精品解析：贵州毕节市黔西市2025-2026学年第二学期期中教学质量监测高一数学试题

黔西市2025－2026学年度第二学期期中教学质量监测 高一数学 注意事项： 1、全卷共4页，四个大题，共19题，满分150分，考试用时120分钟.考试形式为闭卷. 2、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上. 3、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4、请保持答题卡平整，不能折叠.考试结束，监考员将答题卡收回. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题要求的） 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”成立的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 3. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，满足，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，内角的对边分别为，若，，则的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 公元3世纪，刘徽提出“割圆术”，用圆内接正多边形的周长逼近圆周长来求圆周率的近似值.设圆的半径为，圆内接正边形的周长为，下列说法错误的是（ ） A. 圆内接正边形的边长为 B. 用近似圆周长时， C. 当时，的近似值为3 D. 边数越大，的值越小于 7. 已知在R上满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数（）的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 25 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，选错不给分，选对部分得部分分） 9. 关于平面向量，下列说法错误的有（ ） A. 路程、海拔、电流强度都是向量 B. 单位向量的方向一定相同 C. 若向量与共线，且，则 D. 若是等边三角形，则与的夹角为 10. 下列命题正确的是（ ） A. 复数在复平面内对应点的坐标为 B. 复数的虚部为 C. 在中，，，，此三角形无解 D. 在中，，此是等腰三角形 11. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列选项正确的是（ ） A. B. 的图象关于y轴对称的图象恰为的图象 C. 两个函数有相同的零点 D. 两函数在上单调性相同 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，若与反向共线，则______. 13. 已知，，，则，b，c的大小关系为______. 14. 已知方程的两根分别为，，，若对于，都有恒成立，则实数的取值范围是______. 四、解答题（本题共5小题，共77分，每题必须写出解题步骤） 15. 已知复数. （1）若为纯虚数，求的值； （2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围. 16. 已知，b，c分别为的内角，B，C所对的边，且. （1）求A； （2）已知D是边BC的中点，求AD的最大值. 17. 已知向量；，函数. （1）求的最小正周期和单调递减区间： （2）将函数的图象先向左平移个单位，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数. （i）求的解析式； （ii）当时，若函数有两个解，求取值范围； 18. 如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，线段与线段交于点. （1）若，求实数，的值； （2）若，且满足， ①求实数的值； ②如图2，过点的直线与边，分别交于点，，设，，，）求的最小值. 19. 中国茶文化源远流长，是中华文明的重要组成部分，从神农时代至今，茶文化已经在中国发展了4700多年，形成了独特的精神内涵和表现形式.若把一杯刚泡的茶水放在冷空气中冷却，茶水初始的温度为，空气温度为（），则经过 后茶水的温度（单位：）可由公式 （其中，）求得，其中是一个随着茶水与空气的接触状况而定的正的常数.现在有85的一杯茶水，放在25的空气中冷却，20min以后的温度是35. （1）求的值； （2）若将100的茶水，放在20的空气中冷却，该茶水的温度降至24需要多少分钟？（精确到小数点后一位）（参考数值：，，） （3）该函数模型为（其中，，），请结合实际意义对函数模型及其系数，给出合理的解释. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黔西市2025－2026学年度第二学期期中教学质量监测 高一数学 注意事项： 1、全卷共4页，四个大题，共19题，满分150分，考试用时120分钟.考试形式为闭卷. 2、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上. 3、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4、请保持答题卡平整，不能折叠.考试结束，监考员将答题卡收回. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题要求的） 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法和除法运算及共轭复数的概念求解即可. 【详解】，. 2. “”是“”成立的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【详解】由题可得，，充分性不成立；，必要性成立 3. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题可得，，，则 4. 已知向量，满足，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题可得，，代入数据得，则夹角为 5. 在中，内角的对边分别为，若，，则的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】在中，由及余弦定理，得， 则，所以的面积为. 6. 公元3世纪，刘徽提出“割圆术”，用圆内接正多边形的周长逼近圆周长来求圆周率的近似值.设圆的半径为，圆内接正边形的周长为，下列说法错误的是（ ） A. 圆内接正边形的边长为 B. 用近似圆周长时， C. 当时，的近似值为3 D. 边数越大，的值越小于 【答案】D 【解析】 【分析】根据“割圆术”思想，结合等腰三角形性质及近似圆周长分析判断即可. 【详解】对于A：圆内接正边形的中心角为，用正边形的一边与圆心构成等腰三角形， 则边长为，A正确. 对于B：正边形的周长，圆周长为， 用近似圆周长时，，即，B正确. 对于C：当时，圆内接正六边形的边长等于半径，周长， 近似圆周长，得，C正确. 对于D：边数越大，正边形的周长越接近圆周长，会越来越接近，而不是“越小于”，D错误. 7. 已知在R上满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】条件可转化为函数在R上单调递增，结合一次函数单调性、二次函数单调性列不等式可求的范围. 【详解】由题意知，在R上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，需满足，解得，所以. 综上，. 8. 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数（）的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】根据权方和不等式求解即可. 【详解】因为，所以. ， 当且仅当，即（在范围内）时，等号成立. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，选错不给分，选对部分得部分分） 9. 关于平面向量，下列说法错误的有（ ） A. 路程、海拔、电流强度都是向量 B. 单位向量的方向一定相同 C. 若向量与共线，且，则 D. 若是等边三角形，则与的夹角为 【答案】ABC 【解析】 【详解】选项A：向量是同时具有大小、方向，且运算满足平行四边形法则的量.路程、海拔只有大小无方向，属于标量；电流强度的“方向”是人为规定的正电荷移动方向，运算不满足向量法则，也属于标量，三者都不是向量，A说法错误. 选项B：单位向量仅要求模长等于1，方向可以任意，并不一定相同，B说法错误. 选项C：向量带有方向属性，不能直接比较大小，只有向量的模长可以比较大小，C说法错误. 选项D：计算向量夹角需将两个向量的起点平移到同一点，等边△ABC中，与的夹角为内角60°，而，因此的夹角为，D说法正确. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 复数在复平面内对应点的坐标为 B. 复数的虚部为 C. 在中，，，，此三角形无解 D. 在中，，此是等腰三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A选项，由复数的几何意义求解即可；对于B选项，由复数的运算以及定义求解即可；对于C选项，D选项，由正弦定理求解即可. 【详解】选项A：复数，复平面内对应点坐标为实部、虚部组成的，故A错误； 选项B：化简，复数虚部为，故B正确； 选项C：由正弦定理，得，正弦值不能大于1，因此此三角形无解，C正确； 选项D：由正弦定理可得, 即，则（，等腰三角形）或（，直角三角形），因此三角形不一定是等腰三角形，故D错误. 11. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列选项正确的是（ ） A. B. 的图象关于y轴对称的图象恰为的图象 C. 两个函数有相同的零点 D. 两函数在上单调性相同 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据三角函数图象左移的规则求出的解析式，计算对应函数值即可判断A；验证与是否相等即判断B；求解两函数零点集合即可判断C；根据正弦函数的单调区间即可判断D. 【详解】由图象平移规则得， 对于A选项，，，故 ，故A正确； 对于B选项，关于轴对称的函数为 ，故B正确； 对于C选项，令，得 ，令，得 ，若有公共零点则 ，无整数解，故两函数无相同零点，故C错误； 对于D选项，时，，是的单调递减区间，单调递减；，也是的单调递减区间，单调递减，二者单调性相同，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，若与反向共线，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量共线的坐标公式求出m的所有可能值，再验证两向量是否反向，排除同向的情况即可得到结果 【详解】若共线，则. 当，，两向量同向（舍去）； 当，，两向量反向，满足题意； 13. 已知，，，则，b，c的大小关系为______. 【答案】或 【解析】 【分析】利用对数函数单调性、指数函数值域性质，通过与中间值、1比较，确定三个数的大小顺序。 【详解】因为，，对数函数在上单调递增， 将与两边同时平方可得， ， ，故，因此，即， 因为，指数函数在上单调递增，，故 ，而 ，因此 ，即，所以。 14. 已知方程的两根分别为，，，若对于，都有恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先由方程有两个不等实根通过判别式求得的上限，再利用韦达定理表示，求出在上的最小值，结合恒成立条件列不等式求得a的下限，合并得到取值范围。 【详解】由方程有两个不等实根，，由判别式可得，解得， 根据韦达定理，得到， 所以， 因为在上单调递增， 所以，所以， 即，解得， 所以. 四、解答题（本题共5小题，共77分，每题必须写出解题步骤） 15. 已知复数. （1）若为纯虚数，求的值； （2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】(1)根据纯虚数的定义，实部为0且虚部不为0，列方程组求解； (2)第三象限点满足实部<0，虚部<0，列不等式组取交集. 【15题详解】 由复数，因为复数为纯虚数，可得，解得. 【16题详解】 由复数在复平面内对应的点位于第三象限，则满足，解得，即的取值范围为. 16. 已知，b，c分别为的内角，B，C所对的边，且. （1）求A； （2）已知D是边BC的中点，求AD的最大值. 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】(1)用正弦定理化边为角，结合三角形内角和与三角恒等变换，求出角A； (2)用向量中线公式表示，结合余弦定理与基本不等式，求出AD最大值. 【16题详解】 因为， 由正弦定理得：， 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以，即， 因为，所以，所以，所以. 【17题详解】 因为，，所以， 因为D是BC的中点，所以，所以 因为，所以，即， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以AD的最大值为3. 17. 已知向量；，函数. （1）求的最小正周期和单调递减区间： （2）将函数的图象先向左平移个单位，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数. （i）求的解析式； （ii）当时，若函数有两个解，求取值范围； 【答案】（1），，. （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】(1)通过向量点积结合三角恒等变换，将转化为的标准形式，再用周期公式求周期，根据正弦函数单调性求单调区间； (2)(i)遵循“左加右减”的平移规律和“横坐标伸缩换x”的变换规则，分步完成平移与伸缩变换； (ii)先确定的范围，将方程的解的个数转化为的交点个数，再结合余弦函数图像列出不等式求解. 【小问1详解】 因为； 则 ，所以最小正周期， 令，，可得，， 所以的单调递减区间是，. 【小问2详解】 （i）将函数的图象先向左平移个单位， 得， 再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数； （ii）当时，， 由有两个解，可得有两个解， 根据，由余弦函数图象可得，得. 18. 如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，线段与线段交于点. （1）若，求实数，的值； （2）若，且满足， ①求实数的值； ②如图2，过点的直线与边，分别交于点，，设，，，）求的最小值. 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据向量的减法、向量相等及平面向量的基本定理求解即可. （2）①根据三点共线及平面向量基本定理可得所求值. ②由三点共线及平面向量基本定理得，再用基本不等式可得最小值. 【小问1详解】 因为，所以，所以， 又，且与不共线，由平面向量基本定理得，. 【小问2详解】 ①因为，，三点共线，所以存在实数使得， 所以， 因为，所以，所以. 又，所以. 因为与不共线，所以，解得，. ②由①可知，，且，， 所以， 因为，，三点共线，所以，且，， 所以 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 19. 中国茶文化源远流长，是中华文明的重要组成部分，从神农时代至今，茶文化已经在中国发展了4700多年，形成了独特的精神内涵和表现形式.若把一杯刚泡的茶水放在冷空气中冷却，茶水初始的温度为，空气温度为（），则经过后茶水的温度（单位：）可由公式（其中，）求得，其中是一个随着茶水与空气的接触状况而定的正的常数.现在有85的一杯茶水，放在25的空气中冷却，20min以后的温度是35. （1）求的值； （2）若将100的茶水，放在20的空气中冷却，该茶水的温度降至24需要多少分钟？（精确到小数点后一位）（参考数值：，，） （3）该函数模型为（其中，，），请结合实际意义对函数模型及其系数，给出合理的解释. 【答案】（1） （2）33.4分钟. （3）当物体的温度高于环境温度，随着时间的增加，物体的温度下降，温度下降的速度是先快后慢，故函数模型是合理的. ：代表环境温度，是茶水冷却过程中温度趋近的极限值； ：代表茶水初始温度与环境温度的差值，差值越大，初始冷却速度越快. 【解析】 【分析】（1）结合已知条件及指数函数、对数的运算求解即可. （2）根据指数函数的模型，结合指数与对数的互化、对数的运算求解即可. （3）结合函数模型分析其实际意义，分析解释即可. 【小问1详解】 由题意知，，即， 所以，解得. 【小问2详解】 设该物体需要放置分钟温度降至24，由题意知，，即. 由（1）知，所以，即， 所以， 故该茶水的温度降至24需要33.4分钟. 【小问3详解】 当时，物体初始温度； 当时，即当物体冷却时间足够长时，物体的温度会趋近于环境温度， 又当时，，因此，， 故. 当物体的温度高于环境温度，随着时间的增加，物体的温度下降，温度下降的速度是先快后慢，故函数模型是合理的. ：代表环境温度，是茶水冷却过程中温度趋近的极限值； ：代表茶水初始温度与环境温度的差值，差值越大，初始冷却速度越快. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $