26 综合与实践(1) 利用杠杆平衡的条件测量空矿泉水瓶的质量&核心素养与跨学科融合专练-【名师学案】2025-2026学年九年级下册数学分层进阶学习法（人教版）

综合与实践（一）利用杠杆平 【针对教材 活动1：在数学活动课上，“腾飞”小组的同学们参 加了人教九年级下册第19页“活动2”的探究活动. 如图1，在左侧托盘A(固定)中放置一个重物， 在右侧托盘B(可左右移动)中放置一定质量的 砝码，可使得仪器左右平衡.改变托盘B与点O 的距离，保持仪器平衡，记录相应的托盘B中的 砝码质量，得到如下相关数据： 托盘B与点O 10 15 20 25 30 的距离x/cm 托盘B中的砝 30 20 15 10 码质量y/g 12 y/g 35 30 20 10 5 05101520253035x/cm 图1 图2 (1)根据表格中的数值在图2的平面直角坐标 系中描出相应的点、并用平滑的曲线连接这 些点； (2)观察所画的图象，写出y与x的函数关系式 并加以验证； (3)当砝码质量为24g时，托盘B与点O的距 离是 (4)当托盘B向左移动（不能移动到点O)时，应往 托盘B中添加砝码还是减少砝码？为什么？ 17 九年级数学·下册 衡的条件测量空矿泉水瓶的质量 P19活动2】 活动2：如图所示的一架自制天平，支点O固定 不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P 可以在横梁BC段滑动.已知OA=OC=12cm, BC=28cm,一个100g的砝码. 子 B 由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，请各小 组利用活动1的结论探究如何称量一个空矿泉 水瓶的质量？写出活动方案并求空矿泉水瓶的 质量. 请完成培优专训（一）~（五） 第二十六章核心素养与跨学科融合专练 核心素养专练 01几何直观一 数形结合巧解题 2.已知近视眼镜的度数D(度)与镜片焦距 【素养解读】数形结合包含“以形助数”和“以数辅形” f(米)成反比例关系，且400度近视眼镜镜片 :两方面，在解决与反比例函数的性质及反比例函数和 的焦距为0.25米.小慧原来戴400度的近视 一次正数、二次函数图象共存的问题中，常借助“几何 眼镜，经过一段时间的矫正治疗后，现在只需 直观”对某些结论作出判断，通过将函数与它的图象 戴镜片焦距为0.5米的眼镜了，则小慧所戴 相结合，把问题中的数量关系和图形结合起来，使抽 眼镜的度数降低了 度 象的问题直观化，复杂的问题简单化 03应用意识 1.（2024·广州)函数y1=a.x2十bx十c与y2= 【素养解读】在学习数学的过程中，常利用数学知识和 方法解决生活中的实际问题，养成理论联系实际的习 的图象如图所示，当0 )时，y1,y2均随着 惯，提升实践能力，培养学生的“应用意识” x的增大而减小. 3.(中考·温州)在温度不变的条件下，通过一 A.x<-1 次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后 B.-1<x<0 气体对汽缸壁所产生的压强p(kPa)与汽缸 C.0<x<2 内气体的体积V(mL)成反比例，饣关于V的 D.x>1 函数图象如图所示.若压强由75kPa加压到 02模型观念 构建反比例函数模型解决问题 l00kPa,则气体体积压缩了 mL. 【素养解读】在解决反比例函数的实际问题时，通过建 p(kPa) 100 立已知量与未知量的相等关系确定反比例函数的模 60 型，然后利用反比例函最的相关知识求解这个模型， 得到实际问题的答案 100V(mL) 跨学科融合专练 4.【新课标·跨物理学科】【教材P21复习题T6 (1)根据表中数据，桌画所受压强p(Pa)关于受 变式】如图1，将一长方体放置于一水平玻璃 力面积S(m)的函数关系式为 桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压 a的值是 强与受力面积的关系如下表所示： (2)将另一长、宽、高分别为0.3m,0.2m,0.1m 桌面所受压强 且与原长方体相同质量的长方体按图2所 200 400 500 800 1000 p(Pa) 示的方式放置于该水平玻璃桌面上.若玻璃 受力面积 0.125 桌面能承受的最大压强为2000Pa,这种摆 S(m2) 0.5 0.25 a 0.1 放方式是否安全？请判断并说明理由， 0.3m 0.2m 0.1m 图1 图2 助学助教优质高敦 18热材料的电阻不会超过4k2 综合与实践（一）利用杠杆平衡的条件测量空矿泉水瓶的质量 活动1：解：1)描点，连线略：(2)设y与x之间的函数关系式是y=冬，把(10,30)代入， 解得k=30.所以y-309将其余各点分别代人y-309验证均适合y与x的两数关 系式为y=3Q0:(3)12.5cm(4)根据反比例函数的增减性，当x变小时y变大，放当托 盘B与点O的距离不断减小时，即x变小，此时y变大，∴应往托盘B中添加砝码. 活动2：解：左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置矿泉水瓶，如下图： P B 方案：（答案不唯一）滑动点P至点B,空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等 量的水，发现点P移动到PC长为12cm时，天平平衡.设第一次加入水的质量为a(g),空 矿泉水瓶的质量为b(g).第一次称量时，x=OB=40,y=a十b,根据杠杆原理列出方程：40 (a十b)=1200.第二次称量时，x=OC十PC=12十12=24，y=2a十b,根据杠杆原理列出 40(a+b)=1200 方程：24(2a+b)=1200.可得方程组{ 组22a+b0=1200解得220冬 .答：空矿泉水瓶 的质量为10g. 第二十六章核心素养与跨学科融合专练 D2.2003.204.(1)p三。00.2解：(2)这种摆放方式不安全，理由如下由 可知S=0.1X0.2=0.02(m).:将长方体放置于该水平玻璃桌面上，p=。02=500Pa >2000Pa.∴.这种摆放方式不安全. 第二十六章大单元整合与素养提升 1.③⑥02.D3.B4.B51答案不唯-)677.A8A9.-10.1)y x y=x+2(2)x<-3或0<x<1解：(3)在直线y=x十2中，令y=0,则x=-2, C(-20).5-6.rwr+CP(y-y)=CP.(3+1)- 6..PC=3.P在x轴上，C(-2,0),∴.P(-5,0)或(1,0).11.412.y>2或y<0 13.5或2√5或√1014.A15.(1)34解：(2)描点略，电流I随可变电阻R的增大 而减小；(3)根据题意，设可变电阻R与人的质量的函数关系为R=km十b(k≠0)，且该 (b=260 直线过(0,260)，(130,0)，. 4十b0解符{26可变电阻R与人的质量m的 函数关系为：R=一2m十260(0≤m≤130)，∴.可变电阻R随人的质量m增大而减小，当1 U12 =0时，R=260.1=R。十R2+260≈0.01(A).当m=130时，R=0,1=R,十R=之 =6(A.6>0.2m不能超过130(kg.当1=0.2(A)时，0.2=2R解得R=58. 58=-2m十+260，解得，m=101.∴.电子体重秤可称的最大质量为101千克. 第二十七章相似 27.1图形的相似 知识储备 1.相同2.相等3.相同相等比例相似比 基础练 1.B2.B3.(1)D(2)64.6005.5020502202=是6.D7.2:1 4.58,解：“四边形ABCD和四边形A'B'CD'相似它们对应边的比相等.8 音-=器x=12y=6义：对应角相等，∠B=∠B =65°，∠D'=360°-∠A'-∠B-∠C=360°-120° 65°-50°=125°，.x=12,y=6,a=125°.9.√2cm或2 厄cm或号m10.B11.135°12.4反13.解：如图所示.14.)解：AD=2.BD -155