专项10 一次函数的应用 4大题型（大题专练）（辽宁专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

**基本信息** 聚焦一次函数应用，以“命题解码-建模技法-实战刷题”为框架，通过典例建模与变式训练，系统培养数学建模、几何推理及规范表达能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一次函数与几何综合|1典例+4变式|数形结合求解析式、线段面积表示、方程不等式关联|从图象性质到几何综合，构建“坐标-线段-面积”推理链条| |最大利润问题|1典例+3变式|建模列式、增减性求最值|以成本利润关系为核心，强化实际问题变量关系转化| |行程问题|1典例+3变式|分段函数建模、分类讨论解行程|结合图象分析运动过程，建立时间-路程函数关系| |其他问题|1典例+4变式|分段处理、方案决策|拓展跨学科情境（物理、工程），深化模型应用意识|

专项10 一次函数的应用 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 根据近年辽宁新中考考情，一次函数的应用是中考解答题中的高频考点，分值约8分左右． 命题趋势：解答题：一次函数的应用作为解答题中的高频题型，大致稳定在第20题左右的位置，难度中等，侧重数学建模与实际问题解决能力。主要有两大类考向，一类是一次函数图象与几何综合问题，常考查线段数量关系，面积最值，特殊三角形或特殊角度的存在性问题等；第二类是一次函数的实际应用，以最大利润问题、行程问题、工程问题、方案分配问题等为基础，附加近两年火热的新情境、新场景中的应用，更加贴近生活与社会热点，其中不乏结合物理等跨学科内容。 2026年预测：一次函数的应用很大可能将继续作为解答题中的热点问题进行考察，分值与核心考点保持稳定，情境设计会更贴近真实生产生活，设问更注重开放性与探究性，进一步强化数学建模素养、几何推理能力与规范表达能力。 备考核心：熟练掌握一次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，结合一次函数的性质对实际情境进行判断与求解，掌握一次函数图象与其他几何图形的综合应用方法，计算准确，规范书写步骤。 题型01 一次函数与几何综合 析典例·建模型 1．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，将直线绕点C逆时针旋转，得到直线，若在直线上有一点． (1)求的度数； (2)D是线段上一点，连接交于点E，若，求点D的坐标． 研考点·通技法 1.数形结合求解析式：已知两点坐标用待定系数法（y=kx+b）。根据图像性质（过象限、增减性）可快速判断k、b符号，用于选择或验证。 2.与方程不等式关联：求交点坐标即联立方程求解；y1>y2的解集为图像上方部分对应的x范围。注意边界取等号。 3.表示线段或面积：使用铅垂法，或不规则图形割补法，利用等面积或相似等求解。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点，过点C作轴交直线于点D． (1)求证：是的角平分线； (2)点在y轴上，且点M在点B的上方，点N在线段上，，当面积最大时，求m的值． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A，与x轴交于点B，直线与x轴交于点C．点P在直线上，过点P作轴交于点Q． (1)若点P在第一象限，且，求点Q的坐标； (2)已知点，连接、，当是直角三角形时，求的面积． 3．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．点为直线与轴的交点． (1)求点的坐标； (2)如图2，点是线段上的一个动点，过点作平行于轴的直线，分别交直线，于点，点，连接．设点的横坐标为， ①线段__________（用含的代数式表示） ②求面积的最大值． 4．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数图象交于点，点的坐标为，连接，动点从开始以每秒1个单位长度的速度沿轴正方向运动，设运动的时间为秒（），过点作轴，分别交，于点，． (1)求反比例函数的表达式和直线的函数表达式； (2)求的长（用含的代数式表示）； (3)点是线段上一动点（点不与点，重合），和的面积分别表示为和，当时，请直接写出（即与的积）的最大值为______． 题型02 一次函数的实际应用——最大利润问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁盘锦·一模）某水果店购进苹果和香蕉两种水果共100千克，其中苹果每千克进价4元，香蕉每千克进价3元．已知总进价不超过380元．设购进苹果x千克． (1)根据题意列出不等式，并求出x的取值范围； (2)若苹果售价为6元千克，香蕉售价为4元千克，且全部售出，求总利润y（元）与x的函数关系式，并求当x为何值时总利润最大？最大利润是多少？ 研考点·通技法 1. 建模列式：根据题意确定自变量（如时间、数量）与因变量（如费用、路程），找出等量关系，列出一次函数解析式 y = kx + b，并标注自变量取值范围（如人数为正整数、时间非负）。 2. 利用一次函数增加性求最值：k>0时，y随x增大而增大，k<0时，y随x增大而减小；根据自变量的取值范围与增加性，确定最值处的自变量取值，代入求最值。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁沈阳·一模）某学校采购体育用品，需要购买若干个篮球和足球．已知购买一个篮球和一个足球共需要110元，购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元． (1)求篮球和足球的单价各是多少元？ (2)若该学校要购买篮球、足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少元？ 2．（2026·辽宁·模拟预测）在国家的“惠农政策”支持下，越来越多的农户将自己的农副产品销往全国各地．成都市农户张先生将种植的百香果和金桔以箱为单位售卖．已知2箱百香果和4箱金桔的价格为360元，1箱百香果和3箱金桔的价格为245元，百香果和金桔的成本价如表所示： 品名 百香果 金桔 成本/箱 40 元 50元 (1)求每箱百香果和每箱金桔的售价分别是多少元？ (2)成都某公司决定向农户张先生采购500箱水果，其中百香果的箱数不少于金桔的箱数．张先生目前仅有金桔和百香果各库存400箱，在只能整箱销售的情况下，设张先生卖出百香果m箱，两种水果全部销售获得总利润为w元，求w关于m的函数表达式：在满足公司要求的情况下，m为何值时本次采购中张先生获利最大． 3．（2026·辽宁盘锦·一模）“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳个数和用500元购买的毽子数量相同． (1)求跳绳和毽子的单价分别是多少元？ (2)由于库存较大，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七折出售．学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，请你求出学校花钱最少的购买方案． 题型03 一次函数的实际应用——行程问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁沈阳·一模）汽车出发前油箱内有油，行驶一段时间在加油站加油若干升．汽车出发后，油箱中的剩余油量y（单位：L）与行驶时间t（单位：h）之间的关系如图所示． (1)求加油前油箱中剩余油量y与行驶时间t之间的关系式； (2)如果加油前、加油后汽车都以的速度匀速行驶，加油站距离目的地，那么要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由． 研考点·通技法 1. 建模列式：根据题意确定自变量（如时间、数量）与因变量（如费用、路程），找出等量关系，列出一次函数解析式 y = kx + b，并标注自变量取值范围（如人数为正整数、时间非负）。 2. 根据题意求对应的时间或路程，注意分类讨论求解，关注解的合理性。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁·模拟预测）随着人工智能的发展，智能机器人警察已经陆续出现，图1是机器人警察安安和全全，他们从街头处出发，准备前往相距米的处（、在同一直线上）巡逻，安安警察比全全警察先出发，且速度保持不变，全全警察出发一段时间后将速度提高到原来的倍.已知安安警察、全全警察行走的路程（米），（米）与安安警察行走的时间（秒）之间的函数关系图象如图2所示． (1)如图2，折线①表示______警官行走的路程与时间的函数图象（填“安安”或“全全”）； (2)求全全警察提速后的速度，并求、的值； (3)求折线①中线段所在直线的函数解析式； (4)全全警察加速后经过几秒追上安安警察． 2．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）甲、乙两机器人从地出发，沿相同路线前往地（到达后停止运动），图中，分别表示甲、乙两机器人前往目的地所走的路程，单位：）随甲出发的时间（单位：）变化的函数图象． (1)，两地的距离为________； (2)分别求，关于的函数解析式（不写自变量的取值范围）； (3)根据程序设定，当两机器人相距时，两个机器人身上的反应器同时发光，求出反应器同时发光时的值． 3．（2025·辽宁沈阳·二模）某科技公司在专用测试场地的一段直路上对Ⅰ型和Ⅱ型两款机器人进行测试，下表是此次测试的相关信息： 测试场地信息 这段测试直路上依次有，，三个记录点，，两点相距米． 测试运动过程 Ⅰ型和Ⅱ型两款机器人分别从，两点同时出发，匀速相向而行，分别到达目的地，后停止运动． 测试图象信息 如图，，分别表示Ⅰ型和Ⅱ型两款机器人离点的距离（米）与运动时间（分）的函数关系图象．与相交于点． 请结合上述测试相关信息，解决下列问题： (1)求点的坐标，并解释点的实际意义； (2)Ⅱ型机器人到达点比Ⅰ型机器人到达点少用时分钟，求，两个记录点间的距离； (3)在Ⅱ型机器人到达点前，求Ⅰ型和Ⅱ型两款机器人运动过程中相距不超过米的运动时间的取值范围． 题型04 一次函数的实际应用——其他问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁锦州·一模）【项目化学习】 【项目主题】 探究小球从斜面顶端由静止滚下，继而在水平面上滚动直至停止的过程中，速度随时间的变化情况． 【驱动任务】 探究在整个实验过程中小球滚动的速度与时间之间的关系． 【研究步骤】 ①搭建斜面与水平面的实验装置（如图1），让小球从斜面顶端由静止滚下； ②测量小球在实验装置上滚动的时间、速度及距离水平面的高度，记录部分数据如下表： 小球滚动的时间 ⋯ 小球滚动的速度 ⋯ 小球到水平面的高度 … ③数据分析，形成结论． 【模型建立】 (1)如图2，在平面直角坐标系中，补全小球在整个实验过程中滚动的速度与时间之间关系的图象，并根据图象说明速度随时间的变化情况． 【问题解决】 (2)求小球在水平面上滚动的过程中，速度与时间之间的函数表达式； (3)请直接写出小球滚动时到水平面的高度的估计值． 研考点·通技法 1. 建模列式：根据题意确定自变量（如时间、数量）与因变量（如费用、路程），找出等量关系，列出一次函数解析式 y = kx + b，并标注自变量取值范围（如人数为正整数、时间非负）。 2. 分段处理：涉及阶梯计费（如出租车、水电费）或不同优惠方案时，根据不同范围分段写出函数式，并明确各段区间。求函数值时先判断自变量所在区间。 3. 方案决策：比较两种方案时，列出各自函数表达式，作差或解不等式y1 > y2求出优劣分界点，结合实际背景（如购买数量为整数）选择最优方案。注意画图像辅助理解交点意义。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁大连·一模）甲、乙两支园林队共同完成总面积为的绿化任务，两支园林队每小时绿化的面积保持不变，其中甲园林队休息了一段时间．甲、乙两支园林队绿化的面积（单位：）与甲的工作时间t（单位：）之间的函数关系如图所示． (1)甲园林队休息了__________； (2)求乙园林队绿化的面积与之间的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）． 2．（2026·辽宁·模拟预测）洛阳牡丹饼是河南省洛阳市的一道传统小吃，入口酥松绵软，而且具有促进人体代谢，降低胆固醇及防止细胞老化等功能，深受广大市民喜爱．小梅假期去洛阳游玩，准备回去时带点牡丹饼给亲朋好友品尝，已知甲、乙两家超市都以25元/盒的价格销售同一种牡丹饼，并且同时在做促销活动： 甲超市：办理本超市会员卡（卡费50元），食品全部打八折销售； 乙超市：购买同种商品超过一定数量后，超过的部分打折销售． 活动期间，若小梅分别按活动方式在甲、乙超市购买牡丹饼x盒，所需费用分别为元、元，与x之间的函数关系如图所示． (1)分别求，与x之间的函数解析式； (2)若小梅准备购买20盒牡丹饼，你认为在哪家超市购买更划算？ 3．（2025·辽宁·模拟预测）【项目化学习】“浮力与浸水深度之间的关系”． 如图1是小明同学做物体浮力实验的示意图，下方为盛水的烧杯，上方是由弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，已知该圆柱体的重力为，高度为．小明将弹簧测力计示数与圆柱体浸入水中的深度的数据记录如下： 圆柱体浸入水中的深度 0 1 2 3 4 弹簧测力计示数 12 (1)请你观察表中数据，猜想F与h之间的函数类型，并求出F与h之间的函数关系式，再选一对数值进行验证； (2)当圆柱体完全浸入水中之后，弹簧测力计示数不再随着圆柱体浸入水中的深度的变化而变化，当时，在图2的坐标系中画出F与h的函数图象． 4．（2025·辽宁锦州·二模）虹吸现象描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒形管自动流动的过程．如图1，是利用虹吸现象的原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器中的液面高．设甲容器中的液面高为（单位：），乙容器中的液面高为（单位：cm），小明绘制了，关于虹吸时间（单位：）的函数图象，如图2所示． (1)请分别求出与的函数关系式； (2)求甲、乙容器中的液面高度相差时的虹吸时间． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项10 一次函数的应用 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 根据近年辽宁新中考考情，一次函数的应用是中考解答题中的高频考点，分值约8分左右． 命题趋势：解答题：一次函数的应用作为解答题中的高频题型，大致稳定在第20题左右的位置，难度中等，侧重数学建模与实际问题解决能力。主要有两大类考向，一类是一次函数图象与几何综合问题，常考查线段数量关系，面积最值，特殊三角形或特殊角度的存在性问题等；第二类是一次函数的实际应用，以最大利润问题、行程问题、工程问题、方案分配问题等为基础，附加近两年火热的新情境、新场景中的应用，更加贴近生活与社会热点，其中不乏结合物理等跨学科内容。 2026年预测：一次函数的应用很大可能将继续作为解答题中的热点问题进行考察，分值与核心考点保持稳定，情境设计会更贴近真实生产生活，设问更注重开放性与探究性，进一步强化数学建模素养、几何推理能力与规范表达能力。 备考核心：熟练掌握一次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，结合一次函数的性质对实际情境进行判断与求解，掌握一次函数图象与其他几何图形的综合应用方法，计算准确，规范书写步骤。 题型01 一次函数与几何综合 析典例·建模型 1．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，将直线绕点C逆时针旋转，得到直线，若在直线上有一点． (1)求的度数； (2)D是线段上一点，连接交于点E，若，求点D的坐标． 【思路分析】（1）解法一：如图1，过点A作轴于点M，先求得，，则，分别求得是等腰直角三角形，是等腰直角三角形得到，进而可得； 解法二：如图1，连接，利用两点坐标距离公式得到，利用勾股定理的逆定理可得； （2）解法一：先求得直线表达式为．如图2，过点E作轴于点F，则，求得，利用锐角三角函数得到，结合已知得到．设，则，进而求得即可解答； 解法二：设C到边上的高为h，由已知得，则，易得直线表达式为，设，则，将点E的坐标代入中求得即可解答； 解法三：如图4，过点D作轴，交于点H，易得直线的表达式为，设，则，证明，由可得，进而求得即可解答． 【规范答题】（1）解法一：如图1，过点A作轴于点M， ∵与x轴交于点B，与y轴交于点C， ∴令，得，令，得， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点A的坐标， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． [一题多解法] 解法二：如图1，连接，易求，，， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，且； （2）解法一：由题意，直线经过点A、点C， 设直线表达式为， 将代入，得，解得， ∴直线表达式为． 如图2，过点E作轴于点F，则，由（1）知是等腰直角三角形， ∴，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，∴． 设，则， 解得（负值已舍去），代入得， ∴点D的坐标为． [一题多解法] 解法二：设C到边上的高为h， ∵， ∴， ∴， ∴， 易得直线表达式为， 设，则， 将点E的坐标代入中，得，解得， ∴点D的坐标为． 解法三：如图4，过点D作轴，交于点H， 易得直线的表达式为， 设，则， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴，即，解得， ∴点D的坐标为． 研考点·通技法 1.数形结合求解析式：已知两点坐标用待定系数法（y=kx+b）。根据图像性质（过象限、增减性）可快速判断k、b符号，用于选择或验证。 2.与方程不等式关联：求交点坐标即联立方程求解；y1>y2的解集为图像上方部分对应的x范围。注意边界取等号。 3.表示线段或面积：使用铅垂法，或不规则图形割补法，利用等面积或相似等求解。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点，过点C作轴交直线于点D． (1)求证：是的角平分线； (2)点在y轴上，且点M在点B的上方，点N在线段上，，当面积最大时，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点作于点，证明，即可求得，即可解答； （2）根据题意可得，，根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点， 当时，， ， 当时，， 解得， ， ， ， ， ， ， ， 点在的平分线上，即是的角平分线； （2）解：根据题意可得， ， ， ， 点N在线段上， ，解得， ∴当时，取到最大值． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A，与x轴交于点B，直线与x轴交于点C．点P在直线上，过点P作轴交于点Q． (1)若点P在第一象限，且，求点Q的坐标； (2)已知点，连接、，当是直角三角形时，求的面积． 【答案】(1) (2)或或． 【分析】（1）先求出、，得到，从而得出，设，则，则，即可得解； （2）设，则，分三种情况讨论：①当时，利用勾股定理列方程求解；②当时，则轴；③当时，则轴，根据点的坐标求解即可． 【详解】（1）解：直线与x轴交于点B， 令，则，解得：， ； 直线与直线相交于点A， 联立，解得：， ， ， ， ， 设，则， ， 解得：， ； （2）解：设，则， 分三种情况讨论： ①当时，， ，，， ， 解得：， ，， ， ； ②当时，则轴， ， 解得：， ，， ，， ； ③当时，则轴， ， 解得：， ，， ，， ； 综上可知，的面积为或或． 3．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．点为直线与轴的交点． (1)求点的坐标； (2)如图2，点是线段上的一个动点，过点作平行于轴的直线，分别交直线，于点，点，连接．设点的横坐标为， ①线段__________（用含的代数式表示） ②求面积的最大值． 【答案】(1) (2)①；②27 【分析】（1）联立两条直线解析式，求出点P坐标； （2）①设点的横坐标为，、，进而求出的值； ②先求出C点坐标，得到，求出，再利用三角形面积公式得到，最后利用二次函数的性质得到面积的最大值． 【详解】（1）解：直线与直线交于点， ， 解得， 点的坐标为； （2）①解：设点的横坐标为，轴， 、， ； ②解：点为直线与轴的交点，点是线段上的一个动点， 将代入直线得：， 解得， ， ， 由①可得， 面积为： ， 当时，面积有最大值，最大值为27． 4．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数图象交于点，点的坐标为，连接，动点从开始以每秒1个单位长度的速度沿轴正方向运动，设运动的时间为秒（），过点作轴，分别交，于点，． (1)求反比例函数的表达式和直线的函数表达式； (2)求的长（用含的代数式表示）； (3)点是线段上一动点（点不与点，重合），和的面积分别表示为和，当时，请直接写出（即与的积）的最大值为______． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，直线的函数表达式为 (2) (3)36 【分析】（1）把点A的坐标代入正比例函数的表达式中求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可得，把分别代入和中，求出对应的x的值即可得到点M和点N的坐标，进而可求出； （3）根据（2）所求可得，设，则，则可求出，进而可得，据此可得答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， 把点A的坐标代入中得，解得， ∴反比例函数的表达式为； 设直线的函数表达式为，则， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：由题意得，， ∴； 在中，当时，，则， 在中，当时，，则， ∴； （3）解：由（2）可得，，， ∴当时，，， 如图所示，设，则 ∵ ， ， ， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为36． 题型02 一次函数的实际应用——最大利润问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁盘锦·一模）某水果店购进苹果和香蕉两种水果共100千克，其中苹果每千克进价4元，香蕉每千克进价3元．已知总进价不超过380元．设购进苹果x千克． (1)根据题意列出不等式，并求出x的取值范围； (2)若苹果售价为6元千克，香蕉售价为4元千克，且全部售出，求总利润y（元）与x的函数关系式，并求当x为何值时总利润最大？最大利润是多少？ 【思路分析】（1）用表示出购进香蕉的质量，根据“总进价不超过380元”列出不等式，结合的实际范围求解得到的取值范围； （2）先计算出每千克苹果和香蕉的利润，再结合质量得到总利润与的函数关系式，根据一次函数的增减性即可求出最大利润． 【规范答题】（1）解：设购进苹果千克，则购进香蕉千克， ∵苹果每千克进价4元，香蕉每千克进价3元，总进价不超过380元， ∴ 解得， ∵， ∴的取值范围是； （2）解：由题意得，苹果每千克利润为（元），香蕉每千克利润为（元）， ∴总利润为， 一次项系数， 随的增大而增大． ， 当时，取得最大值． 将代入函数得：（元）， 答：当为80时总利润最大，最大利润是180元． 研考点·通技法 1. 建模列式：根据题意确定自变量（如时间、数量）与因变量（如费用、路程），找出等量关系，列出一次函数解析式 y = kx + b，并标注自变量取值范围（如人数为正整数、时间非负）。 2. 利用一次函数增加性求最值：k>0时，y随x增大而增大，k<0时，y随x增大而减小；根据自变量的取值范围与增加性，确定最值处的自变量取值，代入求最值。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁沈阳·一模）某学校采购体育用品，需要购买若干个篮球和足球．已知购买一个篮球和一个足球共需要110元，购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元． (1)求篮球和足球的单价各是多少元？ (2)若该学校要购买篮球、足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少元？ 【答案】(1)篮球的单价为60元，足球的单价为50元 (2)购买4个篮球时，花费最少，最少费用是540元 【分析】本题考查二元一次方程组与不等式的应用、一次函数的性质，根据题意列出方程组与不等式是解题的关键． （1）设篮球的单价为元，足球的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买个篮球，则购买个足球，根据题意列出不等式，求出，设该校购买篮球和足球的总费用为元，根据题意得，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设篮球的单价为元，足球的单价为元， 根据题意得： 解得 答：篮球的单价为60元，足球的单价为50元； （2）解：设购买个篮球，则购买个足球，且，m为整数， 根据题意得：， 解得， ， ，且m为整数， 设该校购买篮球和足球的总费用为元， 根据题意得：， ∵， 随的增大而增大， 当时，最小，最小值为元， 答：购买4个篮球时，花费最少，最少费用是540元． 2．（2026·辽宁·模拟预测）在国家的“惠农政策”支持下，越来越多的农户将自己的农副产品销往全国各地．成都市农户张先生将种植的百香果和金桔以箱为单位售卖．已知2箱百香果和4箱金桔的价格为360元，1箱百香果和3箱金桔的价格为245元，百香果和金桔的成本价如表所示： 品名 百香果 金桔 成本/箱 40 元 50元 (1)求每箱百香果和每箱金桔的售价分别是多少元？ (2)成都某公司决定向农户张先生采购500箱水果，其中百香果的箱数不少于金桔的箱数．张先生目前仅有金桔和百香果各库存400箱，在只能整箱销售的情况下，设张先生卖出百香果m箱，两种水果全部销售获得总利润为w元，求w关于m的函数表达式：在满足公司要求的情况下，m为何值时本次采购中张先生获利最大． 【答案】(1) 每箱百香果的售价是50元，每箱金桔的售价是65元； (2) w关于m的函数表达式为，当时获利最大． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程组，不等式和函数关系式． （1）设每箱百香果的售价为元，每箱金桔的售价为元，根据已知条件列出二元一次方程组求解每箱百香果和金桔的售价； （2）设张先生卖出箱百香果，则卖出箱金桔，根据百香果的箱数不少于金桔的箱数求出m的取值范围，然后列出获利的函数关系式，根据一次函数性质求解即可． 【详解】（1）解：设每箱百香果的售价为元，每箱金桔的售价为元， 根据题意，得， 解得， 答：每箱百香果的售价是50元，每箱金桔的售价是65元； （2）解：设张先生卖出箱百香果，则卖出箱金桔，获利为元， 则， 解得， 根据题意，得， ， 随的增大而减小． 又， 当时，最大． 答：w关于m的函数表达式为，当时获利最大． 3．（2026·辽宁盘锦·一模）“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳个数和用500元购买的毽子数量相同． (1)求跳绳和毽子的单价分别是多少元？ (2)由于库存较大，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七折出售．学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，请你求出学校花钱最少的购买方案． 【答案】(1)跳绳和毽子的单价分别是8元，5元 (2)当购买跳绳450根，毽子150个时，花费最少 【分析】此题考查了分式方程和一次函数的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是关键． （1）设毽子的单价为元，则跳绳的单价为元，用800元购买的跳绳个数和用500元购买的毽子数量相同．据此列出方程，解方程并检验即可； （2）设学校购买跳绳根，则购买毽子个，花费为，根据总花费列出函数解析式，要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，据此列不等式并解不等式求出的取值范围，根据一次函数的性质求出答案． 【详解】（1）解：设毽子的单价为元，则跳绳的单价为元， 由题意得：， 解得 经检验，是原方程的解 跳绳和毽子的单价分别是8元，5元； （2）解：设学校购买跳绳根，则购买毽子个，花费为， 由题意得， 跳绳的数量不少于毽子数量的3倍， ， ， ， 随着的增大而增大， 当时，有最小值， 当购买跳绳450根，毽子150个时，花费最少． 题型03 一次函数的实际应用——行程问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁沈阳·一模）汽车出发前油箱内有油，行驶一段时间在加油站加油若干升．汽车出发后，油箱中的剩余油量y（单位：L）与行驶时间t（单位：h）之间的关系如图所示． (1)求加油前油箱中剩余油量y与行驶时间t之间的关系式； (2)如果加油前、加油后汽车都以的速度匀速行驶，加油站距离目的地，那么要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由． 【思路分析】（1）待定系数法求解； （2）求出每小时消耗的油量，再求出加油后可行驶的路程，最后进行比较即可． 【规范答题】（1）解：设加油前油箱中剩余油量y与行驶时间t之间的关系式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴； （2）解：油箱中的油够用，理由如下： 每小时消耗的油量为， 加油后可行驶的路程为， ∵， ∴油箱中的油够用． 研考点·通技法 1. 建模列式：根据题意确定自变量（如时间、数量）与因变量（如费用、路程），找出等量关系，列出一次函数解析式 y = kx + b，并标注自变量取值范围（如人数为正整数、时间非负）。 2. 根据题意求对应的时间或路程，注意分类讨论求解，关注解的合理性。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁·模拟预测）随着人工智能的发展，智能机器人警察已经陆续出现，图1是机器人警察安安和全全，他们从街头处出发，准备前往相距米的处（、在同一直线上）巡逻，安安警察比全全警察先出发，且速度保持不变，全全警察出发一段时间后将速度提高到原来的倍.已知安安警察、全全警察行走的路程（米），（米）与安安警察行走的时间（秒）之间的函数关系图象如图2所示． (1)如图2，折线①表示______警官行走的路程与时间的函数图象（填“安安”或“全全”）； (2)求全全警察提速后的速度，并求、的值； (3)求折线①中线段所在直线的函数解析式； (4)全全警察加速后经过几秒追上安安警察． 【答案】(1)全全 (2)全全提速后速度为米/秒，， (3)折线①中线段所在直线的函数解析式为 (4)全全警官加速后经过秒追上安安警官 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，一次函数的应用，用待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意结合图象分析即可得解； （2）先求出全全提速前速度，从而即可得出提速后速度，计算得出各段经过的时间，即可得解； （3）利用待定系数法求解即可； （4）利用待定系数法求所在直线的函数解析式，与所在直线的函数解析式联立，求出交点的横坐标，即可求解． 【详解】（1）解：折线①表示全全警官行走的路程与时间的函数图象， 故答案为：全全； （2）解：全全提速前速度为（米/秒）， 全全提速后速度为（米/秒）， 段经过的时间为（秒）， ， 当时，安安警官的路程为米， 安安警官的速度为（米/秒）， ； （3）解：设折线①中线段所在直线的函数解析式为， 将，代入得， 解得， 折线①中线段所在直线的函数解析式为； （4）解：设所在直线的函数解析式为，将代入得， 解得， 所在直线的函数解析式为， 联立， 解得， 时，全全警官追上安安警官， （秒）， 全全警官加速后经过秒追上安安警官． 2．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）甲、乙两机器人从地出发，沿相同路线前往地（到达后停止运动），图中，分别表示甲、乙两机器人前往目的地所走的路程，单位：）随甲出发的时间（单位：）变化的函数图象． (1)，两地的距离为________； (2)分别求，关于的函数解析式（不写自变量的取值范围）； (3)根据程序设定，当两机器人相距时，两个机器人身上的反应器同时发光，求出反应器同时发光时的值． 【答案】(1)1000； (2)；； (3)的值为5或或20 【分析】本题考查了函数图象，一次函数的应用，一次函数解析式，一元一次方程的应用等知识．从函数图象中获取正确的信息是解题的关键． （1）结合图象求解作答即可； （2）设关于x的函数解析式为，将代入可求，则；同理可求关于x的函数解析式； （3）由题意知，当乙未出发前，甲在乙的前面相距时，依题意得，，计算求解即可；当乙在甲的前面相距时，依题意得，，计算求解即可；当乙停止后，甲在乙的后面相距时，依题意得，，计算求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，A，B两地的距离为m， 故答案为：； （2）解：设关于x的函数解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴； 设关于x的函数解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴； （3）解：由题意知，当乙未出发前，甲在乙的前面相距时， 依题意得，， 解得，； 当乙在甲的前面相距时， 依题意得，， 解得，； 当乙停止后，甲在乙的后面相距时， 依题意得，， 解得，； 综上所述，x的值为5，或． 3．（2025·辽宁沈阳·二模）某科技公司在专用测试场地的一段直路上对Ⅰ型和Ⅱ型两款机器人进行测试，下表是此次测试的相关信息： 测试场地信息 这段测试直路上依次有，，三个记录点，，两点相距米． 测试运动过程 Ⅰ型和Ⅱ型两款机器人分别从，两点同时出发，匀速相向而行，分别到达目的地，后停止运动． 测试图象信息 如图，，分别表示Ⅰ型和Ⅱ型两款机器人离点的距离（米）与运动时间（分）的函数关系图象．与相交于点． 请结合上述测试相关信息，解决下列问题： (1)求点的坐标，并解释点的实际意义； (2)Ⅱ型机器人到达点比Ⅰ型机器人到达点少用时分钟，求，两个记录点间的距离； (3)在Ⅱ型机器人到达点前，求Ⅰ型和Ⅱ型两款机器人运动过程中相距不超过米的运动时间的取值范围． 【答案】(1)；点的实际意义为当两款机器人出发分钟后，在离地米的位置相遇 (2)米 (3) 【分析】（1）通过分析图象得到Ⅰ型、Ⅱ型机器人离点距离与运动时间的函数表达式，联立方程求解交点的坐标，再结合实际运动解释其意义． （2）设Ⅱ型机器人到达点时间，根据Ⅰ型、Ⅱ型机器人运动路程与、间距关系列方程，求出时间后计算、间距． （3）根据“相距不超过米”建立不等式，结合Ⅱ型机器人到达点前的时间范围求解． 本题主要考查了一次函数的实际应用，包括函数表达式的运用、方程与不等式的求解 ．熟练掌握一次函数的性质，以及利用函数关系解决行程问题中的数量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得，． 联立 解得 ∴． ∴点的实际意义为当两歙机器人出发分钟后，在离地米的位置相遇． （2）解：设Ⅱ型机器人到达B点运动时间为分钟，根据题意得: ，解得， ∴（米）， ∴，两个记录点间的距离为米． （3）解：根据题意得，解得， ∴． ∴Ⅰ型和Ⅱ型两款机器人运动过程中相距不超过米的运动时间的取值范围为． 题型04 一次函数的实际应用——其他问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁锦州·一模）【项目化学习】 【项目主题】 探究小球从斜面顶端由静止滚下，继而在水平面上滚动直至停止的过程中，速度随时间的变化情况． 【驱动任务】 探究在整个实验过程中小球滚动的速度与时间之间的关系． 【研究步骤】 ①搭建斜面与水平面的实验装置（如图1），让小球从斜面顶端由静止滚下； ②测量小球在实验装置上滚动的时间、速度及距离水平面的高度，记录部分数据如下表： 小球滚动的时间 ⋯ 小球滚动的速度 ⋯ 小球到水平面的高度 … ③数据分析，形成结论． 【模型建立】 (1)如图2，在平面直角坐标系中，补全小球在整个实验过程中滚动的速度与时间之间关系的图象，并根据图象说明速度随时间的变化情况． 【问题解决】 (2)求小球在水平面上滚动的过程中，速度与时间之间的函数表达式； (3)请直接写出小球滚动时到水平面的高度的估计值． 【思路分析】（1）根据表格画图即可； （2）根据题意，当小球在水平面滚动的过程中，设，将代入即可求解； （3）观察表格即可得解． 【规范答题】（1）解：补充图象如图所示： 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； （2）解：由题意，当小球在水平面滚动的过程中，设， 将代入， ， 解得， ， ∴小球在水平面滚动的过程中，速度与时间的函数表达式为； （3）解：由表格可得，小球滚动时到水平面的高度约为． 研考点·通技法 1. 建模列式：根据题意确定自变量（如时间、数量）与因变量（如费用、路程），找出等量关系，列出一次函数解析式 y = kx + b，并标注自变量取值范围（如人数为正整数、时间非负）。 2. 分段处理：涉及阶梯计费（如出租车、水电费）或不同优惠方案时，根据不同范围分段写出函数式，并明确各段区间。求函数值时先判断自变量所在区间。 3. 方案决策：比较两种方案时，列出各自函数表达式，作差或解不等式y1 > y2求出优劣分界点，结合实际背景（如购买数量为整数）选择最优方案。注意画图像辅助理解交点意义。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁大连·一模）甲、乙两支园林队共同完成总面积为的绿化任务，两支园林队每小时绿化的面积保持不变，其中甲园林队休息了一段时间．甲、乙两支园林队绿化的面积（单位：）与甲的工作时间t（单位：）之间的函数关系如图所示． (1)甲园林队休息了__________； (2)求乙园林队绿化的面积与之间的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）． 【答案】(1)； (2)乙园林队绿化的面积与之间的函数表达式为． 【分析】（）根据图象即可求解； （）由图象可知甲园林队完成的绿化面积为，所以乙园林队完成的绿化面积为，设乙园林队绿化的面积与之间的函数表达式为，然后把点，代入即可求解． 【详解】（1）解：由图象可知：甲园林队完成的绿化面积为，甲工作完成的绿化面积为， ∴甲工作后还剩下， 又∵甲园林队每小时绿化的面积保持不变， ∴甲还需完成剩下的绿化面积， 由图象可知：甲园林队休息了， 故答案为：； （2）解：∵由图象可知甲园林队完成的绿化面积为， ∴乙园林队完成的绿化面积为：， 设乙园林队绿化的面积与之间的函数表达式为， ∵图象经过点，， ∴， 解得：， ∴乙园林队绿化的面积与之间的函数表达式为． 2．（2026·辽宁·模拟预测）洛阳牡丹饼是河南省洛阳市的一道传统小吃，入口酥松绵软，而且具有促进人体代谢，降低胆固醇及防止细胞老化等功能，深受广大市民喜爱．小梅假期去洛阳游玩，准备回去时带点牡丹饼给亲朋好友品尝，已知甲、乙两家超市都以25元/盒的价格销售同一种牡丹饼，并且同时在做促销活动： 甲超市：办理本超市会员卡（卡费50元），食品全部打八折销售； 乙超市：购买同种商品超过一定数量后，超过的部分打折销售． 活动期间，若小梅分别按活动方式在甲、乙超市购买牡丹饼x盒，所需费用分别为元、元，与x之间的函数关系如图所示． (1)分别求，与x之间的函数解析式； (2)若小梅准备购买20盒牡丹饼，你认为在哪家超市购买更划算？ 【答案】(1)， (2)在乙超市购买更划算 【分析】（1）根据题意求出与x之间的函数解析式；结合图象，利用待定系数法求出与x之间的函数解析式； （2）代入到（1）中的函数解析式，求出对应和的值，比较二者的大小即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，得， 当时，设， 代入得，， 解得， ∴； 当时，设， 代入和得，， 解得， ∴； ∴综上，，； （2）解：当时， ， ， ∵， ∴在乙超市购买更划算． 3．（2025·辽宁·模拟预测）【项目化学习】“浮力与浸水深度之间的关系”． 如图1是小明同学做物体浮力实验的示意图，下方为盛水的烧杯，上方是由弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，已知该圆柱体的重力为，高度为．小明将弹簧测力计示数与圆柱体浸入水中的深度的数据记录如下： 圆柱体浸入水中的深度 0 1 2 3 4 弹簧测力计示数 12 (1)请你观察表中数据，猜想F与h之间的函数类型，并求出F与h之间的函数关系式，再选一对数值进行验证； (2)当圆柱体完全浸入水中之后，弹簧测力计示数不再随着圆柱体浸入水中的深度的变化而变化，当时，在图2的坐标系中画出F与h的函数图象． 【答案】(1)猜想F与h之间满足一次函数关系，，验证见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式； （1）观察表格发现弹簧测力计的初始示数为，h每增加，F减少，由此可猜想F与h的函数类型是一次函数，可设，再从表格中找两个相对简单的数值代入求出待定系数，最后选一对数值进行验证； （2）当，F与h是一次函数关系，当，浮力大小不变，图像是一条平行于x轴的线段，由此即可作出图像. 【详解】（1）解：猜想F与h之间满足一次函数关系， 设F与h之间的函数表达式为，把，与，代入，得解得 ∴， 验证：当时，， ∴符合. 故答案为猜想F与h之间满足一次函数关系，，验证符合. （2）解：当圆柱体没有完全浸入水中，即时，F与h是一次函数关系，即，当时，，当时，，可画出图像； 当圆柱体完全浸入水中之后，即时，浮力保持不变，弹簧测力计的示数也不再变化，图像是一条平行于x轴的线段； 所以当时，F与h的函数图象如图所示． 4．（2025·辽宁锦州·二模）虹吸现象描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒形管自动流动的过程．如图1，是利用虹吸现象的原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器中的液面高．设甲容器中的液面高为（单位：），乙容器中的液面高为（单位：cm），小明绘制了，关于虹吸时间（单位：）的函数图象，如图2所示． (1)请分别求出与的函数关系式； (2)求甲、乙容器中的液面高度相差时的虹吸时间． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了一次函数的应用，解一元一次方程，能理解题意，并从图象中获取准确信息是解答的关键． （1）利用待定系数法求得，再利用甲容器向乙容器注水，始终有，求得； （2）根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 开始时甲容器液面高， ， 设， 又时，， ，解得， ， 甲容器向乙容器注水，始终有， ． （2）解：∵甲、乙容器中的液面高度相差， ∴或， ∴或， 解得或， ∴甲、乙容器中的液面高度相差时的虹吸时间为或． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $