等比数列 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦等比数列核心考点，依据高考评价体系梳理了定义、通项公式、前n项和、性质应用等考查维度，通过近五年真题及模拟题分析，明确了性质应用（占比35%）、前n项和公式（占比30%）等高频考点，构建了完整的题型训练体系。 课件亮点在于“真题解析+技巧提炼+素养培养”的备考策略，如以2024年全国甲卷解答题为实例，深入剖析前n项和与通项关系的推理方法，培养学生的数学思维和运算能力。特设“易错点警示”和“新定义题型建模”模块，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准指导，提升复习效率。

等比数列 一、单项选择题 1.等比数列{an}中,a2=1,a5=8,则a7=(　　) A.32 B.24 C.20 D.16 基础过关 设公比为q,由题意得则a1=,q=2,所以a7=×26=32. 解析 2.(2026·德州模拟)在各项均为正数的等比数列{an}中,a2a5=16,则log2a3+log2a4=(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 因为数列{an}为等比数列,且a2a5=16,所以a2a5=a3a4=16,所以log2a3+ log2a4=log2(a3a4)=log216=log224=4,故选C. 解析 3.若{an}是无穷数列,则“{an}为等比数列”是“{an}满足anan+3= an+1an+2(n∈N*)”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 若{an}为等比数列,n+(n+3)=(n+1)+(n+2),则运用等比数列性质得anan+3=an+1an+2(n∈N*);若anan+3=an+1an+2(n∈N*),则{an}可以为全部为0的常数列,不能说它是等比数列.故“{an}为等比数列”是“{an}满足anan+3=an+1an+2(n∈N*)”的充分不必要条件. 解析 4.(2026·哈尔滨模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若=,则=(　　) A. B.8 C.9 D.16 设等比数列{an}的公比为q,由=,得S6-S3=3S3,则q3==3,又Sn为{an}的前n项和,则S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等比数列,公比为q3=3,于是S12=S3+(S6-S3)+(S9-S6)+(S12-S9)=S3+3S3+32S3+33S3=40S3,所以= =8. 解析 5.(2026·石家庄模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,数列{Sn+2-Sn}(n∈N*)不是等比数列,则S2 026=(　　) A.0 B.2 C.2 026 D.4 052 设等比数列{an}的公比为q,则Sn+2-Sn=an+1+an+2=an+1(1+q),若q=-1,则Sn+2-Sn=an+1(1+q)=0,此时,数列{Sn+2-Sn}(n∈N*)不是等比数列,符合题意;若q≠-1,则对任意的n∈N*,有an≠0,==q,此时,数列{Sn+2-Sn}(n∈N*)是等比数列,不符合题意.综上所述,q=-1,所以 S2 026===0. 解析 6.已知{an}是等比数列,则下列数列一定是等比数列的是(　　) A.{kan}(k∈R) B.{an+an+1} C.{an+1} D.{an+an+1+an+2} 设等比数列{an}的公比为q.当k=0时,kan=0,数列{kan}不是等比数列;当q=-1时,an+an+1=0,数列{an+an+1}不是等比数列;当an=-1时,an+1=0,数列{an+1}不是等比数列;因为==q,所以由等比数列的定义可知,数列{an+an+1+an+2}是等比数列.故选D. 解析 二、多项选择题 7.已知各项均为正数且递减的等比数列{an}满足a3,a4,2a5成等差数列.其前n项和为Sn,且S5=31,则(　　) A.an= B.an=2n-3 C.Sn=32- D.Sn=2n-4-16 由a3,a4,2a5成等差数列,得3a4=a3+2a5,设{an}的公比为q,则2q2-3q+1=0,解得q=或q=1,又因为{an}递减,所以q=,所以S5==31,解得a1=16,所以an=16·=,所以Sn==32-.故选AC. 解析 8.已知等比数列{an}的各项均为正数,a1=20,2a6+a5-a4=0,数列{an}的前n项积为Tn,则(　　) A.数列{an}单调递增 B.数列{an}单调递减 C.Tn的最大值为T5 D.Tn的最小值为T5 设等比数列{an}的公比为q,因为2a6+a5-a4=0,所以2a4q2+a4q-a4=0.因为a4>0,所以2q2+q-1=0,解得q=或q=-1(舍去).所以数列{an}单调递 解析 减,A错误,B正确.因为数列{an}单调递减,且各项均为正数,所以数列{an}的前n项积Tn有最大值,无最小值,D错误.若Tn取最大值,则又n∈N*,所以n=5,即Tn的最大值为T5,C正确. 解析 三、填空题 9.已知等比数列{an}为递增数列,且a3+a7=3,a2a8=2,则=　　.  由题意得,a3a7=a2a8=2,可知a3和a7是一元二次方程x2-3x+2=0的两个根,且a3<a7,解得a3=1,a7=2,可得q4==2,所以=q4=2. 解析 2 10.(2026·泰州模拟)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若S4=10S2,则的值为　　　　.  解法一:设{an}的公比为q(q>0),易知当q=1时,不符合题意,故q≠1,因为S4=10S2,所以=10·,得q=3,所以== =91. 解析 91 解法二:等比数列{an}中,S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,则(S4-S2)2=S2(S6-S4),又S4=10S2,Sn>0,所以S6-10S2=81S2,所以S6=91S2,所以=91. 解析 11.已知一个等比数列的项数是偶数,其奇数项之和为1 013,偶数项之和为2 026,则这个数列的公比为　　.  解法一:若等比数列{an}的项数为2n,则==q=2.所以这个数列的公比为2. 解析 2 解法二:设该等比数列为{an},其项数为2n(n∈N*),公比为q,由题意易知q≠1,设奇数项之和为S1,偶数项之和为S2,易知奇数项组成的数列是首项为a1,公比为q2的等比数列,偶数项组成的数列是首项为a2,公比为q2的等比数列,则S1==1 013,S2==2 026,所以===2,即q=2.所以这个数列的公比为2. 解析 四、解答题 12.(2024·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和,已知2Sn=3an+1-3. (1)求{an}的通项公式; (1)因为2Sn=3an+1-3,所以2Sn+1=3an+2-3,两式相减可得2an+1=3an+2-3an+1,即an+2=an+1,所以等比数列{an}的公比为.因为2S1=3a2-3=5a1-3,所以a1=1,故an=. 解 (2)求数列{Sn}的前n项和. (2)因为2Sn=3an+1-3,所以Sn=(an+1-1)=,设数列{Sn}的前n项和为Tn,则Tn=×-n=×-n-. 解 13.(2026·济南模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=且Sn=2an+1-3,令bn=. (1)求证:{an}为等比数列; (1)证明:由Sn=2an+1-3可得n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an+1-2an,即n≥2时, =,因为a1=,a1=2a2-3,所以a2=,则=,综上,=,n∈N*,所以{an}是首项和公比均为的等比数列. 解 (2)求使bn取得最大值时的n的值. (2)由(1)可得an=,所以bn=(n2+n),n∈N*,n≥2时, ==,令>1,可得2≤n<5,令<1,可得n>5,可知b1<b2<b3<b4=b5>b6>b7>…,综上,bn取得最大值时,n=4或n=5. 解 14.若数列{an}满足an+1=3an+2,则称{an}为“梦想数列”,已知数列为“梦想数列”,且b1=2,则b4=(　　) A.B. C. D. 素养提升 若为“梦想数列”,则有-1=3+2,即-1=-1,即=,且b1=2,所以数列{bn}是以2为首项,以为公比的等比数列.则b4=2×=,故选B. 解析 15.(2024·上海高考)等比数列{an}的首项a1>0,公比q>1,记In={x-y|x,y∈[a1,a2]∪[an,an+1]},若对任意正整数n,In是闭区间,则q的取值范围是　　　　.  [2,+∞) 显然等比数列{an}递增,不妨设x≥y,若x,y∈[a1,a2],则x-y∈[0,a2-a1],若x,y∈[an,an+1],则x-y∈[0,an+1-an],若x∈[an,an+1],y∈[a1,a2],则x-y∈[an-a2,an+1-a1],因为对任意正整数n,In都是闭区间,所以an-a2≤an+1-an,如图,又a1>0,所以qn-2qn-1+q≥0,即qn-2(q-2)+1≥0,对任意正整数n,上式都成立,则必有q≥2. 解析 16.若数列{an}中存在三项,按一定次序排列构成等比数列,则称{an}为“等比源数列”. (1)已知数列{an}为4,3,1,2,数列{bn}为1,2,6,24,分别判断{an},{bn}是否为“等比源数列”,并说明理由; (1){an}是“等比源数列”,{bn}不是“等比源数列”.{an}中“1,2,4”构成等比数列,所以{an}是“等比源数列”;{bn}中“1,2,6”,“1,2,24”, “1,6,24”,“2,6,24”均不能构成等比数列,且这四者的其他次序也不构成等比数列,所以{bn}不是“等比源数列”. 解 (2)已知数列{cn}的通项公式为cn=2n-1+1,判断{cn}是否为“等比源数列”,并说明理由. (2){cn}不是“等比源数列”.理由如下:假设{cn}是“等比源数列”,因为{cn}是单调递增数列,即{cn}中存在cm,cn,ck(m<n<k)三项成等比数列,也就是=cmck,即(2n-1+1)2=(2m-1+1)·(2k-1+1),22n-2+2n=2m+k-2+2m-1 +2k-1,两边同时除以2m-1,得22n-m-1+2n-m+1=2k-1+1+2k-m,等式左边22n-m-1 +2n-m+1为偶数,等式右边2k-1+1+2k-m为奇数.所以原等式不成立,所以cm,cn,ck不成等比数列,所以数列{cn}不是“等比源数列”. 解 $