27 模型构建专题(2) 相似三角形的基本模型-【名师学案】2025-2026学年九年级下册数学分层进阶学习法（人教版）

跨单元整合 模型构建专题（二） 相似三角形的基本模型 模型一“A”字型及其变形【针对教材P44习 模型二“8”字型及其变形【针对教材P57复习 题T14】 题T7】 模型展示 模型展示 1.A字型： 特征：有一组隐含的角（对顶角） 如图①，已知DE∥BC,结论：△ADEp△ABC 1.“8”字型： 2.反A字型： 如图①，已知AB∥CD,结论△ABO∽△DCO. 如图②，已知∠AED=∠C,结论：△ADEp 2.反“8”字型： △ABC. 如图②，已知∠A=∠C,结论：△ABO∽△CDO, 3.反A字型（共边共角）：如图③，已知∠ACD=∠B, 结论：①△ACD∽△ABC;②AC=AD·AB. 图① 图② 4.(2024·乐山模拟)如图，□ABCD中，E是AB 图(1 图② 图③ 上一点，连接AC.DE交于点F,若E-号 3 1.(2024·河南)如图，在□ABCD中，对角线 AF=4,则CF= AC与BD相交于点O,点E是OC的中点， EF∥AB交BC于点F.若AB=4,则EF的 长是 () 第4题图 第5题图 5.如图，∠ADE=∠ACB,BD=8,CE=4,CF =2,则DF的长是 A.2 B.1 .3 D.2 模型三双垂直型【针对教材P43习题T7】 模型展示 2.【新中考·条件开放】(2024·滨州)如图，在 如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D. △ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，添 结论： 加一个条件使△ADE∽△ACB,则这个条件 ①△ABCP△ACD∽△CBD: 可以是 ②CD=AD·BD: ③AC2=AD·AB; B ④BC=BD·AB. 6.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的 第2题图 第3题图 高，AC=4,BC=3,则AD= 3.(2024·重庆)如图，在△ABC中，延长AC到 D,使CD=AC,过点D作DE∥CB,使DE= DC,连接AE交BC于点F.若∠CAB= ∠CFA,CF=1,则BF= 29 九年级数学·下册 7.如图，点P1,P2,P3,P P 9.点P在四边形ABCD的对角线 均在坐标轴上，且PP。 AC上，直角三角板PEF的直角 ⊥P2P3,P2P3⊥P3P4 边PE,PF分别交AB,BC边于点 P x 若点P1,P2的坐标分别 P M,N. 为(0，一1)，（一2,0），则点P4的坐标为 【特例探究】 模型四旋转型【针对教材P57复习题T3(2)】 (1)如图1，若O是边长为2的正方形ABCD 模型展示 对角线AC,BD的交点，当点P在点O处 特征：两个相似三角形共用一组相等角的顶点 时，无论三角板PEF绕点O怎样转动， 我们发现，三角板与正方形重叠部分的面 积总等于 △ADE∽△ABC 【类比探究】 结论：△ABD∽△ACE. (2)如图2，在(1)的条件下，改变点P的位置 8.如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD= (P在对角线AC上)，若PA:PC=k,则 ∠CAE,∠ABD=∠ACE.求证： 有PM=kPN.下面是该结论的证明过 授0 程 证明：过点P作PG⊥AB于点G,作PH (2)△ADE∽△ABC. ⊥BC于点H, … 请按以上证明思路完成剩余的证明过程. 图1 图2 模型五对角互补模型 模型展示 如图1，已知∠AOB+∠DCE=180°. E EN B 图1 图2 解题方法：如图2，过点C作CM⊥AO于点M,CN⊥ OB于点V,则△CDM∽△CEN 助学助教优质高敦30 模型六一线三等角型【针对教材P57复习题 11.【问题引入】如图①，点A,B,C在 T3(1)】 同一条直线上，∠1=∠2=∠3 模型展示 求证：AB·BC=AD·CE; 特征：两个三角形的一条边在一条直线上，并且有一 个顶点重合 【探索应用】如图②，在边长为6的正方形 1.如图，∠B=∠ACE=∠D,结论：△ABC△CDE. ABCD中，G,E分别是CD,CB上的动点， 连接EG,作GF⊥EG交AD于F.若GC= 2,求证：CE·DF是定值； 【拓展延伸】如图③，等边△ABC中，BC=6, G是BC上一点（不与B,C重合），E在AB 2.如图，∠B=∠ADE=∠C,结论：△ABD∽△DCE. 上，F在AC上，且∠EGF=60°，则BE·CF 的最大值是 B D B D 等边三角形 等腰三角形 模型分析：在“一线三等角型”的模型中，要根据 图① 图② 图③ 相等的三个角找到隐含的其他相等的角，从而找到相 似三角形，进一步解决问题。 10.如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中 点，点F在边CD上，∠BEF=90°. (1)求证：△ABE∽△DEF; (2)若AB=4,延长EF交BC的延长线于 点G,求CG的长， 31 九年级数学·下册 微专题团 手拉手模型的相似三角形[跨单元整合 模型展示 【针对练习】 【问题发现】 (1)如图1，在正方形ABCD中，E为对角线 模型特点：△AOB∽△COD,且绕公共顶点O旋转.简 AC上的动点，过点B作BE的垂线，过点 记为：非等腰，共顶点，顶角相等，旋转得相似， C作AC的垂线，两条垂线交于点F,连接 模型结论： EF,求证：BE=BF, ①△AOC∽△BOD; 【类比探究】 @68%-8%: (2)如图2，在矩形ABCD中，E为对角线AC ③两条拉线AC与BD所在直线的夹角与∠AOB 上的动点，过点B作BE的垂线，过点C 相等或互补 + 作AC的垂线，两条垂线交于点F,且 【例】在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE. ∠ACB=60°，连接EF,求CF:AE的值； (1)如图①，若AB=AC,AD=AE,D是BC上 D D 异于B,C的一点，连接CE.求证：BD=CE; (2)如图②，若AB=mAC,AD=mAE,连接 BD,CE交于点O,BD交AC于点P,猜 想BD与CE,∠BAC与∠BOC的数量关 图1 图2 系，并说明理由. 图T 图② 助学助教优质高敦 32},∴A8-光，R△ADCR△BAC8.2或8或59.D109.6I1.D证明 DB平分∠ADC.∠ADB=∠BDC,又：∠ABD=∠BCD,∴△ADB∽△BDC.PC】 B∴.BD=AD·CD:(2)由ID知BD=AD·CD=6X8=48.DB=43.M表 AD的中点，∠ABD=90°，.∴.BM=DM=4.,∴.∠BDM=∠DBM=∠BDC.又∠BNM= ∠CND△BMNo△DCN.祭8器合BN-号BD=多原12D三角形 中位线的性质相似三角形的性质(2)①7②5 模型构建专题（二）相似三角形的基本模型 ①B2.∠ADE=∠C(答案不唯一)3,34.105,4657.(8,0)8.证明，乃 ∠BAD=∠CAE.∠ABD=∠ACE.△ABDn△ACE.0-A2:(2):△ABDO △ACE,A0-A0又：∠BAD=∠CAE.∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE 即∠BAC-∠DAE.是最部能△ADEn△ABC,9.412)证明： :四边形ABCD是正方形，.∠B=90°，∠BAC=∠BCA=45.,PGLAB,PH⊥BC △AGP,△CHP是等腰直角三角形，∠PGB=∠PHB=90°.∠PGM=∠PHN.,∴.PG= 号PA,PH=号pC,∠GPH=9G路0k∠EPFP=∠GPH=s0∴∠MPG =∠Np:∠GM=∠PIN=9O,△PGM△PIN÷-路=kPM= kPN.10.(1)证明：.四边形ABCD为正方形，.∠A=∠D=90°，.∠ABE十∠AEB =90°.'∠BEF=90°，∴.∠AEB+∠DEF=90°.∴.∠ABE=∠DEF.,∴.△ABE∽△DEF; (2)解：：四边形ABCD是正方形，AB=AD=BC=4.E为AD的中点，AE=DE 之AD=2.由I)知，△ABEn△DEF,是-票即专-DF=1.CF=CD DF=41=ED/cG.△ED△GCR,805即流=日GC-6山 【问题引入】证明：：∠DBC=∠2+∠EBC=∠1+∠D,∠1=∠2，∴∠EBC=∠D.又∠1 -∠3△AD△CBE一是-品AB.CB-ADCE【探素应用】E明：正方 形ABCD,∴.∠C=∠D=90°..EG⊥GF,.∠EGF=90°，∴.∠EGC+∠FGD=90°.又 CE ∠CEG+∠EGC=90,∠CEG=∠FGD.又∠C=∠D,△CEGn△DGF,De 、C∴CE·DF=DG·CG=4X2=8,∴CE·DF是定值.【拓展延伸]9 微专题（五）手拉手模型的相似三角形 【例】(1)证明：∠BAC=∠DAE,.∠BAD=∠CAE.又：AB=AC,AD=AE, △ABD≌△ACE.∴.BD=CE:(2)BD=CE,∠BAC=∠BOC.理由如下：，AB=mAC, AD-mAE是-m裙=m÷能-A架=m:∠BAC=∠DAE.∠BAD CAE.△BADn△CAE80-AB=m,∠ABD=∠ACE.BD=mCE.:∠AB =∠ACE,∠APB=-∠CPO.∴.∠BAC=∠BOC..BD=mCE,∠BAC=∠BOC. 【针对练习】 (1)证明：·四边形ABCD是正方形，∠BAC=∠BCA=45°，∠ABC=90°，AB=BC.: BE⊥BF,CF⊥AC,∴.∠EBF=∠ECF=90°=∠ABC.∴.∠ABE=∠CBF,∠BCF=45 =∠BAC.∴.△ABE≌△CBF(ASA).∴.BE=BF;(2)解：，BE⊥BF,CF⊥AC,∴.∠EBF =90=∠ABC.∠ABE=∠CBF,∠BAC=∠BCE.∴△ABEOAC =S在R△ABC中，∠ACB=60°·∠BAC=30.∴AC=2BC..AB=VAC=BC -/5BC. 方法技巧专题（二）等积式的证明（选用） 1.证明：：□ABCD,.AB∥CD.·∠EBA=∠BEC.又：∠EAB=∠EBC,·△ABE∽ △BC2装.BE=ABBC2,证明：AB=AC∠B=∠ACB.AD —157