， 为 的中位线， , , , , , , . 【点评】 此题暂无点评 7. 【答案】 A 【考点】 解直角三角形的相关计算 正多边形的内角问题 相似三角形的性质与判定 轴对称中的光线反射问题 【解析】 延长QP、CB交于点G，作 于点H， 于点I，由正六边形的性质及等腰三角形的判定与性质得到CH=HG，设BG=a，再由正六边形的性质得到相应边与角度，在Rt 中，由三角函数求出PI和BI长度，连接EC，证明EQHC是矩形，得到EQ=CH，过点D作DK ，由等腰三角形性质，解直角三角形得到 ，最后利用 的性质列式求参数 即可得到答案. 【解答】 解：延长QP、CB交于点G，作QH 于点H，PI 于点I，如图所示： G 则 在正六边形ABCDEF中，EF CH，则QH EF， 由反射光线的性质可知 即 设BG=a，则GC=a+8, 六边形ABCDEF为正六边形， 是AB中点， 在Rt 中， 在正六边形ABCDEF中， ，DE=DC， 四边形EQHC是矩形， 过点D作DK EC，如图所示： 在Rt 中， ，则 解得 由等腰三角形三线合一性质可知DK平分 ，且DK是边EC上的中线， 【点评】 本题核心是光的反射的几何转化（等腰三角形）、正六边形的性质、相似三角形的应用，通过构造辅助线将反射问题转化为相似求解，关键是反射的对称性质与相似比例的应用. 8. 【答案】 C 【考点】 中心对称图形 【解析】 根据中心对称图形的概念和各图特点作答 【解答】 解：、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转度以后，能够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．不符合题意； 、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转度以后，能够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．不符合题意； 、是中心对称图形，符合题意； 、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转度以后，能够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．不符合题意． 故选． 【点评】 掌握中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 9. 【答案】 C 【考点】 求两个位似图形的相似比 【解析】 根据位似图形的概念列出比例式，代入数据计算即可. 【解答】 解：两个五角星是位似图形，位似比为3:5， ，即 ， 解得： . 【点评】 此题暂无点评 10. 【答案】 A 【考点】 求一次函数解析式 【解析】 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，根据一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，列方程组计算即可；熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是关键。 【解答】 解： 一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ， 解得 该函数的表达式为 故选：B. ``` 【点评】 此题暂无点评 11. 【答案】 C 【考点】 一次函数的实际应用——其他问题 二次函数的应用——图形问题 等边三角形的性质与判定 利用菱形的性质证明 【解析】 本题考查二次函数的应用，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，关键是对这些知识的掌握和运用． 设，根据菱形和矩形的性质，求出与、与的函数解析式，从而得出结论． 【解答】 连接对角线，，交于点，如图： 根据菱形和矩形都是中心对称图形可得： ， ， ，， 是等边三角形， ， 设，则， 四边形是菱形，， ， ， ， ， ， ， 与满足一次函数关系； ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 与满足二次函数关系； 故选：． 【点评】 此题暂无点评 12. 【答案】 D 【考点】 利用垂径定理求值 勾股定理的应用 【解析】 根据垂径定理得出 米，设桥洞的半径为r，则： 米，根据勾股定理列出关于r的方程，解方程即可. 【解答】 解： （米）， 设桥洞的半径为r，则： 米， 根据勾股定理得： 即 解得：r=5， 即桥洞的半径为5米. ①以上部分内容由AI生成 【点评】 此题暂无点评 13. 【答案】 C 【考点】 二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质 已知抛物线上对称的两点求对称轴 【解析】 根据抛物线对称轴的两种计算方法列式子求出a的值，进而根据抛物线图象的性质分析n的取值范围. 【解答】 解： 抛物线与x轴交于点，， 抛物线对称轴为：直线， 解得：， 抛物线表达式为：， ， 抛物线开口向下， ，， 当 时，取最大值，， 当 时，取最小值，， ． 【点评】 此题暂无点评 14. 【答案】 A 【考点】 古代问题(二元一次方程组的应用) 【解析】 本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设清酒x斗，醑酒y斗，根据一共有5斗酒可得方程x+y=5，根据一共有30斗谷子可得方程10x+3y=30，据此建立方程组即可得到答案. 【解答】 解；设清酒x斗，醑酒y斗， 由题意得， 故选：A. 【点评】 此题暂无点评 15. 【答案】 A 【考点】 利用垂径定理求值 利用弧、弦、圆心角的关系求解 勾股定理的应用 【解析】 本题考查了垂径定理及其推论，弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键. 先证 ，进而得出 DF=AC=12，由垂径定理得EF ，再用勾股定理解Rt 即可.【详解】解： 点D是 的中点， 如图，连接 ，设 O的半径为r，设 在Rt 中，由勾股定理得 解得 . 故选：A. 【解答】 此题暂无解答 【点评】 此题暂无点评 16. 【答案】 C 【考点】 从函数的图象获取信息 判断一次函数的图象 【解析】 本题考查了函数的图象与性质，一次函数图象，解题的关键是数形结合结合函数图象逐个分析即可. 【解答】 由图象可得， 当 y > 0时，-2 < x < 3或x < -4，故 ①错误； 当 时，y随x的增大而增大；故 ②正确； 点M在一次函数 的图象上， 如图所示， 由图象可得，有3个交点 点M(m,m+2)在此函数图象上，则符合要求的点有3个，故 ③错误； 函数经过点（-2，0) 将函数图象向右平移2个或4个单位长度，经过原点（0，0），故 ④正确. 综上所述，上述结论中，所有正确结论的序号是 故选：C. 【点评】 此题暂无点评 17. 【答案】 D 【考点】 作图—复杂作图 正方形的性质 坐标与图形性质 角平分线的性质 【解析】 此题暂无解析 【解答】 D 【点评】 此题暂无点评 二、 填空题（本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ） 18. 【答案】 【考点】 圆周角定理 求弧长 【解析】 本题考查了弧长的计算和圆周角定理，根据圆周角的性质，计算出弧所对的圆心角度数，按照公式求出弧长即可． 【解答】 解：如图，连接， ． ， ， 弧的长为． 故答案为：． 【点评】 此题暂无点评 19. 【答案】 【考点】 含30度角的直角三角形 求其他不规则图形的面积 勾股定理的应用 【解析】 过点A作 于点F，根据 所对的直角边是斜边的一半，求出AF的长，根据勾股定理求出BF的长，根据等腰三角形三线合一，求出 BC长，即可求出 的面积，根据阴影部分的面积为2（ 即可求解. 【解答】 解：如图，过点A作 于点F， AB=AC, 【点评】 此题暂无点评 20. 【答案】 16 【考点】 反比例函数综合题 待定系数法求反比例函数解析式 全等的性质和SSS综合（SSS） 勾股定理的应用 【解析】 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据根据 ，得 ，求出 连接OC，作CH 轴于点H，容易证明 ，可得 ，从而可得OH=HC，在 中，由勾股定理求出HC=OH=4，即可得到点C（4，4），代入 即可求出答案. 【解答】 解：如图，连接OC，作CH 轴于点H， 点A(1,0)，点B(0,1), 又 设 解得： （不合题意舍去） 点C(4,4), 点C为反比例函数 图象上的一点， 故答案为：16. 【点评】 此题暂无点评 21. 【答案】 5 【考点】 与三角形中位线有关的求解问题 解直角三角形的相关计算 等边三角形的性质与判定 利用菱形的性质求线段长 【解析】 考虑点E和点B重合以及点E和点C重合这两种特殊情况，分析得点G的运动轨迹为一条线段，连接AC、BD交于点O，则得点G的运动轨迹为 的中位线，结合菱形的性质和解直角三角形计算即可 . 【解答】 解：当点E和点B重合时， ，点F和点C重合，点G为BC的中点，如下图所示， (E) 当点E和点C重合时， ，点F和点D重合，点G为CD的中点，如下图所示， 因此点G的运动轨迹为一条线段，如下图所示， C(E) 连接AC、BD交于点O，如下图所示，则点G的运动轨迹为 的中位线， D(F) C(E) 四边形ABCD是菱形， $ AC、BD互相平分， ①以上部分内容由AI生成 【点评】 此题暂无点评 三、 解答题（本题共计 15 小题 ，每题 10 分 ，共计150分 ） 22. 【答案】 的值为1 【考点】 待定系数法求反比例函数解析式 解一元二次方程-因式分解法 一次函数与反比例函数的交点问题 【解析】 （1）将点 代入 ，得出点 坐标为 ．进而待定系数法求反比例函数解析式，即可求解； （2）根据题意得出 ，解方程结合函数图象取舍 的值，即可求解． 【解答】 （1）解：将点 代入 ，得 点 坐标为 ． 点 在 的图象上， 反比例函数的表达式为 ． （2），且 轴， ． 整理得， 解得，（舍去） 的值为1． 【点评】 此题暂无点评 23. 【答案】 证明见解析 【考点】 解直角三角形的相关计算 同弧或等弧所对的圆周角相等 半圆（直径）所对的圆周角是直角 切线的性质 【解析】 （1）由切线的定义可得出 ，由直径所对的圆周角等于 得出 ，由等边对等角得出 ，等量代换得出 ，由同弧所对的圆周角相等得出 ，进而可得出 ，由等角对等边得出EF=BF. （2）连接CF，先证明AF=BF=EF，设BF=EF=AF=x，则AE=2x，解直角三角形Rt 得出BE ，再证明 ，得出 ，进一步得出BC=2OB=2(OE+BE)，即 ，解出x即可求解. 【解答】 （1）证明： 为 的切线， 为 的直径， 又 （2）连接CF. AB为 O的切线， 设 BF = EF = AF = x ，则 AE = 2x. 在 Rt 中， AE = 2x, 为直径， 在 Rt 中， 解得 x = 3. 的长为 【点评】 本题主要考查了切线的定义，直径所对的圆周角等于 ，同弧所对的圆周角相等，解直角三角形的相关计算，等角对等边等知识，掌握这些性质是解题的关键. 24. 【答案】 见解析 96 【考点】 利用菱形的性质求面积 证明四边形是菱形 勾股定理的应用 【解析】 （1）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形AEBC是平行四边形，利用菱形的判定定理即可得到四边形AEBC是菱形； （2）利用勾股定理求得 ，再利用菱形的性质求解即可. 【解答】 （1）证明： ， 是AB边上的高线， 四边形AEBC是平行四边形， 是AB边上的高线，即 ， 四边形AEBC是菱形； （2）解： ， ， ， ， ， ， 菱形 的面积 【点评】 此题暂无点评 25. 【答案】 见解析 见解析 【考点】 作垂线(尺规作图) 求弧长 证明某直线是圆的切线 线段垂直平分线的性质 【解析】 （1）利用线段垂直平分线的尺规作图步骤画图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的两锐角互余得出 即可； （3）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出 ，根据弧长公式即可解决问题. 【解答】 （1）解：如图，直线EF即为所求： （2）证明：连接 是BD的垂直平分线， 是直角三角形， 是 O的半径， 是 O的切线； （3）解： 的长为 【点评】 本题考查了切线的判定，线段的垂直平分线的画法及性质，等边对等角，弧长公式，三角形的内角和定理等知识点，解题关键是掌握切线的判定方法，线段垂直平分线的性质. 26. 【答案】 ①a元；②ax + ay元 甲原料液成本：6元/毫升；乙原料液成本：8元/毫升 ①w = -2x + 1200 (50 ≤ x ≤ 75)；②甲取75毫升，乙取75毫升时，总成本最低，为1050元 【考点】 一次函数的实际应用——利润问题 列代数式 一元一次方程的应用——其他问题 用一元一次不等式解决实际问题 【解析】 （1）根据甲乙每毫升成本比为3:4，甲成本为a元/毫升，由比例得乙成本为a元/毫升；取x毫升甲、y毫升乙，即可得到总成本； （2）根据20毫升甲、30毫升乙总成本360元，列方程20a + 30 × a = 360，进行求解即可； （3）①根据题意得，甲用量x毫升，乙用量150 - x毫升，则可得到总成本为w = -2x + 1200，结合x ≥ 40、x ≤ y ≤ 2x，求出范围即可；②先判断出w随x增大而减小，再进行求解即可. 【解答】 （1）解：①because甲、乙每毫升成本比为3:4，甲为a元/毫升， 乙的成本为a元/毫升； ②because取用x毫升甲、y毫升乙， 总成本为ax + ay； （2）解：由题意得，20a + 30 × a = 360 60a = 360 解得a = 6， 甲原料液成本：6元/毫升；乙原料液成本：元/毫升； （3）解：①because甲用量为x毫升， 乙用量y = 150 - x毫升， 总成本w = 6x + 8y = 6x + 8(150 - x) = -2x + 1200， 甲用量不少于40毫升，即x ≥ 40；x ≤ y ≤ 2x，即x ≤ 150 - x ≤ 2x， 2x ≤ 150 解得x ≤ 75， 150 - x ≤ 2x 150 ≤ 3x 解得x ≥ 50， x的取值范围：50 ≤ x ≤ 75，函数关系式为w = -2x + 1200； ②because在函数w = -2x + 1200中，k = -2 < 0， w随x的增大而减小， 要使总成本最低， 取x的最大值x = 75， 此时，甲用量：75毫升；乙用量：150 - 75 = 75毫升， 最低总成本：w = -2 × 75 + 1200 = 1050元. 【点评】 本题核心是比例转化、一次函数最值与不等式约束，先通过比例表示乙成本，列方程求单价，再结合用量约束求函数定义域，利用一次函数单调性求最低成本. ``` 27. 【答案】 在无人机乙下降过程中，两架无人机在5秒时达到相同高度，相同高度为15米. 当 t=10秒时，最优垂直距离为 米. 【考点】 二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质 待定系数法求二次函数解析式 二次函数的应用——其他问题 【解析】 （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）联立相应函数解析式求解即可； （3）先运用待定系数法求得无人机乙下降过程中的函数解析式，然后列绝对值方程并分类讨论求解即可； （4）由乙无人机过（0，0）和 ，最高点纵坐标不变20，则 ；利用待定系数法可得 ，然后根据两架无人机的最大垂直距离 ，利用二次函数的性质可得 ，再利用二次函数的性质结合 求得 的最小值，即可解答. 【解答】 （1）解：由题意可知：无人机甲的飞行高度为二次函数，已知顶点 解：由题意可知：无人机中的飞行高度为二次函数，已知顶点 设顶点式 代入点O(0，0）得： ，解得： 所以 即 （2）解：由题意可知：无人机乙下降过程是一次函数，且经过顶点 B(20,0) 设无人机乙下降过程的函数解析式为： ，解得： 无人机乙下降过程的函数解析式为： 联立 ，解得： 或 （不合题意，舍去）； 在无人机乙下降过程中，两架无人机在5秒时达到相同高度，相同高度为15米. （3）解：垂直距离 ，分两段讨论： （3）解：垂直距离 ，分两段讨论： ①乙起飞段： 时，易得： $ d=\left|-\frac{1}{5} x^{2}+4 x-5 x\right|=\left|-\frac{1}{5} x^{2}-x\right|=\left|-\frac{1}{5}\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}+\frac{5}{4}\right|, \therefore x=-\frac{5}{2}, 令 解得： 或 令 ，解得： 或 如图，当 时，d随x的增大而增大， 时， 的最大值为 ②乙下降段： 时， 令 ，解得：x=5或x=20， 对称轴为 ， 如图：当 时， 当 时， 当 时， 则当10≤x≤20时， 则当 时， 时， （4）解：由乙无人机过 和 ，最高点纵坐标不变20， 设 ，顶点横坐标 ，代入顶点 ，解得： 令 ，解得： “最优垂直距离”指在时间x的取值范围为 ，最大垂直距离的最小值，且 两架无人机的最大垂直距离 抛物线开口方向向上，对称轴为 ，即当 时， 随t的增大而增大， 当 时， 有最小值 【点评】 此题暂无点评 28. 【答案】 9 【考点】 待定系数法求反比例函数解析式 求一次函数解析式 一次函数与反比例函数的交点问题 【解析】 （1）将点C（-1，2）代入直线解析式可求出b，把A(2,m)代入直线解析式可求出m，再代入 即可求出k； （2）过点A作AF x轴于点F，交BC于点E，利用反比例函数解析式先求出B点坐标，再由A、B、C三点坐标可求出 的底和高，最后利用三角形的面积公式即可求出面积. 【解答】 （1）解：将点 代入直线 ，得 一次函数的表达式为 把 代入 ，得 把 代入 ，得 反比例函数的表达式为 综上所述：一次函数的表达式为 ，反比例函数的表达式为 （2）解：如图，过点A作AF x轴于点F，交BC于点E， 点B（5,n）在反比例函数 的图象上， 轴， AE BC, 即AE=3, 【点评】 此题暂无点评 29. 【答案】 约61米 【考点】 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【解析】 延长EF交AB于M，根据题意得 CD=27米，设BD=ME=AM=x米，则 米，然后根据 ，即可列方程求解. 【解答】 解：延长EF交AB于M，则四边形BDEM为矩形， BD=ME, 根据题意得 ， 米， 设 米，则 米， 解得 经检验： 是原方程的根， 米， 答：“大蘑菇” AB的高度约为61米. 【点评】 此题暂无点评 30. 【答案】 大树HB的高度约为12.6米 【考点】 解直角三角形的应用-其他问题 【解析】 由题意可得 ，求得 ，再解直角三角形求得AG即可解答. 【解答】 解：根据题意可得 ， ， ， 米， 在 中， 米， 米， 答：大树HB的高度约为12.6米. 【点评】 此题暂无点评 31. 【答案】 见解析 【考点】 解直角三角形的相关计算 半圆（直径）所对的圆周角是直角 勾股定理的应用 切线的性质 【解析】 （1）根据圆周角定理以及切线的性质即可求证； （2）连接BE，设BD=3x，AB=4x，则 ，再由 ，可得 从而得到AB= ，根据 ，可得AC= ，即可求解. 【解答】 （1）证明： 为 O的直径， ， 与 相切于点B， 即 （2）解：如图，连接BE， 为 O的直径， 可设 BD=3x，AB=4x， AD 【点评】 此题暂无点评 32. 【答案】 存在，点C的坐标为 【考点】 二次函数的应用——其他问题 【解析】 （1）根据题意得：点A(12, 0)，抛物线 的顶点坐标为 ，设抛物线 的解析式为 ，再把A(12, 0)代入即可求解； （2）求出抛物线 的解析式为 ，设B(m, 0)，则点 ， ，可得 ， ，再根据BC：CD = 3:2，列出方程，即可求解. 【解答】 （1）解：根据题意得：点A(12, 0)，抛物线 的顶点坐标为 ， 设抛物线 的解析式为 ， 把点A(12, 0)代入得： ， 解得： ， 抛物线 的解析式为 ; （2）解：存在， 与关于x轴对称， 抛物线 的顶点坐标为 ， 抛物线 的解析式为 ， 抛物线 的对称轴为直线 ， 设B(m, 0)，则点 ， ， ， ， ， ， 整理得： ， 解得： ， （舍去）， 此时点C的坐标为 . ``` 【点评】 此题暂无点评 33. 【答案】 【分析】 (1) 先利用绝对值、二次根式的性质、负整数次幂、特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可； (2) 先利用分式的混合运算法则化简，然后将 代入求值即可。 【详解】 (1) 解： ． (2) 解： ． 当 时，原式 . 【考点】 分式的化简求值 负整数指数幂 二次根式的加减混合运算 特殊角三角函数值的混合运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【点评】 此题暂无点评 34. 【答案】 见解析 【考点】 证明四边形是矩形 解直角三角形的相关计算 勾股定理的应用 与三角形中位线有关的证明 【解析】 （1）由三角形中位线定理可得，即，则可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是矩形； （2）求出，解得到，则；由线段中点的定义可得；过点作于，解得到，则，再利用勾股定即可求出的长． 【解答】 （1）解：证明：，分别为的中点， 是的中位线， ，即， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是矩形； （2）解：， ； ， ， 在中，，， ， ； 点为的中点， ； 如图所示，过点作于， 在中，， ， 在中，由勾股定理得． 【点评】 此题暂无点评 35. 【答案】 见解析 【考点】 利用平行四边形的性质求解 切线的判定与性质 求其他不规则图形的面积 【解析】 （1）连接交于点，利用切线的性质和平行四边形的性质得出相等的角和边，证明，即可得出结论； （2）延长交于点，根据条件证明垂直平分，得到，证明是等边三角形，利用锐角三角函数得出，然后利用作差法进行求解即可． 【解答】 （1）解：证明：如图，连接交于点． 是的切线， ，即． 四边形是平行四边形， ． ， ． 又， ，     ， 是的切线； （2）解：如图，延长交于点， ， 又， ， 垂直平分， 由可得，， 平行四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ，      由知，， ， ． 【点评】 此题暂无点评 36. 【答案】    t>11 存在黄金区间 【考点】 待定系数法求二次函数解析式 二次函数图象与几何变换 二次函数综合题 【解析】 此题暂无解析 【解答】 （1）解： 二次函数 的图象经过点(1,3), ，解得 a=2， 二次函数表达式为 （2）解：将抛物线向下平移4个单位后二次函数表达式为 当 x=5时， 解得 t>11. （3）解：存在黄金区间，分两种情况讨论： 根据题意， ①当区间在对称轴右侧，即 m≥2时，y随着 x的增大而增大， 当 x=m时， y=m；当 x=n时， y=n， 令 ，整理得 解得 x=2或 x=3， n=3， 此时区间 在对称轴右侧，满足条件； ②当区间在对称轴左侧，即 n≤2时，y随着 x的增大而 当 x=m时， y=n；当 x=n时， y=m， 即 两式相减得 整理得 只能 m+n=3，即 n=3-m， 将 n=3-m代入 ，得 整理得 方程无实根，左侧不存在黄金区间； 综上，该二次函数的黄金区间为 【点评】 此题暂无点评 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $