27.1 图形的相似&27.2 相似三角形（高效学习日日优）-【名师学案】2025-2026学年九年级下册数学分层进阶学习法（人教版）

第2课时反比例函数性质的综合运用 名师讲坛 01解题策略 2.较大较小 02典例导学 B 堂清练习 1.B2.D3.(2,-3)4.解：1)把点A(-2,3)代入=中，得k,=-2×3=-6, “双曲线的解析式是为=一。把点5(m,一2)代人为一至中，得0=3，- 6 x x n的值是3.(2)7.5(3)x<-2或0<x<3 26.2实际问题与反比例函数 第1课时反比例函数在日常生活中的应用 名师讲坛 01要点领悟 1.取值范围2.函数 x 02典例导学 A 堂清练习 1.B2.D3。=48>0)84170 (2)875 第2课时反比例函数在物理学中的应用 名师讲坛 02典例导学 《1Dy=9x+15(0≤x≤5)(2) xy300300 x 堂清练习 1-投2.小31.54(11=是(2)解：在1-中，当1=5A时.R=3015> 0,在第一象限内，I随R的增大而减小.∴.如果要求以此蓄电池为电源的用电器额定电 流不能超过5A,则该电路中电阻的电阻值应不低于32. 第二十七章相似 27.1图形的相似 名师讲坛 01要点领悟 1.缩小2.形状 堂清练习 1A2.D3.C4.D5.3.66.1257.120°g 27.2相似三角形 27.2.1相似三角形的判定 第1课时平行线分线段成比例 名师讲坛 02典例导学 4 堂清练习 1.D2.B3.D4.2:360°70°5.解：DE∥BC.△ADE∽△ABC.AP AB 瓷即号-S解得DE=9 第2课时相似三角形的判定定理1,2 名师讲坛 01要点领悟 1.大小2.夹角 堂清练习 1.C2.0三边成比例的两个三角形相似3.404.32°5.解：(1)1352√2 (2)△ABC与△DEF相似，由图可得：AB=2,BC=22,AC=25,DE=2,EF=2, -而小器%-8提后器-要-小荒总器-a ∴.△ABCc∽△DEF. -184 第3课时相似三角形的判定定理3 名师讲坛 01要点领悟 △ABC△ACB△CBD△ECB 堂清练习 1.B2.C3.B4.(1)∠ACB(2)∠B5.证明：：正方形ABCD,.∠A=∠D=90° .∠ABE+∠AEB=90°.·∠BEF=90°，.∠DEF十∠AEB=90°..∠ABE=∠DEF 又.∠A=∠D=90°，.△ABE∽△DEF. 27.2.2相似三角形的性质 名师讲坛 01要点领悟 1.等于等于2.相似比的平方算术平方根 02典例导学 11 90∥D4 22213 1 4 堂清练习 1.B2.B3.44.65.326.解：(1)△ABCc∽△A'B'C',CD和C'D分别是边AB和 A上的巾线“授-品=台“高-合解得CD=8cm:（2):△ABC △A'B'C C△ABc=AB=1 CAB2大C0=解得Cc三0cm.答：△AB'C的周 长是40cm. 27.2.3相似三角形应用举例 名师讲坛 01要点领悟 1.正比2.共线3.入射角 02典例导学 3-66BC1212 GE1.2 堂清练习 1.C2.B3.104.12.8 27.3位似 第1课时位似图形 名师讲坛 01要点领悟 1.相似 02典例导学 2√2√2422√I0√/I0==2DEFP是P 堂清练习 1.B2.123.C3:24.解：如图，点O和点O即为所求 5.解：如图，△DEF和△DEF即为所求.作图步骤略 第2课时平面直角坐标系中的位似 名师讲坛 01要点领悟 k一k 02典例导学 (-5,0) 堂清练习 1.A2.C3.1:3154.解：(1)图略(2)(11,4) 第二十八章锐角三角函数 28.1锐角三角函数 第1课时锐角的正弦 名师讲坛 02典例导学 A 185第 27 名师讲坛 01要点领悟 1.两个图形相似，其中一个图形 可以看成是由另一个图形放大 或 得到的， 2.判断两个图形是否相似，只看 两个图形的 是否相同 即可，和图形的大小、位置没有 关系 3.在应用相似多边形的性质时， 要注意边的对应关系，即“长边 对应长边，短边对应短边” 02方法技巧 判断四条线段是否成比例的 方法：判断四条线段是否成比例， 首先要统一单位，并把四条线段 按由小到大的顺序排列（或由大 到小的顺序排列)，然后分别计 算前两条线段和后两条线段的 长度之比，若它们的比相等，则 成比例，若它们的比不相等，则 不成比例. 二十七章相似 1图形的相似 堂清练习 1.“相似的图形”是指 A.形状相同的图形 B.大小不相同的图形 C.能够重合的图形 D.大小相同的图形 2.下列成对的图形中，相似的一组图形是 ★米 巴✉ A B D 3.下列各组中的四条线段成比例的是 A.a=1,b=3,c=2,d=4 B.a=4,b=6,c=5,d=10 C.a=2,b=4,c=3,d=6 D.a=4,b=6,c=8,d=2 4.下列说法正确的是 A.两个等腰三角形相似 B.两个矩形相似 C.两个菱形相似 D.两个等腰直角三角形相似 5.若a,b,c,d是成比例线段，其中a=5cm,b= 3cm,c=6cm,则线段d的长是 cm. 6.(教材P27练习T1变式)在一幅比例尺为1：500000 的地图上，若量得甲、乙两地的距离是25cm,则 甲、乙两地的实际距离为 km. 7.(教材P26例题变式)两个相似四边形的已知数 据如图所示，则a= , 105 105 45△ 45 6 27.2相似三角形 27.2.1相似三角形的判定 第1课时 平行线分线段成比例 堂清练习 名师讲坛 1.如图，如果1∥L2∥1，那么下列比例式中，错误的是 01要点领悟 1.用“∽”表示两个三角形相似 AD BC A.AF-BE DF CE 时，隐含着确定了对应边和对 B.AFBE 应角，而用文字叙述两个三角 C. AD_DF AD CD BC CE 形相似，对应关系不确定，应分 D.AF-EF 类讨论. 41B-1 C1: 2.“平行线分线段成比例”的基本 事实中，成比例的线段是指被 第1题图 第2题图 平行线截得的对应线段，可形 象记忆： 左上= 2.如图，l1∥l2∥l3,DE=4,DF=6,那么AB:BC 右上左上 左下 右下’左全 的值是 右上，左下=右下等. 右全’左全右全 A.1 B.2 c 3 02典例导学 3.(教材P31练习T2变式)如图，点 【例】（材料P30“思考”变式）如 D,E分别是△ABC的AB,AC边 图，在□ABCD中，E是AB上一 上的点，DE∥BC,BD=3AD,则 点，AC与DE交于点F,若DF= DE:BC等于 B 2EF,AF=2,则CF的长是 A.2:3 B.1:2 C.1:3 D.1:4 4.△ABC△DEF,AB=4,DE=6,∠D=60°，∠C= 50°，则△ABC与△DEF的相似比是 ∠A= ,∠B= 【点津】求线段的比或长，通常利 5.如图，在△ABC中，DE∥BC,AD=6,BD=4, 用平行线分线段成比例的基本事 BC=15,求ED的长. 实及其推论得比例线段，再转化 求出所求线段的比或长 第2课时 名师讲坛 01要点领悟 1.利用“三边成比例”判定两个三 角形相似时，先将三角形的三 边按 顺序排列，然后 计算最长边与最长边，最短边 与最短边，第三边与第三边的 比值，再根据比值是否相等判 断两个三角形是否相似. 2.利用“两边成比例且夹角相等” 判定两个三角形相似时，角一 定是两组对应边的 若角相等已知，边不确定时，应 分类讨论， 02方法技巧 判断网格中两个三角形是否 相似的方法： 先用勾股定理分别计算出网 格中两个三角形的三边长，然后 将两个三角形的三边分别按大小 顺序排列，再计算出它们对应边 的比，若它们对应边的比相等， 则两个三角形相似；若它们对应 边的比不相等，则两个三角形不 相似. 相似三角形的判定定理1,2 堂清练习 1.已知△ABC的三边长分别是6cm,7.5cm, 9cm,△DEF的一边长为4cm,当△DEF的另 两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似 () A.2 cm,3 cm B.4 cm,5 cm C.5 cm,6 cm D.6 cm,7 cm 2.如图，△ABC △DEF(填“∽”或“不相 3 似”)，理由是 B 24 3.(教材P34练习T2变式)如图，当x= 时， △ABC∽△DEF. 5 25 28> 281 24 4.如图，已知A招-A5∠1- ∠2，若∠D=32°，则∠B的度 数为 5.如图，在4×4的正方形网格中，△ABC和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上. (1)填空：∠ABC= °，BC= (2)判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的 结论. 第3课时 名师讲坛 01要点领悟 利用“两角分别相等”判定两 个三角形相似比较简单，应用也 广泛，常见模型如下： 模型 特征 结论 △ADE DE∥BC ∽ △ABD ∠1=∠C, C∽ ∠A=∠A △ACD n AC⊥BC, △ABC CD⊥AB ∽ AD⊥AC, △DAE BC⊥AC, n DE⊥BE 02方法技巧 相似三角形判定定理的选择 方法：一是条件中若有平行的条 件，则考虑直接利用平行线法来 证明；二是条件中若有一组角相 等，则可再证明一组角相等或证 明夹这组等角的两组对应边成比 例；三是条件中若有两组对应边 成比例，则可证明这两组对应边 的夹角相等或证明第三组对应 边的比与已知的两组对应边的 比相等. 相似三角形的判定定理3 堂清练习 1.有一个角为40°的两个直角三角形一定 () A.全等 B.相似 C.既全等又相似 D.无法确定 2.如图，点D,E分别在AB,AC上，且∠B=∠C, CD与BE交于点O,则图中的相似三角形有() A.0对 B.1对 C.2对 D.3对 B 7A 第2题图 第4题图 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,AC=8,在 Rt△DEF中，∠F=90°，DE=5,DF=3,则这两个 三角形的关系是 () A.不相似 B.相似 C.全等 D.不确定 4.如图，点D是△ABC中AB边上的一点， (1)若∠1= ,则△ACD∽△ABC; (2)若∠2= ,则△ACD∽△ABC. 5.如图，在正方形ABCD中，E,F分别是边AD, CD上的点，且∠BEF=90°.求证：△ABE △DEF. -9 27.2. 名师讲坛 01要点领悟 1.在两个相似三角形中，“相似比 周长之比 对 应线段之比”这三者之间可以 互相进行等量转化. 2.相似三角形面积的比等于 ,相似比等于面 积比的 02典例导学 【例】如图，△ABC中，D在BC 上，且AD=AB=2,AD⊥AB.过 点D作DE⊥AD,DE交AC于 E,若DE=1,求△DEC的面积. B4 【解】·AD⊥DE,AD⊥AB, .∠BAD=∠ADE= ∴.AB DE. .△DEC △BAC. .S△DEc DE ·SBAC AB S△DEC 即SAc十S图边形A8DE :S边形BDE=2 × S△DEc …SADEC+3 解得S△Dsc= 【点津】遇到面积问题时，先判断 两个三角形是否相似，若相似，则 面积比等于相似比的平方. 相似三角形的性质 堂清练习 1.若△ABC∽△DEF,相似比为1：3，则△ABC与 △DEF对应高的比为 () A.1:9 B.1:3 C.1:2 D.1:3 2.△ABC∽△DEF,S△ABC:SADEF=1:4,若BC= 1,则EF的长是 () A.1 B.2 C.3 D.4 3.若△ABC∽△DEF,相似比为2：3，且△DEF中 EF边上的高是6cm,则△ABC中BC边上的高 是 cm 4.若△ABC∽△DEF,相似比为2：3，△ABC的角 平分线BP的长是4，则△DEF的角平分线EG 的长是 5.如图，BC∥DE,AD:BD=3:1, △ADE的面积是18，则△ABC的 面积是 6已知△ABCn△ABC,常-AB边E的中 线CD=4cm,△ABC的周长为20cm,求： (1)A'B'边上的中线CD'的长； (2)△A'B'C的周长. 10 27.2.3 名师讲坛 01要点领悟 求不易直接测量的物体的高 度，常用如下方法： 1.利用物体在阳光下的影子测量 高度，根据同一时刻物体的高 度和影长成 解答 2.利用标杆测量物体的高度时， 应使观察者的眼晴、标杆的顶 端和被测物体的顶端“三点 ” 3.利用平面镜测量物体的高度， 主要用到“反射角等于 ”构造相似三角形 02典例导学 【例】如图，某一时刻一根2m长 的竹竿EF在阳光下的影长GE 为1.2m,此时，小红测得一棵被 风吹斜的柏树与地面成30°角，树 顶端B在地面上的影子点D与 B到垂直地面的落点C的距离是 3.6m,求树AB的长 30 【解】由题意知∠BDC=。 ∠C=∠ ,.△BDCp △FGE,B _CD·BC GE .·2 ,解得BC= 在Rt△ABC中，∠A=30°， ∴.AB=2 m. 答：树AB的长是 m, 相似三角形应用举例 堂清练习 1.(教材P39例4变式)如图，在同 一时刻，身高1.6m的小丽在阳 光下的影长为2.5m,一棵大树的影长为5m,则 这棵树的高度为 () A.1.5m B.2.3m C.3.2m D.7.8m 2.(教材P43习题T9变式)如 D 图，利用长为1.5m的竹竿 BE测量建筑物的高度，移动 A 1.5m 2mB14m C 竹竿，使竹竿顶端与建筑物顶 端的影子恰好落在地面上的同一个点A,此时测 得AB=2m,BC=14m,则楼高CD为 A.10.5mB.12m C.13m D.15m 3.如图，为了测量水塘边A,B两点之间的距离，在 可以到达A,B两地的空白地方取点E,连接AE, BE,在其延长线上取点D,C,使DC∥AB.若测 得CD=5米，ED=4米，AD=12米，则A,B两 点之间的距离是 米. I000 第3题图 第4题图 4.（跨学科融合)小红用下面的方法来测量学校教 学大楼AB的高度.如图，在水平地面点E处放 一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20m. 当她与镜子的距离CE=2.5m时，她刚好能从镜 子中看到教学大楼的顶端B.已知她的眼睛距地面 高度DC=1.6m,则大楼AB的高度是 m. (注：反射角=入射角) 11