2026年高考数学信心跃升卷02（全国二卷通用）

**基本信息** 立足高考命题趋势，融合社会热点（重庆呆呆事件）、文化传承（四大名著）与科技情境（智能养老），通过基础巩固、能力提升、创新应用的分层设计，考查数学抽象、逻辑推理与数据观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数、集合、数列、三角函数、概率|第6题借四大名著借阅考分步计数原理，渗透文化传承| |多选|3/18|统计图表、立体几何、函数性质|第9题以热点事件频率分布直方图考查数据处理| |填空|3/15|直线与圆、排列组合、向量|第13题兴趣课选课结合实际场景考组合应用| |解答|5/77|数列、立体几何、椭圆、统计案例、导数|第18题智能养老设备调查考独立性检验与期望，体现数学语言表达现实世界|

2026年高考数学信心跃升卷02（全国二卷通用） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数的虚部为0，则实数（    ） A． B． C．－2 D．2 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．已知等差数列的前项和为，，则（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 4．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 5．设，则（   ） A．1 B． C． D．2 6．四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产.在学校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》、《西游记》（每种名著至少有5本），若每人只借阅一本名著，则不同的借阅方案种数为（    ） A．24 B．120 C．625 D．1024 7．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，点在抛物线上，轴，垂足为.若，则（   ） A． B． C． D． 8．设函数，若关于x的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．2026年1月，重庆合川区女孩“呆呆”（网名）在社交平台发布求助视频，邀请网友帮忙“按猪”，承诺以刨猪汤答谢，结果意外走红.合川区某机构为了解各年龄层对这次“重庆呆呆刨猪汤”的关注程度，随机选取了100名年龄在内的市民进行调查，并绘制出如图所示的频率分布直方图，则（每组数据以区间的中点值为代表）（   ） A． B．所调查市民年龄众数的估计值为40 C．所调查市民年龄的第75百分位数的估计值为42.5 D．所调查市民的平均年龄约为34.5岁 10．如图，在正方体中，，分别是和的中点，则（    ） A．平面ABCD B． C．三棱锥的体积是正方体体积的 D．异面直线与所成角的余弦值为 11．已知函数，则（    ） A．当时，在处的切线斜率为 B．当时，最大值为 C．当时，在定义域上单调递减 D．当时，存在一个极大值点和一个极小值点 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线与圆相交于两点，则的最大值为_________． 13．某学校在新学期增设了“围棋”“象棋”“篮球”“乒乓球”和“羽毛球”这5种兴趣课，小胡和小张两位同学商量每人选报2门兴趣课，若两人所选的兴趣课至多有一门相同，且小胡必须选“围棋”这门兴趣课，则两位同学不同的选课方案有______种.（用数字作答） 14．已知点是三角形ABC的重心，过点的直线分别交边于点，设，，则__________；若，则的最小值是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知数列的前项和满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 16．（15分）如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，四边形为菱形，，三棱柱的体积为3．    (1)证明：平面平面； (2)若为棱的中点，求平面与平面的夹角的正切值． 17．（15分）在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点. (1)求椭圆的离心率； (2)直线：与椭圆交于不同的两点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，求的值. 18．（17分）科技进步催生了大批智慧养老科技产品．在某养老服务中心，室内、、物联网等智能设备，精准对接老年人多样化健康养老需求．该中心配备有多台摄像机，通过智能分析，辅助发现老人异常行为状态，产生预警信息并实时推送至护理站，及时对老人进行救助．为防止老人摔倒，在房间内还铺设有智能地板，一旦出现特殊情况，地板就会立即报警．在该中心所在地区随机抽取200名70岁以上的老人进行问卷调查，得到如下列联表： 智能设备 摔倒 合计 发生 未发生 使用 8 m 100 未使用 n 68 合计 200 (1)求m，n的值，并依据小概率值的独立性检验，分析使用智能设备是否能有效预防摔倒的发生？ (2)在参与问卷调查发生摔倒的老人中，按是否使用智能设备进行分层，采用样本量比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取5人作进一步调查，再从这5人中随机抽取2人进行面谈，记这2人中未使用智能设备的人数为X，求X的数学期望及方差． 附：，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 19．（17分）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高考数学信心跃升卷02（全国二卷通用) (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知复数(2+i)(a-i)的虚部为0，则实数a=() A月 B.月 C.-2 D.2 2.己知集合A={xx2-4≤0}，B={x0<x-1<1},则A∩B=() A.[-2,2] B.(2,4] C.(1,2) D.[1,2] 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2-a+a4=3,则S,=() A.10 B.15 C.20 D.25 4.已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(4，-3)，则 sima+4)(） A.7V2 B.7N2 D. 2 10 10 10 10 5.设AB=(1,1),AC=V5,AB·BC=0,则BC=() A.1 B.2 C.√5 D.2 6.四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产在学校举行的“文学名著 阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》、 《三国演义》、《水浒传》、《西游记》（每种名著至少有5本），若每人只借阅一本名著，则不 同的借阅方案种数为() A.24 B.120 C.625 D.1024 7.在平面直角坐标系xOy中，抛物线E:y2=4x的焦点为F,点A在抛物线E上，ABLx轴， 垂足为B.若FB=2OF,则AB=() A.2 B.25 C.4 D.4W3 Inx ,x≥1 8.设函数f(x)= 若关于x的方程[f(x)门了+mf(x)-2m-4=0恰好有4个 -(x-1)3,x<1 不相等的实数解，则实数m的取值范围是() A.22 B（2--2 c.(2+2 D.() 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.2026年1月，重庆合川区女孩“呆呆”（网名）在社交 频率 T组距 平台发布求助视频，邀请网友帮忙“按猪”，承诺以刨猪汤 0.035 答谢，结果意外走红合川区某机构为了解各年龄层对这次 0.025 “重庆呆呆刨猪汤的关注程度，随机选取了100名年龄在 0.010 [10,60]内的市民进行调查，并绘制出如图所示的频率分布 直方图，则（每组数据以区间的中点值为代表）() 0102030405060年龄（岁） A.a=0.020 B.所调查市民年龄众数的估计值为40 C.所调查市民年龄的第75百分位数的估计值为42.5 D.所调查市民的平均年龄约为34.5岁 10.如图，在正方体ABCD-ABCD中，E,F分别是AD和B,C的中点，则() A.EFI∥平面ABCD O B.AC⊥BD C.三棱锥A-ABD的体积是正方体ABCD-ABCD体积的 D.异面直线4B与BC所成角的余弦值为y5 B6- 1.已知函数f()（a≥0吵，则() A.当a≠1时，f(x)在x=1处的切线斜率为-。 1 1 B.当a=0时，f(x)最大值为- C.当a>1时，f(x)在定义域上单调递减 D.当0<a<1时，f(x)存在一个极大值点和一个极小值点 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知直线1：mx+y-1=0与圆C:x2+y2-2x-4y=0相交于A,B两点，则CA+CE的最 大值为 13.某学校在新学期增设了“围棋象棋篮球“乒乓球”和“羽毛球”这5种兴趣课，小胡和 小张两位同学商量每人选报2门兴趣课，若两人所选的兴趣课至多有一门相同，且小胡必须 选“围棋这门兴趣课，则两位同学不同的选课方案有种.（用数字作答） 14.已知点G是三角形ABC的重心，过点G的直线分别交边AB,AC于点E,F,设AB=mAE, AC=nAF,则m+n= 一：若AB=6,BC=8B=行，则EF的最小值是一 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)己知数列{an}的前n项和Sn满足√Sn1=VSn+2,(n∈N),且a,=4. (I)求数列{an}的通项公式an: (2)记6，=1 ,求数列{bn}的前n项和Tn aan 16.(15分)如图，在三棱柱ABC-A,B,C中，△ABC是边长为2的等边三角形，四边形BCCB 为菱形，∠CBB=60°，三棱柱ABC-AB,C的体积为3. D A B (I)证明：平面ABC⊥平面BCC,B,; (2)若D为棱AC的中点，求平面CDB,与平面AB,D的夹角的正切值. 17.(15分)在平面直角坐标系xOy中，椭圆E的两个焦点分别是E(-1,0),F(1,0),并且 经过点9 (1)求椭圆E的离心率； (2)直线l:y=c-2与椭圆E交于不同的两点A,B. ()求k的取值范围： (i)若OA⊥OB,求k的值 18.(17分)科技进步催生了大批智慧养老科技产品.在某养老服务中心，室内AI、5G、 物联网等智能设备，精准对接老年人多样化健康养老需求.该中心配备有多台AI摄像机， 通过智能分析，辅助发现老人异常行为状态，产生预警信息并实时推送至护理站，及时对老 人进行救助.为防止老人摔倒，在房间内还铺设有智能地板，一旦出现特殊情况，地板就会 立即报警.在该中心所在地区随机抽取200名70岁以上的老人进行问卷调查，得到如下列 联表： 摔倒 智能设备 合计 发生 未发生 使用 8 m 100 未使用 n 68 合计 200 (1)求m,n的值，并依据小概率值α=0.001的独立性检验，分析使用智能设备是否能有效 预防摔倒的发生？ (2)在参与问卷调查发生摔倒的老人中，按是否使用智能设备进行分层，采用样本量比例分 配的分层随机抽样方法，从样本中抽取5人作进一步调查，再从这5人中随机抽取2人进行 面谈，记这2人中未使用智能设备的人数为X,求X的数学期望及方差。 附：x2= n(ad-be)2 其中n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) a 0.1 0.01 0.001 a 2.706 6.635 10.828 19.(17分)已知函数f(x)=alnr+号x+3 -(a≠0). 4 (I)讨论函数f(x)的单调性： (②)设g()=2x2-mc+二+(e=2.718为自然对数的底数，当a=-时，对任意 124 6 x∈[l,4],存在x,∈[山，©]，使g(x)sf(x),求实数m的取值范围. 2026年高考数学信心跃升卷02（全国二卷通用） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数的虚部为0，则实数（    ） A． B． C．－2 D．2 【答案】D 【详解】，虚部，解得． 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】集合，集合，则. 3．已知等差数列的前项和为，，则（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【详解】在等差数列中，，所以. 4．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数定义求出，再根据两角和的正弦公式即可求得答案. 【详解】由题意知角的终边经过点，则， 故,故选：D 5．设，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用向量模长的坐标表示以及垂直关系的向量表示，结合勾股定理计算即可. 【详解】由可得，又可得， 在三角形ABC中，由勾股定理可得，解得.故选：C 6．四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产.在学校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》、《西游记》（每种名著至少有5本），若每人只借阅一本名著，则不同的借阅方案种数为（    ） A．24 B．120 C．625 D．1024 【答案】D 【分析】根据分步乘法计数原理计算可得. 【详解】对于甲来说，有种借阅可能，同理，每人都有种借阅可能， 根据分步乘法计数原理可得共有种可能.故选：D 7．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，点在抛物线上，轴，垂足为.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由抛物线方程知：，，则，， 轴，，又在抛物线上，， . 8．设函数，若关于x的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将方程转化为两个方程或，再由函数图象数形结合可得所求范围. 【详解】由方程变形为， 所以或， 当时，，所以当时，；当时，. 所以函数在上有极大值也是最大值，此时. 画出图像如下：    由图可知与只有一个交点；所以与必有3个交点. 所以，解得.故选：B 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．2026年1月，重庆合川区女孩“呆呆”（网名）在社交平台发布求助视频，邀请网友帮忙“按猪”，承诺以刨猪汤答谢，结果意外走红.合川区某机构为了解各年龄层对这次“重庆呆呆刨猪汤”的关注程度，随机选取了100名年龄在内的市民进行调查，并绘制出如图所示的频率分布直方图，则（每组数据以区间的中点值为代表）（   ） A． B．所调查市民年龄众数的估计值为40 C．所调查市民年龄的第75百分位数的估计值为42.5 D．所调查市民的平均年龄约为34.5岁 【答案】ACD 【详解】对于A，由题可得，解得，故A正确：对于B，由频率分布直方图可知，年龄位于区间的频率最大，故所调查市民年龄众数的估计值为，故B错误； 对于C，设第75百分位数为，前3组的频率之和为，前4组的频率之和为，故第75百分位数在第4组，所以，解得，所以所调查市民年龄的第75百分位数的估计值为42.5，故C正确；对于D，所调查市民的平均年龄约为岁，故D正确. 10．如图，在正方体中，，分别是和的中点，则（    ） A．平面ABCD B． C．三棱锥的体积是正方体体积的 D．异面直线与所成角的余弦值为 【答案】ABC 【分析】建立空间直角坐标系，结合向量垂直的坐标表示判断AB；根据棱锥的体积公式判断C；利用向量夹角的运算判断D. 【详解】如图，以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，设棱长为1，则，，，，，，，，，. ，易知平面ABCD的法向量为，则， 又平面，故平面，故A正确； ，，则，故，故B正确；三棱锥的体积， 正方体的体积，所以，故C正确； ，，则， 所以异面直线与所成角的余弦值为，故D错误. 11．已知函数，则（    ） A．当时，在处的切线斜率为 B．当时，最大值为 C．当时，在定义域上单调递减 D．当时，存在一个极大值点和一个极小值点 【答案】ABD 【分析】求导，代入可判断A；利用导数研究函数单调性可判断B；举反例可判断C；利用零点存在定理结合函数单调性可判断D. 【详解】已知函数（），分析各选项如下： A选项：当时，在定义域内，求导得 代入得，故A正确； B选项：当时，，求导得 令得，当时，当时， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得最大值，且最大值为，B正确； C选项：当时，的定义域为， 由，，得在定义域上不单调递减， 故C错误；D选项：当时，函数的定义域为， 求导得，令， 分母，故的符号由分子决定， 先研究的单调性： 当时，，即在上严格递增； 当时，，即在上严格递减。 计算，由于，，故， 区间上的情况： 当时，， 又在上连续且严格递增，且， 故存在唯一的使得， 在上，，即，递减； 在上，，即，递增， 因此是的极小值点； 区间上的情况： 当时，， 又因为在上连续且严格递减，且， 故存在唯一的使得， 在上，，即，递增； 在上，，即，递减， 因此是的极大值点， 综上，当时，在定义域内存在一个极小值点和一个极大值点， 故D选项正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线与圆相交于两点，则的最大值为_________． 【答案】 【分析】先将圆的一般方程化为圆的标准方程得圆心的坐标，再求直线的定点坐标，设线段的中点为，得，进而得，最后利用两点间的距离公式即可求解. 【详解】由圆得：，所以， 又直线，令，得，即，所以直线过定点， 设线段的中点为，所以， 所以. 13．某学校在新学期增设了“围棋”“象棋”“篮球”“乒乓球”和“羽毛球”这5种兴趣课，小胡和小张两位同学商量每人选报2门兴趣课，若两人所选的兴趣课至多有一门相同，且小胡必须选“围棋”这门兴趣课，则两位同学不同的选课方案有______种.（用数字作答） 【答案】36 【详解】当小胡和小张两位同学所选的兴趣课恰有一门相同时： 当相同的兴趣课为“围棋”时，有种， 当相同的兴趣课不是“围棋”时，有种， 所以小胡和小张两位同学所选的兴趣课恰有一门相同时，共有24种. 当小胡和小张两位同学所选的兴趣课没有相同时，有， 所以两位同学不同的选课方案有 14．已知点是三角形ABC的重心，过点的直线分别交边于点，设，，则__________；若，则的最小值是_______. 【答案】 3 【分析】根据重心性质得到，进而，由共线定理得推论得到，并由余弦定理得到，，表达出，由基本不等式求出最小值. 【详解】点是三角形ABC的重心，故， 又，，所以， 又三点共线，故，解得， ，由余弦定理得 ，故， 由余弦定理得， 因为，，所以， 又，且，由基本不等式得，解得， 所以.故答案为：3， 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知数列的前项和满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列的通项公式可得，再由与的关系，即可得到结果； （2）由裂项相消法代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）， 当时，； 当时，，且满足上式，所以. （2） ， ， 数列的前项和为. 16．（15分）如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，四边形为菱形，，三棱柱的体积为3．    (1)证明：平面平面； (2)若为棱的中点，求平面与平面的夹角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，由已知得出，再根据体积求出点到平面的距离，即可得出平面，即可证明； （2）建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量公式及同角三角函数的关系求解即可． 【详解】（1）证明：取的中点，连接， 因为，所以为等边三角形， 因为为中点，所以，， 因为三棱柱的体积为3，设到平面的距离为， 所以，所以，则平面， 又平面，所以平面平面． （2）连接，由（1）知平面，又平面，所以， 因为为的中点，，所以，且， 所以两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴， 轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示）， 则，， 因为，所以，因为为的中点，所以，则， 设平面的一个法向量，则，即， 令，解得，故， 设平面的一个法向量，则，即， 令，解得，故， 设平面与平面的夹角为， 所以， 所以，所以．    17．（15分）在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点. (1)求椭圆的离心率； (2)直线：与椭圆交于不同的两点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，求的值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）由条件确定，再由椭圆的定义求得，即可求解； （2）（ⅰ）设，，联立直线椭圆方程，由判别式大于0即可求解； （ⅱ）结合韦达定理，由即可求解. 【详解】（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以设椭圆的标准方程为. 依题意可得，又， 所以，则. 故椭圆的标准方程为，则椭圆的离心率； （2）（ⅰ）设，.联立，整理得. 由，解得或. 即的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ）可得，，，（*） 则. 因为，所以，则得， 将（*）代入，可得.解得，满足.所以的值为. 18．（17分）科技进步催生了大批智慧养老科技产品．在某养老服务中心，室内、、物联网等智能设备，精准对接老年人多样化健康养老需求．该中心配备有多台摄像机，通过智能分析，辅助发现老人异常行为状态，产生预警信息并实时推送至护理站，及时对老人进行救助．为防止老人摔倒，在房间内还铺设有智能地板，一旦出现特殊情况，地板就会立即报警．在该中心所在地区随机抽取200名70岁以上的老人进行问卷调查，得到如下列联表： 智能设备 摔倒 合计 发生 未发生 使用 8 m 100 未使用 n 68 合计 200 (1)求m，n的值，并依据小概率值的独立性检验，分析使用智能设备是否能有效预防摔倒的发生？ (2)在参与问卷调查发生摔倒的老人中，按是否使用智能设备进行分层，采用样本量比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取5人作进一步调查，再从这5人中随机抽取2人进行面谈，记这2人中未使用智能设备的人数为X，求X的数学期望及方差． 附：，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】(1)，，认为使用智能设备能有效预防摔倒的发生 (2)X的期望；X的方差． 【分析】（1）本题先由列联表数据求出参数,设立独立性检验零假设,代入卡方公式计算值并与临界值比对,依据小概率值否定零假设,判定使用智能设备与预防摔倒有关； （2）再确定摔倒老人中使用和未使用智能设备的人数,明确随机变量的取值,用组合数求对应概率,进而计算出的数学期望与方差. 【详解】（1）由表中数据可得，． 智能设备 摔倒 合计 发生 未发生 使用 8 92 100 未使用 32 68 100 合计 40 160 200 零假设为：使用智能设备与有效预防摔倒的发生无关． 故根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为使用智能设备能有效预防摔倒的发生． （2）易知5名“发生摔倒”的老人中有1人使用智能设备，4人未使用智能设备， 故X的所有可能取值为1，2， ，，所以X的期望； X的方差． 19．（17分）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. (2) 【分析】（1）求导，分和两种情况讨论求解即可； （2）当时，结合（1）可知函数在上单调递减，可先将问题转化为对任意恒成立，设，，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】（1）由，， 则， ①当时，令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； ②当时，令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，， 由（1）知，函数在上单调递减， 而，，则时，， 对任意，存在，使， 即等价于恒成立，即， 所以对任意恒成立． 设，，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，则，即实数的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高考数学信心跃升卷02（全国二卷通用) (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.己知复数(2+i(a-i)的虚部为0，则实数a=() B. C.-2 D.2 【答案】D 【详解】(2+i)(a-i)=(2a+1)+(a-2)i,虚部a-2=0,解得a=2. 2.已知集合A={xx2-4≤0，B={x0<x-1<1},则A∩B=() A.[-2,2] B.(2,4] C.(1,2) D.[1,2] 【答案】C 【详解】集合A={xx2-4≤0=[-2,2]，集合B={x0<x-1<1}=1,2),则A∩B=(L,2): 3.己知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2-a+a4=3,则S,=() A.10 B.15 C.20 D.25 【答案】B 【详解】在等差数列{a,}中，4=2a,-a,=4-a,+a,=3,所以3，=54+a 2 =5a3=15 4.已知角“的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(4，-3)，则 sina+= ) A.-72 B.7V2 C.-2 D. √2 10 10 10 10 【答案】D 【分析】利用三角函数定义求出sina,cosa,再根据两角和的正弦公式即可求得答案 y 3 4 【详解】由题意知角a的终边经过点(4，-3)，则sina= V4+(-3) V4+(-3)25, 故sina+ -sinacos+cosasin=34 ,故选：D 4 4 4 5252 10 5.设AB=(1,1),AC=5,AB.BC=0,则BC=() A.1 B.√2 C. D.2 【答案】C 【分析】利用向量模长的坐标表示以及垂直关系的向量表示，结合勾股定理计算即可 【详解】由AB=(1,1)可得AB=V2,又ABBC=0可得AB⊥BC, 在三角形ABC中，由勾股定理可得A+BC=AC,解得BC=V5.故选：C 6.四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产.在学校举行的“文学名著 阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》、 《三国演义》、《水浒传》、《西游记》（每种名著至少有5本），若每人只借阅一本名著，则不 同的借阅方案种数为() A.24 B.120 C.625 D.1024 【答案】D 【分析】根据分步乘法计数原理计算可得。 【详解】对于甲来说，有4种借阅可能，同理，每人都有4种借阅可能， 根据分步乘法计数原理可得共有45=1024种可能.故选：D 7.在平面直角坐标系xOy中，抛物线E:y2=4x的焦点为F,点A在抛物线E上，ABLx轴， 垂足为B.若FB=2OF,则AB=() A.2 B.2V5 C.4 D.45 【答案】B 【详解】由抛物线方程知：F(1,0),OF=1,则FB=2OF=2,∴B(3,0), ~AB⊥x轴，x4=3,又A在抛物线E上，y=2V5, ∴AB=25 Inx ,x≥1 8.设函数f(x)= 若关于x的方程[f(x)了+mf(x)-2m-4=0恰好有4个 (x-1)3,x<1 不相等的实数解，则实数m的取值范围是() A. 22 B. 202 。+2 【答案】B 【分析】先将方程转化为两个方程f(x)=2或f(x)=-m-2,再由函数图象数形结合可得所 求范围 【详解】由方程[f(x]+mf(x)-2m-4=0变形为[f(x)-2][f(x)+m+2]=0, 所以f()=2或f(x)=-m-2, 当x≥1时，f(9=1-nx ，所以当x≥e时，f)s0:当1<<e时，>0. 所以函数在L,+)上有极大值也是最大值fe)=,此时0<f()s 画出图像如下： y=1 y=f(x) e 由图可知y=f(x)与y=2只有一个交点；所以y=f(x)与y=-m-2必有3个交点. 所以0<-m-2<1,解得-2-1<m<-2.故选：B e 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.2026年1月，重庆合川区女孩“呆呆”（网名）在社交平台发布求助视频，邀请网友帮忙 “按猪”，承诺以刨猪汤答谢，结果意外走红合川区某机构为了解各年龄层对这次“重庆呆呆 刨猪汤”的关注程度，随机选取了100名年龄在[10,60]内的市民进行调查，并绘制出如图所 示的频率分布直方图，则（每组数据以区间的中点值为代表）() 频串 组距 0.035 0.025 a-- 0.010 0102030405060年龄（岁） A.a=0.020 B.所调查市民年龄众数的估计值为40 C.所调查市民年龄的第75百分位数的估计值为42.5 D.所调查市民的平均年龄约为34.5岁 【答案】ACD 【详解】对于A,由题可得(0,010+0.025+0.035+a+0.010)×10=1,解得a=0.020,故A 正确：对于B,由频率分布直方图可知，年龄位于区间30,40)的频率最大，故所调查市民 年龄众数的估计值为30+40=35，故B错误： 2 对于C,设第75百分位数为1，前3组的频率之和为0.1+0.25+0.35=0.7<0.75，前4 组的频率之和为0.7+0.2=0.9>0.75，故第75百分位数在第4组，所以 (t-40)×0.02=0.75-0.7,解得t=42.5,所以所调查市民年龄的第75百分位数的估计值为 42.5,故C正确：对于D,所调查市民的平均年龄约为15×0.1+25×0.25+35×0.35+ 45×0.2+55×0.1=34.5岁，故D正确 10.如图，在正方体ABCD-ABCD中，E,F分别是AD和B,C的中点，则() A D B C B-… C A.EFI∥平面ABCD B.AC⊥BD C.三棱锥A-ABD的体积是正方体ABCD-4BCD体积的 6 D.异面直线4B与BC所成角的余弦值为5 【答案】ABC 【分析】建立空间直角坐标系，结合向量垂直的坐标表示判断AB;根据棱锥的体积公式判 断C利用向量夹角的运算判断D. 【详解】如图，以A为原点，AB,AD,AA分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设 棱长为1，则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A(0,0,1),B(1,0,1),C(1,1,1), ) EF=(1,0,0),易知平面ABCD的法向量为i=(0,0,1),则EF.m=0, 又EF丈平面ABCD,故EF∥平面ABCD,故A正确； E D B AC=(1,1,-1),BD=(-1,1,0),则AC.BD=0,故AC⊥BD, D B C 放B正确：三棱锥的体积三黄1=××1×1×1=名 正方体的体积正方体 -1111=1×1×1=1,所以上=名故C正确： 正方体一1111 4B=(L,0-),BC=(0,1-1）,则cos4a,BC-0+0+=1 √2x√22 所以异面直线4B与BC所成角的余弦值为；，故D错误 11.已知函数f(x)=nx(a≥0)，则() x-a A.当a≠1时，f(x)在x=1处的切线斜率为，1 1-a B.当a=0时，f(y)最大值为} C.当a>1时，f(x)在定义域上单调递减 D.当0<a<1时，f(x)存在一个极大值点和一个极小值点 【答案】ABD 【分析】求导，代入x=1可判断A;利用导数研究函数单调性可判断B:举反例可判断C: 利用零点存在定理结合函数单调性可判断D, 【详解】已知函数f()=hx(a≥0)，分析各选项如下： x-a 1-4-Inx A选项：当a1时，=1在定义域肉，求导得了)=一， 代入=1将了0号。放人痛： B选项：当a=0时，f(四)=，求导得f(x)=1-nr x2 令f'(x)=0得x=e,当0<x<e时f'(x)>0,当x>e时f'(x)<0, 故f(x)在(0，e)上单调递增，在(e,+o)上单调递减， 故f(x)在x=e处取得最大值，且最大值为f(e)=,B正确： C选项：当a>1时，f(x)的定义域为(0，a)U(a,+oo), 由了=0，f(2a)=血20>0=∫0，得/()在定义域上不单调递减， 故C错误：D选项：当0<a<1时，函数f()=nx的定义域为(0，aU(a,+), x-a 求导得(x)= x-a)-nx1-&-n,令g()=1-g-h 二 (x-a)2 (x-a)2 分母(x-02>0,故f'(x)的符号由分子g(x)=1-a-lnx决定， 先研克()的单调性：g)-是士产 当x<a时，g'(x)>0,即g(x)在(0，a)上严格递增： 当x>a时，g'(x)<0,即g(x)在(a,+oo)上严格递减。 计算g(a)=1-a-lna=1-1-lna=-lna,由于0<a<l,lna<0,故g(a)=-lna>0, 区间(0，a)上的情况： 当x→0时，g(x)=1-a-lnr<0, 又g(x)在(0，a)上连续且严格递增，且g(a)>0, 故存在唯一的x∈(0，a)使得g(x)=0, 在(0，x)上，g(x)<0,即f'(x)<0,f(x)递减： 在(x,a)上，g(x)>0,即f'(x)>0,f(x)递增， 因此x是f(x)的极小值点： 区间(a,+oo)上的情况： 当x→+o时，g(x)=1-a-nx<0, 又因为g(x)在(a,+o)上连续且严格递减，且g(a)>0, 故存在唯一的x2∈(a,+oo)使得g(x2)=0, 在(a,x)上，g(x)>0,即f'(x)>0,f(x)递增： 在(x2,+∞)上，g(x)<0,即f'(x)<0,f(x)递减， 因此x2是∫(x)的极大值点， 综上，当0<a<1时，f(x)在定义域内存在一个极小值点x,和一个极大值点2， 故D选项正确 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知直线1：mx+y-1=0与圆C:x2+y2-2x-4y=0相交于4，B两点，则CA+CE的最 大值为 【答案】2√2 【分析】先将圆的一般方程化为圆的标准方程得圆心C的坐标，再求直线1的定点坐标M, 设线段AB的中点为D,得CA+CB=2CD,进而得CA+CB=2CDs2CM,最后利用两 点间的距离公式即可求解。 【详解】由圆C:x2+y2-2x-4y=0得：（x-1)+(y-2)2=5,所以C(1,2), 又直线：mx+y-1=0,令x=0,得y-1=0,即y=1,所以直线l过定点M(0,1), 设线段AB的中点为D,所以CA+CB=2CD, 所以A+CB=|2cD=2Ds2M2V-0)+-1}=2边 13.某学校在新学期增设了“围棋象棋“篮球“乒乓球”和“羽毛球”这5种兴趣课，小胡和 小张两位同学商量每人选报2门兴趣课，若两人所选的兴趣课至多有一门相同，且小胡必须 选“围棋”这门兴趣课，则两位同学不同的选课方案有种.（用数字作答） 【答案】36 【详解】当小胡和小张两位同学所选的兴趣课恰有一门相同时： 当相同的兴趣课为“围棋时，有A?=12种， 当相同的兴趣课不是“围棋时，有CC=12种， 所以小胡和小张两位同学所选的兴趣课恰有一门相同时，共有24种。 当小胡和小张两位同学所选的兴趣课没有相同时，有C,C;=12, 所以两位同学不同的选课方案有24+12=36 14.已知点G是三角形ABC的重心，过点G的直线分别交边AB,AC于点E,F,设AB=mA正， AC=nAF,则m+n= :若AB=6BC=8B=子则正亦的最小值是 【答案】 16 3 3 【分析】根据重心性质得到恶-把+光，进面G-花+矿，由共线定理得推 3 3 3 3 论得到m+n3,并由余弦定理得到4C=23,csA,表达出亿，F。卫，由基 mn 本不等式求出最小值 【详解】点G是三角形ABC的重心，故花=B+汇， 3 又AB=mA正，AC=nAF,所以AG=AE+2AF, 3 2 又EFG三点共线，故兮+号-1，解得m+n=3, 1B=6BC=8B=子由余辣定理得 4C=48+8C-24B8Ccos骨=36+4-2x6x8×52,故4C=2E, 由余弦定理得cosA=4B+AC2-BC236+52-643 2AB·AC 2×6×21313 因为花=AB,AF=AC,所以正F-BAC=1Cc0s4=12 m mn n 又m+n=3,且m>0,n>0,由基本不等式得m+n=3≥2mn,解得mm≤4， .9 所以正亚品12号故答案为：5， mn 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知数列{an}的前n项和Sn满足VSn1=VSn+2,neN),且a=4. (I)求数列{an}的通项公式an: (2)记bn= 1 -,求数列{bn}的前n项和Tn andn+ 【答案】(1)an=8n-4 n 2Tm=16(2n+0 【分析】(1)由等差数列的通项公式可得Sn=4n，再由an与Sn的关系，即可得到结果； (2)由裂项相消法代入计算，即可得到结果 【详解】(1)VS=Va=2.S-√S.=2(neN)， .VSn=2+2(n-1)=2n..Sn=4n2. 当n=1时，a1=S1=4; 当n≥2时，an=Sn-Sm1=8n-4,且a,满足上式，所以an=8n-4. 1 1 1 1 (2)bn= anan+1(8n-4)(8n+4)16(2n-1)(2n+1) -x1 1）111) 162(2n-12n+132(2n-12n+11 Tn=b+b2+…+bn= ,11]=11 1 011+*2m-12m+i322mt 1 32335 16(2n+1) :数列亿，}的前n项和为16(2n+D n 16.(15分)如图，在三棱柱ABC-AB,C中，△ABC是边长为2的等边三角形，四边形BCCB 为菱形，∠CBB,=60°，三棱柱ABC-AB,C的体积为3. D B B (1)证明：平面ABC⊥平面BCC,B,: (2)若D为棱AC,的中点，求平面CDB,与平面AB,D的夹角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (28V3 9 【分析】(1)取BC的中点O,连接BO,由已知得出B,O=√3，再根据体积求出点B,到平 面ABC的距离，即可得出B,O⊥平面ABC,即可证明： (2)建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量公式及同角三角函数的关系求解即可， 【详解】(1)证明：取BC的中点O,连接BO, 因为BB=BC=2,∠CBB,=60°，所以△BCB,为等边三角形， 因为O为BC中点，所以B,O⊥BC,BO=√BB2-OB2=V22-1P=√5， 因为三棱柱ABC-ABC的体积为3，设B,到平面ABC的距离为h, 所以x2×2×5h=3,所以h=5,则B0⊥平面ABC, 又B,OC平面BCC,B,所以平面ABC⊥平面BCC,B,. (2)连接AO,由(1)知B,O⊥平面ABC,又AOc平面ABC,所以AO⊥BO, 因为O为BC的中点，AC=AB,所以AO⊥BC,且AO=V5, 所以OA,OB,OB两两垂直，以O为坐标原点，OA,OB,OB,所在直线分别为x轴， y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图所示）， 则AN5,0,0),B(01,0),B(0,0,5),C(0,-2,5),C(0,-1,0), 因为AA=BB=CC=(0,-1,5),所以A(3,-1,5),因为D为AC的中点，所以 设平面CDB的一个法向量方=(x,y,z),则 BD=0 3.3 .BC=0' 即2x-2y=0 -y-V3z=0 mBD=0 5.3 即2a- b=0 设平面AB,D的一个法向量m=(a,b,c),则 2 m·AB=0 -v3a+V3c=0 令a=5,解得b=1,c=√5，故m=(3,l,5), 设平面CDB,与平面ABD的夹角为O, 所以cosB=c0s<m,> -35 m阴×万， V31 所以sin0 35 所以tanB=8=8v5 3591 B 17.(15分)在平面直角坐标系xOy中，椭圆E的两个焦点分别是E(-1,0),F(1,0),并且 (1)求椭圆E的离心率； (2)直线I:y=x-2与椭圆E交于不同的两点A,B。 (i)求k的取值范围： (i)若OA⊥OB,求k的值. 【答案】0)5 2)(i) 6 6 3 【分析】(1)由条件确定c=1,再由椭圆的定义求得a=√3，即可求解： (2)(i)设A(x,y),B(x2,y2),联立直线椭圆方程，由判别式大于0即可求解： (ii)结合韦达定理，由OA·OB=xx2+yy2=0即可求解. 【详解】1少因为椭圆E的焦友在x转上，所以设椭圆E的标准方程为号+若=1口>办>0) 依题意可得c=1,又2a=PHPF-（)+ 所以a=V3,则b2=a2-c2=2 故椭圆E的标准方程为号+号=1，则椭圆的离心率e=S=5 32 a 3 [y=G-2 (2)(i)设A(x,乃)，B(x,).联立x2y21,整理得(2+3k2)x2-12c+6=0. =1 32 由△-(12-4x6×(2+32)>0,解得k<-5或k>6 3 即k的取值范围为 12k (ii)由(i)可得，x+x2 6 2+3k2’x 2+32,(*) 则y2=(x-2)x2-2)=k2xx2-2k(x+x2)+4. 因为0A10B,所以0A:0B=xx+y=0,则得(1+k2)xx2-2k(x+x)+4=0, 将（中）代入，可得6+心)24+4-0，解得k=士，满足A>0所以k的值为± 2+3k22+3k2 3 3 18.(17分)科技进步催生了大批智慧养老科技产品.在某养老服务中心，室内AI、5G、 物联网等智能设备，精准对接老年人多样化健康养老需求.该中心配备有多台AI摄像机， 通过智能分析，辅助发现老人异常行为状态，产生预警信息并实时推送至护理站，及时对老 人进行救助.为防止老人摔倒，在房间内还铺设有智能地板，一旦出现特殊情况，地板就会 立即报警.在该中心所在地区随机抽取200名70岁以上的老人进行问卷调查，得到如下列 联表： 摔倒 智能设备 合计 发生 未发生 使用 8 m 100 未使用 n 68 合计 200 (1)求m,n的值，并依据小概率值α=0.001的独立性检验，分析使用智能设备是否能有效 预防摔倒的发生？ (2)在参与问卷调查发生摔倒的老人中，按是否使用智能设备进行分层，采用样本量比例分 配的分层随机抽样方法，从样本中抽取5人作进一步调查，再从这5人中随机抽取2人进行 面谈，记这2人中未使用智能设备的人数为X,求X的数学期望及方差. 附：x2= n(ad-be)2 其中n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) a 0.1 0.01 0.001 Xa 2.706 6.635 10.828 【答案】(1)m=92,n=32,认为使用智能设备能有效预防摔倒的发生 ②x的期望？：X的方差024。 【分析】(1)本题先由列联表数据求出参数m,”,设立独立性检验零假设，代入卡方公式计算 x2值并与临界值比对，依据小概率值a=0.001否定零假设，判定使用智能设备与预防摔倒有 关 (2)再确定摔倒老人中使用和未使用智能设备的人数，明确随机变量X的取值，用组合数求 对应概率，进而计算出X的数学期望与方差 【详解】(1)由表中数据可得m=92,n=100-68=32. 摔倒 智能设备 合计 发生 未发生 使用 P 92 100 未使用 32 68 100 合计 40 160 200 零假设为H。：使用智能设备与有效预防摔倒的发生无关， X2=200x8x68-32×922=20×240×2400 40×160×100×10040×160×100×100 =18>10.828 故根据小概率值α=0.001的独立性检验，推断H。不成立，即认为使用智能设备能有效预防 摔倒的发生. (2)易知5名“发生摔倒”的老人中有1人使用智能设备，4人未使用智能设备， 故X的所有可能取值为1,2， PX=)瓷-号r心x-2)-爱-0所以x的期塑风-经2 38 C2 5 55 X的方差0)--号-024 197分)已知函数/创=a++3 3a2 a≠0). (1)讨论函数f(x)的单调性： (2)设g(x)=2x2-mc+。+(e=2.718…为自然对数的底数)，当a=-e时，对任意 124 6 x∈[1,4]，存在x2∈[1，e],使g(x)≤f(x2),求实数m的取值范围. 【答案】(1)当a>0时，f(x)在(0,2a)上单调递减，在(2a,+oo)上单调递增： 当a<0时，f(x)在(0,6a)上单调递减，在(-6a,+o)上单调递增. o[g 【分析】(1)求导，分a>0和a<0两种情况讨论求解即可： (2)当a=-c时，结合(1)可知函数f(四在[L,上单调递减，可先将问题转化为m≥2公 6 e 对任意×e儿恒设立，设6)-答，小，利用号发分析关单调生，进面求解即可。 【详解】由f(创血x女(a0:发>0， 则f()=g+}3c-+4ar-12dx-2aj0x+6a) 4x2 4x2 ①当a>0时，令f'(x)>0,得x>2a,令f'(x)<0,得0<x<2a, 所以函数f(x)在(0,2a)上单调递减，在(2a,+o∞)上单调递增： ②当a<0时，令f'(x)>0,得x>-6a,令f'(x)<0,得0<x<-6a, 所以函数f(x)在(0，-6a）上单调递减，在(-6a,+∞)上单调递增. 综上所述：当a>0时，f(x)在(0,2a)上单调递减，在(2a,+o)上单调递增： 当a<0时，f(x)在(0，-6a)上单调递减，在(-6a,+o)上单调递增 2）当a=君e时，()=-r+2+ 1e2 6 412x 由(1)知，函数f(x)在[山，©]上单调递减， 雨/0=号好e-则ee[ 6'12+4 对任意x∈[1,4]，存在x∈[L,e],使g(x)≤f(x2), 即等价于e)号+扣成立.即2-心s0 所以m≥2父对任意x[L,4创恒成立. e 设=2.则-22-到 ex 令h(x)>0,得1≤x<2,令h(x)<0,得2<x≤4， 所以h(x)在[1,2)上单调递增，在(2,4]上单调递减， 所以(=)-。，期m之。，即实数m的取值葡租为