第八章 立体几何中的翻折与探究性问题 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦高中数学立体几何中的翻折与探究性问题，系统梳理翻折问题中变与不变关系及关键点位置确定的方法，探究性问题中动点位置与线面关系的探究策略，搭建从平面图形到立体图形转化的学习支架。 资料以题型为核心，通过翻折问题（如等腰梯形沿高翻折）培养几何直观与空间观念（数学眼光），探究性问题（如三棱柱动点位置探究）发展推理能力与创新意识（数学思维），题目涵盖证明与计算，提升数学表达能力。课中辅助教师突破空间转化难点，课后助力学生巩固空间想象与逻辑推理，查漏补缺。

第八章 立体几何中的翻折与探究性问题 目录 题型1：翻折问题 2 题型2：探究性问题 14 题型1：翻折问题 方法提炼 翻折问题的解题策略： (1) 确定翻折前后变与不变的关系 位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变, 而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系可能会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理, 而对于变化的关系则要在立体图形中解决. (2) 确定翻折后关键点的位置 所谓的关键点, 是指翻折过程中运动变化的点. 因为这些点的位置移动, 会带动与其相关 的其他的点、线、面的关系变化, 以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化. 【例1.1.】 如图，等腰梯形中，， ，，垂足为，将沿翻折，得到四棱锥.在四棱锥中，点，分别在线段，上，且. (1)若，求直线BC与直线PA所成角的余弦值. (2)求证：平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.61 【知识点】求异面直线所成的角、证明线面平行 【分析】（1）构造平行四边形，将平移至，把异面直线所成角转化为，再用余弦定理计算余弦值； （2）通过在、上取点构造辅助线，证明平面平面，再由面面平行的性质得平面. 【详解】（1） 在线段上取点，使得 ，则四边形是平行四边形，故， 连接，故是异面直线所成角（或补角），，， 由勾股定理，. 由余弦定理得， 故异面直线所成角的余弦值是. （2） 若分别是上的点，且， 连接，又， 所以，即四点共面， 由平面，平面，则平面， 同理可证平面，又，且都在平面内， 所以平面平面，平面，故平面. 【例1.2.】 如图，在四边形中，，，，，.将沿对角线折起，记折起后点A的位置为点，且使平面平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】证明面面垂直、证明线面垂直、锥体体积的有关计算 【分析】（1）由，结合面面垂直性质定理即可求解； （2）由（1）得到平面，进而可求证； （3）由等体积即可求解； 【详解】（1）因为，， 所以， 又因为，所以， 又，所以，即， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. （2）由平面，平面，得， 又，，，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. （3）由（1）知，， ， 即三棱锥的体积为. 【例1.3.】 如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点． (1)求证； (2)求三棱锥的体积． (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求点面距离、锥体体积的有关计算 【分析】（1）只需证明平面，再结合线面垂直的判定定理即可得证； （2）只需分别求出三棱锥的高、底面积，再结合棱锥的体积公式求解即可； （3）由等体积法求解即可. 【详解】（1）折叠前，，折叠后，， 因为，、平面，故平面， 因为平面，故． （2）由（1）问可知，平面，所以三棱锥的高， 又因为折叠前为，点，分别为，的中点， 所以， 所以； （3）设点到平面的距离为，则有， 又有，故解得． 【例1.4.】 如图①，平面四边形由两个三角形拼接而成，其中，，，现以为轴将向上折起至位置，连结得到如图②的三棱锥是的中点，是的中点，在上，且． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求证：； (3)在（2）条件下，若，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】空间垂直的转化、线面垂直证明线线垂直、证明线面平行、锥体体积的有关计算 【分析】（1）根据中位线以及比例可证明线线平行，进而可得线面平行以及面面平行，即可根据面面平行的性质求解， （2）根据面面垂直的性质得线面垂直，即可根据线线垂直求证平面得解， （3）利用等体积法求解长度，即可由比例以及体积公式求解. 【详解】（1）如图②取的中点，连结 是中点，是中点， 在中，由中位线定理得， 又平面平面 平面. 又是中点，是中点， ，又，故在中，得， 又平面平面 平面 由平面平面， 平面平面，又平面， 平面. （2） 如图④，在平面中，过作，为垂足， 平面平面，平面，，平面平面， 平面， 又平面，已知， 又平面平面， 平面，又由平面， . （3）由（2）知，又已知，，是面内两相交直线， 面，即为三棱锥的的高，设点到面的高为， 则由得 ，解得， 又由知点到面的高为， 又， . 【例1.5.】 如图，是边长为4的等边三角形，且点分别为线段与的中点.将沿折叠后使点与点重合，得到四棱锥.设点为线段上一点，且. (1)证明：平面； (2)求四棱锥与三棱锥的体积之比. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.4 【知识点】证明线面平行、锥体体积的有关计算 【分析】(1)连接交于点，连接.然后利用三角形相似的性质，得到，进而利用线面平行的判定定理证明； （2）利用棱锥的体积公式求比值. 【详解】（1）证明：如图，连接交于点，连接. 由题可知，且. 则易有与相似，且相似比为，也即. 又，则，故. 且平面，平面，故平面. （2）解：设四棱锥的体积为，高为，四边形的面积为. 三棱锥的体积为，高为，三角形的面积为，与之间的距离为. 由题有. 又，故，即， 则， 即四棱锥与三棱锥的体积之比为. 【例1.6.】 如图，中，，，E、F分别是、边上的动点，且，将沿折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥．    (1)求证：； (2)若F为中点，且，求二面角的余弦值； (3)若D为中点，当点E在线段上（不含端点）运动时，求三棱锥的体积的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【难度】0.54 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求二面角、判断线面是否垂直、锥体体积的有关计算 【分析】（1）先由线面垂直的判定定理得到平面，再由线面垂直的性质定理可证； （2）先由二面角的定义得到是二面角的平面角，然后利用余弦定理解三角形可得结果； （3）设，则，以为底，三棱锥的高的最大值为，然后利用三棱锥体积公式表示三棱锥的体积，利用二次函数的最值可得结果. 【详解】（1），，， 将沿折起，可得， 又，平面，平面，平面， 平面，. （2）由（1）可知，，，二面角的平面角为， 由F为中点，， 在中，由余弦定理得，， 所以二面角的余弦值为. （3）由D为中点，得，设，则， 以为底的三棱锥的高为点到底面的距离，则距离的最大值为， 所以三棱锥的体积， 当且仅当时取等号，所以三棱锥的体积的最大值为. 【例1.7.】 如图1，是边长为4的正方形，点在的延长线，且，连接，将沿翻折，使点到点的位置，且，得到如图2所示的四棱锥，若为的中点，是棱上动点． (1)当为的中点时．求证：平面平面； (2)若，求二面角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【难度】0.65 【知识点】求二面角、证明面面垂直 【分析】（1）由题设及线面垂直的判定和性质得，进而得平面，再由线面、面面垂直的判定证明结论； （2）由题设，令，根据几何关系法、余弦定理、勾股定理及平方关系求到的距离、到平面的距离，进而求二面角正弦值的范围. 【详解】（1）由是边长为4的正方形，且， 由都在平面内，则平面，平面， 所以，又，都在平面内，则平面， 由平面，则，又，为的中点，则， 由都在平面内，则平面，平面， 所以平面平面； （2）由，且，则， 所以，，， 所以， 故，故到的距离， 又到平面的距离，则二面角的正弦值， 又，则所求二面角的正弦值范围为； 【例1.8.】 如图①，在等腰直角中，，，，分别是边，上的动点，将沿折起到如图②的位置，连接，，且平面平面． (1)当，分别是边，的中点时； ①求证：平面平面 ②求二面角的正切值 (2)若点与点重合，如图③，设，求三棱锥体积的最大值； 【答案】(1)①证明见解析 ；②； (2). 【难度】0.4 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、锥体体积的有关计算、证明面面垂直、求二面角 【分析】（1）①由已知得再根据面面垂直的性质、判定定理，即可证；②取的中点，连接，根据已知及二面角定义得为二面角的平面角，进而求其正切值； （2）过P点作，垂足为H，应用正弦定理、三角形面积公式、棱锥的体积公式得，令，结合同角三角函数关系及相关函数性质求体积的最大值. 【详解】（1）①分别是边的中点，， 在等腰直角，则，即 因平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，平面平面； ②取的中点，连接， 由①可知平面，平面，则， 由是边的中点，，， ，为中点， ，平面， 平面，因平面，， 为二面角的平面角， 平面，平面， 在中， 所以二面角的正切值为. （2）过P点作，垂足为H，则， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 在中，由正弦定理，，则， ， ， 令，     ，，则， ， 令，则函数在单调递增， 当时，的最大值为. 题型2：探究性问题 【例2.1.】 如图，在三棱柱中，P是上一动点，（），是上一点，是的中点. (1)求证：直线平面； (2)若是的中点.试探究为何值时，直线平面？并给出你的证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，直线平面. 【难度】0.68 【知识点】面面平行证明线面平行、证明线面平行 【分析】（1）先证明，再由线面平行的判定定理证明即可； （2）过点作交于点，连接，证得，，由面面平行的判定定理证得平面平面，再由面面平行的性质定理证明即可. 【详解】（1）由三棱柱的性质可得：， 平面，平面， 所以平面. （2） 当时，直线平面，证明如下： 过点作交于点，连接，所以， 因为是的中点，所以为的中点，是的中点， 所以在中，，平面，平面， 所以平面，同理平面，， 平面，所以平面平面， 又平面，所以直线平面. 即当时，直线平面. 【例2.2.】 如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且. (1)求证：平面； (2)棱上是否存在一点使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【难度】0.6 【知识点】空间平行的转化、证明面面平行、证明线面平行 【分析】（1）法一：连接，首先证明四边形是平行四边形，再根据已知及线面平行的判定即可证；法二：连接分别交于点，连接，利用等比例的性质得，再根据线面平行的判定即可证； （2）根据给定条件证明平面，法一：取中点P，连接，根据已知证明，再由线面平行、面面平行的判定证明结论，即可得；法二：延长交于，延长交于，连接，利用相似关系、平行四边形的性质及线面平行的判定证明平面，最后由面面平行的判定证明结论，即可得； 【详解】（1）法一：连接，在正方体中，分别是中点， 且，则四边形是平行四边形， ∴，平面平面，所以平面， 法二：连接分别交于点，连接， 如图在正方体中，且， 所以，则，同理得， 所以，则，而平面平面， 所以平面； （2）存在，且，理由如下： 因为，所以， ，而 ， 由平面平面， 所以平面， 法一：取中点P，连接，如图 ，是中点， 是的中位线，则， ∵F为中点，则且， ∴四边形是平行四边形， ， 综上，，平面平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； 法二：延长交于，延长交于，连接，如图： 为中点，易得， ， 分别为的中点，易得， ，又，即， ∴四边形为平行四边形， 平面平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面， 所以时，平面平面. 【例2.3.】 如图，在正三棱柱中，，，点M为的中点. (1)求点A到平面的距离； (2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【难度】0.65 【知识点】求点面距离、证明线面垂直 【分析】（1）过点作交于点，交于点，说明点A到平面的距离为的长度，结合几何性质求出的长度即可； （2）根据给定条件，证明平面平面，过点作交于点，利用面面垂直的性质推理作答. 【详解】（1）如图所示，过点作交于点，交于点， 因为与互余，与互余， 所以， 又因为， 所以，所以， 因为在正三棱柱中，，，点M为的中点， 所以即为，解得， 所以， 由等面积法有，即，解得， 所以， 由正棱柱性质可知，平面，而平面， 从而， 因为三角形是正三角形且点为的中点， 所以， 又因为，，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面， 所以点A到平面的距离为； （2）在正三棱柱中，因为点为的中点，则， 又平面， 平面，则有， 而平面，于是平面， 平面，则平面平面，在平面内过点作交于点， 平面平面，因此平面，于是点即为所要找的点， 显然，因此，即有，于是，， 所以. 【例2.4.】 如图，在直三棱柱中，D是棱AC的中点，且，．    (1)求证：平面； (2)从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，求解下列问题： （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择条件①、条件②或条件③分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)证明见解析 (2)（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）存在； 【难度】0.52 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，在平面内找到与平行的直线即可； （2）（Ⅰ）先通过线面垂直证，再由三角形内角和定理证，进而可证线面垂直； （Ⅱ）取N为的中点，的中点为M，通过，平面即可证明N满足题意. 【详解】（1）如图，连接，与交于点O，连接OD，    因为四边形是平行四边形，所以O为的中点. 又D是棱AC的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． （2）（Ⅰ）选择条件①，. 由D是棱AC的中点，得. 在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，所以. 又，，平面，所以平面，所以. 因为，所以，又， 在和中，， 所以，而， 则，所以， 又，BD，平面，所以平面. 选择条件②：． 因为底面ABC，平面ABC，所以， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以，下同条件①. 选择条件③：，下同条件①. （Ⅱ）当点N为的中点，即时，平面平面． 证明如下：如图，取的中点为M，连接DM、MN，    因为M、D分别为、AC的中点， 所以且， 又N为的中点，所以且， 所以四边形BDMN为平行四边形，故. 由（Ⅰ）知平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． 【例2.5.】 如图，长方体中，，，点M是棱CD的中点． (1)过三点作出长方体的截面（不要求过程，作出即可）； (2)是否存在实数m，使得直线与平面垂直？并说明理由； (3)设P是线段上的一点（不含端点），满足，求λ的值，使得三棱锥与三棱锥的体积相等． 【答案】(1)截面见解析； (2)存在，，理由见解析； (3)，理由见解析 【难度】0.4 【知识点】线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直、由平面的基本性质作截面图形、锥体体积的有关计算 【分析】（1）根据面面平行得到线线平行，从而得到截面图形； （2）当时，，所以Rt∽Rt，从而得到⊥，结合⊥，得到⊥平面，所以⊥，同理可证⊥，所以⊥平面； （3）设与平面的斜足为，等体积法求出，大减小得到，所以，故，又，则为的中点，即，所以. 【详解】（1）如图所示，平行四边形即为过三点作出长方体的截面，理由如下： 因为平面与平面平行， 所以平面与平面的交线和平面与平面的交线平行， 同理可得平面与平面的交线和平面与平面的交线平行， 故只有取的中点，连接，可以保证上述条件， 所以平行四边形即为过三点作出长方体的截面； （2）存在实数，使得直线与平面垂直，理由如下： 当时，， 因为，所以，所以Rt∽Rt， 则，所以，即⊥， 又⊥平面，平面，所以⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 又平面，所以⊥， 同理可证⊥，又，平面， 所以⊥平面； （3）设与平面的斜足为， 因为， 又， 其中， ，故， 所以，故， 若，则，故， 所以在线段上取一点P，使得三棱锥与三棱锥的体积相等， 则为的中点，即，所以. 【例2.6.】 如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为菱形，，AC与BD交于点O，平面ABCD，，点M为PB的中点，点E是线段AD上的动点.当平面PCD时，. (1)求AD； (2)求点D到平面PBC的距离； (3)设，探究当为何值时，直线PE与平面PBC所成的角最大. 【答案】(1)2； (2)； (3). 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、求点面距离、求线面角、由线面平行求线段长度 【分析】（1）取中点，利用线面平行的性质，结合已知证得四边形为平行四边形即可. （2）利用等体积法求出点D到平面的距离. （3）利用线面角的正弦公式列出函数关系，再确定角取最大的条件即可. 【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连接，由点M为PB的中点， 得，点在菱形边上，则， 平面平面，而平面，平面， 因此，四边形为平行四边形，， 所以. （2）在菱形中，，则，由平面， 平面，得，， ，， ，设点D到平面的距离为，由， 得，即，解得， 所以点D到平面的距离为. （3）设直线PE与平面所成的角为，由，平面，平面， 得平面，则点到平面的距离等于点D到平面的距离， 因此，函数对锐角是递增的，要使最大，当且仅当最小，即， 而平面，平面，则，又， 平面，于是平面，而平面，则， ，， 所以当时，直线PE与平面所成的角最大. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 立体几何中的翻折与探究性问题 目录 题型1：翻折问题 2 题型2：探究性问题 5 题型1：翻折问题 方法提炼 翻折问题的解题策略： (1) 确定翻折前后变与不变的关系 位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变, 而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系可能会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理, 而对于变化的关系则要在立体图形中解决. (2) 确定翻折后关键点的位置 所谓的关键点, 是指翻折过程中运动变化的点. 因为这些点的位置移动, 会带动与其相关 的其他的点、线、面的关系变化, 以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化. 【例1.1.】 如图，等腰梯形中，， ，，垂足为，将沿翻折，得到四棱锥.在四棱锥中，点，分别在线段，上，且. (1)若，求直线BC与直线PA所成角的余弦值. (2)求证：平面. 【例1.2.】 如图，在四边形中，，，，，.将沿对角线折起，记折起后点A的位置为点，且使平面平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. (3)求三棱锥的体积. 【例1.3.】 如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点． (1)求证； (2)求三棱锥的体积． (3)求点到平面的距离． 【例1.4.】 如图①，平面四边形由两个三角形拼接而成，其中，，，现以为轴将向上折起至位置，连结得到如图②的三棱锥是的中点，是的中点，在上，且． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求证：； (3)在（2）条件下，若，求三棱锥的体积． 【例1.5.】 如图，是边长为4的等边三角形，且点分别为线段与的中点.将沿折叠后使点与点重合，得到四棱锥.设点为线段上一点，且. (1)证明：平面； (2)求四棱锥与三棱锥的体积之比. 【例1.6.】 如图，中，，，E、F分别是、边上的动点，且，将沿折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥．    (1)求证：； (2)若F为中点，且，求二面角的余弦值； (3)若D为中点，当点E在线段上（不含端点）运动时，求三棱锥的体积的最大值． 【例1.7.】 如图1，是边长为4的正方形，点在的延长线，且，连接，将沿翻折，使点到点的位置，且，得到如图2所示的四棱锥，若为的中点，是棱上动点． (1)当为的中点时．求证：平面平面； (2)若，求二面角的正弦值的取值范围． 【例1.8.】 如图①，在等腰直角中，，，，分别是边，上的动点，将沿折起到如图②的位置，连接，，且平面平面． (1)当，分别是边，的中点时； ①求证：平面平面 ②求二面角的正切值 (2)若点与点重合，如图③，设，求三棱锥体积的最大值； 题型2：探究性问题 【例2.1.】 如图，在三棱柱中，P是上一动点，（），是上一点，是的中点. (1)求证：直线平面； (2)若是的中点.试探究为何值时，直线平面？并给出你的证明. 【例2.2.】 如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且. (1)求证：平面； (2)棱上是否存在一点使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【例2.3.】 如图，在正三棱柱中，，，点M为的中点. (1)求点A到平面的距离； (2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【例2.4.】 如图，在直三棱柱中，D是棱AC的中点，且，．    (1)求证：平面； (2)从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，求解下列问题： （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择条件①、条件②或条件③分别解答，按第一个解答计分． 【例2.5.】 如图，长方体中，，，点M是棱CD的中点． (1)过三点作出长方体的截面（不要求过程，作出即可）； (2)是否存在实数m，使得直线与平面垂直？并说明理由； (3)设P是线段上的一点（不含端点），满足，求λ的值，使得三棱锥与三棱锥的体积相等． 【例2.6.】 如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为菱形，，AC与BD交于点O，平面ABCD，，点M为PB的中点，点E是线段AD上的动点.当平面PCD时，. (1)求AD； (2)求点D到平面PBC的距离； (3)设，探究当为何值时，直线PE与平面PBC所成的角最大. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $