28.1 第1课时 锐角的正弦-【名师学案】2025-2026学年九年级下册数学分层进阶学习法（人教版）

第二十八章锐角三角函数 28.1锐角三角函数 第1课时 锐角的正弦 十+…十十++ 0知识储备 十十十"十…十十 4.【教材P63例1变式】如图，在△ABC中，∠C 1.在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，∠A =90°，AC:BC=3:2,求sinA和sinB的值. 的对边与斜边的比都是一个 解：设AC=3a,则BC=2a,在 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角 Rt△ABC中，AB=√VAC+BC A的对边与 的比叫做 ∠A的正弦，记作 ,即 =√/(3a)2+(2a)2 sinA= BC 2a b C ∴.sinA= ++++,++,+++十++4+++++++++++ A基础练 心必备知识梳理·一 AC 3a 知识点一 已知直角三角形的边长，求锐角的 sin B-( )() 正弦值 易错点○ 因考虑问题不全面致错 1.(1)(2024·云南改编)如图，在△ABC中，∠C 5.直角三角形的两边长为3和4，则较小锐角的 =90°，AB=13,BC=5,则sinA等于 ( 正弦值是 A号 B.12 5 c D 12 13 【点拨】当直角三角形的边不确定时，应分类讨论，即 B ①3和4是直角边长；②4是斜边长，3是直角边长，再 根据正弦的定义解答。 知识点二已知锐角的正弦值，求直角三角形 第1(1)题图 第1(2)题图 的边长 (2)【T1(1)变式】如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，AC=5,BC=12,则sinB的值是 6.在R△ABC巾，∠B=90,sinA=AC= 100,则BC等于 ( ( A.3 B号 c号 D.2 5 A.50 C.60 D.80 2.如图，在平面直角坐标系中，点A(12,9),那 7.如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA= 12 13 么sina的值是 BC=12,求AC和AB的长. 5 A.3 B. 4 C. D a 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，a,b,c分别是 ∠A,∠B,∠C的对边.若2b=√2c,则∠B的 正弦值等于 53 九年级数学·下册 B综合练 关键能力提升·一 8.【教材P65练习T2变式】在△ABC中，∠C= 90°，若把各边长度都扩大为原来的3倍，则 ∠B的正弦值 () A.扩大为原来的3倍 R缩小到原来的} C.扩大为原来的9倍 C素养练 学科素养培育一 D.不变 13.【一日一优】【教材P85复习题 9.(1)如图，在5×4的正方形网格中，每个小正 T14变式】如图，⊙O的半径为 方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小 R,其内接锐角三角形ABC中， 正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为() ∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c. A号 B.3 c b (ID求证：s0 sin Bsin C=2R: C (2)若smA-,BC=4,5,利用(1)的结 论求⊙O的半径. 第9(1)题图 第9(2)题图 (2)【T9(1)变式】如图，点A,B,O在正方形 0 网格的格点上，则sin∠AOB= 10.如图，过直径AB延长线上一点C作⊙O的 切线，切点是D,若CD=4,BC=2,则sinC 第10题图 第11题图 11.(2024·临夏州改编)如图，△ABC中，AB =AC=5,BC=8,则sin的值是 解题炒招 12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD= 求锐角的正弦值的常用方法： BC-5,m∠CAD-2求sinB的值. (1)当锐角所在的三角形是直角三角形时，利 用正弦的定义求解.如T1(1)(2),T4等， (2)当锐角所在的三角形不是直角三角形时， 通过作垂线或连线构造直角三角形再求解.如 T2,T9,T10,T11等 助学助觳优质高数 54号10,1：211.)证明：矩形ABCD∠A=∠D=∠C-90.∠DEP+∠EPD =90°.：E,F分别在AD,BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在DC 上，∠EPH=∠A=90°.∴.∠EPD+∠CPH=90°..∠DEP=∠CPH.又：∠D= ∠C,∴.△EDP∽△PCH;(2)解：：四边形ABCD是矩形，∴.CD=AB=2,AD=BC=3, ∠A=∠D=∠C=9o:.:P为CD中点，DP=CP=号X2=1.设EP=AE=,则ED =AD-=3-x在R△EDP中，EP=ED+DP,即2=(3-x)+1,解得x=号 EP-AE=-号∴ED=-AD-AE-专：△EDPn△PCH0開即= 3 ∴PH=是.：PG=AB=25GH=PG-PH=.2.解：过点E作EF⊥BD.交BD 延长线于点F,则∠EDF=180°-135°=45°，设DF=xm=EF,由题意知∠B=∠EFC= 90∠ACB=∠BCF△AC△EFC银-器即：-春解得=14经检 验，x=14是原方程的解..DF=EF=14..DE=√14+14=14√2.答：DE的长为14 2m.13.B14.(4,6)或(-4.-6)15.A16.3或217.D18.(5-1)19. 解：(1)在Rt△BDC中，∠DBC=30°，在Rt△BAE中，∠AEB=90°，∠EBA=30°= ∠DBC∴∠DBE=∠ABC△ABEO△CBD,÷瓷酷即能器又：∠DBE ∠ABC△ABC△EBD小器-BE,在R△ABE中，∠AEB=0,∠ABE=30 AE号ABBE=停AB,脚器光张专同DE=合AC:2延长DE交 BA于F,由(1)知AE=号AB=2,∠BAE=60,在R△AEF中，∠AEF=30,.AF= 合AE=1,EF=V2-T=月BF=AB-AF=3,由1)知DE=号AC-号X2=万 2 .DF=DE+EF=23,在Rt△BDF中，DB=√BF+DF=√32+(23)=√2I. :AAo△D器品周%-后-2 第二十八章锐角三角函数 28.1锐角三角函数 第1课时锐角的正弦 知识储备 1.固定值2.斜边sinA ∠A的对边a 斜边 c 基础练 1.C(2A2C3.号4.aABa品ABa是s 5号或誓6C7.解：在△ABC中，∠C=90,nA=器-品-是解得AB=1B AC=VAB-BC=B-1g=5.8.D9.D(2号10号山.号12 2 解：在R△ACD中：m∠CAD-8=号-9CD=3.AC=V6-了=4在 △AC冲，AB=VAC+C-平F-ImB-6-有-者m. 13.(1)证明：作直径BD,连接CD.BC=BC,∠A=∠D.:BD是直径，∴.∠BCD= 90,在Rt△BCD中，sin D-6,BD=BC=a -0A=2R同理可证B2RC ·in Asin Bsin C=2R:2)解：由1)知A=2R5-2R解得R=4. 2R..a 6 第2课时锐角的余弦和正切 知识储备 1邻边斜边4能名2对边邻边4聚台3正弦余弦正切 162