28 大单元整合与素养提升-【名师学案】2025-2026学年九年级下册数学分层进阶学习法（人教版）

第二十八章大单) A考点整合 考点一利用定义求锐角三角函数 1.(2024·云南)如图，在△ABC A 中，若∠B=90°，AB=3,BC =4,则tanA= B A号 R号 c D 2.如图，在正方形组成的网格中，∠BAC的余 弦值等于 ( 2 B② 1 C.1 D. 2 C 4 B 0 第2题图 第3题图 3.【新课标·跨物理学科】如图，CD是平面镜， 光线从A点出发经CD上点O反射后照射到 B点，若入射角为α，反射角为B(反射角等于 入射角)，AC⊥CD于点C,BD⊥CD于点D, 且AC=1,BD=3,CD=4,则tana的值为： 考点二特殊角的锐角三角函数值 4在△ABC中，若cosM-号，anB=5,则这 个三角形一定是 () A.直角三角形 B.等腰三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形 5.如果sina+cos230°=1，那么锐角a的度数 是 () A.30° B.45 C.60° D.90° 6.计算： (1)√3tan60°+-3sin30°|-cos245°； 75 九年级数学·下册 元整合与素养提升 (2)(2024·青海)计算：√18-tan45°十π° |-√2|. 考点三解直角三角形 7.在△ABC中，AB=4,∠C=45°，∠B=60°， 求BC的长. 考点四解直角三角形的实际应用 8.如图，为测量大楼AB的高 度，小明测得坡底C到大楼 底部A的水平距离AC= 52米，斜坡CD=52米(A,D45 B,C,D在同一平面内)，斜 A 面坡度=1：2.4（坡面的铅直高度与水平宽 度的比)，在D处测得大楼顶部B的仰角为 45°，则大楼AB的高度为 () A.100m B.104m C.120m D.125m 9.【新情境·地域文化】(2024·武汉)黄鹤楼是 武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一 楼”的美誉.在一次综合实践活动中，某数学 小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度.具体 过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平 地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯 角为45°，底端B的俯角为63°，则测得黄鹤楼 的高度约是 m.(参考数据：tan63°≈2) --45死 63 102m 地面 10.(2024·湖北模拟)学生甲在凉亭A处测得湖 心岛C在其南偏西15°的方向上，又从A处 向正东方向行驶300m到达凉亭B处，测得 湖心岛C在其南偏西60°的方向上，则凉亭B 与湖心岛C之间的距离为 m. ·东 B易错专攻 11.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果各边都扩大 为原来的3倍，则tanA的值 ( A.不变 B.扩大为原来的3倍 C.缩小为原来的号 D.不能确定 12.AD是△ABC的高，CD=1,AD=BD= √3，则∠BAC的度数为 13.在△ABC中，tanA=圣，AB=5,BC=4,那 么AC的长为 C素养提升 14.【新课标·数学文化】(2024·资阳)第14届 国际数学教育大会(ICME-14)会标如图1 所示，会标中心的图案来源于我国古代数学 家赵爽的“弦图”.如图2所示的“弦图”是由 四个全等的直角三角形（△ABE,△BCF, △CDG,△DAH)和一个小正方形EFGH 拼成的大正方形ABCD.若EF:AH=1: 3,则sin∠ABE= IcmE-14 三三年三 B 图1 图2 5 B.3 c青 D26 5 15.【新课标·跨物理学科】(2024·安徽)科技 社团选择学校游泳池进行一次光的折射实 验，如图，光线自点B处发出，经水面点E 折射到池底点A处.已知BE与水平线的夹 角a=36.9°，点B到水面的距离BC=1.20m, 点A处水深为1.20m,到池壁的水平距离 AD=2.50m.点B,C,D在同一条竖直线 上，所有点都在同一竖直平面内.记入射角 为8折射角为，求霜的值（精确到0.1）. (参考数据：sin36.9°≈0.60，cos36.9≈0.80， tan36.9°≈0.75) 777 B法线 水面 池( 池底 请完成进阶测评（五）[第28章] 助学助教优质高效76m..DC=FD+CF=68.08十18.00=86.08≈86.1m.答：从A处的九孔桥到C处的二 龙源瀑布上升的高度DC约为861m8解：1)：斜坡的坡度为1：3铝-子.： BD=CD-CB=3.2-1=2.2(m),.在Rt△ABD中，AB=3BD=6.6m.故AD= √/BD+AB=J10BD≈3.2×2.2=7.04.答：斜面AD的长度应约为7.04米.(2)过点 C作CELAD.垂足为E,在R△ABD中，m∠ADB是RD音0，在 R△CDE中.sin∠CDE-8器CE=CD·sm∠CDE=3.2X高而≈3(m.:3>2 8,.货车能进入地下停车场. 模型构建专题（三）构造基本图形解直角三角形 1.1402.743.解：过点D作DE⊥BC,垂足为E,由题意，得AF BC,DE=AF,斜 AB的坡度i=3:4,F=号.·设AF=3xm,则BF=4rm,在Rt△ABF中，A /AF+BF=/(3x)2十(4.x)2=5x(m).在Rt△DEC中，∠C=18°，CD=20m,.∴.DE CD·sin18≈20X0.31=6,2(m.“AF=DE=6,2m,3x=6.2,解得：x.AB =5x≈10.3(m).答：斜坡AB的长约为10.3m.4.A5.解：(1)过点A作AH⊥PO于 点H,由题意，得AP-26m:斜坡AP的按度为1：24立-言设AH 5a,则PH=12a,AP=13a=26m.∴.a=2m,∴.AH=5a=10m.答：坡顶A到地面PO的 距离为10m.(2)延长BC交PO于点D,由题意得，CD=AH=10m,AC=DH,∠BPD= 45°，∠BAC=76°，设BC=xm,则BD=(x+10)m,在Rt△BPD中，∠BPD=45°，.BD =PD=(x+10)m,,PH=24m,∴.DH=AC=(x+10)-24=(x-14)m.在Rt△ABC x 中，tan76C=≈4.01，解得x之18,7，经橙验.x18.7是原方程的解且符合题 意.答：网络信号塔BC的高度约为18.7m.6.解：过点E作EF⊥CD,交CD的延长线 于点F,在R△DFE中，∠EDF=e=53an53-票≈专设EF=,则DF=8 .CF=CD+DF=(15+3x),由题意，得∠ABC=∠EFC=90°，∠ACB=∠ECF,· △CFE0△CBA.能-器号53解得：=5，经检验：=5是原方程的解 4 .EF=4.x=20(m). 综合与实践（四）探究纸伞中的数学问题 任务一：证明：“AB=AC.AE=号AB,AF=号AC.AE=AK.又：AD=AD,DE= DF,∴.△ADE≌△ADF.∠BAD=∠CAD..AP是∠BAC的角平分线；任务二：解： AD'=50cm,AE=20cm,.DE=D'E=30cm.,∠BAC=120°，.∠EAD=60°.过点E 作EG⊥AD于点G,连接ED.在Rt△AEG中，AG=AE·cos∠EAG=20·cos60°=10 (cm).EG=AE·sin∠EAG=20·sin60°=10√/3(cm).在Rt△DEG中，由勾股定理，得 DG=√DE-EG=√600≈24.5(cm).∴.AD=AG+DG=34.5(cm).∴.DD'=AD'- AD=50一34.5=15.5(cm).答：当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D移动的距离为15.5 cm;任务三：60cm. 第二十八章核心素养与跨学科融合专练 1.解：原式=2-+2×号-1=1.2.号53.284(1)20解：(2)由题可知0N =AC=10cm,NB=ON=10cm.又：∠DON=32..DN=ON·tan∠D0N= EC=21 10·tan32≈10X0.62=6.2cm..BD=BV-DN=10-6.2=3.8cm.答：B,D之间的 距离约是3.8cm. 第二十八章大单元整合与素养提升 1.C2.B3.14.D5.N61)解：原式=5×5+3×号-（号）=4.(2)解：原 式=3√2-1+1-√2=2√2.7.解：过点A作AD⊥BC于D.则∠ADB=∠ADC=90. 在R△ABD中.asB-0:BD=AB·os60=4X号=2.AD=V个-F-25 ERt△ADC中，tanC-号=tan45°=1.AD=CD=23.BC=BD+CD=2+2B 8.C9.5110.(150+150√/3)11.A12.15°或75°13.4+√7或4-√/714.C 15.解：过点E作EH⊥AD于点H,由题意可知，∠CEB=a=36.9°，EH=1.20m,四边 形CEHD是矩形，CE=DH.CE-Tan SG.≈。：君1.60(m,AH=AD-CE- —166 2.50-1.6=0.90(m).AE=VA+EΠ=0.90+1,20=1.50(m),simy=AE -是8-0.60.：mg=sm∠CBE-6是-os∠CEB=osa=080÷品}-8器 sny6.60≈1.3 第二十九章投影与视图 29.1投影 知识储备 1.平行平行投影平行投影2.同一点中心投影中心投影3.完全相同 基础练 1.A2.C3.(1)BC(2)BCEF4.B5.解：如图，点P和线段EF即为所求. F EA B 小华小军 小丽 第5题图 第8题图 6.(1)③④平行垂直(2)D7.A8.解：如图所示.9.C10.S1=S<S211. (1)4.1解：(2)方法1：增加路灯D的高度；方法2：使路灯D向墙靠近.12.解：由题意 可如，提是即织-解得AB=1.92:设图②中的村药为m 1.2 M 期FM=(-1.2n,由戴意知器-瓷即22=0好得=3 1 44.答：图①中的树高1.92m,图②中的树高3.44m. 29.2三视图 第1课时物体的三视图 知识储备 1.平面2.前后上下左右3.对正平齐相等 基础练 1.A2.A3.B4.B5.C6.略7.C8.解：(1)如图所示.(2)如图所示. 9.B 10.B11.C12.C13.A14.解：如图： 主视图 左视图 主视图 左视图 主视图 左视图 俯视图 俯视图 俯视图 第8(1)题图 第8(2)题图 第14题图 15.(1)如图所示： (2)4 左视图 俯视图 第2课时 根据三视图确定几何体 知识储备 1.前面上面2.实虚 基础练 1.A2.A3.D4.D5.C6.D7.D8.C 9,主视图 ▣ 俯视图 (1) 2 3 物体 167