27.2.1 第3课时 相似三角形的判定定理3-【名师学案】2025-2026学年九年级下册数学分层进阶学习法（人教版）

第3课时 相似三 础知识储备出 1.两角分别 的两个三角形相似， 2.斜边和一条直角边 的两个直角三角 形相似. A基础练 必备知识梳理一 知识点一 两角分别相等的两个三角形相似 1.【教材P42习题T2(2)变式】已知△ABC中， ∠A=40°，∠B=75°，下图各三角形中与 △ABC相似的是 () G D 75°657 409 Q70° ① ② ③ A.① B.② C.①② D.①②③ 2.【教材P36练习T1变式】下列条件中的两个 图形，不一定相似的是 A.底角相等的两个等腰三角形 B.两个等边三角形 C.两个等腰直角三角形 D.有一个角是40°的两个等腰三角形 3.【教材P43习题T12图改编】如图，在△ABC 中，点D是AB的中点，点E为AC上的点， 若AB=6,AE=4,∠ADE=∠C,则AC的 长为 B E 第3题图 第4(1)题图 4.(1)(答题模板)如图，在平行四边形ABCD 中，点E为BC边上一点，连接DE,点F 为线段DE上一点，且∠AFE=∠B. 求证：△ADF∽△DEC. 证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB∥CD,AD∥BC. .∠C十 =180°，∠ADF=∠DEC. 27 九年级数学·下册 角形的判定定理3 .∠AFD+ =180°，∠AFE=∠B, .∠AFD= 又.'∠ADF=∠DEC,∴.△ADF△DEC (2)【针对练习】如图，正方形ABCD中，点E, F,G分别在AB,BC,CD上，且∠EFG= 90°.求证：△EBF∽△FCG 知识点二直角三角形相似的判定 5.如图，∠C=∠C=90°，添加下列条件不能判 定△ABCC∽△A'B'C'的是 B'2 A.∠A=∠A ACBC c指BC D把=AC 6.一个直角三角形的一条直角边和斜边长分别 是8cm和15cm,另一个直角三角形的一条直 角边和斜边长分别是6cm和5cm,则这两个 直角三角形 (填“相似”或“不相似”). 7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC上 一点，已知CD=1,AD=√5，AB=2√5. 求证：Rt△ADCORt△BAC. 易错点○因考虑问题不全面而漏解 8.如图，在矩形ABCD中， AB=10,AD=4,P是 CD边上的一个动点，则 当△ADP与△BCP相似时，DP= B综合练 骨关健能力提升一 9.如图，在△ABC中，∠A=78°， AB=4,AC=6,将△ABC沿图 789 中的虚线剪开，则剪下的三角 B 形与△ABC不相似的是 CB 3 A B D 10.【教材P35例2变式】如图，AB为⊙O的直 径，弦CD⊥AB于点F,OE⊥AC于点E.若 OE=3,OB=5,则CD的长为 D B 第10题图 第11题图 11.如图，∠ABD=∠BCD=90°，DB平分 ∠ADC,M是AD的中点，连接CM交BD 于点N. (1)求证：BD=AD·CD: (2)若CD=6,AD=8,求BN的长. C素养练 透华科茅路直 12.【一日一优】【新中考·新定义型阅读理解 题】定义：三角形三条中线相交于一点，这个 点叫三角形的重心.三角形重心的一个重要 性质：重心与一边中点的连线长是对应中线 长的号 (1)下面是小明证明性质的过程： 如图，△ABC中，D,E分别是边BC和 AC的中点，AD与BE相交于点G. 求运能铝 31 证明：连接AD D,E分别是边BC,AC的中点， DE/ABRE-依据1D. .∠GED=∠ABG,∠BAG=∠GDE. ∴.△EDG∽△BAG 能0帮依据2》 2 GE DG_1 ·BEAD31 在小明的证明过程中，依据1和2的内 容分别是：依据1： 依据2： (2)应用 ①如图，△ABC中，点G是△ABC的重 心，连接AG并延长交BC于E.若GE =3.5,则AG= R 第12(2)①题图 第12(2)②题图 ②如图，△ABC中，中线AD与BE交于 点O,若△ABC的面积是30，则△BOD 的面积是 助学助教优质高敦28=4,AE=3,CE=1,DE=2.5,BC=5,…AB=2+4=6,AC=3+1=4心AC=4=2, .AD_2_1 铝=合=·器==立：(2)证明：由(1①知把-指=器宁在△ADE和 △ACB中，∠A=∠A,∠ADE=∠C,∴.∠AED=∠B,∴.△ADE和△ACB相似.15.D 27.2相似三角形 27.2.1相似三角形的判定 第1课时平行线分线段成比例 知识储备 1.相等比例0相似于△ABC∽△A'B'C'2.对应线段3.对应线段4.相似 基础练 1B2A3C(2)D2.5@64据：以能-器赢-号 BC=.AC=AB+BC=7.5:(2k/68-8专B0=}BC=X5= 景5.8或16637.解：DE:EA=2:3DE:DA=2:5.EF∥AB. △DEFO△DABB贺-器即号-解得AB=10.:四边彩ABCD是平行四边 形CD=AB=10,8日9.（证明：CB/DA8部-2∠2=∠ACE,∠1= ∠E∠1=∠2∠AcE=∠EA=AC∴00g3 微专题（四）作平行线求线段的比 【例】1=332立【对点训练】1：4 第2课时相似三角形的判定定理1,2 知识储备 1.比例2.比例夹角 基础练 1A223解：10-音-日瓷-日-}品-员指-瓷≠ S.△ABC与△AB'C的三组对应边的比不相等，它们不相似.(2)当AC'=24cm 时，两个三角形相似.4.C5.A6.①③两边成比例且夹角相等的两个三角形相 似7268证明AC=4,CE=1AE=4-1=3哈是-号=号指=是= 六C5又∠A=∠A△DE△ACB9号度？10.Dn.B12(0. )或0,2)13.)证明：△PCD是等边三角形.PD=PC=DC.∠PDC=∠PCD =60°.∠ADP=∠PCB=120°.CD=AD·BC,∴.AD:PC=PD:BC..△APD∽ △PBC.(2)解：△APD∽△PBC,∠APD=∠B.∠B+∠BPC=∠PCD=60°， ∠APD十∠BPC=60°.∴∠APB=60°+∠DPC=120.14.解：延长FE交CB的延长 线于M.四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC,AB=BC.∴·∠AFE=∠M,∠A=∠EBM. ,E是边AB的中点，∴.AE=BE,∴△AEF≌△BEM(AAS)..ME=EF,MB=AF. =2AF=4.ME=4.BM=2,BE=3.BC=AB=2AE=6.MC- =是=号腮-专-名e-架：∠M=∠M,△aMEn△sMCE既-0 1 =2.rBE=3CE=6. 第3课时相似三角形的判定定理3 知识储备 1.相等2.成比例 基础练 1.C2.D3.4.54.(1)∠B∠AFE∠C(2)证明：：四边形ABCD为正方形， ∴.∠B=∠C=90°.在Rt△BEF中，∴.∠BEF+∠BFE-90°.：∠EFG=90°，∴∠BFE+ ∠CFG=90°，∴∠BEF=∠CFG.∠B=∠C=90°，∴.△EBF∽△FCG.5.D6.相似 1证明由约驶定理得ACV00D-V下-2是古铝赛 -156 },∴A8-光，R△ADCR△BAC8.2或8或59.D109.6I1.D证明 DB平分∠ADC.∠ADB=∠BDC,又：∠ABD=∠BCD,∴△ADB∽△BDC.PC】 B∴.BD=AD·CD:(2)由ID知BD=AD·CD=6X8=48.DB=43.M表 AD的中点，∠ABD=90°，.∴.BM=DM=4.,∴.∠BDM=∠DBM=∠BDC.又∠BNM= ∠CND△BMNo△DCN.祭8器合BN-号BD=多原12D三角形 中位线的性质相似三角形的性质(2)①7②5 模型构建专题（二）相似三角形的基本模型 ①B2.∠ADE=∠C(答案不唯一)3,34.105,4657.(8,0)8.证明，乃 ∠BAD=∠CAE.∠ABD=∠ACE.△ABDn△ACE.0-A2:(2):△ABDO △ACE,A0-A0又：∠BAD=∠CAE.∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE 即∠BAC-∠DAE.是最部能△ADEn△ABC,9.412)证明： :四边形ABCD是正方形，.∠B=90°，∠BAC=∠BCA=45.,PGLAB,PH⊥BC △AGP,△CHP是等腰直角三角形，∠PGB=∠PHB=90°.∠PGM=∠PHN.,∴.PG= 号PA,PH=号pC,∠GPH=9G路0k∠EPFP=∠GPH=s0∴∠MPG =∠Np:∠GM=∠PIN=9O,△PGM△PIN÷-路=kPM= kPN.10.(1)证明：.四边形ABCD为正方形，.∠A=∠D=90°，.∠ABE十∠AEB =90°.'∠BEF=90°，∴.∠AEB+∠DEF=90°.∴.∠ABE=∠DEF.,∴.△ABE∽△DEF; (2)解：：四边形ABCD是正方形，AB=AD=BC=4.E为AD的中点，AE=DE 之AD=2.由I)知，△ABEn△DEF,是-票即专-DF=1.CF=CD DF=41=ED/cG.△ED△GCR,805即流=日GC-6山 【问题引入】证明：：∠DBC=∠2+∠EBC=∠1+∠D,∠1=∠2，∴∠EBC=∠D.又∠1 -∠3△AD△CBE一是-品AB.CB-ADCE【探素应用】E明：正方 形ABCD,∴.∠C=∠D=90°..EG⊥GF,.∠EGF=90°，∴.∠EGC+∠FGD=90°.又 CE ∠CEG+∠EGC=90,∠CEG=∠FGD.又∠C=∠D,△CEGn△DGF,De 、C∴CE·DF=DG·CG=4X2=8,∴CE·DF是定值.【拓展延伸]9 微专题（五）手拉手模型的相似三角形 【例】(1)证明：∠BAC=∠DAE,.∠BAD=∠CAE.又：AB=AC,AD=AE, △ABD≌△ACE.∴.BD=CE:(2)BD=CE,∠BAC=∠BOC.理由如下：，AB=mAC, AD-mAE是-m裙=m÷能-A架=m:∠BAC=∠DAE.∠BAD CAE.△BADn△CAE80-AB=m,∠ABD=∠ACE.BD=mCE.:∠AB =∠ACE,∠APB=-∠CPO.∴.∠BAC=∠BOC..BD=mCE,∠BAC=∠BOC. 【针对练习】 (1)证明：·四边形ABCD是正方形，∠BAC=∠BCA=45°，∠ABC=90°，AB=BC.: BE⊥BF,CF⊥AC,∴.∠EBF=∠ECF=90°=∠ABC.∴.∠ABE=∠CBF,∠BCF=45 =∠BAC.∴.△ABE≌△CBF(ASA).∴.BE=BF;(2)解：，BE⊥BF,CF⊥AC,∴.∠EBF =90=∠ABC.∠ABE=∠CBF,∠BAC=∠BCE.∴△ABEOAC =S在R△ABC中，∠ACB=60°·∠BAC=30.∴AC=2BC..AB=VAC=BC -/5BC. 方法技巧专题（二）等积式的证明（选用） 1.证明：：□ABCD,.AB∥CD.·∠EBA=∠BEC.又：∠EAB=∠EBC,·△ABE∽ △BC2装.BE=ABBC2,证明：AB=AC∠B=∠ACB.AD —157