27.2.2 相似三角形的性质-【名师学案】2025-2026学年九年级下册数学分层进阶学习法（人教版）

27.2.2相似 砂知识储备出 1相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应 角平分线的比都等于 2.相似三角形的周长比等于 3.相似三角形的面积比等于 +++++十+十+十+十十+++一十+十+十十+， A基础练 必备知识梳理一 知识点一相似三角形对应线段的比等于相似比 1.(2024·内江改编)已知△ABC∽△DEF,相 似比是1：4，则△ABC与△DEF对应中线 的比是 () A.1:2B.2:1 C.1:4 D.1:16 2.（教材P37“探究”改编) 一题多变 (1)【已知相似三角形对应高的长，求对应中 线的长】 (答题模板)已知△ABC∽△A'B'C',AD和 A'D'分别是BC和B'C'边上的高，且AD=4 cm,A'D'=6cm,BE是△ABC的中线，BE =5cm,求△A'B'C中对应中线B'E的长. 解：.△ABCc∽△A'B'C,AD和A'D'分别 是BC和B'C'边上的高，且BE和B'E'是对 应的中线， 9 ,即4 6 解得B'E'= cm. (2)【已知相似比，求对应角平分线的比】 已知△ABCの△A'B'C,相似比为3：4， 若AE和A'E分别是△ABC和△A'B'C'的 角平分线，且A'E'=8cm,则AE= cm. 知识点二相似三角形的周长比等于相似比 3.(1)(2024·重庆改编)若两个相似三角形的 相似比是1：3，则这两个三角形的周长比是 () A.1:3 B.1:9 C.1:3 D.9:1 35 九年级数学·下册 三角形的性质 (2)【T3(1)变式】△ABC的三边长分别为2， 3,4,另有一个与它相似的三角形DEF,其最 长边为12，则△DEF的周长是 () A.54 B.36 C.27 D.21 知识点三相似三角形的面积比等于相似比的平方 4.△ABC∽△DEF,相似比是4：9，若△ABC 的面积是16，则△DEF的面积是 5.如图，在△ABC和△DEC中，∠A=∠D, ∠BCE=∠ACD. (1)求证：△ABC∽△DEC; (2)若S△ABc:S△DEc=4:9,BC=6,求CE 的长. 易错点○因考虑问题不全面而漏解 6.在□ABCD中，E是AD上一点，且点E将 AD分为2：3的两部分，连接BE,AC相交于 点F,则S△AEF：SABF是 【点拨】由于点E的位置不确定，故分为AE:DE 2:3或DE:AE=2:3两种情况讨论 B综合练 骨关锭能力提升一 7.如图，将△ABC沿BC边上的 中线AD平移到△A'B'C'的 位置，已知△ABC的面积为 B 16,阴影部分三角形的面积为 9.若AA'=1,则A'D等于 A.2 B.3 C.4 D.2 8.如图，BE,CD是△ABC的中线，BE和CD 相交于O,连接DE.下列结论： BC C△C ④A882,@Sam=2SmE=5am其中 正确的结论有 () A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 D B 第8题图 第9题图 9.(教材P43习题T12改编) 一材多题 如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB和 AC上，且DE∥BC. (1)若AD:DB=1:2,则△ADE与△ABC 的周长比是 ,S△ADE：S四边形DBCE (2)过点A作AG⊥BC于G,交DE于H,若 △ADE与△ABC的周长比是1：3，则 AH:GH的值是 (3)若S△ADE=S四边形DBCE,则AD:AB= 10.如图，在△ABC中，点D,E,F分别在边 AB,AC,BC上，连接DE,EF.已知四边形 BFD是平行四边形，BE- (1)若AB=8,则线段AD的长是 (2)若△ADE的面积为1，求平行四边形 BFED的面积. C素养练 》学升本杀路一 11.【一日一优】【新中考·新定义型阅读理解 题】定义：三角形角的顶点到该角的外角平 分线与该角对边所在直线的交点之间的连 线叫做三角形的“外角平分线”.我们在学习 相似三角形的性质时，证明过“两个相似三 角形对应边上的高、中线和对应角的平分线 之比都等于相似比”，猜想“两个相似三角形 对应角的外角平分线之比是不是也等于相 似比？”例如：如图，已知△ABC∽△A'B'C', 且△ABC与△A'B'C'的相似比为k,AD,A'D 分别是△ABC,△A'B'C'的外角平分线，那 么=是香成立？如果不成立，请说明 理由；如果成立，请结合图①，图②加以证明. D D E 图① 图② 解题妙招 相似三角形的周长比与面积比不能混淆，相 似比等于周长比，等于面积比的算术平方根.如 T5(2),T7,T9(3). 助学助教优质高数 36FE ∥BC,∠DAC=∠ACB,∠DAC=∠B.又：∠EFB=∠D.△EBFD△CAD,CD 、=5,即EF·AC=CD·BE:(2)解：AB=AC.AB=20,AC=20,由(1)知△EBF☑ △CAD器-需即毁-专部得EB=16、3证明：矩形ACD.∠BAD= 20 ∠ADE=90°，AB=DC..∠ABD+∠ADB=90°.，AE⊥BD,.∠DAE+∠ADB=90° ∠ABD=∠DAE:∠BAD-=∠ADE=S0△ADEn△BADR-AD =DE·BA.:AB=DC,AD=DE·DC.4.证明：矩形ABCD,.AB=CD, ∠ADC=90°.'AE⊥BD,PE⊥CE,∴.∠AED=90°=∠AEP+∠PED,∠PEC=90°= ∠PED+∠DEC.∴.∠AEP=∠DEC.又：∠EAP+∠ADE=9O°，∠ADE+∠EDC= 90∠EAP-∠EDC△AEPn△DEC能-C又AB=(D.AE,AB-DE ·AP5证明：DE∥BC△ADE△ABC能-.又：BF∥CD.长 需E-器DE,CD=C·EF,6证明：ADLBC.∠ADB=∠AC 90°.：E是AC的中点，∴.DE=AE=CE..∠EDC=∠C.:∠BAC=90°=∠BAD+ ∠DAC,∠ADC=90°=∠DAC+∠C,∴.∠BAD=∠C.:∠BDF=∠EDC,∠EDC= ∠C∠BAD=∠BDE.又：∠P=∠R.△BDFO△DAR册-又：∠ADB =∠AC,∠BAD=∠C△ABDACAD.0六0REAB.AF=AC ·DF.7.证明：：AD是△ABC的高，DE⊥AB,∠AED=∠ADB=∠ADC=90°. ∠BAD=∠EAD△AEDD△ADB.÷0-A8AD=AE·AB.同理可证明AD =AF·AC,.AE·AB=AF·AC. 27.2.2相似三角形的性质 知识储备 1.相似比2.相似比3.相似比的平方 基础练 1.C2.(1DB2BE7.5(2)63.1)A(2)C4.815.1)i证明：∠BCE= ∠ACD,∴.∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE,即∠ACB=∠DCE.又·∠A=∠D, AAC0aDce,aA△Dec=(2)-古偎号周是 6 -号CE=9.6,4:25或9：257.B8B9.1:3号22(32：2 10.a2解：(2△ADB△ABC:S-()-(行)广-G△ADE的面 S△Ane 积为1，.△ABC的面积是16.，四边形BFED是平行四边形，.EF∥AB.:△EFCc △ABC小-()广-△BFC的面积为8平行四边形BFBD的面积-16 -9-1=6、1解：品-及成立，证明如下：△ABCn△ABC,且相似比是， ∠BAC=∠BAC,∠ABC=∠ABC,0-∠BAE=∠BAE,∠ABD=∠AB D.:AD,AD'分别是∠BAE和∠BA'E的平分线，.∠BAD=∠BAE,∠BA'D'= ∠BA'E.∠BAD=∠BA'D.又：∠ABD=∠AB'D,△ABDO△AB'D. AD AB AD'-AB-. 27.2.3相似三角形应用举例 知识储备 成比例 基础练 1.D2.B3.解：过点E作EH⊥AB于点H,交CD于点G.由题意，得CG∥AH △CGB△AHE÷器-器：=5品2解得AH=1.9AB=AH+HB =AH十EF=11.9+1.6=13.5(m).答：旗杆AB的高度是13.5m.4.B5.76.450 —158