第27章 相似 学业质量评价-【名师学案】2025-2026学年九年级下册数学分层进阶学习法（人教版）

@● ●●0 九年级数学·下册 ●●● ●●● ●●● ●●● ●●● 第二十七章学业质量评价 ●●● ●●● 时间：120分钟 满分：120分 ●●● ●●● ●●● ●●● ●●● 题号 二 三 合计 ●●● ●●● ●●● 分值 ●●● ●●● ●●● 、选择题（共10题，每小题3分，共30分） ●●0 1.下列各组中的两个图形形状相同的是 D 2.(2024·重庆)若两个相似三角形的相似比是1：3，则这两个相 似三角形的面积比是 () 尔 A.1:3 B.1:4 C.1:6 D.1:9 3.下列各组线段中，不是成比例线段的是 ( A.3,6,2,4 B.4,6,5,10 p C.1,√2，√10，√5 D.2,√5，√15,23 4.如图，直线AD,BC交于点O,AB∥EF∥CD,若AO=2,OF= 1,FD=2,则 票的值为 () 1 .2 3 A.2 2 D. 2 C D D 第4题图 第5题图 第6题图 5.如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且AO: 批 DO=1:2,若△ABC的周长是4，则△DEF的周长是 () A.2 B.4 C.8 D.16 6.如图，线段CD两个端点的坐标分别为C(1,2),D(2,0),以原点 为位似中心，将线段CD放大得到线段AB.若点B的坐标为(5， 0),则点A的坐标为 () A.(2,5) B.(2.5,5) C.(3,5) D.(3,6) 7.如图，在△ABC中，BC=48,高AD=24,正 方形EFGH的一边在BC上，点E,F分别在 AB,AC上，AD交EF于点N,则AN的长 ●●0 为 A.10 B.8 C.16 D.12 128 8.【教材P43习题T10变式】如图，身高为1.7m的小明AB站在 河的一岸，利用树的倒影去测量河BD的宽度，树CD在水中的 倒影为C'D,A,E,C在一条直线上，已知树CD的高度为 5.1m,BE=3m,则河BD的宽度是 () A.9m B.12m C.15m D.18m 第8题图 第9题图 第10题图 9.如图，点A,B,C,D都在⊙O上，BD交AC于点E,BC=CD,CE= 1,BC=2,则AE的长为 () A.2 B.3 C.4 D.5 10.如图，在□ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E,CF 的延长线交BA的延长线于点G,EF=1,EC=3,则GF的长为 () A.4 B.6 C.8 D.10 二、填空题（共5题，每小题3分，共15分） 山.如图.已知裙-瓷请添加一个条件，使 △ADE∽△ABC,这个条件可以是 (答案不唯一，写出一个条件即可) 12.已知△ABC∽△A'BC',且AB:A'B′=3：4，△A'B'C'中 B'C'边上的中线长是6cm,则△ABC中BC边上的中线长 cm. 13.在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m,同时同 地测得一栋楼的影长为90m,则这栋楼的高度为 m. 14.如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线 AC于点F.若AB=4,AD=3,则CF的长为 E 图1 图2 第14题图 第15题图 15.如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8,BC=6,D是AB 上一点，且AD=2,过点D作DE∥BC交AC于E,将△ADE 绕A点顺时针旋转到图2的位置.则图2中BD：CE的值为 —129 三、解答题（共9题，共75分） 16.(6分)如图，四边形ABCD和四边形GFEH相似，且∠A= ∠G=70°，∠B=55°，∠E=120°，DC=20,HE=15,HG=21. 求∠D,∠F的大小和AD的长。 17.(6分)(2024·广州)如图，点E,F分别在正方形ABCD的边 BC,CD上，BE=3,EC=6,CF=2. 求证：△ABE∽△ECF. B F 18.(6分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分 别是A(1,3),B(4,1),C(1,1).以原点O为位似中心，画 △ABC的位似图形△A,BC1,使它与△ABC的相似比为2，并 直接写出点B1的坐标. 130— 19.(8分)如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上， ∠ACD=∠ABE. (1)求证：△ABC∽△AEB; (2)当AB=6,AC=4时，求AE的长. 20.(8分)如图，△ABD△ACE,∠ABC=50°，∠BAC=60°，求 ∠AED的度数. 21.(8分)如图，△ABC的顶点A,B,C在格点上，试分别在下列两 个图中按要求使用无刻度的直尺画图（保留作图痕迹）. (1)在图①中，画出格点△ADE,使△ADE和△ABC相似且相 似比为2：1； (2)在图②中，画出格点△AEF,使△AEF和△ABC相似且面 积比为5：2. 图① 图② 131- 22.(10分)小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的 高度.一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵 古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B,如图所 示.于是他们先在古树周围的空地上选择一点D,并在点D处 安装了测倾器DC,测得古树的顶端A的视角为45°；再在BD 的延长线上确定一点G,使DG=5米，并在G处的地面上水平 放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F 时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测 得FG=2米，小明眼晴与地面的距离EF=1.6米，测倾器的高 度CD=0.5米.已知点F,G,D,B在同一水平直线上，且EF, CD,AB均垂直于FB,求这棵古树的高度AB.(小平面镜的大 小忽略不计) 23.(11分)(2024·通辽)如图，△ABC中，∠ACB=90°，点O为 AC边上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆与AB相切于点 D,连接CD. (1)求证：∠ABC=2∠ACD; (2)若AC=8,BC=6,求⊙O的半径. D —132 24.(12分)已知ON⊥OM,△ABC的顶点A在ON上，顶点B在 OM上，且CA=CB,CA⊥CB.连接OC,与AB交于点D. (1)如图1，若CA⊥ON,求证：OC平分∠MON; (2)如图2，若CA与ON不垂直，OC是否仍平分∠MON?请 给出结论，并说明理由； (3)如图3者8部号BC=6,求AD的长. B 图1 图2 图3 133—2x+3;(2)由图象可知，当y>为时，x<一2或0<x<8;(3)把y=3代人为=-8中， 得x=-号D点坐标为(-受3CD=85m=合×号×(4-3)=专21 (1)证明：连接OD.DF⊥AC,.∠DFC=90°.AB=AC,OB=OD,∴.∠B=∠C,∠B =∠ODB.∴.∠C=∠ODB..OD∥AC..∠DFC=∠ODF=90°，即OD⊥DF.又.OD 是半径，∴DF是⊙O的切线；(2)解：连接EO,,AB是⊙O的直径，∠ADB=90°，即 AD⊥BC.又：AB=AC,∴.∠DAC=∠BAD,CD=BD.:ED=ED,BD=BD, ∠EOD=2∠DAC,∠BOD=2∠BAD..∠EOD=∠BOD.又AE=ED,∠AOE= ∠EOD.∴∠AOE=∠EOD=∠BOD=号X180°=60，又：OB=OD,△BOD是等边 三角形.六BD=OD=2.又∠A0D=60X2=120.1a=1202-亭、22.解 180 (1)y=(200-x)(60+4×0)=-0.4x+20x+12000=-0.4(x-50x+625)+12250 =-0.4(x-25)+12250.,200-x≥180，∴.x≤20.-0.4<0，当0<x≤25时，y随x 的增大而增大，∴.当x=20时，利润最大，最大利润为：-0.4×(20一25)+12250=12240 (元).答：y与x的函数关系式为：y=一0.4x十20x十12000；每辆轮椅降价20元时，每天 的销售利润最大，最大利润为12240元；(2)12160=-0.4(x-25)+122500.4(x-25) =12250-121600.4(.x-25)=90解得x1=40(不合题意，舍去)，x2=10..售出轮椅的 辆数为60十4X碧-61（辆）.答：这天售出了64辆轮椅。23.()证明：AB=AC∠B =∠C.,DELBC,∠BED=∠CED=90°.∴∠B+∠F=∠C+∠EDC=90°.∠F= ∠EDC.∠ADF=∠EDC.∴∠F=∠ADF.AD=AF:(2)解：①过 点A作AG∥CE,则AG⊥DF,∠GAD=∠C,∠AGD=∠CED. △AGD△cED.8B-8-名.AF=AD.AGLDF..GF= B GD.=2,能=号：②过点A作AG∥CE,则AG1Dr,: △A6Dn△CED8品0gAF=ADGF-GD.流-2·0024 DEn (1)y=一x十4xy=-x十4(2)①：点P在直线AB上方，.0≤m≤4，由题知P(m, -m+4m),D(m,-m+4),.PD=yp-ym=-m2+4m+m-4=-m2+5m-4.:-1 <0当m=一马2=号时，PD有最大值号：@存在，理由如下：PD1x轴y轴L: 轴，.PD∥y轴..∠BDP=∠ACO..△AOC是直角三角形，∴.要使△BPD与△AOC 相似，只要保证△BPD是直角三角形就可以.(I)当△BPDc∽△AOC时，∠AOC= 90°，∴∠BPD=90°.此时BP∥x轴，B、P关于对称轴对称，.P(3,3);(Ⅱ)当△PBD∽ △AOC时，∴.∠PBD=∠AOC=90°..AB⊥PB.:kc=-1,∴.k即=1.设直线PB为y =x十b,把B(1,3)代入得b=2..直线BP的解析式为y=x十2.联立方程组，得 十4r解得三或{二2P2.D.综上·存在点P使△BPD与△A0C在 y=x+2 似，此时P的坐标为(3,3)或(2,4). 第二十七章学业质量评价 1.A2.D3.B4.C5.C6.B7.B8.B9.B10.C11.∠D=∠B12.2 9 13.5414.号15.号16，解：四边形ABCD和四边形GFEH相似..∠A=∠G= 70°，∠B=∠F=55°，∠E=∠C=120°.∴.∠D=360°-∠A-∠B-∠C=360°-70°-55 -120=15,器-品母碧-界解得AD=28、17.证明：BE=,GE=6C =BE+CE=9,正方形ABCD.AB=BC-9,∠B=∠C=90.是-号=号器 号∴是-8器又：∠B=∠C△ABR0△BCR 18.解：如图，△ABC1即为所求，点B1的坐标是（一8，一 2)或(8,2).19.(1)证明：四边形ABCD为菱形，. ∠ACD=∠BCA.∠ACD=∠ABE,∴.∠BCA= B ∠ABE.∠BAC=∠EAB,∴.△ABCC∽△AEB: ②那：△ABC△AEB.小2-S:AB=6,AC- 4.春AE=9.20.解：∠ABC=50,∠BAC=60,∠ACB=180 6 -175 AB AC ∠ABC-∠BAC=70°.：△ABD∽△ACE,.A=AF,∠H ,∠BAD=∠CAE.AD-AE ∠BAC=∠DAE..△ABC△ADE..∠ACB= ∠AED=70°.21.解：(1)如图①，△ADE为所作； (2)如图②，△AEF为所作（作法不唯一）.22.解： 过点C作CH⊥AB交AB于点H,则CH=BD, BH=CD=0.5,在Rt△ACH中，∠ACH=45°，· AH=CH=BD...AB=AH+BH=BD+0.5.. A 图①D 图② EF⊥FB,AB⊥FB,∴.∠EFG=∠ABG=90°.由 题意知∠EGF=∠AGB∴△EFGo△ABG“需-瓷即BD。写子BD解得 1.6 2 BD=17.5.∴.AB=17.5+0.5=18(米).答：这棵古树的高AB为18米.23.(1)证明： 连接OD.·AB为⊙O的切线，∴.OD⊥AB.∴∠ODA=∠ODB=90°.，∠ACB=90°，∴ ∠ABC+∠COD=180°.：∠AOD+∠COD=180°.∴.∠ABC=∠AOD.·∠AOD=2 ∠ACD,∴∠ABC=2∠ACD:(2)解：设⊙O的半径为r,则OD=OC=r,OA=8-r,在Rt △ACB中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6,∴.AB=√62+8=10.：∠OAD=∠BAC, ∠AD0=∠ACB△A0D△ABCC-铝即后-8解得=8，即O0的半径 为3.24.(1)证明：.OM⊥ON,CA⊥ON,CA⊥CB,.∴.∠AOB=∠CAO=∠ACB=90 ,.四边形ACBO是矩形.又CA=CB,.矩形ACBO是正方形...OC平分∠MON;(2) 解：OC平分∠MON,理由如下：过点C作CF⊥ON于F,CE⊥OM于E,则∠CFA ∠CEO=∠CEB=90°.又，∠MON=90°，.四边形ECFO是矩形..∠FCE=90°= ∠ACF+∠ACE.又：∠ACB=90°=∠BCE+∠ACE,'∠ACF=∠BCE.'AC=BC, ∠AFC=∠BEC=90°.∴.△ACF≌△BCE.∴.CF=CE.又，CF⊥ON,CE⊥OM,∴.OC平 分∠M0N:(3)解：过点C作CH⊥AB于H,由(2)知，0C平分∠MON.∠BOC=号 ∠MOV=45°.在Rt△ACB中，CA=CB,∴.∠CAB=∠CBA=45°.∴.∠CBA=∠BOC.又 ∠BcD-∠BC0.△BCDn△0CB÷SRBc=OC.CD.80cD =2OD.∴.OC=3OD..62=3OD·2OD.解得OD=6..CD=2√/6.在Rt△ACB中，AB -/BC-6/.AC-BC.CHLAB.:AH-AB-3/.CH-AB-3/.DH- √CD-CH=√(26)2-(3√2)=√6..AD=AH-DH=3√2-√6. 第二十八章学业质量评价 1.C2.B3.B4.A5.A6.D7.B8.C9.D10.A11.1312.60°13. 511 (停）15.42或10216.熊：原式=3×号+（号）-2x号+合-1 17.解：a=4√2，b=46,∠A=30°.18.解：过点C作CD⊥AB于D,则∠ADC=∠BDC =90.“∠A=30,∠ACB=105,∠B=45.在R△ACD中，∠A=30,CD=号AC =3AD=AC·cos30=6×号=35，在R△CDB中，amB-品-m45=1CD BD=3.∴.CB=√CD+BD=32.∴.CB=32,AB=AD+BD=33+3.19.解：(1) :菱形ABCD.AD=AB=40×=10cm:DE1AB∠AED=90=∠DEB.: mA器S=号DE=10x是-6：《2)60(3：AE=V0-6=8m BE=AB-AE=2cm.∴.BD=√DE+BE=√6+2=2√/I0cm.20.解：过E作EF AB于F,设FG=xm,在Rt△AFG中，tan45=能=1“AF=FG=x.在RtAA AF 中an37°-AF-F便7十4=0.75，解得=46.5.AB=AF+BF=48.5 1.6≈45(m).答：乾元塔的高度AB约为45m.21.解：(1)由题意知FQ是⊙O的切线， ∴∠OQF=90°.，OP=OQ=6400km,FP=330km,.OF=OP+FP=6730(km).. aa8器-88器0.95：（2)coa≈0.95，a=18.f0的长为：18a部0 180 2010(km).答：PQ的长约是2010km.22.解：“测角仪”方案：过C作CF⊥AB于F, CD⊥BD,AB⊥BD,.四边形CDBF是矩形..CF=BD=10m,BF=CD=1.6m. ∠ACF=32.5°，∴.AF=CF·tan32.5°=10X0.64≈6.4(m)..AB=AF+BF=6.4十1. 6=8(m).答：树AB的高度为8m;“平面镜”方案：：CD⊥BD,AB⊥BD,∴.∠CDE ∠ABE=0,:∠CED=∠AEB△CDB△ABE÷器器8品：AB -176