第4讲 基本不等式及其应用【20个核心题型归纳】讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦基本不等式及其应用，涵盖直接使用、凑配法、“1”的妙用、二次比一次型等19类核心题型，按“基础应用—拓展提升”逻辑分层，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生构建系统解题框架。 讲义创新采用题型模块化与方法结构化教学，如“1”的妙用专题通过乘“1”法和代换训练，培养学生数学思维与转化能力。设置经典例题与分层练习，结合高考真题强化实战，助力学生在有限时间内掌握“一正二定三相等”核心策略，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供精准指导。

2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第4讲 基本不等式及其应用 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 模块一 核心题型·重点突破 【题型1】基本不等式的直接使用 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 常用不等式：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式：若，则（或），当且仅当时取等号． 常用结论 1对正数当且仅当时取等号 2当且仅当时取等号 3当且仅当时取等号 解题方法 1先判断变量是否为正数满足“一正” 2看和或积是否为定值满足“二定” 3验证等号成立条件是否存在满足“三相等” 4直接套用公式求最值 【经典例题1】（25-26高一上·福建莆田·期末）设、为正数，且，则的最大值为______． 【经典例题2】（25-26高一上·福建三明·阶段检测）若，则的最小值为（   ） A．1 B．3 C．6 D．10 【巩固练习1】（25-26高一上·北京·月考）已知，则的最小值为________，此时________． 【巩固练习2】（25-26高一上·广西桂林·期中）已知实数满足，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【巩固练习3】（25-26高三上·上海·阶段检测）已知正实数、满足，则的最大值为______. 【题型2】 常规凑配法求最值 配凑法：加上一个数或减去一个数使和(积)为定值，然后利用基本不等式求解． 1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2、注意验证取得条件． 常见的配凑法求最值模型 (1)模型一：，当且仅当时等号成立； (2)模型二： 【经典例题1】（25-26高一下·贵州毕节·月考）函数的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【经典例题2】（25-26高三上·河北秦皇岛·阶段检测）函数 的最小值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（25-26高一上·天津宝坻·月考）已知，若，的最小值为__________. 【巩固练习2】（25-26高一上·海南·期中）已知，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【巩固练习3】（25-26高一上·天津河东·月考）(其中)的最大值是 （   ） A． B． C．1 D．2 【题型3】 “1”的妙用（1）：乘“1”法 方法总结：乘“1”法就是指凑出1，利用乘“1”后值不变这个性质，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值． 主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值 注意：验证取得条件． 常用结论 1已知则 2通用形式：若则 解题方法 1找到题目中等于1的表达式 2将目标式乘以该等于1的表达式 3展开后交叉项用基本不等式求最值 4验证等号成立条件 【经典例题1】（2026高三·全国·专题练习）设，，且，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 【经典例题2】（24-25高二下·福建漳州·期末）若，则的最小值为（   ） A．24 B．26 C．32 D．92 【巩固练习1】（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知，且，，则的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【巩固练习2】（25-26高一下·广东江门·期中）已知，，且，则的最小值为__________，此时__________. 【巩固练习3】（2026·浙江·二模）已知，则的最小值为（   ） A． B． C．5 D．9 【题型4】“1”的妙用（2）：“1”的代换 方法总结：通过常数“1”的代换，把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子，达到解题目的． 常用结论 1用等于1的式子替换目标式中的常数1 2常见替换：等 解题方法 1分析目标式中的常数1选择合适的替换形式 2用等于1的式子替换常数1凑出可使用基本不等式的结构 3套用基本不等式求最值 4验证替换后变量的取值范围和等号条件 【经典例题1】（2026·天津南开·二模）已知时，的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 【经典例题2】（2026·山西临汾·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B．5 C．4 D．3 【巩固练习1】（2025·江西萍乡·二模）已知，，，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【巩固练习2】（2026·广东清远·二模）已知实数，且，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C． D． 【巩固练习3】（2026·河北邢台·二模）设，，且，则的最小值为（    ） A．12 B．9 C．8 D．4 【题型5】二次比一次型 基本模型：，当且仅当时等号成立 常用结论 1形如（）的函数可换元或分离常数后用基本不等式 2换元后常转化为的对勾函数形式 解题方法 1换元：令用表示代入原式化简 2或用多项式除法分离常数得到整式加分式的形式 3凑出结构用基本不等式求最值 4验证的取值范围确保一正二定三相等 【经典例题1】（25-26高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【经典例题2】（2025高一上·全国·专题练习）已知，求的最小值； 【巩固练习1】（25-26高一上·江西·月考）已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 【巩固练习2】（25-26高三上·北京·月考）若，则函数的最小值为______，此时______. 【巩固练习3】（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是________. 【题型6】分离常数型 方法总结：对于分子分母中含有相同单一字母时，可以考虑分离常数 常用结论 1形如（）可分离常数为 2分离后分式的分子为常数分母为一次式可直接判断范围或结合基本不等式 解题方法 1对分子进行凑配使其包含分母的因式 2分离常数得到常数加分式的形式 3分析分式的取值范围结合常数得到原式的最值 4验证变量的取值范围确保分母不为零 【经典例题1】（25-26高一上·上海·期中）若实数满足，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【经典例题2】（25-26高一下·湖南衡阳·月考）已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2026·湖南怀化·一模）已知，且，则的最小值为__________. 【巩固练习2】（2025高三·全国·）若且，则的最小值为_____． 【巩固练习3】（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知，均为正实数，且，则的最小值为___________． 【题型7】与指数对数结合的基本不等式问题 方法总结：结合指数对数的计算公式变形得出积为定值或和为定值的形式，再利用基本不等式求解 常用结论 1指数对数形式：当且仅当时取等号 2（）的最值可结合导数或不等式求解 解题方法 1利用指数对数的运算性质化简式子 2凑出或的形式 3套用基本不等式求最值 4验证变量的取值范围（如对数的真数大于0） 【经典例题1】（25-26高一下·贵州毕节·阶段检测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【经典例题2】（25-26高二下·广东深圳·期中）已知点在函数的图象上，则的最小值为（ ） A． B．8 C． D． 【巩固练习1】（重庆市2026届高三下学期5月联合诊断检测数学试题）（多选）已知均为正实数，且，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高三下·重庆·阶段检测）设且，且，若，则的最小值是（    ） A．3 B． C．9 D．18 【巩固练习3】（2026·辽宁朝阳·三模）（多选）已知正实数满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型8】利用对勾函数 当无法取等时需要结合对勾函数图像，利用单调性来得出最值 常用结论 1对勾函数（）的最小值为当且仅当即时取等号 2单调区间：递减递增 解题方法 1将目标式变形为的标准形式 2确定满足一正条件 3结合定义域判断极值点是否在取值范围内 4若极值点在定义域内直接取最小值；若不在取区间端点的最值 【经典例题1】（25-26高一下·浙江杭州·期中）若关于的不等式解集为，其中、，则的取值范围为________． 【经典例题2】（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知关于的不等式的解集为，则的最小值为（   ） A．8 B．12 C． D． 【巩固练习1】（25-26高一上·新疆·阶段检测）下列函数中最小值为4的是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高一上·河南驻马店·期中）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上单调递减，在上单调递增． (1)求函数的值域； (2)已知函数，若对任意，总存在，使得 成立，求的取值范围； (3)若关于的不等式对任意的恒成立，求的取值范围． 【巩固练习3】（25-26高一上·安徽阜阳·期中）在下列各函数中，最小值等于的函数是（   ） A． B． C． D． 【题型9】 判断不等式是否能成立 （1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件． （2）连续使用不等式要注意取得一致． 常用结论 1基本不等式使用的三个必要条件：一正（变量为正）二定（和或积为定值）三相等（等号能取到） 2三个条件缺一不可缺少任何一个不等式都不能成立 解题方法 1检查变量是否为正数不满足则不等式不成立 2检查和或积是否为定值不满足则无法直接用基本不等式求最值 3检查等号成立条件是否存在（如变量取值是否在定义域内） 4三个条件均满足则不等式成立否则不成立 【经典例题1】（2027高三下·全国·专题练习）下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 【经典例题2】（25-26高一上·全国·期末）下列结论表述正确的是（    ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．若，则 【巩固练习1】（25-26高三上·北京昌平·期末）若，，且，则下列不等式中恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高一上·四川眉山·期中）（多选）对于，，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2025·陕西·模拟预测）（多选）下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【题型10】换元法（整体思想） 对于两个分式的最值问题可以考虑整体法或换元法配凑 整体配凑法原理是把目标当作一个整体，然后利用基本不等式求最值. 单分母换元：当2个分母的和为定值，可以把其中一个分母进行换元 双分母换元：当2个分母均为字母加减常数时，可以把2个分母都换元 常用结论 1设整体变量简化复杂结构凑出可使用基本不等式的形式 2常见换元：令等 解题方法 1观察式子的整体结构选择合适的整体作为新变量 2用新变量表示原变量代入原式化简 3对化简后的式子套用基本不等式求最值 4回代得到原变量的最值验证取值范围 【经典例题1】（2026·天津红桥·一模）已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【经典例题2】（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知，，，则的最大值为____. 【巩固练习1】若，，，，则的最小值为 ． 【题型11】基本不等式的实际应用问题 不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，构建数学模型是关键，重点培养数学建模、数学运算素养． 调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数： 若，则（当且仅当时取“=”） 【经典例题1】（25-26高一下·江苏扬州·期中）如图1所示，一直角走廊的宽度分别为和. (1)若一根铁棒水平通过直角走廊上点与两墙分别交于点（图2），其中点分别为直角走廊内侧､外侧直角拐点，且. （i）设，求之间满足的等量关系； （ii）求的最小值； (2)若直角走廊的宽度均设计为（图3），现有一车宽为，长为（车高忽略），转动灵活的矩形平板车，求该平板车能通过此直角走廊时的最大值. 【经典例题2】（25-26高三上·安徽淮北·期中）某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计9600元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为（）米，原有墙体足够长. (1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围. 【巩固练习1】（25-26高一上·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 【巩固练习2】（25-26高一上·陕西西安·期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.    【巩固练习3】（24-25高一上·安徽黄山·月考）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，运用这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ）    A． B． C． D． 【题型12】与 a+b、平方和、 ab有关问题的最值（和，积，平方和互相转化） 利用基本不等式变形求解 常用不等式链：（主要用于和积转换） 常用结论 1 2 3 解题方法 1根据已知条件选择合适的转化公式（和转积、积转和、平方和转和/积） 2用基本不等式对转化后的式子进行放缩 3求目标式的最值 4验证等号成立条件（） 【经典例题1】（2026·安徽合肥·模拟预测）（多选）已知不相等的实数，满足，则下面说法正确的是（   ） A．存在实数使得，是方程的两根 B．若，则的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【经典例题2】（2026·贵州贵阳·二模）若，且，则ab的最小值是______． 【巩固练习1】（2026·内蒙古赤峰·一模）正数m，n满足，则的最小值为________． 【巩固练习2】（2026·河北张家口·一模）已知实数，，且满足，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【巩固练习3】（25-26高二下·浙江·开学考试）（多选）已知正实数a，b满足，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【题型13】基本不等式恒成立与能成立问题 ，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于 ，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于 常用结论 1恒成立：恒成立等价于；恒成立等价于 2能成立：能成立等价于；能成立等价于 解题方法 1用基本不等式求出目标函数的最值 2根据恒成立或能成立的条件列不等式求解参数范围 3验证参数范围是否满足变量的取值条件 4注意区分恒成立与能成立的最值方向 【经典例题1】（25-26高一下·贵州毕节·期中）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【经典例题2】（25-26高一上·浙江杭州·期中）若正实数，满足，不等式恒成立，则的取值范围是__________． 【巩固练习1】（25-26高一上·浙江杭州·期中）若正数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是_________． 【巩固练习2】（25-26高一上·广东深圳·期末）若满足且恒成立，则的取值范围是____________. 【巩固练习3】（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是____________. 模块二 核心方法·拓展提升 【题型14】消元法 消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 常用结论 1利用已知条件消去一个变量转化为单变量函数求最值 2消元后需注意剩余变量的取值范围 解题方法 1从已知等式中解出一个变量用其他变量表示 2代入目标式消去该变量得到单变量函数 3分析剩余变量的取值范围 4用基本不等式或对勾函数求单变量函数的最值 【经典例题1】（2026·广东江门·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【经典例题2】（25-26高三下·安徽合肥·月考）已知正数x，y满足，则的最小值为（    ）． A．4 B．3 C．2 D．1 【巩固练习1】（2026·河南南阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．12 【巩固练习2】（2026·西藏日喀则·模拟预测）若，则的值可能是（   ） A．0 B． C．2 D． 【巩固练习3】（25-26高一上·上海·期中）若正实数a，b满足，则的最小值是________． 【题型15】因式分解型 含有这类结构的式子，可以考虑因式分解配凑成的结构，再结合整体思想来求最值 常用结论 1通过因式分解凑出和或积为定值的形式再用基本不等式 2常见因式分解： 解题方法 1对目标式或已知条件进行因式分解 2分解后凑出可使用基本不等式的结构（如两个正数的和或积） 3套用基本不等式求最值 4验证因式分解的正确性和变量的取值范围 【经典例题1】（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【经典例题2】（25-26高一上·河南周口·期末）已知，，且，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（25-26高一上·辽宁丹东·期末）已知实数满足，则（   ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为1 D．有最大值为2 【巩固练习2】（25-26高一上·福建厦门·期末）已知，且，则下列结论正确的有（    ） A．ab的最小值是 B．的最小值为8 C．的最小值为2 D．此方程有且仅有3组整数解 【巩固练习3】（2026·辽宁沈阳·三模）已知正数x，y满足，则的最小值为______. 【题型16】同除型（构造齐次式） 齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解． 常用结论 1分子分母同除以某个变量的最高次幂构造齐次式转化为可使用基本不等式的形式 2形如同除以得 解题方法 1观察式子的次数选择合适的变量进行同除 2同除后构造出等可使用基本不等式的结构 3套用基本不等式求最值 4验证变量不为零确保同除有意义 【经典例题1】（江苏南通市2026届高三下学期二模数学试题）对任意正实数、，记．当取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【经典例题2】（24-25高一上·上海·阶段检测）设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．9 B．1 C． D．4 【巩固练习1】（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（24-25高三上·河南·月考）已知，则的最小值为______. 【巩固练习3】（22-23高三上·天津和平·阶段检测）已知正数满足，则的最小值是_________． 【题型17】万能“k”法 求啥设啥，利用一元二次方程有实数根时. 常用结论 1设比值将二元问题转化为关于的一元问题 2形如设转化为求最值 解题方法 1设目标比值为用表示变量的关系 2代入目标式转化为关于的一元函数 3化简后用基本不等式或导数求的范围或最值 4回代得到原目标式的最值 【经典例题1】（25-26高一上·山西忻州·期末）已知正实数a，b满足，则的最小值为__________. 【经典例题2】已知实数，满足，则的最小值为________ 【题型18】三角换元法（利用三角函数） 出现平方和结构（）形式，引入三角函数表示和 常用结论 1利用等公式进行换元 2适用于含等形式的问题 解题方法 1根据已知条件选择合适的三角换元形式（如） 2代入目标式转化为三角函数形式 3利用三角恒等变换化简再用基本不等式或三角函数性质求最值 4验证变量的取值范围确保换元等价 【经典例题1】（25-26高一·全国·寒假作业）已知，，则的最小值为____. 【经典例题2】（2026·河北沧州·模拟预测）已知实数满足，则的最大值为__________. 【巩固练习1】若x，y满足，则的最大值为________ 【巩固练习2】（多选题）若x，y满足，则（    ）. A． B． C． D． 【巩固练习3】若x，y满足，则的最大值为________ 【题型19】基本不等式与其他知识交汇的最值问题 利用基本不等式求最值往往交汇考查，多涉及数列、三角、向量、解析几何、立体几何等问题中有关最值的求法． 常用结论 1与函数、数列、解析几何、立体几何等知识结合利用基本不等式求最值 2核心仍是一正二定三相等结合其他知识的性质确定变量范围 解题方法 1结合交汇知识的性质建立目标函数 2利用交汇知识的约束条件确定变量的取值范围 3套用基本不等式求最值 4验证结果是否满足交汇知识的约束条件 【经典例题1】（25-26高一下·重庆·期中）已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（   ） A．4 B． C． D．2 【经典例题2】（25-26高一下·广东深圳·期中）半径为定值的球中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，圆柱的高和球的半径之比为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（25-26高一下·江苏南京·期中）在中，角 的对边分别为 ，且满足，的平分线交于点D，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）已知随机变量，且，正实数满足，则下列结论正确的是（   ） A．的最大值为9 B．的最小值为18 C．的最小值为 D．的最小值为 【巩固练习3】（2026·陕西渭南·模拟预测）已知为正实数，且直线与曲线相切，则的最大值为__________. 【题型20】多次运用基本不等式 多次运用不等式求最值，取到最值时要注意的是每次取等的条件是否一致. 常用结论 1对同一式子多次使用基本不等式需保证每次取等号的条件一致 2若两次取等号条件不同则最终的最值无法取到 解题方法 1对目标式进行拆分分多次使用基本不等式 2每次使用基本不等式时记录取等号的条件 3验证所有取等号条件是否能同时满足 4若条件一致则最终的最值成立；若不一致则需调整拆分方式或换用其他方法 【经典例题1】（25-26高一上·河北唐山·月考）已知，且，则的最小值为______． 【经典例题2】（25-26高一上·重庆·期中）已知，，且满足：，则的最小值等于________． 【巩固练习1】（2025·上海长宁·一模）已知均为正实数，且，则的最小值为___________． 【巩固练习2】（25-26高二上·陕西西安·期中）已知正数a，b满足，，则的最小值为______ . 【巩固练习3】（25-26高一上·重庆·期中）已知正实数、满足：，则的最大值为______，若实数，则的最小值为______． 课后过关检测 一、单选题 1．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知且，则的最小值是（   ） A．3 B．9 C．5 D．25 2．（2026·河南洛阳·模拟预测）设，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D．3 3．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·重庆万州·模拟预测）已知定义在上的函数满足，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 5．（2026·山东泰安·二模）当时，的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D． 6．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知正数，满足.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·四川泸州·模拟预测）若正数满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知函数，正数满足，则的最小值为（   ） A．2 B．5 C．8 D．9 二、多选题 10．（2026·河北雄安·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A． B．若，则“”是“”的充要条件 C．的最小值为3 D．若，则 11．（25-26高一下·浙江衢州·期中）已知，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（2026·河南·模拟预测）已知，，，下列说法正确的是（   ） A．的最大值为1 B．的最小值为2 C．ab的最大值为 D．的最小值为2 13．（2026·贵州毕节·三模）已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 14．（2024·上海·高考真题）已知，的最小值为______． 15．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为_________． 16．（2026·广东湛江·二模）已知正数，满足，则的最大值为______. 17．（2026·陕西咸阳·三模）已知，且，则的最小值为______． 18．（2026·安徽·模拟预测）已知，，且，则的最小值为________． 19．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知，则的最小值为__________． 20．（2026·河南开封·模拟预测）已知正实数a，b满足，则的最小值为______． 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第4讲 基本不等式及其应用 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 模块一 核心题型·重点突破 【题型1】基本不等式的直接使用 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 常用不等式：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式：若，则（或），当且仅当时取等号． 常用结论 1对正数当且仅当时取等号 2当且仅当时取等号 3当且仅当时取等号 解题方法 1先判断变量是否为正数满足“一正” 2看和或积是否为定值满足“二定” 3验证等号成立条件是否存在满足“三相等” 4直接套用公式求最值 【经典例题1】（25-26高一上·福建莆田·期末）设、为正数，且，则的最大值为______． 【答案】/ 【分析】结合已知条件，利用基本不等式求积的最大值． 【详解】， ，当且仅当时取等号. ， ，即，解得， 当时，取等号，故的最大值为． 【经典例题2】（25-26高一上·福建三明·阶段检测）若，则的最小值为（   ） A．1 B．3 C．6 D．10 【答案】C 【分析】直接根据基本不等式求解. 【详解】由于，根据基本不等式， 当且仅当，即时取得等号，故最小值是. 故选：C 【巩固练习1】（25-26高一上·北京·月考）已知，则的最小值为________，此时________． 【答案】 5； 2. 【分析】直接利用基本不等式即可得到答案. 【详解】因为，则， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：5；2. 【巩固练习2】（25-26高一上·广西桂林·期中）已知实数满足，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据基本不等式，由题中条件，即可得出结果. 【详解】因为，又， 所以，当且仅当时，等号成立. 所以 故选：D 【巩固练习3】（25-26高三上·上海·阶段检测）已知正实数、满足，则的最大值为______. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最大值. 【详解】正实数、满足，则，即， 当且仅当时取等号， 所以当时，取得最大值. 故答案为： 【题型2】 常规凑配法求最值 配凑法：加上一个数或减去一个数使和(积)为定值，然后利用基本不等式求解． 1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2、注意验证取得条件． 常见的配凑法求最值模型 (1)模型一：，当且仅当时等号成立； (2)模型二： 【经典例题1】（25-26高一下·贵州毕节·月考）函数的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【详解】当时，，， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为3. 【经典例题2】（25-26高三上·河北秦皇岛·阶段检测）函数 的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】由，得，则， 当且仅当，即时取等号， 所以所求最小值为. 故选：D 【巩固练习1】（25-26高一上·天津宝坻·月考）已知，若，的最小值为__________. 【答案】6 【分析】对函数进行变形，使其满足基本不等式的使用条件，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，取得最小值，为. 故答案为：6. 【巩固练习2】（25-26高一上·海南·期中）已知，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】将目标式子变形，然后根据基本不等式求解即可. 【详解】由得，， 当且仅当即时，等号成立，故的最小值为． 故选：C. 【巩固练习3】（25-26高一上·天津河东·月考）(其中)的最大值是 （   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】因为)，所以, sy ， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 【题型3】 “1”的妙用（1）：乘“1”法 方法总结：乘“1”法就是指凑出1，利用乘“1”后值不变这个性质，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值． 主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值 注意：验证取得条件． 常用结论 1已知则 2通用形式：若则 解题方法 1找到题目中等于1的表达式 2将目标式乘以该等于1的表达式 3展开后交叉项用基本不等式求最值 4验证等号成立条件 【经典例题1】（2026高三·全国·专题练习）设，，且，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】解析：，当且仅当，即，即，时取等号. 【经典例题2】（24-25高二下·福建漳州·期末）若，则的最小值为（   ） A．24 B．26 C．32 D．92 【答案】C 【分析】利用基本不等式‘1’的代换求解即可. 【详解】因为， 所以， 由基本不等式可得，即， 当且仅当时取等，此时解得，， 则的最小值为32，故C正确. 故选：C 【巩固练习1】（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知，且，，则的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用代换1法，结合基本不等式即可求最小值. 【详解】由，可得， 又因为，，所以， 当且仅当时取等号， 故选：A. 【巩固练习2】（25-26高一下·广东江门·期中）已知，，且，则的最小值为__________，此时__________. 【答案】 12 【详解】由，，则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为12，此时. 【巩固练习3】（2026·浙江·二模）已知，则的最小值为（   ） A． B． C．5 D．9 【答案】B 【分析】利用常数代换，结合基本不等式求解可得. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 【题型4】“1”的妙用（2）：“1”的代换 方法总结：通过常数“1”的代换，把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子，达到解题目的． 常用结论 1用等于1的式子替换目标式中的常数1 2常见替换：等 解题方法 1分析目标式中的常数1选择合适的替换形式 2用等于1的式子替换常数1凑出可使用基本不等式的结构 3套用基本不等式求最值 4验证替换后变量的取值范围和等号条件 【经典例题1】（2026·天津南开·二模）已知时，的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【详解】由可知，易知，且， 所以 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 因此的最小值为3. 【经典例题2】（2026·山西临汾·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B．5 C．4 D．3 【答案】B 【详解】已知，，且， ， 当且仅当，结合得时等号成立， 的最小值为5． 【巩固练习1】（2025·江西萍乡·二模）已知，，，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】由题，然后由基本不等式可得答案. 【详解】因由题设及基本不等式， , 当且仅当，即时取等号. 【巩固练习2】（2026·广东清远·二模）已知实数，且，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用“1”的代换并变形，再利用基本不等式求解. 【详解】实数，且，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 【巩固练习3】（2026·河北邢台·二模）设，，且，则的最小值为（    ） A．12 B．9 C．8 D．4 【答案】B 【分析】通过换“1”法，再通过基本不等式求解即可. 【详解】由题得，所以，当且仅当，时取等号，所以的最小值为9. 【题型5】二次比一次型 基本模型：，当且仅当时等号成立 常用结论 1形如（）的函数可换元或分离常数后用基本不等式 2换元后常转化为的对勾函数形式 解题方法 1换元：令用表示代入原式化简 2或用多项式除法分离常数得到整式加分式的形式 3凑出结构用基本不等式求最值 4验证的取值范围确保一正二定三相等 【经典例题1】（25-26高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】令，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】令，则，因为，可得， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 【经典例题2】（2025高一上·全国·专题练习）已知，求的最小值； 【答案】 【分析】将变形为，然后利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为，则， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 【巩固练习1】（25-26高一上·江西·月考）已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 【答案】A 【分析】化简变形利用基本不等式计算即可． 【详解】易知． 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故，则的最大值是． 故选：A 【巩固练习2】（25-26高三上·北京·月考）若，则函数的最小值为______，此时______. 【答案】 【分析】由题设，化并应用基本不等式求其最小值，并确定取值条件即可得. 【详解】由，则， 当且仅当，即时取等号，故最小值为. 故答案为：， 【巩固练习3】（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是________. 【答案】/ 【分析】依题意利用基本不等式计算可得. 【详解】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为： 【题型6】分离常数型 方法总结：对于分子分母中含有相同单一字母时，可以考虑分离常数 常用结论 1形如（）可分离常数为 2分离后分式的分子为常数分母为一次式可直接判断范围或结合基本不等式 解题方法 1对分子进行凑配使其包含分母的因式 2分离常数得到常数加分式的形式 3分析分式的取值范围结合常数得到原式的最值 4验证变量的取值范围确保分母不为零 【经典例题1】（25-26高一上·上海·期中）若实数满足，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】C 【分析】首先判断的符号，再将待求式变形为可利用基本不等式或其变形的形式，进而求最值. 【详解】因为，所以同号， 又，所以同正. 对于A，由得，故A正确． 对于B，由不等式可得， 所以，当且仅当时等号成立，故B正确． 对于C， ， 当且仅当，即时等号成立， （或由二维柯西不等式可得，当且仅当时等号成立），故C错误． 对于D， ， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，故D正确. 【经典例题2】（25-26高一下·湖南衡阳·月考）已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：将所求因式通分后利用基本不等式计算即可. 方法二：将所求因式配凑后利用基本不等式计算即可. 方法三：根据柯西不等式计算即可. 【详解】方法一： 因为，所以 ， 因为a，b为正数，所以，所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以，故的最小值为； 方法二 因为，所以 ， 因为a，b为正数，所以，所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以，故的最小值为. 方法三： 因为，所以由柯西不等式得， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为. 【巩固练习1】（2026·湖南怀化·一模）已知，且，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】利用1的代换，再结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】由 ，得 ，即 （）， 则， 当且仅当 ，即，再结合 ， 可解得 ，满足条件，因此的最小值为 . 【巩固练习2】（2025高三·全国·）若且，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】由条件并利用基本不等式，可知 当且仅当（即）时，取到最小值． 故答案为： 【巩固练习3】（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知，均为正实数，且，则的最小值为___________． 【答案】/0.25 【分析】将原式变形为，进而化简，然后设，而后用进行代换，最后用基本不等式得到答案． 【详解】因为均为正实数，且， ，设， 则上式， 当且仅当时取“=”； 则的最小值为， 故答案为： 【题型7】与指数对数结合的基本不等式问题 方法总结：结合指数对数的计算公式变形得出积为定值或和为定值的形式，再利用基本不等式求解 常用结论 1指数对数形式：当且仅当时取等号 2（）的最值可结合导数或不等式求解 解题方法 1利用指数对数的运算性质化简式子 2凑出或的形式 3套用基本不等式求最值 4验证变量的取值范围（如对数的真数大于0） 【经典例题1】（25-26高一下·贵州毕节·阶段检测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定的范围，再结合基本不等式与作商法得到，进而结合对数的运算性质得到，最后证明目标结论即可. 【详解】因为，， 所以，由基本不等式得， 当且仅当时取等，但本题无法取等，则， 结合对数的运算性质得， 结合对数的性质得， 即，得到，而， 又，综上所述，. 【经典例题2】（25-26高二下·广东深圳·期中）已知点在函数的图象上，则的最小值为（ ） A． B．8 C． D． 【答案】D 【详解】因为点在函数的图象上，则有， ， 当且仅当，即时等号成立. 则的最小值为. 【巩固练习1】（重庆市2026届高三下学期5月联合诊断检测数学试题）（多选）已知均为正实数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用基本不等式,对数的运算性质以及和角的正切公式,结合正切函数的单调性逐一判断即可. 【详解】对于A,因，，即,当且仅当时等号成立, 则,故A错误； 对于B,，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C,由A项得,则，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D,由，得，即， 当时，可得，即， 整理得，故D错误． 【巩固练习2】（25-26高三下·重庆·阶段检测）设且，且，若，则的最小值是（    ） A．3 B． C．9 D．18 【答案】B 【分析】利用对数换底公式化简已知条件，得到与的关系式，再用基本不等式求最小值. 【详解】由换底公式可得 ， 原式化为 ，所以 ， 因为，由基本不等式得， 当且仅当，即时，取等号成立. 所以的最小值是. 【巩固练习3】（2026·辽宁朝阳·三模）（多选）已知正实数满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由对数的运算可判断A，由基本不等式结合乘1法可判断BCD. 【详解】由题意可知，所以，A项正确； ，当且仅当时取等，B项正确； 所以，当且仅当时取等，C项正确； ，当且仅当时取等，D项错误． 【题型8】利用对勾函数 当无法取等时需要结合对勾函数图像，利用单调性来得出最值 常用结论 1对勾函数（）的最小值为当且仅当即时取等号 2单调区间：递减递增 解题方法 1将目标式变形为的标准形式 2确定满足一正条件 3结合定义域判断极值点是否在取值范围内 4若极值点在定义域内直接取最小值；若不在取区间端点的最值 【经典例题1】（25-26高一下·浙江杭州·期中）若关于的不等式解集为，其中、，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】由题意得出，所以，于是得出，令，可得，利用对勾函数的单调性求解即可. 【详解】因为关于的不等式解集为，即不等式解集为， 所以，所以， 故，令， 则， 令，其中， 由对勾函数的单调性可知，函数在上为增函数，故， 因此的取值范围是. 【经典例题2】（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知关于的不等式的解集为，则的最小值为（   ） A．8 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次不等式解集与方程根的关系可得，再由对勾函数单调性即可求得最小值. 【详解】由题中条件可知，是方程的两个根， 则，, 所以， 又，令， 可知该函数在上单调递减，在上单调递增， 又，所以， 则的最小值为． 故选：C 【巩固练习1】（25-26高一上·新疆·阶段检测）下列函数中最小值为4的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的单调性、基本不等式、二次函数的性质逐项判断即可. 【详解】选项A：，其中. 令，则（）. 函数在上单调递减，因此当时，， 故最小值为5，A错误； 选项B：，的取值范围为且. 所以当，即时，， 当且仅当，即时等号成立； 当，即时，， 当且仅当，即时等号成立； 故无最小值，B错误； 选项C：，当时，， 故最小值为3，C错误； 选项D：因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 故最小值为4，D正确. 故选：D. 【巩固练习2】（25-26高一上·河南驻马店·期中）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上单调递减，在上单调递增． (1)求函数的值域； (2)已知函数，若对任意，总存在，使得 成立，求的取值范围； (3)若关于的不等式对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）需要先对函数进行变形，再根据已知性质求值域； （2）要根据条件得出两个函数值域的包含关系，进而求出的取值范围； （3）通过换元法将不等式转化为关于新变量的不等式，再利用函数性质求解的取值范围. 【详解】（1），令， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 当时，，当时，，所以， 所以函数的值域是． （2）由题意知在上单调递减，在上单调递增，所以， 又，所以，所以的值域为． 在上单调递增，所以， 所以的值域为， 若对任意，总存在，使得成立， 所以的值域是的值域的子集，所以， 解得，即的取值范围是． （3）令，由题知在上单调递减，在上单调递增，所以， 则， 所以，解得，即的取值范围是． 【巩固练习3】（25-26高一上·安徽阜阳·期中）在下列各函数中，最小值等于的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知结合函数单调性及基本不等式分别检验各选项可得答案． 【详解】令，设， 则， 当时，，可得， ，所以在上单调递增， 当时，，可得， ，所以在上单调递减. 对于A，令，则，在上单调递增， 函数在处取得最小值，故A错误； 对于B，令，则由得，在上单调递减， 没有最小值，故B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D,当时，D显然不成立，故D错误． 故选：C． 【题型9】 判断不等式是否能成立 （1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件． （2）连续使用不等式要注意取得一致． 常用结论 1基本不等式使用的三个必要条件：一正（变量为正）二定（和或积为定值）三相等（等号能取到） 2三个条件缺一不可缺少任何一个不等式都不能成立 解题方法 1检查变量是否为正数不满足则不等式不成立 2检查和或积是否为定值不满足则无法直接用基本不等式求最值 3检查等号成立条件是否存在（如变量取值是否在定义域内） 4三个条件均满足则不等式成立否则不成立 【经典例题1】（2027高三下·全国·专题练习）下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即，无解，等号不成立． 故选. 【经典例题2】（25-26高一上·全国·期末）下列结论表述正确的是（    ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．若，则 【答案】C 【分析】运用基本不等式可判断A，运用特殊值法可判断B、D，运用作差法可判断C. 【详解】对于A：若，则恒成立，当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B：若，则，则，故B错误； 对于C：因为， 又因为，故成立，故C正确； 对于D：若，则，此时，故D错误. 故选：C． 【巩固练习1】（25-26高三上·北京昌平·期末）若，，且，则下列不等式中恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式的性质进行逐项判断即可. 【详解】因为，所以同号. 对于A：当时，，此时， 不等式左边为负数，右边为正数，所以该不等式不成立，A错误； 对于B：当时，，即， 此时，所以B错误； 对于C：当时，，此时， 不等式左边为负数，右边为正数，所以该不等式不成立，C错误； 对于D：因为同号，所以， 根据基本不等式的性质可得，D正确. 故选：D. 【巩固练习2】（25-26高一上·四川眉山·期中）（多选）对于，，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据，整理变形，可判断A的正误；根据基本不等式可判断B、C的正误；利用作差法，可判断D的正误. 【详解】选项A：因为，所以， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 选项B：因为，，所以，即， 当且仅当时取等号，故B错误； 选项C：因为，，所以，即， 当且仅当时取等号，故C正确； 选项D：， 当且仅当时取等号，所以，故D正确. 故选：ACD 【巩固练习3】（2025·陕西·模拟预测）（多选）下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据不等式的性质结合函数的性质逐一分析选项. 【详解】对于A，由题可知不等式有意义须需，则， 则，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，当，即，时，有，故不等式不一定成立，故B错误； 对于C，由，则， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对于D，由题意知,，故, 故不等式成立，D正确． 故选：ACD 【题型10】换元法（整体思想） 对于两个分式的最值问题可以考虑整体法或换元法配凑 整体配凑法原理是把目标当作一个整体，然后利用基本不等式求最值. 单分母换元：当2个分母的和为定值，可以把其中一个分母进行换元 双分母换元：当2个分母均为字母加减常数时，可以把2个分母都换元 常用结论 1设整体变量简化复杂结构凑出可使用基本不等式的形式 2常见换元：令等 解题方法 1观察式子的整体结构选择合适的整体作为新变量 2用新变量表示原变量代入原式化简 3对化简后的式子套用基本不等式求最值 4回代得到原变量的最值验证取值范围 【经典例题1】（2026·天津红桥·一模）已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，且，所以， 所以 ， 当且仅当即、时等号成立． 所以的最小值为. 【经典例题2】（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知，，，则的最大值为____. 【答案】/ 【分析】先换元，再结合基本不等式“1”的代换即可求解. 【详解】令，，所以， 因为，所以，所以， 所以 ，当且仅当时取等号， 结合，解得，即时，，所以的最大值为. 【巩固练习1】若，，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】令 ，则，由此可将变形为，结合基本不等式，即可求得答案。 【详解】由题意，，，，得：， 设 ，则 ， 故 ， 当且仅当 ，即 时取得等号， 故的最小值为 【题型11】基本不等式的实际应用问题 不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，构建数学模型是关键，重点培养数学建模、数学运算素养． 调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数： 若，则（当且仅当时取“=”） 【经典例题1】（25-26高一下·江苏扬州·期中）如图1所示，一直角走廊的宽度分别为和. (1)若一根铁棒水平通过直角走廊上点与两墙分别交于点（图2），其中点分别为直角走廊内侧､外侧直角拐点，且. （i）设，求之间满足的等量关系； （ii）求的最小值； (2)若直角走廊的宽度均设计为（图3），现有一车宽为，长为（车高忽略），转动灵活的矩形平板车，求该平板车能通过此直角走廊时的最大值. 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【分析】（1）（i）过点分别作垂直于为垂足，即可得，根据相似三角形的性质计算可得；（ii）利用基本不等式结合（i）的结论即可求解； （2）延长分别交于点，设，根据锐角三角形推导出，通过令，得到新函数，利用新函数的单调性即可求解. 【详解】（1）如图，过点分别作垂直于为垂足， （i）因为，所以，所以， 因为， 所以，即. （ii）由得，于是， 由基本不等式，当时取等号， 所以.即的最小值为. （2）如图，延长分别交于点， 设，则， 因为在直角三角形中，，所以， 同理，在中，， 所以， 因为，得， 设，令， 因为，所以，所以， 所以，且， 令， 因为函数在上单调递增， 所以当，即时， . 【经典例题2】（25-26高三上·安徽淮北·期中）某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计9600元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为（）米，原有墙体足够长. (1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围. 【答案】(1)10米 (2) 【分析】（1）由题意建立甲工程队报价与左面墙的长度间的函数关系，再根据基本不等式求得最低报价及对应的左面墙的长度； （2）利用（1）的结论，列出不等式，分离参数，并根据基本不等式求得的取值范围. 【详解】（1）设甲工程队的总报价为元， 依题意，左、右两面墙的长度均为（）米， 则长方体前面新建墙体的长度为米， 所以， 即， 当且仅当，即时，等号成立. 故当左面墙的长度为10米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为19200元. （2）由题意可知，， 即对任意的恒成立， 所以，可得，即. ， 当且仅当，即时，取最小值36. 所以，即的取值范围是. 【巩固练习1】（25-26高一上·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】， 等号成立时， 故该超市应该把仓库建在距离超市千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为万元. 故答案为：； 【巩固练习2】（25-26高一上·陕西西安·期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.    【答案】 【分析】设，，根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长. 【详解】设，，则，所以， 所以 ， ，即，解得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，该休闲场所的总造价最小，最小值为元. 故答案为：. 【巩固练习3】（24-25高一上·安徽黄山·月考）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，运用这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题知，结合及，即可求解. 【详解】因为，点在直径上，不妨设点在线段上，如图所示， 则， 当与不重合时，因为，则， 当与重合时，，，也满足， 又易知，所以，    故选：D. 【题型12】与 a+b、平方和、 ab有关问题的最值（和，积，平方和互相转化） 利用基本不等式变形求解 常用不等式链：（主要用于和积转换） 常用结论 1 2 3 解题方法 1根据已知条件选择合适的转化公式（和转积、积转和、平方和转和/积） 2用基本不等式对转化后的式子进行放缩 3求目标式的最值 4验证等号成立条件（） 【经典例题1】（2026·安徽合肥·模拟预测）（多选）已知不相等的实数，满足，则下面说法正确的是（   ） A．存在实数使得，是方程的两根 B．若，则的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ABD 【分析】结合韦达定理、基本不等式、二次函数值域求解，先利用题干等式转化为韦达定理形式，再分别分析各选项. 【详解】选项A：若、是方程的两根， 由韦达定理得，，代入题干， 左边，右边，等式成立；又， 则，即或时存在这样的，A正确； 选项B：若，由基本不等式， 代入得，令， 则，解得即，当且仅当时等号成立， 但，故，即范围为，B正确； 选项C：令，则，则、是方程的两根， 判别式，解得或， 即的范围是，并非仅，C错误； 选项D：， 由：当时，，故； 当时，，故，综上范围为，D正确. 【经典例题2】（2026·贵州贵阳·二模）若，且，则ab的最小值是______． 【答案】4 【详解】因，则，整理得， 解得，即，当且仅当时取等， 故当时，ab取得最小值为4. 【巩固练习1】（2026·内蒙古赤峰·一模）正数m，n满足，则的最小值为________． 【答案】2 【详解】因，则，当且仅当时取等号. 则 即，解得，（舍去） 当且仅当时等号成立，故的最小值为2. 【巩固练习2】（2026·河北张家口·一模）已知实数，，且满足，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】利用基本不等式将等式变形化简，解不等式即可得出结果. 【详解】由可得， 因为实数，，所以， 因此可得，即， 解得或（舍）， 当且仅当时，即时，等号成立, 所以的最小值为6. 【巩固练习3】（25-26高二下·浙江·开学考试）（多选）已知正实数a，b满足，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A项，由基本不等式 ​，代入已知等式得：， 令则不等式化为，结合 ，解得， 即，得到，当且仅当 时，等号成立，故A正确； 对于B项，由基本不等式，令，则， 整理得到，结合 ，解得 ，即， 当且仅当 时，等号成立，故B错误； 对于C项，先化简得到，将代入得到， 由选项 A 知，则，故， 当且仅当 时，等号成立，故C正确； 对于D项，由得到，其中 ， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 【题型13】基本不等式恒成立与能成立问题 ，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于 ，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于 常用结论 1恒成立：恒成立等价于；恒成立等价于 2能成立：能成立等价于；能成立等价于 解题方法 1用基本不等式求出目标函数的最值 2根据恒成立或能成立的条件列不等式求解参数范围 3验证参数范围是否满足变量的取值条件 4注意区分恒成立与能成立的最值方向 【经典例题1】（25-26高一下·贵州毕节·期中）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用乘“1”法和基本不等式可得最小值，即可得与有关不等式，解出即可得. 【详解】由，则， 当且仅当，即，时，等号成立， 故，即，解得， 即实数的取值范围是. 【经典例题2】（25-26高一上·浙江杭州·期中）若正实数，满足，不等式恒成立，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据基本不等式”1”的代换，可得的最小值，根据题意，结合一元二次不等式的解法，即可得答案. 【详解】由，得，即， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，则，解得， 则的取值范围是. 【巩固练习1】（25-26高一上·浙江杭州·期中）若正数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据 “乘1法”可求 的最小值，进而求解即可. 【详解】由得，且 ， 故， 当且仅当即时等号成立. 故问题转化为，即， 解得，故实数m的取值范围为. 【巩固练习2】（25-26高一上·广东深圳·期末）若满足且恒成立，则的取值范围是____________. 【答案】 【分析】先结合题意得到，再利用基本不等式得到，进而求出的最小值为，最后得到，求解参数范围即可. 【详解】因为， 且由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 所以， 即，得到，解得， 故的最小值为，要使恒成立， 即成立，解得.   故答案为：. 【巩固练习3】（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是____________. 【答案】 【分析】根据题意可得，利用乘“1”法结合基本不等式可得，再根据恒成立问题分析求解. 【详解】因为正实数x，y满足，即， 则 当且仅当，即时，等号成立， 若恒成立，则， 所以实数的范围是. 故答案为：. 模块二 核心方法·拓展提升 【题型14】消元法 消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 常用结论 1利用已知条件消去一个变量转化为单变量函数求最值 2消元后需注意剩余变量的取值范围 解题方法 1从已知等式中解出一个变量用其他变量表示 2代入目标式消去该变量得到单变量函数 3分析剩余变量的取值范围 4用基本不等式或对勾函数求单变量函数的最值 【经典例题1】（2026·广东江门·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】方法一：条件等式可化为，再结合关系利用基本不等式求结论； 方法二：由条件等式可得，消元变形可得，再利用基本不等式求其最小值即可. 【详解】（方法一）由，可得， 因为，，所以，， 则， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为13． （方法二）由，可得，因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为13． 【经典例题2】（25-26高三下·安徽合肥·月考）已知正数x，y满足，则的最小值为（    ）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】由可得，即， 故，当且仅当，时等号成立． 【巩固练习1】（2026·河南南阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】根据题设条件求得，代入所求式利用基本不等式即可求解. 【详解】由可得，显然，则有， 由，可得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 此时的最小值为9. 故选：B. 【巩固练习2】（2026·西藏日喀则·模拟预测）若，则的值可能是（   ） A．0 B． C．2 D． 【答案】CD 【详解】因为，所以，，， 当时，， 当时，， 结合选项，的值可能为或． 【巩固练习3】（25-26高一上·上海·期中）若正实数a，b满足，则的最小值是________． 【答案】/0.25 【分析】利用换元法和分离常数的思路将式子整理为，然后根据“1”的运用求最值. 【详解】由题意得， 令，，则，，， ， 当且仅当，即，时等号成立. 【题型15】因式分解型 含有这类结构的式子，可以考虑因式分解配凑成的结构，再结合整体思想来求最值 常用结论 1通过因式分解凑出和或积为定值的形式再用基本不等式 2常见因式分解： 解题方法 1对目标式或已知条件进行因式分解 2分解后凑出可使用基本不等式的结构（如两个正数的和或积） 3套用基本不等式求最值 4验证因式分解的正确性和变量的取值范围 【经典例题1】（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据已知得，代入目标式并应用基本不等式求最小值即可. 【详解】由，则，，，故， 所以， 当且仅当，此时取等号. 【经典例题2】（25-26高一上·河南周口·期末）已知，，且，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A，利用基本不等式建立一元二次不等式，可得其正误；对于B，由A的结论，根据对数的运算法则，可得其正误；对于C，由A的结论，根据基本不等式以及指数式的运算，可得其正误了对于D，利用换元以及基本不等式，可得其正误. 【详解】对于A，由，则，当且仅当时，等号成立， 即，整理可得， 分解因式可得，解得，故A错误； 对于B，由A可知，当且仅当时，等号成立， 可得，故B正确； 对于C，由，则，当且仅当时，等号成立， 由A可知，当且仅当时，等号成立，则，即，故C正确； 对于D，令，即， 由，即，则， 由，则，由，则， ，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：BCD. 【巩固练习1】（25-26高一上·辽宁丹东·期末）已知实数满足，则（   ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为1 D．有最大值为2 【答案】ABD 【分析】因为结合题目化简得到， 所以有最大值为，故A正确；设，所以，由，所以，即，所以，故B正确；因为且，所以，故C 错误；因为且，所以，所以，故D正确. 【详解】对于A，因为且，所以，即，当且仅当或 时取等号，有最大值为，故A正确； 对于B，设，则， 所以，由，所以， 所以，即，所以， 当且仅当时，有最小值为故B正确； 对于C，因为且，所以， 当且仅当或时取等号，有最小值为，故C 错误； 对于D，因为且，所以，所以， 当且仅当或时，有最大值为2，故D正确； 故选：ABD. 【巩固练习2】（25-26高一上·福建厦门·期末）已知，且，则下列结论正确的有（    ） A．ab的最小值是 B．的最小值为8 C．的最小值为2 D．此方程有且仅有3组整数解 【答案】BCD 【分析】对于ABC，由，得，再结合基本不等式逐个判断即可.对于D，结合，,分析整数解即可. 【详解】由，得，又， 所以，即，由得，由,故. 对于A由，令，得，解得， 即，当且仅当时，取等号，A错误； 对于B，，当且仅当时，等号成立，故B正确， 对于C，， 当且仅当时，取等号，故C正确； 对于D，由，,，故当时，；当时，；当时，，不满足整数解； 当时，；当时，，故不满足整数解； 综上，此方程有且仅有3组整数解，分别为，；，；，.故D正确. 故选：BCD 【巩固练习3】（2026·辽宁沈阳·三模）已知正数x，y满足，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据题意得，再结合基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】因为正数x，y满足，所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 【题型16】同除型（构造齐次式） 齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解． 常用结论 1分子分母同除以某个变量的最高次幂构造齐次式转化为可使用基本不等式的形式 2形如同除以得 解题方法 1观察式子的次数选择合适的变量进行同除 2同除后构造出等可使用基本不等式的结构 3套用基本不等式求最值 4验证变量不为零确保同除有意义 【经典例题1】（江苏南通市2026届高三下学期二模数学试题）对任意正实数、，记．当取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由不等式的基本性质得出，利用基本不等式求出的最大值，可得出的最大值，利用等号成立的条件可得出、的值，即可得出的值. 【详解】因为、都为正实数，且，故， 由题意可得，， 由不等式的性质可得， ，故，可得， 当且仅当时，即当时， 此时且时，取最大值， 此时. 【经典例题2】（24-25高一上·上海·阶段检测）设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．9 B．1 C． D．4 【答案】D 【分析】首先根据，变形，利用基本不等式求最值，根据最值的条件，代入，再利用二次函数求最值. 【详解】由题意可知，， 所以， 因为，所以，当，即时，等号成立， 此时取最大值为1，， 所以， 当时，上式取得最大值4，所以的最大值为4. 故选：D 【巩固练习1】（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件可得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为正实数、、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 故选：D. 【巩固练习2】（24-25高三上·河南·月考）已知，则的最小值为______. 【答案】 【分析】将变形为，换元，令，构造均值不等式求解即可. 【详解】，令，所以， 则 ， 当且仅当，即，时取等号. 所以的最小值为. 故答案为：. 【巩固练习3】（22-23高三上·天津和平·阶段检测）已知正数满足，则的最小值是_________． 【答案】 【分析】根据题意，将等式化简变形，得到的表达式，根据表达式特征利用换元法构造函数，求导得出函数单调性即可得出最小值. 【详解】根据题意，由可得， 即 所以； 又因为均是正数，令，则 所以， 令， 则 当且仅当，即时，等号成立； 所以 所以的最小值为; 即当时，即时，等号成立. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据等式特征可知，利用基本不等式条件不明显，所以首先得出的表达式，根据可利用齐次式特征构造函数，再进行化简凑成基本不等式求解即可. 【题型17】万能“k”法 求啥设啥，利用一元二次方程有实数根时. 常用结论 1设比值将二元问题转化为关于的一元问题 2形如设转化为求最值 解题方法 1设目标比值为用表示变量的关系 2代入目标式转化为关于的一元函数 3化简后用基本不等式或导数求的范围或最值 4回代得到原目标式的最值 【经典例题1】（25-26高一上·山西忻州·期末）已知正实数a，b满足，则的最小值为__________. 【答案】/ 【分析】利用题设条件得到和，即可将目标式转换成关于a的一元二次式求解. 【详解】由题意可得正实数a、b满足， 则关于b的一元二次方程有， 即， 所以， 所以的最小值为. 故答案为： 【经典例题2】已知实数，满足，则的最小值为________ 【答案】 【详解】令，代入，得， 当且仅当时，成立， 即的最小值为 【题型18】三角换元法（利用三角函数） 出现平方和结构（）形式，引入三角函数表示和 常用结论 1利用等公式进行换元 2适用于含等形式的问题 解题方法 1根据已知条件选择合适的三角换元形式（如） 2代入目标式转化为三角函数形式 3利用三角恒等变换化简再用基本不等式或三角函数性质求最值 4验证变量的取值范围确保换元等价 【经典例题1】（25-26高一·全国·寒假作业）已知，，则的最小值为____. 【答案】 【分析】把通过配方整理为完全平方式和的形式，利用三角换元即可求解. 【详解】因为， 令，，解得，， 所以 ，， 因为，所以的最小值为. 故答案为：. 【经典例题2】（2026·河北沧州·模拟预测）已知实数满足，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】设点，由已知等式可得到点在以点为圆心，2为半径的圆上，将整理为，看到和的平方和为1，故设，则，结合图形得到，利用正弦函数的图像和性质得到所求的取值范围. 【详解】由，可得， 设点，则点在以点为圆心，2为半径的圆上， 所以， 根据几何意义设，则， 过点作圆的切线，与圆交于点， 此时 ， 故， 所以， 因为，所以，即 所以，所以， 故最大值为. 【巩固练习1】若x，y满足，则的最大值为________ 【答案】3 【解析】设，因此，其中 ，所以当时，取到最大值3 1． 【巩固练习2】（多选题）若x，y满足，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】因为（R），由可变形为， ，解得，当且仅当时，， 当且仅当时，，故A正确，B错误； 由可变形为，解得， 当且仅当时取等号，故D正确； 因为变形可得， 设，所以， 因此 ，所以当时，即时， 此时，取到最大值2，故C错误. 【巩固练习3】若x，y满足，则的最大值为________ 【答案】 【解析】设，因此，其中 ，所以当时，取到最大值3 【题型19】基本不等式与其他知识交汇的最值问题 利用基本不等式求最值往往交汇考查，多涉及数列、三角、向量、解析几何、立体几何等问题中有关最值的求法． 常用结论 1与函数、数列、解析几何、立体几何等知识结合利用基本不等式求最值 2核心仍是一正二定三相等结合其他知识的性质确定变量范围 解题方法 1结合交汇知识的性质建立目标函数 2利用交汇知识的约束条件确定变量的取值范围 3套用基本不等式求最值 4验证结果是否满足交汇知识的约束条件 【经典例题1】（25-26高一下·重庆·期中）已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（   ） A．4 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用共线向量的推论建立关系，再利用基本不等式“1”的妙用求出目标函数的最小值. 【详解】由点在线段上（不含端点），，得， 则，因此 ， 当且仅当，即，时取得等号， 所以的最小值为. 【经典例题2】（25-26高一下·广东深圳·期中）半径为定值的球中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，圆柱的高和球的半径之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设球的半径为，圆柱的高为，底面半径为， 可得：， 圆柱的侧面积为：， 当且仅当时取等，此时圆柱的侧面积最大，所以， 所以，所以圆柱的高和球的半径之比为. 【巩固练习1】（25-26高一下·江苏南京·期中）在中，角 的对边分别为 ，且满足，的平分线交于点D，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦定理和三角函数恒等变换公式对已知式子化简可求得，再由平分结合面积公式，可得，然后利用基本不等式可求得结果 【详解】已知， 由余弦定理，又，所以， 由等面积法知，又平分， 则，又， 所以有，即， 因此， 当且仅当时取等． 【巩固练习2】（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）已知随机变量，且，正实数满足，则下列结论正确的是（   ） A．的最大值为9 B．的最小值为18 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】根据题意求出，对于A，利用即可判断；对于B，根据即可判断；对于C，，结合基本不等式即可判断；对于D，根据即可判断. 【详解】因为，且， 所以，即， 对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，， 当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对于D，， 故，所以D错误. 【巩固练习3】（2026·陕西渭南·模拟预测）已知为正实数，且直线与曲线相切，则的最大值为__________. 【答案】/0.5 【分析】利用函数导数与函数在某点处的切线方程，以及基本不等式求解即可. 【详解】由直线与曲线相切， 设切点为，由，且切线的斜率为， 所以， 代入曲线方程中得：， 所以切点为，代入直线方程中得：， 因为，所以. 当时取等号，所以的最大值为.则的最大值为. 【题型20】多次运用基本不等式 多次运用不等式求最值，取到最值时要注意的是每次取等的条件是否一致. 常用结论 1对同一式子多次使用基本不等式需保证每次取等号的条件一致 2若两次取等号条件不同则最终的最值无法取到 解题方法 1对目标式进行拆分分多次使用基本不等式 2每次使用基本不等式时记录取等号的条件 3验证所有取等号条件是否能同时满足 4若条件一致则最终的最值成立；若不一致则需调整拆分方式或换用其他方法 【经典例题1】（25-26高一上·河北唐山·月考）已知，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】记原式为．首先齐次化，结合均值不等式有，从而可得，利用对勾函数的性质求解即可. 【详解】令 ， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以． 令， 注意到单调递增， 故． 当且仅当时等号成立． 故答案为： 【经典例题2】（25-26高一上·重庆·期中）已知，，且满足：，则的最小值等于________． 【答案】48 【分析】利用常值代换和基本不等式即可求得最小值. 【详解】因，且， 则 （当且仅当时等号成立） ，当且仅当即时等号成立. 所以的最小值等于. 故答案为：. 【巩固练习1】（2025·上海长宁·一模）已知均为正实数，且，则的最小值为___________． 【答案】4 【分析】由可得，所以原式可化为①，令，利用基本不等式求出的范围，则①式可化为，再次利用基本不等式求出的范围即可得解.（注意两次应用基本不等式，等号成立的条件必须相同） 【详解】由可得，所以原式①. 令，当时，， 当且仅当，即时等号成立，所以. 所以①式可化为原式. 令，则， 当且仅当，即，即时等号成立，所以， 所以的最小值为4. 故答案为：4 【巩固练习2】（25-26高二上·陕西西安·期中）已知正数a，b满足，，则的最小值为______ . 【答案】 【分析】由，，平方得到，代入目标式化简变形通过两次运用基本不等式计算即可求出最小值． 【详解】解：由，得， 因为，， 所以 ， 当且仅当，即时取“等号”， 所以当，，时，的最小值为 故答案为： 【巩固练习3】（25-26高一上·重庆·期中）已知正实数、满足：，则的最大值为______，若实数，则的最小值为______． 【答案】 【分析】对于第一空，利用基本不等式，再利用换元法令，再解一元二次不等式即可得解；对于第二空，先将整理为，再利用换元法令，将整理为，再利用基本不等式求得该式的最小值为，再运用配凑法与基本不等式求得的最小值即可得解. 【详解】对于第一空：，当且仅当时等号成立. 令，则可化为， 解得，则，，当且仅当时等号成立，故的最大值为； 对于第二空：可整理为， 令，则. ， 当且仅当，即时，即时，等号成立， 即最小值为，即. 又因为， 当且仅当，即时，等号成立. 综上，当且仅当时，取到最小值 故答案为：①；②. 课后过关检测 一、单选题 1．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知且，则的最小值是（   ） A．3 B．9 C．5 D．25 【答案】D 【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以， 解得，当且仅当时等号成立，所以的最小值为25． 2．（2026·河南洛阳·模拟预测）设，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D．3 【答案】C 【分析】先化简，再利用基本不等式求最值，并验证等号成立的条件. 【详解】， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 3．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 4．（2026·重庆万州·模拟预测）已知定义在上的函数满足，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】A 【分析】先利用函数单调性可得，再令，对原式进行化简，利用两次基本不等式求最小值即可． 【详解】解：，，即， 又，， 函数在单调递增， ，即， 令，则， ，当且仅当时取等， 又，当时取等， 综上，时，取得最小值． 5．（2026·山东泰安·二模）当时，的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】由配凑法结合换1法得出，再使用基本不等式即可求解. 【详解】由题意得， 则 ， 当且仅当即时等号成立. 6．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知正数，满足.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由基本不等式乘“”法，求得的最小值，进而可求解. 【详解】由题意可知，不等式恒成立， 即， ，即 ， ， ，， ，， ，当且仅当，即时等号成立， 当时，取得最小值为8， ，即，解得. 7．（2026·四川泸州·模拟预测）若正数满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用指数的运算得到，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，所以，又是正数， 则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 8．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正余弦定理和三角恒等变换公式可得，结合正切两角和差公式可得，换元令，利用基本不等式可得最值. 【详解】由及，可得， 化简可得，由正弦定理边角互化可得， 则有，即， 所以，， ， 令，， 由均值不等式，当且仅当，即时取等号， 此时. 所以的最大值为. 故选：D. 9．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知函数，正数满足，则的最小值为（   ） A．2 B．5 C．8 D．9 【答案】D 【详解】因为函数的定义域为，，所以是奇函数； 又，所以， 又，所以在上单调递增，所以，即； 又均为正数，所以， 当且仅当时，即，时等号成立， 故的最小值为9，故D正确. 二、多选题 10．（2026·河北雄安·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A． B．若，则“”是“”的充要条件 C．的最小值为3 D．若，则 【答案】AC 【分析】利用存在量词命题的定义判断A；利用充要条件的定义判断B；利用基本不等式求出最小值判断C；利用不等式的性质判断D. 【详解】对于A，解不等式，得，因此，A正确； 对于B，当时，或，即能推出，但不能推出， 因此“”是“”的充分不必要条件，B错误； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，因此的最小值为3，C正确； 对于D，，当时，，D错误. 11．（25-26高一下·浙江衢州·期中）已知，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式可判断AD选项；将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可判断B选项；将代入，结合二次函数的基本性质可判断C选项. 【详解】因为，，， 对于A选项，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，A对； 对于B选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立，B对； 对于C选项，， 当且仅当时，等号成立，C错； 对于D选项，， 故， 当且仅当时，即当时，等号成立，D对. 12．（2026·河南·模拟预测）已知，，，下列说法正确的是（   ） A．的最大值为1 B．的最小值为2 C．ab的最大值为 D．的最小值为2 【答案】BD 【分析】A直接利用基本不等式；B利用基本不等式求的最值；C对利用基本不等式；D利用消元法求解. 【详解】对于A，因为，，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 此时是最小值不是最大值，故A不正确； 对于B，， 当且仅当，即，时，等号成立，故B正确； 对于C，因为，所以， 因为，，所以，所以， 令，所以，即，所以， 所以，所以， 当且仅当，即，时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为，所以， 所以， 令，所以， 所以， 当且仅当，即，所以时，等号成立，故D正确. 13．（2026·贵州毕节·三模）已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】结合已知条件，利用基本不等式对各选项逐一变形验证即可. 【详解】选项A. 由基本不等式，则，平方得，当且仅当时等号成立，A正确. 选项B.对平方得，由A知， 因此， 因为，开方得， 当且仅当时等号成立，B正确. 选项C.，由，所以，即，C错误. 选项D.，因此，所以，D错误. 三、填空题 14．（2024·上海·高考真题）已知，的最小值为______． 【答案】12 【分析】利用不等式即可求解. 【详解】, 当且仅当,即或时,等号成立, 故的最小值为12. 故答案为：12. 15．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为_________． 【答案】4 【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4 16．（2026·广东湛江·二模）已知正数，满足，则的最大值为______. 【答案】12 【详解】由，得， 所以，当且仅当，时等号成立. 17．（2026·陕西咸阳·三模）已知，且，则的最小值为______． 【答案】0 【详解】已知，则， ， ， ， 设，则，， ， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为0． 18．（2026·安徽·模拟预测）已知，，且，则的最小值为________． 【答案】 【详解】由题意得，， 所以， 当且仅当，，即时，等号成立． 19．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知，则的最小值为__________． 【答案】9 【分析】对进行变形，然后利用基本不等式求解其最小值. 【详解】因为，则，. 所以 . 当且仅当时，即等号成立. 因此，的最小值为9. 20．（2026·河南开封·模拟预测）已知正实数a，b满足，则的最小值为______． 【答案】4 【详解】， ， ， ， ， 当且仅当，即，结合得时等号成立， 的最小值为4． 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $