第27章相似练习卷-2025-2026学年人教版数学九年级下册

第27章 相似 练习卷 一、单选题 1．如图，在中，，，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形．原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 2．如图为用杭州亚运会吉祥物莲莲所作的图形改变，这种图形改变属于（    ）    A．平移 B．位似 C．旋转 D．轴对称 3．小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点O，．若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，，点分别在、边上，且，若矩形矩形，且面积比为，则长为（    ） A．20 B．18 C．12 D．9 5．如图，四边形和相似，则和的大小分别为（    ） A．  30 B．  33 C．  30 D．  33 6．如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心．若，四边形的周长是25，则四边形的周长是（　　） A．4 B．10 C． D． 7．如图，在中，点D，E分别是边，上点，且，若，则四边形的面积为（      ）    A． B． C． D． 8．如图，与位似，，，分别为，，的中点，若面积是4，则的面积为（    ）． A．4 B．12 C．16 D．20 二、填空题 9．在比例尺为1：50000的地图上，量得甲、乙两地的距离是25cm，则甲、乙两地的实际距离是 km． 10．在中，E是上一点，，，，在上取一点D，使以A、D、E为顶点的三角形与相似，则的值是 ． 11．如图，矩形内接于，点在上，点分别在和边上，且边上的高，则矩形的面积为 ． 12．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是 cm． 13．如图，是的中线，点F在上，延长交于于点D，若，，则= ． 三、解答题 14．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为个单位的小正方形，点、、都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中，，． (1)在图中标出外接圆圆心点，点的坐标为______，圆半径是_____； (2)已知与（点、、都是格点）成位似图形，位似中心的坐标是______，与位似比为_______． 15．如图，，作，D在异侧，且，，E是延长线上一点，连接交于点F．求证：． 16．如图，在中，D、E在边上，，，，，求的长度． 17．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在小正方形的顶点上，在网格中找一点D（点D在小正方形的顶点上），使以A，B，C，D为顶点的四边形是凸四边形且分别满足以下条件： (1)在图①中找一点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形； (2)在图②中找一点D，使与相似但不全等． 18．【问题情境】如图，在中，，，是边上的高，点E是上一点，连接，过点A作于F，交于点G．    (1)【特例证明】如图1，当时，求证：； (2)【类比探究】如图2，当时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请指出此时与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展运用】如图3，连接，若，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题考查了相似三角形的判定等知识，根据相似三角形的判定定理逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 如图， ∵， ∴，故A选项不合题意； B. 如图， ∵， ∴，故B选项不合题意； C.如图， ∵ ∴， ∵， ∴，故C选项不合题意； D. 如图， ∵， ∴， 但不一定等于， ∴无法判定与相似，故D选项符合题意． 故选：D 2．B 【分析】本题考查了位似变换，理解图形的形状相同，大小不相同，属于位似变换，是解答本题的关键． 【详解】解：这种图形改变属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于位似变换． 故选B． 3．C 【分析】根据，得，得到，代入计算解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 4．A 【分析】本题主要考查相似图形的性质，相似图形的对应边成比例，面积比等于相似比的平方．证明，从而可得答案． 【详解】解：矩形矩形，且面积比为， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故选A 5．D 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的性质得出对应角相等及对应边成比例即可得出答案． 【详解】由图可知，，，，，，， 四边形和相似， ，, 即, , 故答案为：D． 6．B 【分析】本题考查了位似变换，相似图形的性质．先根据位似的性质得到，四边形与四边形相似，再利用比例的性质得，然后根据相似多边形的性质求解． 【详解】解：四边形与四边形是位似图形，点是位似中心， ，四边形与四边形相似， ， ， ， 四边形的周长：四边形的周长， 四边形的周长． 故选：B． 7．C 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，先根据，得到，在根据相似三角形面积比等于相似比平方得到，即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 8．C 【分析】由和是位似三角形，为中点，可知，相似比为，由此可得答案． 【详解】解：∵和是位似三角形，，，分别为，，的中点， ∴，相似比为 ∵相似三角的面积比等于相似比的平方， 又∵的面积为4， ∴的面积为：， 故选：C． 【点睛】本题考查位似图形，相似三角形的面积比等于相似比的平方，熟练掌握位似图形的定义是解题的关键． 9．12.5 【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，列比例式直接求得甲、乙两地间的实际距离． 【详解】设甲、乙两地间的实际距离为xcm，则： 25：x=1:50000 解得：x=1250000． 1250000cm=12.5km． 故答案为：12.5． 【点睛】本题考查了比例尺的概念、比例的性质；根据比例尺进行计算，注意单位的转换问题． 10． 【分析】此题考查了相似三角形得性质，掌握相似三角形的人对应边比值相等的性质是解题的关键．由AB和、和有共同的夹角，故使得 或 ，即可求出的长度，即可解题． 【详解】 解：∵AB和、和有共同的夹角， ∴ 或 ，均可使得和相似， 解得． 故答案为． 11．12.5// 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，由矩形的性质可得,设，则，所以证明可得比例式，求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，, ∵是的边上的高， ∴ ∴四边形是矩形， ∴ 设，则， ∴ ∵， ∴， ∴即， 解得，， ∴ ∴矩形的面积为, 故答案为：12.5 12．4 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形的性质得到：， 解得， 即蜡烛火焰的高度是， 故答案为：4． 13．/ 【分析】过点E作交于G，可得，所以，得到，再根据，得，得到，即可求解． 【详解】解：如下图，过点E作交于G， 是的中线， 点E是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，过点E作，构造相似三角形是解题的关键． 14．(1)，； (2)，． 【分析】（）如图中，作线段，的垂直平分线交于点，点即为的外接圆的圆心，利用两点间距离公式计算即可； （）如图中，由，推出点与点，点与点，点与点是对应点，对应点连接的交点即为位似中心，如图点即为所求； 本题考查了三角形的外接圆的外心，位似变换，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，学会用数形结合的思想解决问题． 【详解】（1）如图中， 作线段，的垂直平分线交于点，点即为的外接圆的圆心， ，连接， ∴ 故答案为：，； （2）如图 由，推出点与点，点与点，点与点是对应点，对应点连接的交点即为位似中心，如图点即为所求； 观察图象可知，与位似比为， 故答案为：，． 15．见解析 【分析】根据两边对应成比例且夹角相等即可证明．本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：∵AB＝AC，AD＝CD， ∴， ∵， ∴． 16． ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 解得, 故的长度是． 17．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）过点作，且，从而得到点； （2）先确定为直角，且两直角边的比为，则为，然后利用与的比为确定点位置． 【详解】（1）解：如图①，点即为所作（答案不唯一）． （2）解：如图②，点即为所作（答案不唯一）． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与相似三角形的判定，掌握利用网格的边长和位置关系，结合平行四边形、相似三角形的判定条件进行格点作图是解题的关键． 18．(1)见解析 (2)当时，（1）中的结论不成立，此时，（或者），见解析 (3) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，即可得到结论； （2）证明，则，即可得到，再证明，即可得到结论； （3） 连接，证明．则，得到，由得到，则，由勾股定理得到．即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，，是边上的高， ∴．                            ∵， ∴． ∴．                                               ∴．                                               ∴ （2）当时，（1）中的结论不成立，此时，（或者） 理由如下：∵，是边上的高， ∴． ∴． ∴．                                             ∴ ∴， ∵， ∴． ∴． ∴．                                              ∴ （3）如图，连接，    ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴．                                                       ∵， ∴， ∵， ∴，．                          ∴ ∴． 由勾股定理得， ． ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $