27.2.2 相似三角形的性质-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（人教版）

27.2.2相似 (教材P37 即基础闯关 >>>>>>>>>>>>>> 难度等级基础题 知识点一：相似三角形对应线段的比 1.如图是某晾衣架的侧面示意图，根据图中数 据，C,D两点间的距离是( ) A.0.9mB.1.2mC.1.5mD.2.5m A0.6mB 北岸 1.5m m 南岸 D八地面 D 第1题图 第4题图 2.已知两个相似三角形，其中一组对应角平分 线的长分别是2和6，那么这两个三角形的相 似比为( ) A.1:2 B.1:3C.1:4 D.1:6 3已知△ABCD△AB'C,AB=AB边B 的中线CD=4cm,则A'B'边上的中线C'D 的长为 4.如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的 南岸边每隔4米有一棵树，在北岸边每隔 50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边12米 的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线 杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵 树之间还有两棵树，则河宽为 米 知识点二：相似三角形周长或面积的比 5.[几何直观]（包头中考）如 图，在边长为1的小正方形 组成的网格中，A,B,C,D 四个点均在格点上，AC与 BD相交于点E,连接AB, CD,则△ABE与△CDE的周长比为( A.1:4B.4:1C.1:2D.2:1 6.(淄博中考)如图，在△ABC中，AC=2,BC 4,D为BC边上的一点，且∠CAD=∠B.若 △ADC的面积为a,则△ABD的面积 第二十七章相似☑ 三角形的性质 38练习) 为() > A.2a C.3a D.24 第6题图 第7题图 7.如图，将腰长为12cm的等腰三角形纸片，沿 与底边平行的方向剪去一个小的等腰三角形 纸片，剩下一个等腰梯形纸片.若剪去纸片面 积是剩下纸片面积的令，则剪去等腰三角形 纸片的腰长为 8.(镇江中考)如图，点D,E 分别在△ABC的边AC, AB上，△ADE∽△ABC, M,N分别是DE,BC的 巾点老兴-名则 B S△ADE= SAABC 9.(荆门中考)(1)如图①，四边形ABCD为平 行四边形，E,F为CD边的两个三等分点，连接 AF,BE交于点G,则S△G·S△4BG=() A.13B.3:1C.1:9D.9:1 D E ① ② (2)如图②，E是口ABCD的边AD上一点， CE与BA的延长线交于点F.若S△cDE一 4SAAF,则SDAD SAAEF- 即能力提升 >》>>》>>》>>难度等级中等题 10.如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点 O为原点，点A的坐标为(4,3)，OA=OB, 将△AOB沿x轴向右平移3个单位长度得 做神龙题得好成绩43 ☑同行学案学练测数学九年级下RJ 到△A'OB',O'A'与AB相交于点C,则 △O'BC的面积为() O'B B' 视频讲解 A号 B c D.2 11.[一题多辨](1)（随州中考）如图①，平行于 BC的直线DE把△ABC分成面积相等的 BD 两部分，则 AD 的值为( ) A.1 R号 C.√2-1D.√2+1 B ① ③ (2)(遵义中考)如图②，△ABO的顶点A在 函数y=>0)的图象上，∠AB0=90, 过AO边的三等分点M,N分别作x轴的平 行线交AB于点P,Q.若四边形MNQP的 面积为3，则k的值为() A.9B.12 C.15D.18 12.(杭州中考)如图，在△ABC中，点D,E,F 分别在AB,BC,AC边上，DE∥AC, EF∥AB. (1)求证：△BDEp△EFC. (2设C名 ①若BC=12,求线段BE的长 ②若△EFC的面积是20，求△ABC的 面积. 44】做神龙题得好成绩 即培优创新 >>>>>>>>>>>》难度等级综合题 素养提升微专题 【三角形中的内接矩形问题】 13.[一题多辨·创新意识]有一道作业题： 如图，有一块三角形余料 ABC,它的边BC=120mm, 高AD=80mm,要把它加工 成正方形零件，使正方形的一 B Q DMC 边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC 上，问加工成的正方形零件的边长为多少 毫米？ 小颖解得此题的答案为48mm.小颖善于反 思，她又提出了如下的问题. (1)如果原题中所要加工的零件是一个矩 形，且此矩形由两个并排放置的正方形组 成，如图①，此时，这个矩形零件的两条边长 又分别为多少毫米？ (2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩 形，如图②，这样，此矩形零件的两条边长就 不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达 到这个最大值时矩形零件的两条边长 B O B 011.解：，动点P从点A开始沿AB运动，速度为2cm/s,动 17.(1)证明：，AC平分∠BAD,∴.∠DAC=∠CAB. 点Q从点B开始沿BC运动，速度为4cm/s,.AP= 2t cm,BP =(8-2t)cm,BQ=4t cm..PBQ= ∠ADC=∠ACB=90,△MDC△ACB,∴A2 ∠ABC当铝-瓷时，△BPQn△BAC,即8g- AC=AB·AD.(2)解：AC=AB·AD,AC AC 8 片得=2当积-器时，△Q8rv△BC,语 BC BA -5,AB=2AD-S--是：∠ACB AB 2 g,解得t=0.8.即经过2s或0.8s时，△QBP与 90,E为AB的中点，EA=BC=EB=号AB=号×2 △ABC相似，.t的值为2或0.8. =1,∠EAC=∠ECA.AC平分∠DAB,∴∠DAC= 第3课时相似三角形的判定(3) ∠CAE,∴.∠DAC=∠ECA.∠AFD=∠CFE, 1.D2.C 3 3.C[解析]与△AEC相似的是△ADB,△FEB,△FDC, AAFDACFE,能-2-言-是 共3个. 27.2.2相似三角形的性质 4.C[解析]△ECA∽△EDB,△EDC△EBA,△ADP∽ 1.B2.B3.6cm △BCP,△ABP△DCP,共4对相似三角形. 5.证明：，四边形ABCD是平行四边形，.∠BAF= 4385.D6.C7.4em8是9(1C(22 ∠AED,且∠C+∠D=180°.又，∠BFE+∠BFA= 10.C[解析]点A的坐标为(4,3)，∴.OA=√32十4=5， 180°，∠BFE=∠C,.∠BFA=∠D,.△ABF ∽△EAD. 0B=-0A=5,Saw=号×5X8=岁.：将△A0B 6.(1)3(2)55°7.B 沿x轴向右平移3个单位长度得到△A'OB',∴.OO=3, 8.(1)△ACD∽△CBD,△ACD∽△ABC,△CBD∽△ABC OB=2.由平移可知OA'∥OA,.△O'BC∽△OBA, 2压86w唱号 SAO SAOBA 归纳总结：(1)相似(2)AB·ADAB·BDAD·BD 4×15 6 9.B10.B11.A12.A 25X2 5 18.2厄或竖1419 11.(1)C (2)D[解析].NQ∥MP∥OB,∴.△ANQ∽△AMP∽ 15.12或16或21 16.证明：(1)，四边形ABCD是正方形，△DEF是等腰直角 △40B,:M.N是O4A的三等分点然-日A 三角形，∴.∠ADC=∠EDF=90°，AD=CD,DE=DF, 1 ∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF,∴∠ADE= 3,.令M=4.四边形MNQP的面积为3， (DE-DF S△Q=1, 2Sa4SAMo=L·S月 AAO ∠CDF.在△ADE和△CDF中，∠ADE=∠CDF, AD-CD .S△A0B=9,.k=2S△A0B=18. △ADE≌△CDF(SAS).(2)如图，延长BA交ED 12.(1)证明：DE∥AC,.∠DEB=∠FCE.EF∥AB, 于点M.·△ADE≌△CDF,∴.∠EAD=∠FCD,即 ∴.∠DBE=∠FEC,∴.△BDEP△EFC. ∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF.:'∠MAD= 2解，①EFAB既-能-子：BC=C-BE ∠BCD=90°，∴.∠EAM=∠BCF.,∠EAM=∠BAG, =12-BE∴2E号解得BE=4②品 BE 1 .∠BAG=∠BCF,,∠AGB=∠CGF,.△ABG ∽△CFG. -景EAB,△EPCABAC,S 1 ()=(号)=号S=5=×20 =45. 13.解：(1)设PQ=xmm,由题意，得△APN∽△ABC, 瓷铝瓷-，解得x-9PN=2 4这个矩形零件的两条边长分别为 40 9.(1)证明：，∠BCE=∠ACD,∴.∠BCE+∠ACE= 7 mm, ∠ACD+∠ACE,∴.∠ACB=∠DCE.又∠A=∠D, 480 (2)设PQ=xmm,由题意，得△APN∽ .△ABCn△DEC.(2)解：△ABCn△DEC, △ABC,小-铝器-0鄉得PN=120- SAABC :SbDc )°-又：Bc=6,c-9 ACEA 8xs=020-号)=-号x2+120x= 3 3 10.(1)证明：，四边形ABCD是正方形，.∠BCD=90°， 2(x ∠ACB=∠ACD=45°.：EG∥BC,EF∥CD,.四边形 40)2+2400,∴.当x=40时，即PQ=40mm,PN= EFCG是平行四边形.又，∠FCG=90°，∴四边形EFCG 60mm时，矩形面积最大，∴.达到最大值时矩形零件的两 是矩形，.EF⊥BC,EG⊥CD,.EF=EG(角平分线的 条边长分别为40mm,60mm. 性质)，∴.四边形EFCG是正方形.(2)解：：四边形 培优专题9：巧用基本模型 探索三角形相似 ABCD,EFQG春是正方形，S-器-，∠ACD 1.22.32 ∠ECG=45°，∴.∠ACE=∠DCG,.△ACE△DCG, 2 3.解：四边形ABCD是菱形，.DC∥AE,.△DFC∽ 品瓷- AAFEBE-ABAB-3BE6.AE 27.2.3相似三角形应用举例 1.A2.5.53.8.5 =9703-gDr=1.5AF=AD+DF=3+ 4.A5.1006.D7.6m8.2000 3 1.5=4.5. 9.解：如图，过点C作CD⊥MN于点D,延长CD交A'B于 4△MCB5号6告 4 点E,则ABMN∥A'B',∴.CE⊥A'B',∠MNC=∠A'B'C, 7.18[解析]如图，连接AC.,菱形ABCD∽菱形AEFG, ∠NMC=∠BAC,△MCO△ABC,是 ∠B=∠E=∠AGF=60°，AB=BC,△ABC是等边 .'CE=5 m,DE=3 m,AB'=AB=0.8 m,.'.CD=CE- 三角形，∴.∠ACB=60°.设AB=BC=AC=a,则BH=a -14,BG=a-6.,∠AGB=∠AGH+∠BGH=∠ACG DE=2m=号MN=02,答：藏长NMN至少 +∠CAG,∠AGH=∠ACG=60°，∴.∠BGH=∠CAG. 为0.32m. ∠B=∠ACG.△GH∽△CG,答-8器 CG A E W B .a6=414,.a2-20a十36=0，解得a=18或a= a 10.解：根据相似三角形的知识可知方案二中△ABE缺少边 2(舍去)，∴.AB=18,即菱形ABCD的边长为18. 长的条件，故方案二不可行，方案三中△AMC缺少边长 E 的条件，故方案三不可行.选方案一.，∠ECD=∠ACB, ∠EDC=∠ABC,△ABcn△EDC,部-瓷. AB=BCED=1.5BC.设BC=Em,则AB= DC 8.证明：(1)：∠BAC=90°，AD⊥BC于点D,.∠BAC= 1.5xm同理可得△ABF∽△GHF,AB=BF "GH=HF··AB ∠ADB=90°，∴.∠BAD+∠ABD=∠ABD+∠C=90°， =1.5x m,BF=CF+BC=(4+x)m,GH=1.5 m,FH ∠BAD=∠C.E是AC的中点，.DE=CE,∠C= ∠EDC.:∠EDC=∠BDF,∴∠BAD=∠BDF.:∠F =15m,号-出若解得2=8，AB=15 =∠F,∴.△DFB∽△AFD.(2)由(1)知∠BAD=∠C. 12m. ∠ADB=∠ADC.△ABD△CAD,÷A8-船 27.3位似以 △DFB△AFD,船-REA把-R,即AB: 第1课时位似图形 AC=DF AF. 1.B2.D3.B4.C5A6,号 同行学案学练测·17·