第二十八章锐角三角函数·锐角三角函数间基本关系 章末专题复习2025－2026学年人教版数学九年级下册

九年级数学（人教版2012）章末专题复习 第二十八章锐角三角函数·锐角三角函数间基本关系 一、三角函数的增减性 （一）概念辨析类 （二）大小比较类 （三）范围综合判断类 （四）数形结合推理类 二、同角的三角函数关系 （一）公式直接应用类 （二）公式正误判断类 （三）弦切互化求值类 （四）整体代换求值类 （五）代数融合应用类 三、互余两角的三角函数关系 （一）关系直接转化类 （二）特殊角互余计算类 （三）角度综合转化类 （四）互余+同角综合计算类 （五）几何背景应用类 一、三角函数的增减性 （一）概念辨析类 知识梳理 1. 当时，、随的增大而增大，随的增大而减小； 2. 增减性仅适用于锐角范围，同名三角函数可直接根据角度大小判断函数值大小； 3. 易混点：不可混淆不同三角函数的增减性，并非角度越大，所有三角函数值都越大。 习题巩固 1. 下列说法中，正确的是（ ） A. 锐角越大，的值越大 B. C. D. 对于锐角，随减小而增大 2. 判断题 (1) ，则（ ） (2) 在锐角范围内，角度与函数值成正相关（ ） (3) ，说明正弦增减性比余弦快（ ） （二）大小比较类 知识梳理 1. 同名三角函数比较：直接利用增减性，锐角范围中，、“角大值大”，“角大值小”； 2. 异名三角函数比较：先利用互余关系转化为同名三角函数（如），再比较； 3. 结合特殊角值：将三角函数值与、、的特殊值比较，间接判断大小。 习题巩固 1. 用“”或“”填空： (1) (2) (3) ______ 2. 下列大小关系正确的是（） A. B. C. D. 3. 比较、、的大小，用“”连接为________。 （三）范围综合判断类 知识梳理 1. 单条件范围判断：先确定特殊角的三角函数值，再根据增减性判断角度范围（如，则）； 2. 双条件范围判断：分别求出每个条件对应的角度范围，再取交集，即为满足所有条件的锐角范围； 3. 核心步骤：特殊值定位→增减性推导→范围交集求解。 习题巩固 1. 已知锐角满足，则的取值范围是（） A. B. C. D. 2. 锐角满足且，则的取值范围是（） A. B. C. D. 3. 若锐角的三角函数值满足且，则的取值范围是________。 （四）数形结合推理类 知识梳理 1. 结合锐角三角函数的增减性特征，将角度关系转化为函数值关系，或反向转化； 2. 对于锐角，若，则；若，则；若，则； 3. 利用“角度互余转化+增减性”，推理含三角函数的代数式的符号（如，时，值为0）。 习题巩固 1. 已知，求证：，。 2. 已知为锐角，且，判断与1的大小关系，并说明理由。 3. 已知，比较、、的大小，用“”连接，并说明理由。 二、同角的三角函数关系 （一）公式直接应用类 知识梳理 1. 核心公式（为锐角）： ① 平方关系：； ② 商数关系：（）； 2. 应用技巧：已知一个三角函数值，可通过平方关系求另一个弦函数值，再通过商数关系求正切值； 3. 注意：锐角的三角函数值均为正数，故平方关系开方时仅取正根。 习题巩固 1. 在中，，若，则（） A. B. C. D. 2. 已知锐角满足，则________。 3. 计算：若，且为锐角，求的值。 （二）公式正误判断类 知识梳理 1. 核心公式的变形前提：平方关系、商数关系仅对同一个锐角成立，且仅在锐角范围内有效； 2. 常见错误变形： ① （正确为）； ② （正确为）； ③ （需满足，非同一角）； 3. 判断技巧：先看是否为同一个角，再验证是否符合核心公式的变形规则。 习题巩固 1. 下列等式中，对于锐角恒成立的是（） A. B. C. D. 2. 下列式子中，错误的是（） A. B. C. D. 3. 判断题（对的打“√”，错的打“×”） (1) 对于任意锐角，（） (2) （） (3) 若为锐角，则（） （三）弦切互化求值类 知识梳理 1. 核心方法：利用商数关系，将含、的齐次式（分子、分母中、的次数均为1）转化为仅含的式子； 2. 步骤： ① 若为分式，分子、分母同时除以（）； ② 代入的已知值，直接计算； 3. 适用场景：已知的值，求含、的齐次分式的值。 习题巩固 1. 已知锐角满足，则（） A. 3 B. -3 C. D. 2. 若（为锐角），求的值。 3. 已知，且为锐角，求与的比值。 （四）整体代换求值类 知识梳理 1. 核心关系：对于锐角， ； ； 2. 代换技巧：已知（或）的值，可先平方求出的值，再反向求另一个代数式的值； 3. 符号判断：锐角范围内，若，则；若，则；若，则。 习题巩固 1. 已知锐角满足，则（） A. B. C. D. 2. 若为锐角，且，求： (1) 的值； (2) 的值。 3. 已知锐角满足，求的值。 （五）代数融合应用类 知识梳理 1. 与一元二次方程结合：若关于的一元二次方程（）有实数根，则判别式，将方程中系数替换为三角函数，结合同角关系求解角度范围； 2. 解题步骤： ① 计算方程判别式，列出不等式； ② 利用，将不等式转化为仅含一个三角函数的式子； ③ 结合锐角三角函数值的范围（，），求解的取值范围； 3. 核心思想：将代数问题转化为三角函数问题，综合考查方程与三角函数的知识。 习题巩固 1. 若关于的一元二次方程（为锐角）有实数根，求锐角的取值范围。 2. 已知是关于的方程的一个根，是另一个根，且为锐角，求的值和的值。 三、互余两角的三角函数关系 （一）关系直接转化类 知识梳理 1. 核心公式（若，且、为锐角）： ① ，； ② ，即（）； 2. 变形公式：，，； 3. 应用技巧：看到“一个角的正弦/余弦”，可直接转化为“它余角的余弦/正弦”，正切同理。 习题巩固 1. ，。 2. 已知为锐角，且，则（） A. B. C. D. 3. 计算：。 （二）特殊角互余计算类 知识梳理 1. 特殊角（、、）的三角函数值： 角度 2. 互余特殊角的特征：与互余，三角函数值交叉相等；自余，； 3. 计算技巧：先利用互余关系转化异名三角函数，再代入特殊角值计算，简化运算。 习题巩固 1. 计算：________。 2. 计算：。 3. 计算：。 （三）角度综合转化类 知识梳理 1. 复合角度互余转化：对于含括号的复合角度（如、），先根据互余关系列出等式，求解角度值； 2. 核心步骤： ① 若，则（、均为锐角）； ② 将复合角度代入等式，解一元一次方程，求出锐角； 3. 注意：转化后需验证角度是否为锐角，确保符合题意。 习题巩固 1. 已知为锐角，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 若锐角满足，求的度数。 3. 已知为锐角，且，求的度数。 （四）互余+同角综合计算类 知识梳理 1. 核心思路：先利用互余关系将异名/异角三角函数转化为同角三角函数，再利用同角的平方关系、商数关系进行求值或化简； 2. 常见题型：已知一个角的三角函数值，求其互余角的正切值、化简含互余角与同角的混合代数式； 3. 解题步骤：互余转化→同角公式应用→计算/化简。 习题巩固 1. 已知为锐角，且，求的值。 2. 化简：（为锐角）。 3. 已知，且（为锐角），求的值。 （五）几何背景应用类 知识梳理 1. 直角三角形中的互余关系：在中，，则，故： ① ，； ② ； ③ （由，得）； 2. 应用技巧：结合直角三角形的勾股定理（），先求边长，再求三角函数值，或利用互余关系直接转化； 3. 核心思想：几何图形中的边角关系与三角函数关系结合，数形结合求解。 习题巩固 1. 在中，，，，求和的值，并验证。 2. 在中，，求证：。 3. 在中，，，求的值和的值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学（人教版2012）章末专题复习 第二十八章锐角三角函数·锐角三角函数间基本关系 一、三角函数的增减性 （一）概念辨析类 知识梳理 1. 当时，、随的增大而增大，随的增大而减小； 2. 增减性仅适用于锐角范围，同名三角函数可直接根据角度大小判断函数值大小； 3. 易混点：不可混淆不同三角函数的增减性，并非角度越大，所有三角函数值都越大。 习题巩固 1. 下列说法中，正确的是（ ） A. 锐角越大，的值越大 B. C. D. 对于锐角，随减小而增大 2. 判断题 (1) ，则（ ） (2) 在锐角范围内，角度与函数值成正相关（ ） (3) ，说明正弦增减性比余弦快（ ） 答案与详解 1. 答案：C 详解：A选项，锐角越大，越小，错误；B选项，随角度增大而增大，故，错误；C选项，随角度增大而增大，，，故，正确；D选项，随角度减小而减小，错误。 2. 答案：(1)×；(2)√；(3)× 详解：(1) 随角度增大而减小，故时，；(2) 锐角范围内，角度越大值越大，成正相关；(3) 是因为，利用增减性得，并非增减性快慢问题。 （二）大小比较类 知识梳理 1. 同名三角函数比较：直接利用增减性，锐角范围中，、“角大值大”，“角大值小”； 2. 异名三角函数比较：先利用互余关系转化为同名三角函数（如），再比较； 3. 结合特殊角值：将三角函数值与、、的特殊值比较，间接判断大小。 习题巩固 1. 用“”或“”填空： (1) (2) (3) ______ 2. 下列大小关系正确的是（） A. B. C. D. 3. 比较、、的大小，用“”连接为________。 答案与详解 1. 答案：(1)；(2)；(3) 详解：(1) 角大值大，，故；(2) 角大值小，，故；(3) 角大值大，，故。 2. 答案：D 详解：A选项，，错误；B选项，，错误；C选项，，，故，错误；D选项，，正确。 3. 答案： 详解：互余转化：，由增减性得，即；结合数值：，，故；综上得。 （三）范围综合判断类 知识梳理 1. 单条件范围判断：先确定特殊角的三角函数值，再根据增减性判断角度范围（如，则）； 2. 双条件范围判断：分别求出每个条件对应的角度范围，再取交集，即为满足所有条件的锐角范围； 3. 核心步骤：特殊值定位→增减性推导→范围交集求解。 习题巩固 1. 已知锐角满足，则的取值范围是（） A. B. C. D. 2. 锐角满足且，则的取值范围是（） A. B. C. D. 3. 若锐角的三角函数值满足且，则的取值范围是________。 答案与详解 1. 答案：B 详解：，在锐角范围内随角度增大而增大，故时，。 2. 答案：B 详解：，随角度增大而减小，故时，；，随角度增大而增大，故时，；取交集得。 3. 答案： 详解：，随角度增大而增大，故时，；，随角度增大而增大，故时，；取交集得。 （四）数形结合推理类 知识梳理 1. 结合锐角三角函数的增减性特征，将角度关系转化为函数值关系，或反向转化； 2. 对于锐角，若，则；若，则；若，则； 3. 利用“角度互余转化+增减性”，推理含三角函数的代数式的符号（如，时，值为0）。 习题巩固 1. 已知，求证：，。 2. 已知为锐角，且，判断与1的大小关系，并说明理由。 3. 已知，比较、、的大小，用“”连接，并说明理由。 答案与详解 1. 证明： ，在锐角范围内随角度增大而增大， ，即； 又在锐角范围内随角度增大而减小， ，即。 2. 答案： 详解：，， ， 在锐角范围内随角度增大而增大， ，解得； 又在锐角范围内随角度增大而增大，， 时，。 3. 答案： 详解：① 比较和： ，，， ； ② 比较和： ，时，， ，即； ③ 比较和： ，，， 取，，，则， 故时，； 综上，。 二、同角的三角函数关系 （一）公式直接应用类 知识梳理 1. 核心公式（为锐角）： ① 平方关系：； ② 商数关系：（）； 2. 应用技巧：已知一个三角函数值，可通过平方关系求另一个弦函数值，再通过商数关系求正切值； 3. 注意：锐角的三角函数值均为正数，故平方关系开方时仅取正根。 习题巩固 1. 在中，，若，则（） A. B. C. D. 2. 已知锐角满足，则________。 3. 计算：若，且为锐角，求的值。 答案与详解 1. 答案：B 详解：由同角三角函数平方关系，， 则（锐角余弦值为正）。 2. 答案： 详解：由，得， 再由商数关系，。 3. 答案： 详解：，， 代入平方关系：， 整理得：，， ，为锐角，。 （二）公式正误判断类 知识梳理 1. 核心公式的变形前提：平方关系、商数关系仅对同一个锐角成立，且仅在锐角范围内有效； 2. 常见错误变形： ① （正确为）； ② （正确为）； ③ （需满足，非同一角）； 3. 判断技巧：先看是否为同一个角，再验证是否符合核心公式的变形规则。 习题巩固 1. 下列等式中，对于锐角恒成立的是（） A. B. C. D. 2. 下列式子中，错误的是（） A. B. C. D. 3. 判断题（对的打“√”，错的打“×”） (1) 对于任意锐角，（） (2) （） (3) 若为锐角，则（） 答案与详解 1. 答案：C 详解：A选项，取，，错误；B选项，商数关系为，错误；C选项，平方关系变形，恒成立，正确；D选项，取，，，不相等，错误。 2. 答案：D 详解：A选项，，正确；B选项，同角平方关系，正确；C选项，互余关系，本身正确；D选项，锐角范围内，和均小于1，差不可能为1，错误。 3. 答案：(1)√；(2)×；(3)√ 详解：(1) ，正确；(2) 正确公式为，错误；(3) 由平方关系变形，锐角正弦值为正，故开方取正根，正确。 （三）弦切互化求值类 知识梳理 1. 核心方法：利用商数关系，将含、的齐次式（分子、分母中、的次数均为1）转化为仅含的式子； 2. 步骤： ① 若为分式，分子、分母同时除以（）； ② 代入的已知值，直接计算； 3. 适用场景：已知的值，求含、的齐次分式的值。 习题巩固 1. 已知锐角满足，则（） A. 3 B. -3 C. D. 2. 若（为锐角），求的值。 3. 已知，且为锐角，求与的比值。 答案与详解 1. 答案：A 详解：分子、分母同时除以，得： 原式， 代入，得。 2. 答案： 详解：分子、分母同时除以，转化为含的式子： 原式， 代入，得。 3. 答案： 详解：求比值即求， 分子、分母同时除以，得： 原式， 代入，得。 （四）整体代换求值类 知识梳理 1. 核心关系：对于锐角， ； ； 2. 代换技巧：已知（或）的值，可先平方求出的值，再反向求另一个代数式的值； 3. 符号判断：锐角范围内，若，则；若，则；若，则。 习题巩固 1. 已知锐角满足，则（） A. B. C. D. 2. 若为锐角，且，求： (1) 的值； (2) 的值。 3. 已知锐角满足，求的值。 答案与详解 1. 答案：A 详解：将两边平方，得： ， ， 由平方关系得， 解得，。 2. 答案：(1)；(2) 详解：(1) 将两边平方，得： ， ， 解得，； (2) 求，先求其平方： ， 为锐角，， 。 3. 答案： 详解：先求： ， 代入，得： ， ； 注：未告知与的大小关系，故两种符号均成立。 （五）代数融合应用类 知识梳理 1. 与一元二次方程结合：若关于的一元二次方程（）有实数根，则判别式，将方程中系数替换为三角函数，结合同角关系求解角度范围； 2. 解题步骤： ① 计算方程判别式，列出不等式； ② 利用，将不等式转化为仅含一个三角函数的式子； ③ 结合锐角三角函数值的范围（，），求解的取值范围； 3. 核心思想：将代数问题转化为三角函数问题，综合考查方程与三角函数的知识。 习题巩固 1. 若关于的一元二次方程（为锐角）有实数根，求锐角的取值范围。 2. 已知是关于的方程的一个根，是另一个根，且为锐角，求的值和的值。 答案与详解 1. 答案： 详解：方程有实数根，判别式， ， 整理得：， 由同角平方关系，代入得： ， ， 两边同乘，不等号反向：， 令（，为锐角），则不等式为， 解一元二次方程，得， ，正根为，结合题意取， ，故锐角的取值范围为。 2. 答案：， 详解：由一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），得： ，， 将两边平方，得： ， ，解得； 联立，解得，， 为锐角，， 。 三、互余两角的三角函数关系 （一）关系直接转化类 知识梳理 1. 核心公式（若，且、为锐角）： ① ，； ② ，即（）； 2. 变形公式：，，； 3. 应用技巧：看到“一个角的正弦/余弦”，可直接转化为“它余角的余弦/正弦”，正切同理。 习题巩固 1. ，。 2. 已知为锐角，且，则（） A. B. C. D. 3. 计算：。 答案与详解 1. 答案：37；63 详解：由互余关系，，故； ，故。 2. 答案：A 详解：由互余关系，，故。 3. 答案： 详解：由互余关系，， ，取特殊值， 原式。 （二）特殊角互余计算类 知识梳理 1. 特殊角（、、）的三角函数值： 角度 2. 互余特殊角的特征：与互余，三角函数值交叉相等；自余，； 3. 计算技巧：先利用互余关系转化异名三角函数，再代入特殊角值计算，简化运算。 习题巩固 1. 计算：________。 2. 计算：。 3. 计算：。 答案与详解 1. 答案：1 详解：由互余关系，，故原式； 或直接代入值：。 2. 答案： 详解：代入特殊角值，，，， 原式。 3. 答案： 详解：由互余关系，，故， 代入，， 原式。 （三）角度综合转化类 知识梳理 1. 复合角度互余转化：对于含括号的复合角度（如、），先根据互余关系列出等式，求解角度值； 2. 核心步骤： ① 若，则（、均为锐角）； ② 将复合角度代入等式，解一元一次方程，求出锐角； 3. 注意：转化后需验证角度是否为锐角，确保符合题意。 习题巩固 1. 已知为锐角，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 若锐角满足，求的度数。 3. 已知为锐角，且，求的度数。 答案与详解 1. 答案：C 详解：由互余关系，， 故， 为锐角，， 解得。 2. 答案： 详解：由互余关系，， 故， 为锐角，， 解得。 3. 答案： 详解：由互余关系，则， 故， 整理得， 解得， 验证：时，，，，符合互余关系，且为锐角，成立。 （四）互余+同角综合计算类 知识梳理 1. 核心思路：先利用互余关系将异名/异角三角函数转化为同角三角函数，再利用同角的平方关系、商数关系进行求值或化简； 2. 常见题型：已知一个角的三角函数值，求其互余角的正切值、化简含互余角与同角的混合代数式； 3. 解题步骤：互余转化→同角公式应用→计算/化简。 习题巩固 1. 已知为锐角，且，求的值。 2. 化简：（为锐角）。 3. 已知，且（为锐角），求的值。 答案与详解 1. 答案： 详解：由同角平方关系求： ； 由互余关系转化：。 2. 答案：1 详解：由互余关系，， 代入原式得：， 由同角平方关系得，原式。 3. 答案： 详解：，， 由互余关系，，； 先求：， 故； 由同角商数关系，。 （五）几何背景应用类 知识梳理 1. 直角三角形中的互余关系：在中，，则，故： ① ，； ② ； ③ （由，得）； 2. 应用技巧：结合直角三角形的勾股定理（），先求边长，再求三角函数值，或利用互余关系直接转化； 3. 核心思想：几何图形中的边角关系与三角函数关系结合，数形结合求解。 习题巩固 1. 在中，，，，求和的值，并验证。 2. 在中，，求证：。 3. 在中，，，求的值和的值。 答案与详解 1. 答案：，；验证成立 详解：第一步，由勾股定理求： ； 第二步，求三角函数值： ，； 第三步，验证： ，， 故，验证成立。 2. 证明： 在中，，， 由互余关系得，， 由同角三角函数的平方关系得，， 将代入，得，得证。 3. 答案：， 详解：第一步，求： ，， 由互余关系得，， ，； 第二步，求： ，设，（）， 由勾股定理得，， 故。 学科网（北京）股份有限公司 $